1、2020-2021 学年湖南省湘潭市九年级（下）期中数学试卷学年湖南省湘潭市九年级（下）期中数学试卷 一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡 相应的位置上，每小题相应的位置上，每小题 3 分，满分分，满分 24 分）分） 1 （3 分）如图，矩形 EFGH 的四个顶点分别在菱形 ABCD 的四条边上，BEBF将AEH，CFG 分别 沿边 EH，FG 折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形 ABCD 面积的时，则为（ ） A B2 C D4 2 （3 分
2、）我国探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星是世界首颗运行在地月 L2 点 Halo 轨道的卫星，它的 运行轨道距月球约 65000 公里，将 65000 用科学记数法表示应为（ ） A6.5104 B65103 C0.65105 D6.5105 3 （3 分）下列运算，正确的是（ ） Aa3+a32a6 B （a2）5a10 Ca2a5a10 D （3ab）23a2b2 4 （3 分）在同一平面直角坐标系中，函数 ymx+n 与的图象可能是（ ） A B C D 5 （3 分）如图，AB 是O 的直径，且 AB4，C 是O 上一点，将沿直线 AC 翻折，若翻折后的圆弧 恰好经过点 O，则图中阴影
3、部分的面积为（ ） A B C D 6 （3 分）如图，已知菱形 OABC，OC 在 x 轴上，AB 交 y 轴于点 D，点 A 在反比例函数 y1上，点 B 在 反比例函数 y2上，且 OD2，则 k 的值为（ ） A3 B C D 7 （3 分）在棱长为 2 的正方体毛坯的一角处挖去一个棱长为 1 的小正方体，得到如图所示的几何体，这个 几何体的俯视图是（ ） A B C D 8 （3 分）如图，在O 中，点 A、B、C 在O 上，且ACB110，则（ ） A70 B110 C120 D140 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，请将答案填写在相应位置，每小题小题，请将答案
4、填写在相应位置，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 9 （3 分）开学前，根据学校防疫要求，小明同学连续 14 天进行了体温测量，结果统计如下表： 体温（） 36.3 36.4 36.5 36.6 36.7 36.8 天数（天） 2 3 3 4 1 1 这组体温数据的中位数是 10 （3 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB8，BC10，ABC60，BE 平分ABC 交 AD 于点 E， AF 平分BAD 交 BC 于点 F，交 BE 于点 G，连接 DG，则 GD 的长为 11 （3 分）已知实数 a、b、c 满足 a+babc，有下列结论： 若 c0，则+1； 若 a3，则 b
5、+c9； 若 abc，则 abc0； 若 a、b、c 中只有两个数相等，则 a+b+c8 其中正确的是 （把所有正确结论的序号都选上） 12 （3 分）要使式子有意义，则字母 x 的取值范围是 13 （3 分）如图，RtABC 中，C90o，A30o，BC1，以点 B 为圆心，以 BC 长度为半径作弧， 交 BA 于点 D， 以点 C 为圆心， 以大于为半径作弧， 接着再以点 D 为圆心， 以相同长度为半径作弧， 两弧交于点 E，作射线 BE 交 CA 于点 F，以点 B 为圆心，以 BF 为长度作弧，交 BA 于点 G，则阴影部 分的面积为 14 （3 分）在一个不透明的布袋中，装有红、黑、
6、白三种只有颜色不同的小球，其中红色小球 4 个，黑、 白色小球的数目相同小明从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后随机摸出一球，记 下颜色；如此大量摸球实验后，小明发现其中摸出的红球的频率稳定于 20%，由此可以估计布袋中的 黑色小球有 个 15 （3 分）分解因式：2a22 16 （3 分）如图，已知在ABC 中，ABAC，点 D，E 在 BC 上，且 BDCE，请你在图中找出一组全等 三角形 （不添加任何字母和辅助线） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 72 分）分） 17 （6 分）计算： 18 （6 分）先化简，再求值：（1+） ，其中 x+1
7、 19 （6 分） “校园安全”受到全社会的广泛关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用 随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图两幅尚不完整的统计图，请你根据统 计图中所提供的的信息解答下列问题： （1）接受问卷调查的学生共有 人，扇形统计图中“了解”部分所对应的扇形的圆心角的度数 为 ； （2）若该中学共有学生 900 人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解” 和“基本了解”程度的总人数为多少人？ 20 （10 分）如图，AC 是O 的直径，OD 与O 相交于点 B，DABACB （1）求证：AD 是O 的切线 （2）若ADB30
8、，DB2，求直径 AC 的长度 21（8 分） 如图， 某中学有一块三角形状的花圃 ABC， 现可直接测量到B45， C30， AC8 米 请 你求出 BC 的长 （结果可保留根号） 22 （12 分）如图，直线 yx+2 与抛物线 yax2+bx+6（a0）相交于 A（，）和 B（4，m） ，点 P 是 线段 AB 上异于 A、B 的动点，过点 P 作 PCx 轴于点 D，交抛物线于点 C （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的 P 点，使线段 PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理 由； （3）求PAC 为直角三角形时点 P 的坐标 23 （12 分）如图，
9、AB、AC 为O 的弦，连接 CO、BO 并延长分别交弦 AB、AC 于点 E、F，BC 求证：CEBF 24 （12 分）在平面直角坐标系中，已知 A（3，0） ，B（0，3） ，点 C 为 x 轴正半轴上一动点，过点 A 作 ADBC 交 y 轴于点 E （1）如图，若点 C 的坐标为（2，0） ，试求点 E 的坐标； （2）如图，若点 C 在 x 正半轴上运动，且 OC3，其它条件不变，连接 OD，求证：OD 平分ADC； （3）若点 C 在 x 轴正半轴上运动，当 ADCDOC 时，求OCD 的度数 2020-2021 学年湖南省湘潭市九年级（下）期中数学试卷学年湖南省湘潭市九年级（下
10、）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡 相应的位置上，每小题相应的位置上，每小题 3 分，满分分，满分 24 分）分） 1 （3 分）如图，矩形 EFGH 的四个顶点分别在菱形 ABCD 的四条边上，BEBF将AEH，CFG 分别 沿边 EH，FG 折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形 ABCD 面积的时，则为（ ） A B2 C D4 【分析】 设重叠的菱形边长为 x， BEBFy， 由矩形和菱
11、形的对称性以及折叠的性质得： 四边形 AHME、 四边形 BENF 是菱形，得出 ENBEy，EMx+y，由相似的性质得出 AB4MN4x，求出 AEAB BE4xy，得出方程 4xyx+y，得出 xy，AEy，即可得出结论 【解答】解：设重叠的菱形边长为 x，BEBFy， 由矩形和菱形的对称性以及折叠的性质得：四边形 AHME、四边形 BENF 是菱形， AEEM，ENBEy，EMx+y， 当重叠部分为菱形且面积是菱形 ABCD 面积的，且两个菱形相似， AB4MN4x， AEABBE4xy， 4xyx+y， 解得：xy， AEy， ； 故选：A 【点评】本题考查了折叠的性质、菱形的判定与性
12、质、矩形的性质、相似多边形的性质等知识；熟练掌 握菱形的判定与性质是解决问题的关键 2 （3 分）我国探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星是世界首颗运行在地月 L2 点 Halo 轨道的卫星，它的 运行轨道距月球约 65000 公里，将 65000 用科学记数法表示应为（ ） A6.5104 B65103 C0.65105 D6.5105 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：将
13、65000 用科学记数法表示为：6.5104 故选：A 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 3 （3 分）下列运算，正确的是（ ） Aa3+a32a6 B （a2）5a10 Ca2a5a10 D （3ab）23a2b2 【分析】根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方法则来分析 【解答】解： A错误，a3+a32a3 B正确，因为幂的乘方，底数不变，指数相乘 C错误，a2a5a7 D错误， （3ab）29a2b2 故选：B 【点评】本题主要考查合并同类项、幂的乘方、同
14、底数幂的乘法、积的乘方法则，侧重练习学生们的运 算能力，属于基础题型，熟练掌握合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方法则是解题的关 键 4 （3 分）在同一平面直角坐标系中，函数 ymx+n 与的图象可能是（ ） A B C D 【分析】根据一次函数的性质和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的图象是否正确 【解答】解：当 m0，n0 时，函数 ymx+n 的图象经过第一、二、四象限，的图象 在第二、四象限，故选项 A 错误、选项 D 正确； 当 m0，n0 时，函数 ymx+n 的图象经过第一、二、三象限，的图象在第一、三象 限，故选项 B 错误； 当 m0，n0 时，函数 ymx+
15、n 的图象经过第一、三、四象限，的图象在第二、四象 限，故选项 C 错误； 故选：D 【点评】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的 思想解答 5 （3 分）如图，AB 是O 的直径，且 AB4，C 是O 上一点，将沿直线 AC 翻折，若翻折后的圆弧 恰好经过点 O，则图中阴影部分的面积为（ ） A B C D 【分析】根据题意和图形，可知阴影部分的面积扇形 BOC 的面积，然后根据题目中的数据，计算出扇 形 BOC 的面积即可 【解答】解：连接 OC，作 ODAC 于点 D， 由图可知，阴影部分的面积扇形 BOC 的面积， ODOC，ODC90，A
16、B4， DCO30，OC2， OAOC， OACOCA30， BOC60， 扇形 BOC 的面积是：， 故选：D 【点评】本题考查扇形面积的计算、垂径定理、翻折变换，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合 的思想解答 6 （3 分）如图，已知菱形 OABC，OC 在 x 轴上，AB 交 y 轴于点 D，点 A 在反比例函数 y1上，点 B 在 反比例函数 y2上，且 OD2，则 k 的值为（ ） A3 B C D 【分析】估计菱形的性质得到 ABOC，求得 ABy 轴，得到 A（，2） ，B（，2） ，求 得 AB，AD，根据勾股定理即可得到结论 【解答】解：四边形 ABCO 是菱形， ABO
17、C， ABy 轴， OD2， A（，2） ，B（，2） ， AB，AD， ABOA， OA， AD2+OD2OA2， （）2+（2）2（）2， k2， 故选：B 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题 的关键 7 （3 分）在棱长为 2 的正方体毛坯的一角处挖去一个棱长为 1 的小正方体，得到如图所示的几何体，这个 几何体的俯视图是（ ） A B C D 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案 【解答】解：从上边看，是一个正方形，正方形的左下角是一个小正方形， 故选：B 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视
18、图 8 （3 分）如图，在O 中，点 A、B、C 在O 上，且ACB110，则（ ） A70 B110 C120 D140 【分析】作所对的圆周角ADB，如图，利用圆内接四边形的性质得ADB70，然后根据圆周角 定理求解 【解答】解：作所对的圆周角ADB，如图， ACB+ADB180， ADB18011070， AOB2ADB140 故选：D 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对 的圆心角的一半 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，请将答案填写在相应位置，每小题小题，请将答案填写在相应位置，每小题 3 分，共分，共 24 分
19、）分） 9 （3 分）开学前，根据学校防疫要求，小明同学连续 14 天进行了体温测量，结果统计如下表： 体温（） 36.3 36.4 36.5 36.6 36.7 36.8 天数（天） 2 3 3 4 1 1 这组体温数据的中位数是 36.5 【分析】根据中位数的定义求解即可 【解答】解：共有 14 个数据，其中位数是第 7、8 个数据的平均数，而第 7、8 个数据均为 36.5， 这组体温数据的中位数是36.5（） ， 故答案为：36.5 【点评】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数 是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数如果这组数据的个
20、数是偶数，则中间两个数据的 平均数就是这组数据的中位数 10 （3 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB8，BC10，ABC60，BE 平分ABC 交 AD 于点 E， AF 平分BAD 交 BC 于点 F，交 BE 于点 G，连接 DG，则 GD 的长为 【分析】过点 G 作 GHAD 于点 H，由平行四边形的性质得出 ADBC，证明ABF 为等边三角形，由 等腰三角形的性质得出 AG4，由直角三角形的性质得出 AH2，由勾股定理可求出答案 【解答】解：过点 G 作 GHAD 于点 H， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， ABC60， BAD120， AF 平分BAD， B
21、AFDAFAFB60， ABF 为等边三角形，ABAF8， BE 平分ABC， AGGF4， 又AHG90， AGH30， AHAG2，GH2， DHADAH1028， DG2， 故答案为：2 【点评】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的 性质是解题的关键 11 （3 分）已知实数 a、b、c 满足 a+babc，有下列结论： 若 c0，则+1； 若 a3，则 b+c9； 若 abc，则 abc0； 若 a、b、c 中只有两个数相等，则 a+b+c8 其中正确的是 （把所有正确结论的序号都选上） 【分析】按照字母满足的条件，逐一分析计算得出答案，进
22、一步比较得出结论即可 【解答】解：a+babc0，+1，此选项正确； a3，则 3+b3b，b，c，b+c+6，此选项错误； abc，则 2aa2a，a0，abc0，此选项正确； a、b、c 中只有两个数相等，不妨 ab，则 2aa2，a0，或 a2，a0 不合题意，a2，则 b 2，c4，a+b+c8当 ac 时，则 b0，不符合题意，bc 时，a0，此时 a+babc0，bc 0，也不符合题意； 故只能是 ab2，c4；此选项正确 其中正确的是 故答案为： 【点评】此题考查分式的混合运算，一元一次方程的运用，灵活利用题目中的已知条件，选择正确的方 法解决问题 12 （3 分）要使式子有意义
23、，则字母 x 的取值范围是 x2 【分析】求二次根式中被开方数的取值范围，依据为二次根式中的被开方数是非负数 【解答】解：要使式子有意义，则 x20， 解得 x2， 字母 x 的取值范围是 x2， 故答案为：x2 【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非 负数外，还必须保证分母不为零 13 （3 分）如图，RtABC 中，C90o，A30o，BC1，以点 B 为圆心，以 BC 长度为半径作弧， 交 BA 于点 D， 以点 C 为圆心， 以大于为半径作弧， 接着再以点 D 为圆心， 以相同长度为半径作弧， 两弧交于点 E，作射线 BE 交 CA
24、于点 F，以点 B 为圆心，以 BF 为长度作弧，交 BA 于点 G，则阴影部 分的面积为 【分析】根据 S阴SABFSBGF，求解即可 【解答】解：由作图可知，BE 平分ABC， C90，A30， CBA903060， CBFFBA30， BC1， CFBCtan30，ACBCtan60，BF2CF， S阴SABFSBGF1， 故答案为： 【点评】本题考查作图复杂作图，扇形的面积，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用分割法 求面积 14 （3 分）在一个不透明的布袋中，装有红、黑、白三种只有颜色不同的小球，其中红色小球 4 个，黑、 白色小球的数目相同小明从布袋中随机摸出一球，记下颜色后
25、放回布袋中，摇匀后随机摸出一球，记 下颜色；如此大量摸球实验后，小明发现其中摸出的红球的频率稳定于 20%，由此可以估计布袋中的 黑色小球有 8 个 【分析】根据多次试验发现摸到红球的频率是 20%，则可以得出摸到红球的概率为 20%，再利用红色小 球有 4 个，黄、白色小球的数目相同进而表示出黑球概率，得出答案即可 【解答】解：设黑色的数目为 x，则黑、白色小球一共有 2x 个， 多次试验发现摸到红球的频率是 20%，则得出摸到红球的概率为 20%， 20%，解得：x8， 黑色小球的数目是 8 个 故答案为：8 【点评】本题考查了利用频率估计概率，根据题目中给出频率可知道概率，从而可求出黑色
26、小球的数目 是解题关键 15 （3 分）分解因式：2a22 2（a+1） （a1） 【分析】先提取公因式 2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 【解答】解：2a22， 2（a21） ， 2（a+1） （a1） 【点评】本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再 用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止 16 （3 分）如图，已知在ABC 中，ABAC，点 D，E 在 BC 上，且 BDCE，请你在图中找出一组全等 三角形 ABDACE 或ABEACD （不添加任何字母和辅助线） 【分析】首先根据等腰三角形的性质：等角对等边得出B
27、C，然后根据 SAS 证明ABDACE， ABEACD，则图中全等的三角形共有 2 对 【解答】解：在ABD 与ACE 中， ， ABDACE（SAS） ； BDCE， BD+DECE+DE， BECD 在ABD 与ACD 中， ， ABEACD（SAS） ； 故答案为：ABDACE 或ABEACD 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质，属于基础题型，比较简单 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 72 分）分） 17 （6 分）计算： 【分析】直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质、绝对值的性质、负整数指数幂的性质分别化简 得出答案 【解
28、答】解：原式1+42 1+4 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 18 （6 分）先化简，再求值：（1+） ，其中 x+1 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案 【解答】解：原式 当 x+1 时， 原式 【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型 19 （6 分） “校园安全”受到全社会的广泛关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用 随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图两幅尚不完整的统计图，请你根据统 计图中所提供的的信息解答下列问题： （1）接受问卷调查的学生共有 60 人，扇形统计图中“了解”
29、部分所对应的扇形的圆心角的度数为 30 ； （2）若该中学共有学生 900 人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解” 和“基本了解”程度的总人数为多少人？ 【分析】 （1）从两个统计图中可知“了解很少”的频数为 30 人，占调查人数的 50%，可求出调查人数， 进而求出“了解”的频数、所占得百分比，相应的圆心角的度数； （2）求出“了解” “基本了解”所占得百分比即可求出答案 【解答】解： （1）接受问卷调查的人数为：3050%60（人） ， “了解”的人数为：601530105（人） ， 所以扇形统计图中“了解”部分所对应的扇形的圆心角的度数为：36030， 故答案
30、为：60，30； （2） “了解”和“基本了解”的人数为 15+520（人） ， 因此整体中，达到“了解”和“基本了解”的人数为：900300（人） ， 答：该中学 900 中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”的共有 300 人 【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，了解和掌握两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前 提 20 （10 分）如图，AC 是O 的直径，OD 与O 相交于点 B，DABACB （1）求证：AD 是O 的切线 （2）若ADB30，DB2，求直径 AC 的长度 【分析】 （1）根据圆周角定理得出ABC90，求出ACB+CAB90，求出OAD90，再根 据切线的判
31、定得出即可； （2）根据含 30角的直角三角形的性质得出 OAOD，求出 OA，再求出答案即可 【解答】 （1）证明：AC 是O 的直径， ABC90， ACB+CAB90， 又ACBDAB， DAB+CAB90，即OAD90， OA 是O 的半径， AD 是O 的切线； （2）解：由（1）可知OAD90， ADB30， OAOD（OB+BD） ， OAOB，BD2， OA2， AC2OA4 【点评】本题考查了直角三角形的性质，圆周角定理和切线的判定等知识点，能灵活运用知识点进行推 理和计算是解此题的关键 21（8 分） 如图， 某中学有一块三角形状的花圃 ABC， 现可直接测量到B45， C
32、30， AC8 米 请 你求出 BC 的长 （结果可保留根号） 【分析】直接过 A 作 ADBC 于 D，分别得出 BD，DC 的长进而得出答案 【解答】解：如图：过 A 作 ADBC 于 D 在ABD 中，B45， ADBD在ACD 中， C30，AC8， ADAC4BD， CD4， BCBD+CD4+4， 答：BC 的长为： （4+4）m 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确构造直角三角形是解题关键 22 （12 分）如图，直线 yx+2 与抛物线 yax2+bx+6（a0）相交于 A（，）和 B（4，m） ，点 P 是 线段 AB 上异于 A、B 的动点，过点 P 作 PCx 轴于
33、点 D，交抛物线于点 C （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的 P 点，使线段 PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理 由； （3）求PAC 为直角三角形时点 P 的坐标 【分析】 （1）已知 B（4，m）在直线 yx+2 上，可求得 m 的值，抛物线图象上的 A、B 两点坐标，可将 其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值 （2）要弄清 PC 的长，实际是直线 AB 与抛物线函数值的差可设出 P 点横坐标，根据直线 AB 和抛物 线的解析式表示出 P、C 的纵坐标，进而得到关于 PC 与 P 点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即 可求出
34、PC 的最大值 （3）当PAC 为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解 【解答】解： （1）B（4，m）在直线 yx+2 上， m4+26， B（4，6） ， A（，） 、B（4，6）在抛物线 yax2+bx+6 上， ，解得， 抛物线的解析式为 y2x28x+6 （2）设动点 P 的坐标为（n，n+2） ，则 C 点的坐标为（n，2n28n+6） ， PC（n+2）（2n28n+6） ， 2n2+9n4， 2（n）2+， PC0， 当 n时，线段 PC 最大且为 （3）PAC 为直角三角形， i）若点 P 为直角顶点，则APC90 由题意易知，PCy 轴，AP
35、C45，因此这种情形不存在； ii）若点 A 为直角顶点，则PAC90 如答图 31，过点 A（，）作 ANx 轴于点 N，则 ON，AN 过点 A 作 AM直线 AB，交 x 轴于点 M，则由题意易知，AMN 为等腰直角三角形， MNAN，OMON+MN+3， M（3，0） 设直线 AM 的解析式为：ykx+b， 则：，解得， 直线 AM 的解析式为：yx+3 又抛物线的解析式为：y2x28x+6 联立式，解得：x3 或 x（与点 A 重合，舍去） C（3，0） ，即点 C、M 点重合 当 x3 时，yx+25， P1（3，5） ； iii）若点 C 为直角顶点，则ACP90 y2x28x+
36、62（x2）22， 抛物线的对称轴为直线 x2 如答图 32，作点 A（，）关于对称轴 x2 的对称点 C， 则点 C 在抛物线上，且 C（，） 当 x时，yx+2 P2（，） 点 P1（3，5） 、P2（，）均在线段 AB 上， 综上所述，PAC 为直角三角形时，点 P 的坐标为（3，5）或（，） 【点评】此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图 象交点坐标的求法等知识 23 （12 分）如图，AB、AC 为O 的弦，连接 CO、BO 并延长分别交弦 AB、AC 于点 E、F，BC 求证：CEBF 【分析】因为 OB，OC 是O 的半径，所以 OBO
37、C，又因为BC，BOECOF，易证EOB FOC，则可求证 CEBF 【解答】证明：OB，OC 是O 的半径， OBOC 又BC，BOECOF， EOBFOC（ASA） OEOF CEOC+OE，BFOB+OF， CEBF 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、 HL注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边 一角对应相等时，角必须是两边的夹角 24 （12 分）在平面直角坐标系中，已知 A（3，0） ，B（0，3） ，点 C 为 x 轴正半轴上一动点，过点 A 作 ADBC 交
38、y 轴于点 E （1）如图，若点 C 的坐标为（2，0） ，试求点 E 的坐标； （2）如图，若点 C 在 x 正半轴上运动，且 OC3，其它条件不变，连接 OD，求证：OD 平分ADC； （3）若点 C 在 x 轴正半轴上运动，当 ADCDOC 时，求OCD 的度数 【分析】 （1）证明AOEBOC（ASA） ，可得结论 （2）如图，过点 O 作 OMAD 于点 M，作 ONBC 于点 N，证明 OMON，可得结论 （3）如图所示，在 DA 上截取 DPDC，连接 OP，证明OPDOCD（SAS） ，可得结论 【解答】 （1）解：如图， ADBC，BOAO， AOEBDE90， 又AEOBE
39、D， OAEOBC， A（3，0） ，B（0，3） ， OAOB3， 在AOE 和BOC 中， ， AOEBOC（ASA） ， OEOC， 又点 C 的坐标为（2，0） ， OC2OE， 点 E 的坐标为（0，2） （2）证明：如图，过点 O 作 OMAD 于点 M，作 ONBC 于点 N， AOEBOC， SAOESBOC，且 AEBC， OMAE，ONBC， OMON， OD 平分ADC （3）解：如图所示，在 DA 上截取 DPDC，连接 OP， PDOCDO，ODOD， 在OPD 和OCD 中， ， OPDOCD（SAS） ， OCOP，OPDOCD， ADCDOC， ADDPOP，即 APOP， PAOPOA， OPDPAO+POA2PAOOCB， 又PAO+OCD90， 3PAO90， PAO30， OCD60 【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理等知识，解题 的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型
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