1、2020-2021 学年浙江省杭州市萧山区城区六校八年级（下）期中数学试卷学年浙江省杭州市萧山区城区六校八年级（下）期中数学试卷 一、单选题（每小题一、单选题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）下列二次根式中，不能与合并的是（ ） A B C D 2 （3 分）已知 x2 是方程 x24x+c0 的一个根，则 c 的值是（ ） A12 B4 C4 D12 3 （3 分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A等腰三角形 B平行四边形 C等边三角形 D直角三角形 4 （3 分）解方程，较简便的解法是（ ） A直接开平方法 B配方法 C公式法 D因式分解法 5 （3 分）一组
2、数据 1，2，3，4，5 的方差与下列哪组数据的方差相同的是（ ） A2，4，6，8，10 B10，20，30，40，50 C11，12，13，14，15 D11，22，33，44，55 6 （3 分）设 x，y 为实数，且，则|yx|的值是（ ） A1 B9 C4 D5 7 （3 分）已知 m+，则（ ） A4m5 B5m6 C6m7 D7m8 8 （3 分）如图，D 是ABC 内一点，BDCD，AD6，BD4，CD3，E、F、G、H 分别是 AB、AC、 CD、BD 的中点，则四边形 EFGH 的周长是（ ） A11 B10 C9 D7 9 （3 分） 已知关于 x 的一元二次方程 （xx
3、1） （xx2） 0 与一元一次方程 2x40 有一个公共解 xx1， 若一元二次方程（xx1） （xx2）+（2x4）0 有两个相等的实根，则 x2（ ） A2 B4 C2 D4 10 （3 分）已知ABCD 中，AD2AB，F 是 BC 的中点，作 AECD，垂足 E 在线段 CD 上，不与点 C 重 合，连接 EF、AF，下列结论：2BAFBAD；EFAF；SABFSAEF；BFE3CEF中 一定成立的是（ ） A B C D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）如果一个多边形的内角和为 540，那么这个多边形是 12 （4 分）用反证
4、法证明命题“三角形中至少有两个锐角” ，第一步应假设 13 （4 分）如图，有一块长 21m，宽 10m 的矩形空地，计划在这块空地上修建两块相同的矩形绿地，两块 绿地之间及周边留有宽度相同的人行通道，两块绿地的面积和为 90m2设人行通道的宽度为 xm，根据 题意可列方程： 14 （4 分）小方的数学平时成绩为 84 分，期中成绩为 80 分，学校按平时、期中、期末成绩之比为 3：3： 4 的比例计算学期的总评成绩，他计划总评成绩要达到 85 分，则期末考试他至少要得到 分 15 （4 分）在ABCD 中，ADBD，BE 是 AD 边上的高，EBD28，则A 的度数为 16 （4 分）对于一
5、元二次方程 ax2+bx+c0（a0） ，下列说法： a+c0，方程 ax2+bx+c0，有两个不相等的实数； 若方程 ax2+bx+c0 有两个不相等的实根则方程 cx2+bx+a0 也一定有两个不相等的实根； 若 c 是方程 ax2+bx+c0 的一个根，则一定有 ac+b+10 成立 若 m 是方程 ax2+bx+c0 的一个根，则一定有 b24ac（2am+b）2成立 其中正确的结论是 （把你认为正确结论的序号都填上） 三、解答题（共三、解答题（共 66 分）分） 17 （6 分）计算： （1）； （2） 18 （8 分）用适当的方法解下列方程： （1） （x1）24； （2）x（3x
6、6）（x2）2 19 （8 分）学校抽查了某班级某月份其中 5 天的用电量，数据如表（单位：度） ： 度数 9 11 12 天数 3 1 1 （1）求这 5 天用电量的平均数，众数，中位数 （2）学校共有 48 个班级，若该月在校时间按 22 天计，试估计该校该月的总用电量 20 （10 分）已知 m，n 是实数，定义运算“*”为：m*nmn+n （1）分别求 4*（2）与 4*的值； （2）若关于 x 的方程 x*（a*x）有两个相等的实数根，求实数 a 的值 21 （10 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，ABC，BCD 的平分线分别交 AD 于点 E，F，BE，CF 相 交于点 G
7、（1）求证：BECF； （2）求证：AFDE 22 （12 分）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为 80 元，销售价为 120 元时，每天可售出 20 件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增 加利润经市场调查发现，如果每件童装降价 1 元，那么平均可多售出 2 件 （1）设每件童装降价 x 元时，每天可销售 件，每件盈利 元； （用 x 的代数式 表示） （2）为了扩大销售量，尽快减少库存，每件童装降价多少元时，平均每天赢利 1200 元； （3）平均每天赢利 1200 元是最大日赢利吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出平均日赢
8、利的最 大值 23 （12 分）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，B90，AD16cm，AB12cm，BC21cm，动点 P 从点 B 出发，沿射线 BC 的方向以每秒 2cm 的速度运动到 C 点返回，动点 Q 从点 A 出发，在线段 AD 上以每秒 1cm 的速度向点 D 运动，点 P，Q 分别从点 B，A 同时出发，当点 Q 运动到点 D 时，点 P 随之 停止运动，设运动的时间为 t（秒） （1）当 t 为何值时，四边形 PQDC 是平行四边形； （2）当 t 为何值时，以 C，D，Q，P 为顶点的四边形面积等于 60cm2？ （3）当 0t10.5 时，是否存在点 P，使PQD
9、 是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的 t 的值；若不存在，请说明理由 2020-2021 学年浙江省杭州市萧山区城区六校八年级（下）期中数学试卷学年浙江省杭州市萧山区城区六校八年级（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单选题（每小题一、单选题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）下列二次根式中，不能与合并的是（ ） A B C D 【分析】根据二次根式的乘除法，可化简二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得答案 【解答】解：A、，故 A 能与合并； B、，故 B 能与合并； C、，故 C 不能与合并； D、，故 D 能与合并； 故选
10、：C 【点评】本题考查了同类二次根式，被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式 2 （3 分）已知 x2 是方程 x24x+c0 的一个根，则 c 的值是（ ） A12 B4 C4 D12 【分析】由 x2 为已知方程的解，将 x2 代入方程求出 c 的值 【解答】解：把 x2 代入 x24x+c0，得 （2）24（2）+c0， 解得 c12 故选：A 【点评】此题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左 右两边相等的未知数的值即用这个数代替未知数所得式子仍然成立 3 （3 分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A等腰三角形 B平行四边形 C等边三角形
11、 D直角三角形 【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：B 【点评】 本题考查了中心对称图形的概念， 中心对称图形是要寻找对称中心， 旋转 180 度后与原图重合 4 （3 分）解方程，较简便的解法是（ ） A直接开平方法 B配方法 C公式法 D因式分解法 【分析】根据方程的特点得出即可 【解答】解：解方程较简便的解法是因式分解法， 故选：D 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方
12、法解一元二次方程是解此题的关键 5 （3 分）一组数据 1，2，3，4，5 的方差与下列哪组数据的方差相同的是（ ） A2，4，6，8，10 B10，20，30，40，50 C11，12，13，14，15 D11，22，33，44，55 【分析】根据如果将一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变， 即方差不变，从而得出答案 【解答】解：一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减 去）这一个常数，两数进行相减， 故方差不变， 11，12，13，14，15 是在原数据 1，2，3，4，5 中每个数均加上 10， 数据 1，2，3，4
13、，5 的方差与数据 11，12，13，14，15 的方差相同， 故选：C 【点评】本题考查方差的计算公式的运用：一般地设有 n 个数据，x1，x2，xn，若每个数据都放大或缩 小相同的倍数后再同加或同减去一个数，其平均数也有相对应的变化，方差则变为这个倍数的平方倍 6 （3 分）设 x，y 为实数，且，则|yx|的值是（ ） A1 B9 C4 D5 【分析】根据二次根式有题意的条件可求解 x，y 值，进而可求解|yx|的值 【解答】解：， 5x0，5x0， 5x0， 解得 x5， y4， |yx|45|1 故选：A 【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件，绝对值，灵活运用二次根式有意义的条件
14、求解 x，y 值是 解题的关键 7 （3 分）已知 m+，则（ ） A4m5 B5m6 C6m7 D7m8 【分析】根据被开方数越大算术平方根越大，可得答案 【解答】解：m+4+， 23， 64+7， 6m7， 故选：C 【点评】 本题考查了估算无理数的大小， 利用被开方数越大算术平方根越大得出 23 是解题关键， 又利用了不等式的性质 8 （3 分）如图，D 是ABC 内一点，BDCD，AD6，BD4，CD3，E、F、G、H 分别是 AB、AC、 CD、BD 的中点，则四边形 EFGH 的周长是（ ） A11 B10 C9 D7 【分析】利用勾股定理列式求出 BC 的长，再根据三角形的中位线
15、平行于第三边并且等于第三边的一半 求出 EHFGAD，EFGHBC，然后代入数据进行计算即可得解 【解答】解：BDCD，BD4，CD3， BC5， E、F、G、H 分别是 AB、AC、CD、BD 的中点， EHFGAD，EFGHBC， 四边形 EFGH 的周长EH+GH+FG+EFAD+BC， 又AD6， 四边形 EFGH 的周长6+511 故选：A 【点评】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等 于第三边的一半是解题的关键 9 （3 分） 已知关于 x 的一元二次方程 （xx1） （xx2） 0 与一元一次方程 2x40 有一个公共解 xx1， 若
16、一元二次方程（xx1） （xx2）+（2x4）0 有两个相等的实根，则 x2（ ） A2 B4 C2 D4 【分析】先解方程 2x40 得 x12，则一元二次方程（xx1） （xx2）+（2x4）0 变形为（x2） （xx2）+2x40，整理得 x2x2x+2x240，利用判别式的意义得到（x2）24（2x24） 0，然后解关于 x2的方程即可 【解答】解：解方程 2x40 得 x2， x12， 一元二次方程（xx1） （xx2）+（2x4）0 变形为（x2） （xx2）+2x40， 整理得 x2x2x+2x240， （x2）24（2x24）0，解得 x24 故选：D 【点评】本题考查了根的判
17、别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac 有如下关系： 当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无 实数根 10 （3 分）已知ABCD 中，AD2AB，F 是 BC 的中点，作 AECD，垂足 E 在线段 CD 上，不与点 C 重 合，连接 EF、AF，下列结论：2BAFBAD；EFAF；SABFSAEF；BFE3CEF中 一定成立的是（ ） A B C D 【分析】利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出MBF ECF，利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案 【解答】解：F 是
18、 BC 的中点， BFFC， 在ABCD 中，AD2AB， BC2AB2CD，BFFCAB， AFBBAF， ADBC， AFBDAF， BAFFAB， 2BAFBAD，故正确； 延长 EF，交 AB 延长线于 M， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD， MBFC， F 为 BC 中点， BFCF， 在MBF 和ECF 中， ， MBFECF（ASA） ， FEMF，CEFM， CEAE， AEC90， AECBAE90， FMEF， EFAF，故正确； EFFM， SAEFSAFM， E 与 C 不重合， SABFSAEF，故错误； 设FEAx，则FAEx， BAFAFB90 x，
19、EFA1802x， EFB90 x+1802x2703x， CEF90 x， BFE3CEF，故正确， 故选：A 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是得 出AEFDME 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）如果一个多边形的内角和为 540，那么这个多边形是 五边形 【分析】设多边形的边数为 n，根据题意得出（n2）180540，即可求出边 【解答】解：设多边形的边数为 n，则（n2）180540， 解得：n5 故答案为：五边形 【点评】本题考查了多边形的内角和定理，能根据题意得出关于 n 的
20、方程是解此题的关键，注意：边数 为 n 的多边形的内角和（n2）180 12（4 分） 用反证法证明命题 “三角形中至少有两个锐角” ， 第一步应假设 同一三角形中最多有一个锐角 【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可 【解答】解：用反证法证明同一三角形中至少有两个锐角时，第一步应假设同一三角形中最多有一个锐 角 故答案为：同一三角形中最多有一个锐角 【点评】此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤在假设结论不成立时要注意 考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一 一否定 13 （4 分）如图，有一块长 21m，宽 10m 的矩
21、形空地，计划在这块空地上修建两块相同的矩形绿地，两块 绿地之间及周边留有宽度相同的人行通道，两块绿地的面积和为 90m2设人行通道的宽度为 xm，根据 题意可列方程： （213x） （102x）90 【分析】设人行通道的宽度为 xm，则两块绿地可合成长（213x）m，宽（102x）m 的矩形，根据两 块绿地的面积和为 90m2，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解 【解答】解：设人行通道的宽度为 xm，则两块绿地可合成长（213x）m，宽（102x）m 的矩形， 依题意得： （213x） （102x）90 故答案为： （213x） （102x）90 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元
22、二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的 关键 14 （4 分）小方的数学平时成绩为 84 分，期中成绩为 80 分，学校按平时、期中、期末成绩之比为 3：3： 4 的比例计算学期的总评成绩，他计划总评成绩要达到 85 分，则期末考试他至少要得到 89.5 分 【分析】可设期末考试他要得到 x 分，根据计划总评成绩要达到 85 分，列出不等式求解即可 【解答】解：设期末考试他要得到 x 分，依题意有 84+80+x85， 解得 x89.5 故期末考试他至少要得到 89.5 分 故答案为：89.5 【点评】考查了一元一次不等式的应用，加权平均数的求法，解决问题的关键是读懂题意，找到关
23、键描 述语，找到所求的量的不等关系 15 （4 分） 在ABCD 中， ADBD， BE 是 AD 边上的高， EBD28， 则A 的度数为 59或 31 【分析】由平行四边形的性质和题意画出图形，由直角三角形的性质得出BDE62，由等腰三角形 的性质和三角形内角和定理即可求出A 的度数、分两种情况 【解答】解：根据平行四边形的性质和题意画出图形，分 2 种情况：如图 1 所示 BE 是 AD 边上的高，EBD28， BDE902862， ADBD， AABD（18062）59； 如图 2 所示：同得：BDE62， ADBD， AABD， A62231； 上所述：A 的度数为 59或 31，
24、故答案为：59或 31 【点评】 本题考查了平行四边形的性质、 直角三角形的性质、 等腰三角形的性质以及三角形内角和定理； 根据题意画出图形是解决问题的关键 16 （4 分）对于一元二次方程 ax2+bx+c0（a0） ，下列说法： a+c0，方程 ax2+bx+c0，有两个不相等的实数； 若方程 ax2+bx+c0 有两个不相等的实根则方程 cx2+bx+a0 也一定有两个不相等的实根； 若 c 是方程 ax2+bx+c0 的一个根，则一定有 ac+b+10 成立 若 m 是方程 ax2+bx+c0 的一个根，则一定有 b24ac（2am+b）2成立 其中正确的结论是 （把你认为正确结论的序
25、号都填上） 【分析】根据根的判别式即可作出判断； 方程 ax2+bx+c0 有两个不等的实数根，则b24ac0，当 c0 时，cx2+bx+a0 不成立； 若 c 是方程 ax2+bx+c0 的一个根，则代入即可作出判断； 若 m 是方程 ax2+bx+c0 的一个根，即方程有实根，判别式0，结合 m 是方程的根，代入一定成 立，即可作出判断 【解答】解：因为 a+c0，a0，所以a、c 异号，所以b24ac0，所以方程有两个不等的实 数根； 当 c0 时不成立； 若 c 是方程 ax2+bx+c0 的一个根，当 c0 时，ac+b+10 不一定成立； 若 m 是方程 ax2+bx+c0 的一
26、个根，所以有 am2+bm+c0，即 am2（bm+c） ，而（2am+b）2 4a2m2+4abm+b24a（bm+c）+4abm+b24abm4abm4ac+b2b24ac 所以成立 故答案为： 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根的判别式b24ac：当0，方程有两 个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根 三、解答题（共三、解答题（共 66 分）分） 17 （6 分）计算： （1）； （2） 【分析】 （1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算 【解答】解： （1）原式32 ； （2）原
27、式（+1）+（+1） （+1）2（）2 3+2+12 2+2 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即 可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径， 往往能事半功倍 18 （8 分）用适当的方法解下列方程： （1） （x1）24； （2）x（3x6）（x2）2 【分析】 （1）方程利用直接开方法求出解即可； （2）方程移项整理后，利用因式分解法求出解即可 【解答】解： （1） （x1）24， 开方得：x12 或 x12， 解得：x13，x21； （2）x（3x6）（x2）2， 方程整理得：3x（x2）
28、（x2）20， 分解因式得： （x2） （3xx+2）0， 解得：x12，x21 【点评】此题考查了解一元二次方程公式法，以及直接开平方法，熟练掌握各自的解法是解本题的关 键 19 （8 分）学校抽查了某班级某月份其中 5 天的用电量，数据如表（单位：度） ： 度数 9 11 12 天数 3 1 1 （1）求这 5 天用电量的平均数，众数，中位数 （2）学校共有 48 个班级，若该月在校时间按 22 天计，试估计该校该月的总用电量 【分析】 （1）根据加权平均数的计算公式、众数、中位数的定义进行求解即可； （2）用班级数乘以日平均用电量乘以天数即可求得总用电量 【解答】解： （1）这 5 天用
29、电量的平均数是： （93+111+121）510（度） ； 9 度出现了 3 次，最多，故众数为 9 度； 第 3 天的用电量是 9 度，故中位数为 9 度； （2）10224810560（度） ， 答：估计该校该月用电 10560 度 【点评】此题考查了平均数、中位数、众数和用样本估计总体中位数是将一组数据从小到大（或从大 到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数） ，叫做这组数据的中位数，如果中位数的 概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数 20 （10 分）已知 m，n 是实数，定义运算“*”为：m*nmn+n （1）分别求 4
30、*（2）与 4*的值； （2）若关于 x 的方程 x*（a*x）有两个相等的实数根，求实数 a 的值 【分析】 （1）利用新定义得到 4*（2）4（2）+（2） ；4*4+，然后进行实数运 算即可； （2）利用新定义得到 x（ax+x）+ax+x，整理得（a+1）x2+（a+1）x+0，根据一元二次方程的 定义和判别式的意义得到 a+10 且（a+1） 24（a+1）（ ）0，然后解关于 a 的方程即可 【解答】解： （1）4*（2）4（2）+（2）8210； 4*4+5； （2）a*xax+x， 由 x*（ax+x）得 x（ax+x）+ax+x， 整理得（a+1）x2+（a+1）x+0， 因
31、为关于 x 的方程（a+1）x2+（a+1）x+0 有两个相等的实数根， 所以 a+10 且（a+1）24（a+1）0， 所以 a0 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac 有如下关系： 当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无 实数根也考查了实数的运算 21 （10 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，ABC，BCD 的平分线分别交 AD 于点 E，F，BE，CF 相 交于点 G （1）求证：BECF； （2）求证：AFDE 【分析】 （1）根据平行四边形两组对边分别平行可得ABC+BCD180，
32、再根据角平分线的性质可 得EBC+FCBABC+DCB90，进而可得 BECF； （2）根据等角对等边证得 ABAE、DCDF，从而得到 AEDF，从而证得结论 【解答】证明： （1）四边形 ABCD 为平行四边形， ABDC， ABC+DCB180， BE、CF 分别平分ABC 与DCB， EBCABC，FCBDCB， EBC+FCB（ABC+DCB）90， BGC180（EBC+FCB）90， BECF； （2）证明：在平行四边形 ABCD 中， ADBC，ABDC， AEBEBC， BE 平分ABC， ABEEBC， ABEAEB， ABAE， 同理可得：DCDF， AEDF， AEFE
33、DFFE， 即 AFDE 【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握平行四边形 的性质 22 （12 分）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为 80 元，销售价为 120 元时，每天可售出 20 件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增 加利润经市场调查发现，如果每件童装降价 1 元，那么平均可多售出 2 件 （1）设每件童装降价 x 元时，每天可销售 （20+2x） 件，每件盈利 （40 x） 元； （用 x 的代数 式表示） （2）为了扩大销售量，尽快减少库存，每件童装降价多少元时，平均每天赢利
34、 1200 元； （3）平均每天赢利 1200 元是最大日赢利吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出平均日赢利的最 大值 【分析】 （1）根据：销售量原销售量+因价格下降而增加的数量，每件利润实际售价进价，列式即 可； （1）设每件童装降价 x 元，则销售量为（20+2x）件，根据总利润每件利润销售数量，即可得出关 于 x 的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论； （2）设每件童装降价 x 元，则销售量为（20+2x）件，根据总利润每件利润销售数量，列式表示出 总利润，根据二次函数的性质即可得出平均日赢利的最大值 【解答】解： （1）设每件童装降价 x 元时，每天可销售（20+2x）件，
35、每件盈利（40 x）元， 故答案为： （20+2x） ， （40 x） ； （2）设每件童装降价 x 元，则销售量为（20+2x）件， 根据题意得： （12080 x） （20+2x）1200， 整理得：x230 x+2000， 解得：x110，x220 为了扩大销售量，尽快减少库存， x20 答：每件童装降价 20 元时，平均每天盈利 1200 元； （3）1200 元不是最大日盈利 设每件童装降价 x 元，则销售量为（20+2x）件， 根据题意得： （12080 x） （20+2x）（20+2x） （40 x）2x2+60 x+8002（x15）2+1250， 所以平均日盈利的最大值为 1
36、250 元 【点评】本题主要考查二次函数的应用，一元二次方程的实际应用，理解题意找到题目蕴含的等量关系 是列方程求解的关键 23 （12 分）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，B90，AD16cm，AB12cm，BC21cm，动点 P 从点 B 出发，沿射线 BC 的方向以每秒 2cm 的速度运动到 C 点返回，动点 Q 从点 A 出发，在线段 AD 上以每秒 1cm 的速度向点 D 运动，点 P，Q 分别从点 B，A 同时出发，当点 Q 运动到点 D 时，点 P 随之 停止运动，设运动的时间为 t（秒） （1）当 t 为何值时，四边形 PQDC 是平行四边形； （2）当 t 为何值时，
37、以 C，D，Q，P 为顶点的四边形面积等于 60cm2？ （3）当 0t10.5 时，是否存在点 P，使PQD 是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的 t 的值；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）由题意已知，ADBC，要使四边形 PQDC 是平行四边形，则只需要让 QDPC 即可，利 用时间路程速度，即可求出时间； （2）要使以 C、D、Q、P 为顶点的梯形面积等于 60cm2，可以分为两种情况，点 P、Q 分别沿 AD、BC 运动或点 P 返回时，再利用梯形面积公式，即（QD+PC）AB260，因为 Q、P 点的速度已知，AD、 AB、BC 的长度已知，用 t 可分别表示 QD、
38、BC 的长，即可求得时间 t； （3）当 0t10.5 时，点 P 向点 C 运动，使PQD 是等腰三角形，可分三种情况，即 PQPD、PQ QD、QDPD；可利用等腰三角形及直角梯形的性质，分别用 t 表达等腰三角形的两腰长，再利用两腰 相等即可求得时间 t 【解答】解： （1）四边形 PQDC 是平行四边形， DQCP， 当 P 从 B 运动到 C 时， DQADAQ16t， CP212t， 16t212t， 解得：t5， 当 P 从 C 运动到 B 时， DQADAQ16t， CP2t21， 16t2t21， 解得：t， 当 t5 或秒时，四边形 PQDC 是平行四边形； （2）若点 P
39、、Q 分别沿 AD、BC 运动时， （DQ+CP） AB60， 即（16t+212t）1260， 解得：t9（秒） ， 若点 P 返回时，CP2t2， 则（16t+2t21） ）1260， 解得：t15（秒） 故当 t9 或 15 秒时，以 C，D，Q，P 为顶点的梯形面积等 60cm2； （3）当 PQPD 时，作 PHAD 于 H，则 HQHD， QHHDQD（16t） ， AHBP， 2t（16t）+t， t秒； 当 PQQD 时，QHAHAQBPAQ2ttt，QD16t， QD2PQ2t2+122， （16t）2122+t2， 解得 t（秒） ； 当 QDPD 时，DHADAHADBP162t， QD2PD2PH2+HD2122+（162t）2， （16t）2122+（162t）2， 即 3t232t+1440， 0， 方程无实根， 综上可知，当 t秒或秒时，PQD 是等腰三角形 【点评】本题主要考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质、梯形的面积、等腰三角形的性质，特别 应该注意要全面考虑各种情况，不要遗漏
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