1、湖湘名校教育联合体湖湘名校教育联合体 2021 届高三入学摸底考试届高三入学摸底考试 高三数学高三数学 一一 单项选择题：本题共单项选择题：本题共 8 小题小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集 13UABxx ，23 U ABxx ，则集合B ( ) A. 12xx B. 12xx C. 23xx D. 23xx 【答案】B 【解析】 【分析】 根据全集、并集、交集的定义直接求解即可 【详解】因为UAB， 所以()12 UU BABxx 痧. 故选：B 2. 设复数1zi ，则 3 z ( ) A 22i B
2、. 22i C. 2 2i D. 22i 【答案】C 【解析】 【分析】 利用复数的乘法法则可化简得出 3 z . 【详解】 32 3 1112122ziiiiii ， 故选：C. 3. 以长方体的顶点为顶点的三棱锥共有( )个 A. 70 B. 64 C. 60 D. 58 【答案】D 【解析】 【分析】 根据组合的定义，结合组合数的计算公式、长方体的性质进行求解即可. 【详解】三棱锥有 4 个顶点，从长方体 8 个顶点中任取 4 个点共有 4 8 8 7 6 5 C70 4 3 2 1 种取法，排除其中 四点共面的有：长方体的面 6个，对角面 6 个， 可得不同的三棱锥有70 1258个.
3、 故选：D. 4. 为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的 废气经过过滤后排放， 过滤过程中废气的污染物数量mg/LP与时间 ht的关系为 0 kt PPe.如果在前 5 个小时消除了 10%的污染物，那么污染物减少 27%需要花的时间约为( ) A. 13 小时 B. 15 小时 C. 17 小时 D. 19 小时 【答案】B 【解析】 【分析】 先由题中条件，求出 ln0.9 5 k ，根据污染物减少 27%，列出等式求解，即可得出结果. 【详解】由已知5th时， 00 1 10%90%PPP，故 5 00 90% k PPe，解得 ln
4、0.9 5 k ； 污染物减少 27%，即 3 0000 1 27%73%0.7290.9PPPPP， 由 ln0.9 3ln0.9 55 5 0000 0.90.9 t t t PPeP eP ，所以 3 5 0.90.9 t ，则15th. 故选：B. 5. 已知tan2，则sin sin 44 ( ) A. 3 10 B. 3 10 C. 3 5 - D. 3 5 【答案】B 【解析】 【分析】 利用两角和与差的正弦公式、同角三角函数的基本关系式化简所求表达式，由此求得所求表达式的值. 【详解】sinsinsincoscossinsincoscossin 444444 22 22 22
5、11sincos sincos 22sincos 2 2 1tan114 13 2tan124 110 . 故选：B 6. 大摆锤是一种大型游乐设备(如图)，游客坐在圆形的座舱中，面向外，通常大摆锤以压肩作为安全束缚， 配以安全带作为二次保险， 座舱旋转的同时， 悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动.假设小明坐在点A 处，“大摆锤”启动后，主轴OB在平面内绕点O左右摆动，平面与水平地面垂直，OB摆动的过程中， 点A在平面内绕点B作圆周运动，并且始终保持OB，B.设4OBAB，在“大摆锤”启动后， 下列结论错误的是( ) A. 点A在某个定球面上运动； B. 与水平地面所成锐角记为，直线OB与
6、水平地面所成角记为，则为定值； C. 可能在某个时刻，AB/； D. 直线OA与平面所成角的正弦值的最大值为 17 17 . 【答案】C 【解析】 【分析】 利用已知条件确定OA是定值，即得 A 选项正确；作模型的简图，即得 B 正确；依题意点 B在平面内， 不可能AB/，得 C错误；设ABa=，结合题意知AB时，直线OA与平面所成角最大，计算此时 正弦值，即得 D正确. 【详解】因为点A在平面内绕点B作圆周运动，并且始终保持OB，所 22 OAOBAB ， 又因为OB，AB为定值，所以OA也是定值，所以点A在某个定球面上运动，故 A 正确； 作出简图如下，OBl，所以 2 ，故 B 正确；
7、因为B，所以不可能有AB/，故 C不正确； 设ABa=，则4OBa， 22 17OAABOBa ，当AB时，直线OA与平面所成角最大，此 时直线OA与平面所成角的正弦值为 17 1717 a a ，故 D 正确. 故选:C. 【点睛】本题解题关键在于认真读题、通过直观想象，以实际问题为背景构建立体几何关系，再运用立体 几何知识突破难点. 7. 已知点P是边长为 1 的正方形ABCD所在平面上一点，满足 ()0PAPBPCPD，则|PD的最小 值是( ) A. 52 3 B. 21 3 C. 52 2 D. 21 2 【答案】A 【解析】 【分析】 建立直角坐标系，设,P x y，根据题中的式子
8、列出方程，由P点的几何意义即可求得|PD的最小值. 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则0,0A，10B ,，1,1C，0,1D， 设,P x y，则,PAxy ，1,PBxy， 1,1PCxy，,123 ,23PDxyPBPCPDxy ， 由题意知： 2 32 30 xxyy ， 即 2 22 112 333 xy ， 点P在以 1 1 , 3 3 M 为圆心，半径为 2 3 r 的圆上， 又PD表示圆上的点到P的距离， 22 min 12252 3333 PDDMr . 故选 A. 【点睛】关键点点睛：解答本题关键是数形结合，利用P点的几何意义进行解答. 8. 已知函数 2 2,2
9、 2,2 x x f x xx 若函数 2yf xfxmmR恰有 2个零点，则m的取 值范围是( ) A. 2, B. 7 ,2 4 C. 0,2 D. ,2 【答案】A 【解析】 【分析】 求得函数 2yf xfx的解析式，画出 2yf xfx的图象，由此求得m的取值范围. 【详解】由 2 2,2 2,2 x x f x xx 得 2 ,0 2 ,0 xx fx xx ， 所以 2 2 2,0 22, 02 34,2 xxx yf xfxx xxx ， 所以函数 2yf xfxm恰有2个零点等价于函数y m 与函数 2yf xfx图象有2 个公共点，由图象可知2m. 故选：A 二二 多项选择
10、题：本题共多项选择题：本题共 4 小题小题.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知圆O的半径为定长r，A是圆O所在平面内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线 l和直线OP相交于点Q.当点P在圆上运动时，下列判断正确的是( ) A. 当点A在圆O内(不与圆心重合)时，点Q的轨迹是椭圆； B. 点Q的轨迹可能是一个定点； C. 当点A在圆O外时，点Q的轨迹是双曲线的一支； D. 点Q的轨迹不可能是抛物线. 【答案】ABD 【解析】 【分析】 如图 1，连接QA，由已知得| | |QAQP 结合椭圆的定义，判断A的正误；如图 2，当
11、点A在圆上时，点 Q与圆心重合，轨迹为定点；判断B的正误；如图 3，连接QA，由已知得| |QAQP 结合双曲线的定义 判断C的正误；由于当点A与圆心O重合时，点Q的轨迹为圆，说明点Q的轨迹判断D的正误即可 【详解】解：对 A，如图 1，连接QA，由已知得QAQP.所以QOQAQOQPOPr.又 因为点A在圆内，所以OAOP，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆. 图 1 图 2 图 3 对 B，如图 2，当点A在圆上时，点Q与圆心重合，轨迹为定点； 对 C，如图 3，连接QA，由已知得QAQP.所以QAQOQPQOOPr.又因为点A在圆 外，所以OAOP，根据双曲线的
12、定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为实轴长的双曲线. 对 D，由于当点A与圆心O重合时，点Q的轨迹为圆，综合 A，B，C 可知点Q的轨迹不可能为抛物线. 故选：ABD. 10. 2020年 3 月 15日，某市物价部门对 5 家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场的售价 x(元)和销售量y(件)之间的一组数据如表所示： 价格x 9 9.5 10 10.5 11 销售量y 11 10 8 6 5 按公式计算，y与x的回归直线方程是： 3.2yxa ，相关系数0.986r ，则下列说法正确的有( ) A. 变量x，y线性负相关且相关性较强； B. 40a $ ； C. 当8.5x
13、时，y的估计值为 12.8； D. 相应于点10.5,6的残差约为 0.4. 【答案】ABC 【解析】 【分析】 根据相关性、相关系数判断 A 选项的正确性.利用样本中心点判断 B 选项的正确性.将8.5x 代入回归直线 方程，由此判断 C 选项的正确性.求得10.5x 时y的估计值，进而求得对应的残差，从而判断 D 选项的正 确性. 【详解】对 A，由表可知y随x增大而减少，可认为变量x，y线性负相关，且由相关系数0.986r 可知 相关性强，故 A正确. 对 B，价格平均 1 99.5 10 10.5 1110 5 x ，销售量 1 11 108658 5 y . 故回归直线恒过定点10,
14、8，故8 3.2 1040aa ，故 B正确. 对 C，当8.5x 时， 3.2 8.54012.8y ，故 C正确. 对 D，相应于点10.5,6的残差63.2 10.5400.4e ，故 D 不正确. 故选：ABC 11. 已知函数 sincosf xx x的最小正周期为，则下列判断正确的有( ) A. 将函数2sin2yx图像向左平移 4 个单位得到函数 f x的图像 B. 函数 f x在区间 5 , 88 单调递减 C. 函数 f x的图像关于点 ,0 8 对称 D. 函数 f x取得最大值时x的取值集合 8 x xkkZ ， 【答案】BCD 【解析】 【分析】 先求出( )2sin(
15、2) 4 f xx ，根据解析式即可判断 A；令222 242 kxkkZ 求出单 调递减区间即可判断 B；计算() 8 f 即可判断 C；求出最大值对应的x集合即可判断 D. 【详解】 2 ( )2sin(),2 4 f xxT ，( )2sin(2) 4 f xx ， 对于 A，( )2sin(2)2sin2() 48 f xxx ，故函数( )f x的图象可由函数2sin2yx的图象 向左平移 8 个单位得到，故 A 错误； 对于 B，令222 242 kxkkZ ，则 5 88 kxkkZ ， 8 5 , 8 , 8 5 8 kk ，故 f x在区间 5 , 88 单调递减，故 B正确
16、； 对于 C，()2sin()0 844 f ，故函数 f x的图像关于点,0 8 对称，故 C 正确； 对于 D，当22 42 xkkZ ，即 8 xkkZ 时， f x取得最大值，故 D 正确. 故选：BCD. 12. 下列说法正确的是( ) A. 若0ab，则“1ab ”是“ 22 loglog2ab ”的充要条件； B. Nn ， 32 23 nn nn ； C. 0, 4 x ， 2 2 sin2 1 x x x ； D. ABC中，若C为钝角，则cos sincos cosAB. 【答案】BD 【解析】 【分析】 利用基本不等式可知 A 中充分性成立，利用反例可知 A 中必要性不成
17、立； 设 ln 3 x f xx x ，利用导数求得函数单调性，化简得到 32 ln2ln3 nn nn ，进而得到 B 中结论； 设 2 22 01 1 1 x f xx x x x ，利用对号函数性质可知 f x单调性，结合0tan1xx可化简 得到 C错误； 利用 2 AB 可得sincosAB，结合 cosf xx在0,上的单调性可确定 D 正确. 【详解】对于 A，若1ab，则 2 1 24 ab ab (当且仅当ab时取等号)， 又0ab， 1 0 4 ab ， 2222 1 loglogloglog2 4 abab ，充分性成立； 222 logloglog2abab ， 1 0
18、 4 ab ， 若 1 8 a ， 1 4 b ，则1a b ，必要性不成立，A 错误； 对于 B，设 ln 3 x f xx x ，则 2 1 ln 0 x fx x ， f x在3,上单调递减， ln2ln3 23 nn nn ，则3 ln22 ln3nnnn， 即 32 ln2ln3 nn nn ， * nN ， 32 23 nn nn ，B正确； 对于 C，设 2 22 01 1 1 x f xx x x x ，则 f x单调递增. 设 tan0 4 g xxxx ，则 2 2 1 1tan0 cos gxx x ， g x在0, 4 上单调递减， 00g xg，即tanxx， 当0,
19、 4 x 时，0tan1xx， tanf xfx， 又 2 2tan tansin2 1tan x fxx x ， 2 2 sin2 1 x x x ， 0, 4 x ， 2 2 sin2 1 x x x ，C错误； 对于 D，C钝角， 2 AB ，即 2 AB ，sinsincos1 2 ABB ， 又 cosf xx在0,上单调递减，cos sincos cosAB，D 正确. 故选：BD. 【点睛】思路点睛：本题考查不等关系的判断，涉及到基本不等式的应用、利用导数求解函数的单调性、 对号函数和三角函数性质等知识；解题基本思路是能够结合选项构造出不同函数，利用函数单调性，根据 自变量的大小
20、关系确定函数值的大小关系，进而整理得到结论. 三三 填空题：本题共填空题：本题共 4 小题小题. 13. 在 6 1 ()x x 的展开式中的常数项为_. 【答案】20 【解析】 【分析】 写出通项公式，给 r 赋值即可得出 【详解】 6 1 ()x x 的通项公式为：Tr+1 6 6 1 () rrr x x (-1)r 6 r x62r 令 62r0 解得r3， (-1) 33 6 20，所以常数项为-20 故答案为-20 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，写出通项是关键，属于基础题 14. 在四面体SABC中，SA平面ABC，120BAC，2SA ，7BC ，则该四面体的外接 球的表面
21、积为_. 【答案】 40 3 【解析】 【分析】 在ABC中，利用正弦定理，求得外接圆直径为 2 7 2 3 r ，再结合球的性质，求得球的半径，进而求得 外接球的表面积，得到答案. 【详解】在ABC中，因为120BAC，7BC ， 可得ABC的外圆球直径为 72 7 2 sin33 2 BC r BAC ， 又由球的性质，可得 2 22 2 2 740 224 33 RrSA ， 所以球的表面积为 2 40 =4 3 SR 球表 . 故答案为： 40 3 . 【点睛】运用公式 222 Rrd(r为底面多边形的外接圆的半径，R为几何体的外接球的半径，d表示球 心到底面的距离)求得球的半径，该公
22、式是求解球的半径的常用公式，该方法的实质是通过寻找外接球的一 个轴截面，把立体几何问题转化为平面几何问题来研究. 15. 设双曲线C： 22 22 1 yx ab 0,0ab的中心为O，上下焦点分别为 1 F， 2 F，过 1 F作以实轴为直径 的圆的切线，切点为T，与C的一条渐近线交于x轴下方的点P.若 2 /F P OT，则C的离心率为_. 【答案】2 【解析】 【分析】 由条件有 21 F PFP，在 12 Rt FPF中，斜边上的高为 2ab c ，设 00 ,P x y，即 0 2ab x c ，由渐近线的斜 率为 a k b 且OPc，由点P在渐近线上，则 00 a yx b ，得
23、出 0 xb，从而有 2ab b c ，得到答案. 【详解】如图，易知 1 OTFP， 22 1 FTcab， 221 / /F POTF PFP， 可知 12 1 2 FOcFP ，且 12 Rt FPF中，斜边上的高为 2ab c ， 设 00 ,P x y，即 0 2ab x c . 由渐近线的斜率为 a k b 且OPc， ， 由点P在渐近线上，则 00 a yx b 所以 2 2 2222 000 2 1 a OPxyxc b ，即 2 22 0 2 c xc b ，所以 0 xb 故 2 2 abc be ca . 故答案为：2 【点睛】 关键点睛：本题考查求双曲线的离心率问题，解
24、答本题的关键是先根据条件分析出 21 F PFP，由等面积 法求出 12 Rt FPF中，斜边上的高为 2ab c ，再根据点P在渐近线上，则 00 a yx b 得到 2ab b c ，属于中 档题. 16. 九连环是中国的一种古老智力游戏，它环环相扣，趣味无穷.长期以来，这个益智游戏是数学家及现代 电子计算机专家们用于教学研究的课题和例子.中国的末代皇帝溥仪(19061967)也曾有一个精美的由九个 翡翠缳相连的银制的九连环(如图).现假设有n个圆环，用 n a表示按某种规则解下n个圆环所需的最小移动 次数.已知数列 n a满足下列条件： 1 1a ， 2 2a ， 1 2 2n nn a
25、a 3,nnN ， 记 n a的前项和为 n S， 则：(1) 9 a _；(2) 100 S_. 【答案】 (1). 341 (2). 102 2154 3 . 【解析】 【分析】 分n为偶数和n为奇数两种情况，由题中条件，利用叠加法，由等比数列的求和公式，求出数列的通项，即 可求出 9 a；再由分组求和的方法，即可求出 100 S. 【详解】(1)当n为偶数时， 1131351353 2462 2222222222 nnnnnnnnn nnnn aaaaa 13531 2 2 1 2 1 2222222 1 23 n nnnn ； 当n为奇数时， 1131351352 2461 22222
26、22222 nnnnnnnnn nnnn aaaaa 1 13521 2 1 21 2222121 1 23 n nnnn 9 1 9 1 21341 3 a (2) 100139924100 Saaaaaa 2410035101 11 212121222222 33 102 2345100101 112154 222222150 333 . 故答案为：341； 102 2154 3 . 【点睛】关键点点睛： 求解本题的关键在于根据题中条件， 讨论n为奇数和n为偶数两种情况， 利用叠加法(累加法)求出数列的通 项即可；在求数列的和时，可利用分组求和的方法求解. 四四 解答题：本题共解答题：本题
27、共 6 小题小题.解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. 17. 在AD是BC边上的高，且6 3AD BC ，AD平分BAC，且 12 3 7 AD ，AD是BC边 上的中线，且 37 2 AD 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求出边BC的长 问题：在锐角ABC中，已知4AB ，3AC ，D是边BC上一点，_，求边BC的长 注：注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【答案】13BC . 【解析】 【分析】 根据三角形的面积公式与余弦定理求解即可得答案. 【详解】方案一：选条件： 由面积关系得： 113 sinsin 2223 ABAC
28、BACBCADBACBAC 在ABC中，由余弦定理得 2 9 162 4 3 cos6013BC ， 所以13BC 方案二：选条件： 设BAC，则 2 BADDAC ，由面积关系得： 1112 3112 33 3 4 sin3sin4sincos 2272272223 在ABC中，由余弦定理得 2 9 162 4 3 cos13 3 BC ， 所以13BC 方案三：选条件： 设BDCDa ，分别在ABC与ACD 中由余弦定理得： 2 2 37 9 9416 4 coscos 2 32 3 2 a a DCABCA aa ， 13 2 a ， 13BC 【点睛】本题考查三角形面积公式与余弦定理解
29、三角形，考查运算能力，是基础题. 18. 设等比数列 n a的前n项和为 n S，已知 3 3 2 a ， 3 9 2 S . (1)求公比q； (2)若mn时， mn aa.求数列 1 6 n na 的前n项和 n T. 【答案】(1)1q 或 1 2 ；(2) 11 464 92 n n . 【解析】 【分析】 (1)根据题设条件可得关于q的方程组，解方程组后可得q的值. (2)利用错位相减法可求 n T. 【详解】(1)由 2 21 2 2 2 1 3 1 2 3210 9 1 2 a q qq qq q aqq ，1q 或 1 2 . (2)易知数列非常数列，由(1)知 1 1 6 2
30、 n n a ， 1 11 62 n n nan . 0121 1111 123 2222 n n Tn . 121 11111 121 22222 nn n Tnn . 相减得： 0121 311111 222222 nn n Tn ， 1 1 31112 464 12292 1 2 n nn nn TnTn . 19. “全国文明城市”已成为一块在国内含金量最高综合性最强影响力最大的“金字招牌”.为提升城市管 理水平和区域竞争力，提升市民素养和群众幸福指数，某市决定参与创建“全国文明城市”.为确保创建工作 各项指标顺利完成， 市“创建办”拟通过网络对市民进行一次“文明创建知识”问卷调查(一
31、位市民只参加一次). 通过随机抽样，得到参加调查的 100 人的得分统计如下表： 组别 30,40 40,50 50,60 60,70 70,80 80,90 90,100 频数 1 12 22 25 25 11 4 (1)由频数分布表可以大致认为：此次问卷调查的得分N,198，近似为这 100人得分的均值.求 得分在区间80,94的概率8094P；(注：同一组的数据用该组区间的中点值作代表) (2)在(1)的条件下， 市“创建办”为鼓励市民积极参与创建问卷调查， 制定了如下奖励方案： 得分不低于 的可以获赠 2次随机话费，得分低于的可以获赠 1次随机话费；每次获赠的随机话费和对应的概率如 表
32、所示： 赠送话费的金额(元) 30 50 概率 2 3 1 3 现有市民甲参加此次问卷调查，记 X(单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求 X的分布列与数学期 望. 附：参考数据：35 1 45 12 55 22 65 25 75 25 85 11 95 4 6600 ；19814； 若XN 2 , ，则0.6827PX，220.9545PX. 【答案】(1)0.1359；(2)分布列见解析，55E X . 【解析】 【分析】 (1)根据平均数的计算方法计算出平均数，根据正态分布的知识计算出8094P. (2)利用相互独立事件概率计算公式计算出分布列并求得数学期望. 【详解】(1)根据表
33、格中的数据，可得： 35 145 1255 2265 2575 2585 11 95 46600 66 100100 ， 19814 ， 所以 0.95440.6826 809420.1359 2 PP . (2)由题意，可得 1 2 PP，则获赠话费X的可能取值为 30，50，60，80，100， 121 30 233 P X ， 111 50 236 P X ， 1222 60 2339 P X ， 1211122 80 2332339 P X ， 1111 100 23318 P X ， 则X的分布列为： X 30 50 60 80 100 P 1 3 1 6 2 9 2 9 1 18
34、故期望值 11221 3050608010055 369918 E X (元). 20. 如图，三棱柱 111 ABCABC内接于圆柱 1 OO，已知圆柱 1 OO的轴截面为正方形， 1 30 6 ABACOO，点P在轴 1 OO上运动. (1)证明：不论P在何处，总有 1 BCPA； (2)当点P为 1 OO的中点时，求平面 1 APB与平面 11 BCC B所成的锐二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 55 11 . 【解析】 【分析】 (1)连接AO并延长， 交BC于M， 交圆柱侧面于N， 连接OB，OC， 根据线面垂直的判定定理， 证明BC 平面 11 AOO A，即可得
35、出结论成立； (2)建立空间直角坐标系，分别求出平面 1 APB与平面 11 BCC B的法向量，根据向量夹角公式，即可求出结 果. 【详解】(1)证明：连接AO并延长，交BC于M，交圆柱侧面于N，连接OB，OC， ABAC，OBOC， AOBC 又圆柱 1 OO中， 1 AA 平面ABC，因为BC 平面ABC，所以 1 AABC， 又 1 AOAAA，AO平面 11 AOO A， 1 AA 平面 11 AOO A， BC平面 11 AOO A， 不论P在何处，总有 1 PA 平面 11 AOO A 所以 1 BCPA； (2)如图，建立空间直角坐标系 1 Oxyz，由(1)知/BC x轴，
36、设 11 OOAAANa，则 30 6 ABACa， 在ABC中， 51 cos 63 AC AMACCAMACaOMa AN 从而 2 2 3055 666 CMBMaaa . 1 1 0,0 2 Aa ， 51 , 63 Baa a ， 1 0,0, 2 Pa 1 11 0, 22 APaa ， 1 55 , 66 ABaa a . 设平面 1 APB的一个法向量为 , ,ux y z r ，则有 11 0 22 55 0 66 ayaz axayaz ， 取2y ，得 2 ,2, 2 5 u ， 而平面 11 BCC B的一个法向量为 0,1,0v ，于是得： 2 255 cos, 11
37、 2 44 5 u v u v u v ， 故所求锐二面角的余弦值为 55 11 . 【点睛】方法点睛： 立体几何体中空间角的求法： (1)定义法：根据空间角(异面直线所成角、线面角、二面角)的定义，通过作辅助线，在几何体中作出空间 角，再解对应三角形，即可得出结果； (2)空间向量的方法：建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量，平面的法向量，通过计算向量夹 角(两直线的方法向量夹角、直线的方向向量与平面的法向量夹角、两平面的法向量夹角)的余弦值，来求 空间角即可. 21. 已知函数 cos0f xx x. (1)求证： 2 1 1 2 f xx ； (2)若 2 x f xaex，求a
38、的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；(2)1,a. 【解析】 【分析】 (1)构造函数 2 1 cos1 2 g xxx ，利用 g x、 gx研究 g x的单调性和最值，由此证得不等式 成立. (2)构造函数 cos2 x xxaex 0 x，由 00得到1a .结合导数证得 2 1 10 2 x xexx ，由此确定a的取值范围. 【详解】(1)设 2 1 cos1 2 g xxx 0 x，则 sing xxx . 由 1 cos0gxx 知 g x 在0,上递增， sin00g xxxg . 从而 2 1 cos1 2 g xxx 0 x是增函数， 00g xg，故原不等式成立. (
39、2) 2 x f xaex cos20 x xaex对 0,x恒成立. 设 cos2 x xxaex 0 x， 一方面，由 0101aa . 另一方面，当1a 时， cos2cos2 xx xxaexxex . 利用(1)中的结论有： 22 11 cos2121 22 xxx xexxexexx . 构造函数 2 1 1 2 x xx h x e 0 x，则 2 0 2 x x h x e . h x递减. 从而 01h xh， 2 1 1 2 x exx， 0 x恒成立. 综上得：1,a. 【点睛】利用导数证明不等式，主要采用构造函数法，利用导数研究所构造函数的单调性和最值，由此证 得不等式
40、成立. 22. 已知抛物线C的顶点在原点O，准线为 1 2 x . (1)求抛物线C的标准方程； (2)点A，B在C上，且OAOB，ODAB，垂足为D，直线OD另交C于E，当四边形OAEB面积 最小时，求直线AB的方程. 【答案】(1) 2 2yx；(2) 331 2 4 yx . 【解析】 【分析】 (1)设抛物线C的标准方程为 2 20ypx p，根据题意，求得1p ，即可求得抛物线C的标准方程； (2)设直线AB的方程为x tym ，根据OAOB，得到 1212 0 x xy y，求得 12 4y y ， 联立方程组，得到 12 2y ym ，求得2m，得出直线AB过定点2,0，再设直线
41、AB的方程为 2yk x，得到直线OD的方程为 1 yx k ，分别联立方程组，取得OE和弦长AB，得出三角形 面积的表达式，结合导数求得函数的最值，即可求解. 【详解】(1)设抛物线C的标准方程为 2 20ypx p， 由抛物线的准线方程为 1 2 x ，可得 1 22 p ，解得1p ， 故抛物线C的标准方程为 2 2yx. (2)先证直线AB过定点2,0. 设直线AB的方程为x tym ， 11 ,A x y， 22 ,B x y， 由OAOB，可得OA OB ，所以 1212 0 x xy y， 可得 22 12 12 0 22 yy y y，解得 12 4y y ， 联立方程组 2
42、2 xtym yx ，整理得 2 220ytym，可得 12 2y ym ， 所以24m，解得2m 故直线AB过定点2,0. 由已知再设直线AB的方程为2yk x，则直线OD的方程为 1 yx k ， 联立方程组 2 1 2 yx k yx ，可得 2 2 1 2xx k ，解得 2 2 D xk，所以 2 2, 2Ekk， 所以 422 4421OEkkkk 联立方程组 2 2 2 yk x yx ，整理得 2 2 40yy k ，所以 12 2 yy k ， 又由 12 4y y ， 所以 2 22 2 1212 222 1122141 14116 kk AByyy y kkkk 所以 2
43、 22 42 22 141 11 22 496 2 OAEB kk SABOEkk kk 设 2 1 496f ttt t 2 0tk ，则 2 22 1 81 1 89 ttt ftt tt ， 由 1 01ftt， 2,3 133 16 t ， 易知 f t在 133 0, 16 递减，在 133 , 16 上递增， 因此 f t在 133 16 t 取最小值，从而面积取得最小值，此时 33 1 4 k ， 故直线AB的方程为 331 4 y 2x. 【点睛】求解圆锥曲线的最值问题的解答策略： 1、若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形，以及几何 性质求解； 2、当题目给出的条件和结论的几何特征不明显， 则可以建立目标函数，再求这个目标函数的最值(或值域)， 常用方法：配方法；基本不等式；单调性法；三角换元法；导数法等，要特别注意自变量的取 值范围.
浙公网安备33030202001339号