1、 1 高三年级试题 数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1已知集合 2 |60Ax xx， 2 |log (2)1Bxx，则()AB R A( 2,3) B(2,3) C3,4) D( ,23,) 2若纯虚数z
2、满足()i2izm(其中i为虚数单位，m为实数)，则m A2 B1 C1 D2 3 25 2 ()x x 展开式中含 4 x项的系数是 A40 B10 C40 D10 4已知函数 ln , 01, ( ) 2 (1),1, xx f x f xx 则 7 ( ) 2 f A16ln2 B16ln2 C8ln2 D32ln2 5已知 a 与 b 均为单位向量，若 b(2ab)，则 a 与 b 的夹角为 A30 B45 C60 D120 6函数 2sin yxx的大致图象为 A B C D 7对于数据组( ,) ii x y(1,2,3,in)，如果由线性回归方程得到的对应于自变量 i x的估计值
3、是 i y，那么 将 ii yy称为相应于点( ,) ii x y的残差某工厂为研究某种产品产量x(吨)与所需某种原材料y(吨)的相 关性，在生产过程中收集 4 组对应数据( , )x y如下表所示： 2 x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 m 根据表中数据， 得出y关于x的线性回归方程为0.7yxa， 据此计算出样本(4,3)处的残差为0.15， 则表中m的值为_210084 A3.3 B4.5 C5 D5.5 8已知F是双曲线 22 22 1 yx ab 的左焦点，圆 2222 :O xyab与双曲线在第一象限的交点为P，若PF 的中点在双曲线的渐近线上，则此双曲线的离心率是 A5 B
4、2 C 3 D 5 2 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分。 9已知，是两个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，则下列命题中正确的是 A若m，n，则mn B若，m，n，则mn C若l，m，m，则ml D若l，m，ml，则m 10已知某校有 1200 名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成-s a ;k f绩X近似服从正态分布(100 225)N，则 下列说法正确的有 （参考数据： ()0.6827PX ； (22 )0.9545PX ； 330 9(). 97
5、3PX ） A这次考试成绩超过 100 分的约有 500 人 B这次考试分数低于 70 分的约有 27人 C (115130)0.0514PX D从中任取 3 名同学，至少有 2 人的分数超过 100 分的概率为 1 2 11已知函数 ( )sin(2) 4 f xx与( )cos(2) 4 g xx ，则下列结论正确的是 A ( )g x的图象可由( )f x的图象向左平移 2 个单位长度得到 B ( )f x的图象与( )g x的图象相邻的两个交点间的距离为 C ( )g( )f xx 图象的一条对称轴为 2 x 2+8 2 3 D ( ) g( )f xx 在区间(,) 4 2 上单调递
6、增 _84 12数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，心形曲线 C： 22 | |1xyx y就是其中之一，则下列结论 中正确的是 A曲线 C 关于 y 轴对称 B曲线 C 恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点） C曲线 C 上存在到原点的距离超过2的点 D曲线 C 所围成的区域的面积大于 3 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13已知tan()2， 1 tan() 2 ， (0,) 2 ，则tan的值为 14已知抛物线 C 的焦点为 F， 过 F 的直线与抛物线 C 交于 A， B 两点， 若 11 2 AFBF ， 则符合条件的抛 物线 C 的一个方程
7、为 15若数列 n a 对任意正整数n，有 n mn aa q (其中 * mN，q为常数， 0q 且 1q )，则称数列 n a 是 以m为周期， 以q为周期公比的类周期性等比数列 已知类周期性等比数列 n b 的前 4 项为 1， 1， 2， 3，周期为 4，周期公比为 3，则数列 n b 前 21 项的和为 16已知球的直径4AB ，C，D是球面上的两点，且2CD ，若ABCABD，则三棱锥ABCD 的体积的最大值是_ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （本小题满分 10 分） 在平面四边形ABCD中，8AB ，14AC ， 5
8、cos 7 BAC，内角B与D互补，若AC平分BAD， 求CD的长 4 18 （本小题满分 12 分） 已知数列 n a 的前 n 项和为 n S，且1 nn aS，n N，数列 n b 满足 2 log nn ba （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 22 1 nn n nn ab c b b ，数列 n c 的前n项和为 n T，求证： 1 4 n T 19 （本小题满分 12 分） 天文学上用星等表示星体亮度，星等的数值越小，星体越亮视星等是指观测者用肉眼所看到的星体 亮度；绝对星等是假定把恒星放在距地球32.6光年的地方测得的恒星的亮度，反映恒星的真实发光本领 下表列出了（除太
9、阳外）视星等数值最小的 10 颗最亮恒星的相关数据，其中0,1.3a. 星名 天 狼 星 老 人 星 南 门 二 大 角 星 织 女 一 五 车 二 参 宿 七 南 河 三 水 委 一 参 宿 四 * 视 星 等 1.47 0.72 0.27 0.04 0.03 0.08 0.12 0.38 0.46 a 绝对 星等 1.42 5.53 4.4 0.38 0.6 0.1 6.98 2.67 2.78 5.85 赤纬 16.7 52.7 60.8 19.2 38.8 46 8.2 5.2 57.2 7.4 （1）从表中随机选择一颗恒星，求它的绝对星等的数值小于视星等的数值的概率； （2）已知徐州
10、的纬度是北纬34，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于56时，能在徐州的夜空中 看到它现从这10颗恒星中随机选择4颗，记其中能在徐州的夜空中看到的数量为X颗，求X的分布列 和数学期望； （3）记0a 时10颗恒星的视星等的方差为 2 1 s，记1.3a 时10颗恒星的视星等的方差为 2 2 s，直接写出 2 1 s与 2 2 s之间的大小关系 5 20 （本小题满分 12 分） 如图，已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2，E是 1 DD的中点设平面 11 ABB A与平面 1 ACE的交 线为 l （1）求证：/l平面ACE； （2）求二面角 1 BCAE的大小 21 （本小题满
11、分 12 分） 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E： 22 22 1 xy ab (0)ab的四个顶点围成的四边形的面积为 4 3，左、右焦点分别为 1 F， 2 F，且 12 2FF . （1）求椭圆E的标准方程； （2）过 2 F的直线l与椭圆E相交于A B,两点， 1 ABF的内切圆C的面积是否存在最大值？若存在， 求出这个最大值及直线l的方程，若不存在，请说明理由 22 （本小题满分 12 分） 已知函数 2 1 ( )ln(1)() 2 a f xxxa x R （1）当1a 时，求曲线 ( )yf x 的过原点的切线方程； （2）当1x 时， 1 1 ( ) ex f x ，求a
12、的取值范围 6 高三年级数学试题参考答案及评分标准 一、选择题： 1C 2B 3A 4C 5D 6D 7B 8A 二、选择题： 9AC 10BD 11BCD 12ABD 三、填空题： 13 1 3 14满足焦准距为 1 即可，如 2 2yx 151090 16 4 3 3 四、解答题： 17在ABC中，由余弦定理得， 22 2cosBCABACAB ACBAC 22 5 8142 8 1410 7 ，2 分 由 5 cos 7 BAC可得， 22 52 6 sin1 cos1 ( ) 77 BACBAC， 由正弦定理得， 142 62 6 sinsin 1075 AC BBAC BC ，6 分
13、 又内角B与D互补，所以 2 6 sinsin 5 DB， 因为AC平分BAD，所以 2 6 sinsin 7 DACBAC， 所以由正弦定理得， 142 6 sin10 sin72 6 5 AC CDDAC D 10 分 18 （1）因为 1 nn aS，所以当1n 时有， 1 21a ，即 1 1 2 a ， 当2n时有， 11 1 nn aS ，所以 11 0 nnnn aaSS ，即 1 1 2 nn aa ， 所以 n a是首项为 1 1 2 a ，公比为 1 2 的等比数列， 所以 1 111 ( )( ) 222 nn n a 4 分 （2）由 2 log nn ba 得， 2
14、1 log ( ) 2 n n bn ，又 22 1 nn n nn ab c b b ， 所以 21 2111 (1) 222(1) 2 n nnn n c n nnn ，8 分 所以 123nn Tcccc 1223341 111111111111 ()()() 2 1 22 22 2 23 22 3 24 222(1) 2 nn nn 112 11111 2 1 2(1)24(1) 2 nn nn ，10 分 由n N可知， 2 1 0 (1) 2nn ，所以 1 4 n T 12 分 19 （1）设一颗星的绝对星等的数值小于视星等的数值为事件A. 由图表可知，10颗恒星有5颗恒星绝对星
15、等的数值小于视星等的数值. 7 所以 51 ( ) 102 P A 3 分 （2）由图表知，有8颗恒星的“赤纬”数值大于56，有2颗恒星的“赤纬”数值小于56. 所以随 机变量X的所有可能取值为：2,3,4.4 分 22 82 4 10 CC2814 (2) C210105 P X ， 31 82 4 10 CC11256 (3) C210105 P X ， 40 82 4 10 CC701 (4) C2103 P X . 7 分 所以随机变量X的分布列为： 所以 1456133616 ()234 10510531055 E X .10 分 （3） 22 12 ss. 12 分 20 （1）在
16、正方体 1111 ABCDABC D中，平面 11/ CDDC平面 11 ABB A， 又因为平面 11 ABB A平面 1 ACEl，平面 11 CDDC平面 1 ACECE， 所以/lCE， 2 分 又因为l 平面ACE，CE 平面ACE，所以/l平面ACE4 分 （2）以A为坐标原点，分别以AB，AD， 1 AA所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 则(0,0,0)A，(2,0,0)B，(2,2,0)C， 1(0,0,2) A，(0,2,0)D，(0,2,1)E 设平面 1 BCA的法向量为 1111 (,)x y zn，由已知得， 1 (2,0, 2)AB ， 1 (2,2
17、2)AC ， -， 由 11 11 0 0 AB AC ， ， n n 得 11 111 220 2220. xz xyz ， 不妨取 1 1x ，则 11 01yz， 从而平面 1 BCA的一个法向量为 1 (1,0,1)n6 分 设平面 1 ACE的法向量为 2222 (,)xyzn，( 2,0,1)CE ， 由 21 2 0 0 AC CE ， ， n n 得 22 222 20 2220. xz xyz ， 不妨取 2 1z ，则 22 11 22 xy， 所以平面 1 ACE的一个法向量为 2 1 1 ( ,1) 2 2 n8 分 则 12 12 12 1 +1 3 2 cos, |
18、23 2 2 nn n n nn ， 又因为 12 ,0,n n，所以 12 , 6 n n，10 分 由图形可知，二面角 1 BCAE的大小为 5 6 12 分 X 2 3 4 P 14 105 56 105 1 3 A B C D E A1 B1 C1 D1 y x z l x y F2 A B O F1 8 21 （1）依题意有 222 1 224 3, 2 22, , ab c abc 解得 2, 3, a b 所以椭圆E的标准方程是 22 1 43 xy 4 分 （2）如图，设 1 ABF内切圆C的半径为r，则 1 ABF的面积 1 11 1 (|) 2 | ABF SABAFBFr
19、 1212 1(| |)(| | |)24 2 AFAFBFBFrarr ， 当 1 ABF S 最大时，r也最大， 1 ABF 内切圆的面积也最大6 分 设直线l的方程为 1xmy ，由 22 1, 1 43 xmy xy 得 22 (34)690mymy ， 设 112212 (,), (,)0,0(A x yB xyyy，则可解得 22 12 22 361361 , 3434 mmmm yy mm ，8 分 1 12122121 11 | 22 | ABF SFFyFFyyy 2 2 121 34 m m ，10 分 令 2 1tm ，则1t，且 22 1mt，则有 1 2 1212 1
20、 3(1)4 3 ABF t S t t t ， 令 1 ( )3f tt t ，则 2 1 ( )3f t t ，当1t时， ( )0f t ， ( )f t在1,)上单调递增， 有 (4)1)ff t， 1 12 3 4 ABF S ，即当1,0tm时，4r有最大值3，得 max 3 4 r， 此时所求内切圆的面积为 9 16 ，所以存在直线:1l x ，使得 1 ABF 的内切圆C的面积最大值为 9 16 .12 分 22 （1）当1a 时， 2 11 ( )ln(1) 2 f xxx x ， 3 22 111 ( ) x fxx xx x x ， 设切点为 00 (,()xf x，则切
21、线方程为 3 00 00 2 0 1( )() xx yxxf x x ， 代入原点坐标，得 3 200 000 2 00 111 0()ln(1) 2 x xx x x xx ， 即 2 00 0 213 ln0 22 xx x 3 分 令 2 213 ( )ln 22 g xxx x ，0 x ， 3 22 122 ( )0 xx g xx xxx ， 所以( )g x是(0,)上的减函数，又(1)0g， 所以方程 2 00 0 213 ln0 22 xx x 有唯一根 0 1x ， 9 因此曲线( )yf x的过原点的切线方程为yx5 分 （2）设 1 ( )exu xx ，(1,)x，
22、则 1 ( )e10 x u x ， 所以( )u x在(1,)单调递增，所以( )(1)0u xu， 令 1 11 11e ( ) ee x xx x h x xx ，(1,)x，则( )0h x 7 分 令 2 ( )(1)ln 2 a xxx，(1,)x，则 2 11 ( ) ax xax xx ， 当0a时，( )0 x，所以( )x在(1,)单调递减，所以( )(1)0 x， 此时， 2 1 11 0(1)ln e2 x a xx x ，不符合题意；8 分 当01a时，( )x在 1 (1,) a 上单调减，在 1 (,) a 上单调增， 所以在区间 1 (1,) a 上有( )(1)0 x，不符合题意；9 分 当1a时，设 2 1 11 ( )(1)ln 2ex a F xxx x ，由( )0h x 可知， 1 11 exx ， 所以 2 2122 11121(1)(1) ( )0 ex xx F xaxx xxxx x x ， 所以( )F x在(1,)上单调递增， 又(1)0F，所以1x 时，( )0F x ，即 1 1 ( ) ex f x 故a的取值范围为1,)12 分
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