1、2021 年湖南省长沙市中考数学学业模拟试卷（二）年湖南省长沙市中考数学学业模拟试卷（二） 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共计分，共计 36 分）分） 1 （3 分）下列四个数中，最大的负数是（ ） A2 B1 C1 D2 2 （3 分）的平方根是（ ） A4 B4 C2 D+2 3 （3 分）用四舍五入法将数 3.14159 精确到千分位的结果是（ ） A3.1 B3.14 C3.142 D3.141 4 （3 分）下列各选项中因式分解正确的是（ ） Ax21（x1）2 Ba32a2+aa2（a2） C2y2+4y2y（y+2） Dm2n2mn+nn（
2、m1）2 5（3 分） 在平面直角坐标系中， 点 G 的坐标是 （2， 1） ， 连接 OG， 将线段 OG 绕原点 O 顺时针旋转 90， 得到对应线段 OG，则点 G的坐标为（ ） A （2，1） B （1，2） C （2，1） D （1，2） 6 （3 分）某校九年级进行了 3 次数学模拟考试，甲、乙、丙、丁 4 名同学 3 次数学成绩的平均分都是 129 分， 方差分别是 s甲 23.6， s 乙 24.6， s 丙 26.3， s 丁 27.3， 则这 4 名同学 3 次数学成绩最稳定的是 （ ） A甲 B乙 C丙 D丁 7 （3 分）若 m2+2m1，则 4m2+8m3 的值是（
3、） A4 B3 C2 D1 8 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，A50，以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧，交 AB 于点 D，连接 CD，则ACD 的度数是（ ） A50 B40 C30 D20 9 （3 分）长沙电视塔位于岳麓山顶峰，其功能集广播电视信号发射与旅游观光于一身某校数学社团的同学 对长沙电视塔的高度进行了测量，如图，他们在 A 处仰望塔顶，测得仰角为 30，再往塔的方向前进 104m 至 B 处，测得仰角为 60，若学生的身高忽略不计，1.7，结果精确到 1m，则该塔的高度 CD 为（ ） A81m B85m C88m D93m 10 （3 分）如图，在ABC
4、 中，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，连接 AE若 BC5，AC 4，则ACE 的周长为（ ） A9 B10 C13 D14 11 （3 分）如图，要拧开一个边长为 a（a6mm）的正六边形，扳手张开的开口 b 至少为（ ） A4mm B6mm C4mm D12mm 12 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 y3x+3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，点 C 的坐标为 （5，0） ，点 P 为坐标平面内一点，CP2，连接 AP、BP，当点 P 运动到某一位置时，BP+AP 有最小 值，则最小值是（ ） A B C5 D 二、填空题（共二、填空题（共 4
5、 小题，每小题小题，每小题 3 分，共计分，共计 12 分）分） 13 （3 分）在一个不透明的盒子中装有 a 个除颜色外完全相同的球，其中只有 6 个白球若每次将球充分 搅匀后， 任意摸出 1 个球记下颜色后再放回盒子， 通过大量重复试验后， 发现摸到白球的频率稳定在 20% 左右，则 a 的值约为 14 （3 分）函数 y的自变量 x 的取值范围 15 （3 分）如图，在正方形 ABCD 中，DE 平分CDB，EFBD 于点 F若 BE，则此正方形的边长 为 16 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线 ykx（k0）分别交反比例函数 y和 y在第一 象限的图象于点 A，B，过点 B
6、 作 BDx 轴于点 D，交 y的图象于点 C，连接 AC若ABC 是等腰 三角形，则 k 的值是 三、解答题（共三、解答题（共 9 小题，第小题，第 17、18、19 题每题题每题 6 分，第分，第 20、21 题每题题每题 8 分，第分，第 22、23 题每题题每题 9 分，第分，第 24、 25 题每题题每题 10 分，共分，共 72 分）分） 17 （6 分）计算：（2）0+|1|+2cos30 18 （6 分）先化简，再求值：，其中 a+2 19 （ 6分 ） 解 不 等 式 组 ：， 并 将 解 集 在 数 轴 上 表 示 出 来 20 （8 分）新学期复学后，学校为了保障学生的出
7、行安全，随机调查了部分学生的上学方式（每位学生从 乘私家车、坐公交、骑车和步行 4 种方式中限选 1 项） ，根据调查数据制作了如图所示的不完整的统计表 和扇形统计图 上学方式统计表 上学方式 人数 乘私家车 42 坐公交 54 骑车 a 步行 b （1）本次学校共调查了 名学生，a ，m ； （2）求扇形统计图中“步行”对应扇形的圆心角； （3）甲、乙两位同学住在同一小区，且都坐公交车上学，有 A、B、C 三路公交车途径该小区和学校， 假设甲、乙两位同学坐这三路公交车是等可能的，请用列表或画树状图的方法求某日甲、乙两位同学坐 同一路公交车到学校的概率 21 （8 分）如图，在ABC 中，BC
8、，过 BC 的中点 D 作 DEAB，DFAC，垂足分别为点 E、F （1）求证：DEDF； （2）若B50，求BAC 的度数 22 （9 分）口味虾是长沙网红美食之一，步行街某口味虾店“五一黄金周”期间，来店内就餐选择微辣和 不辣两种口味虾的游客共 2500 人，其中微辣和不辣两种口味虾的人均消费分别为 80 元和 60 元 （1） “五一”期间，若选择微辣口味虾的人数是不辣口味虾人数的 1.5 倍，求有多少人选择不辣口味虾？ （2）随着“五一”的结束，前来店里就餐的人数逐渐减少，据接下来的第二周统计数据显示，在（1） 的条件下，选择微辣口味虾的人数下降了 a%，选择不辣口味虾的人数不变，但
9、选择微辣口味虾的人均消 费增长了 a%，选择不辣口味虾的人均消费增长了a%，最终销售总额为 18 万元，求 a 的值 23 （9 分）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，D 为 BA 延长线上一点，ACDB （1）求证：DC 为O 的切线； （2）线段 DF 分别交 AC，BC 于点 E，F 且CEF45，O 的半径为 5，sinB，求 CF 的长 24 （10 分）定义：经过三角形一边中点，且平分三角形周长的直线叫做这个三角形在该边上的中分线，其 中落在三角形内部的部分叫做中分线段 （1）如图，ABC 中，ACAB，DE 是ABC 在 BC 边上的中分线段，F 为 AC 中点，过点
10、B 作 DE 的 垂线交 AC 于点 G，垂足为 H，设 ACb，ABc 求证：DFEF； 若 b6c4，试说明 ABAG，并求出 CG 的长度； （2）若题（1）中，SBDHSEGH，求的值 25 （10 分）如图，直线 y2x+4 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，抛物线 yax2+bx+c（a0）经过点 A、 E，点 E 的坐标是（5，3） ，抛物线交 x 轴于另一点 C（6，0） （1）求抛物线的解析式 （2）设抛物线的顶点为 D，连接 BD，AD，CD，动点 P 在 BD 上以每秒 2 个单位长度的速度由点 B 向 点 D 运动， 同时动点 Q 在线段 CA 上以每秒 3 个单
11、位长度的速度由点 C 向点 A 运动， 当其中一个点到达 终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为 t 秒，PQ 交线段 AD 于点 H 当DPHCAD 时，求 t 的值； 过点 H 作 HMBD，垂足为点 M，过点 P 作 PNBD 交线段 AB 或 AD 于点 N在点 P、Q 的运动过 程中，是否存在以点 P，N，H，M 为顶点的四边形是矩形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理 由 2021 年湖南省长沙市中考数学学业模拟试卷（二）年湖南省长沙市中考数学学业模拟试卷（二） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题
12、 3 分，共计分，共计 36 分）分） 1 （3 分）下列四个数中，最大的负数是（ ） A2 B1 C1 D2 【解答】解：21012， 其中最大的负数是1 故选：B 2 （3 分）的平方根是（ ） A4 B4 C2 D+2 【解答】解：4，2， 故选：C 3 （3 分）用四舍五入法将数 3.14159 精确到千分位的结果是（ ） A3.1 B3.14 C3.142 D3.141 【解答】解：3.14159 精确到千分位的结果是 3.142 故选：C 4 （3 分）下列各选项中因式分解正确的是（ ） Ax21（x1）2 Ba32a2+aa2（a2） C2y2+4y2y（y+2） Dm2n2mn
13、+nn（m1）2 【解答】解：A、x21（x+1） （x1） ，故此选项错误； B、a32a2+aa（a1）2，故此选项错误； C、2y2+4y2y（y2） ，故此选项错误； D、m2n2mn+nn（m1）2，正确 故选：D 5（3 分） 在平面直角坐标系中， 点 G 的坐标是 （2， 1） ， 连接 OG， 将线段 OG 绕原点 O 顺时针旋转 90， 得到对应线段 OG，则点 G的坐标为（ ） A （2，1） B （1，2） C （2，1） D （1，2） 【解答】解：如图，观察图象可知 G（1，2） 故选：B 6 （3 分）某校九年级进行了 3 次数学模拟考试，甲、乙、丙、丁 4 名同学
14、 3 次数学成绩的平均分都是 129 分， 方差分别是 s甲 23.6， s 乙 24.6， s 丙 26.3， s 丁 27.3， 则这 4 名同学 3 次数学成绩最稳定的是 （ ） A甲 B乙 C丙 D丁 【解答】解：s甲 23.6，s 乙 24.6，s 丙 26.3，s 丁 27.3，且平均数相等， s甲 2s 乙 2s 丙 2s 丁 2， 这 4 名同学 3 次数学成绩最稳定的是甲， 故选：A 7 （3 分）若 m2+2m1，则 4m2+8m3 的值是（ ） A4 B3 C2 D1 【解答】解：m2+2m1， 4m2+8m3 4（m2+2m）3 413 1 故选：D 8 （3 分）如图
15、，在 RtABC 中，ACB90，A50，以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧，交 AB 于点 D，连接 CD，则ACD 的度数是（ ） A50 B40 C30 D20 【解答】解：在 RtABC 中，ACB90，A50， B40， BCBD， BCDBDC（18040）70， ACD907020， 故选：D 9 （3 分）长沙电视塔位于岳麓山顶峰，其功能集广播电视信号发射与旅游观光于一身某校数学社团的同学 对长沙电视塔的高度进行了测量，如图，他们在 A 处仰望塔顶，测得仰角为 30，再往塔的方向前进 104m 至 B 处，测得仰角为 60，若学生的身高忽略不计，1.7，结果精确到 1m，则该
16、塔的高度 CD 为（ ） A81m B85m C88m D93m 【解答】解：根据题意得：A30，DBC60，DCAC， ADBDBCA30， ADBA30， BDAB104m， CDBDsin601045288（m） ， 故选：C 10 （3 分）如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，连接 AE若 BC5，AC 4，则ACE 的周长为（ ） A9 B10 C13 D14 【解答】解：DE 是线段 AB 的垂直平分线， EAEB， ACE 的周长EA+EC+ACEB+EC+ACBC+AC9， 故选：A 11 （3 分）如图，要拧开一个边长为 a（a6mm
17、）的正六边形，扳手张开的开口 b 至少为（ ） A4mm B6mm C4mm D12mm 【解答】解：设正多边形的中心是 O，其一边是 AB， AOBBOC60， OAOBABOCBC， 四边形 ABCO 是菱形， AB6mm，AOB60， cosBAC， AM63（mm） ， OAOC，且AOBBOC， AMMCAC， AC2AM6（mm） 解法 2：连接 OC、OD，过 O 作 OMCD 于 M，如图 1 所示： 则COD60， COM906030，OCD 是等边三角形， OCODCD6mm， OMCD， CMDMCD3（mm） ，OMCM3（mm） ， b2OM6（mm） ， 故选：B
18、12 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 y3x+3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，点 C 的坐标为 （5，0） ，点 P 为坐标平面内一点，CP2，连接 AP、BP，当点 P 运动到某一位置时，BP+AP 有最小 值，则最小值是（ ） A B C5 D 【解答】解：点 P 为坐标平面内一点，CP2， 点 P 在以 C 为圆心、2 为半径的圆上， 如图，设C 交 x 轴上一点为 C， 取 CD 的中点 E， ， ， 且ECPPCA， CPECAP， ， ， BP+BP+PE， 当 B、P、E 三点共线时，BP+PEBE 最小， 直线 y3x+3 与 x 轴、y 轴分别交于 A
19、、B 两点， A（1，0） ，B（0，3） ， OB3，OE4， 在 RtBOE 中，由勾股定理得： BE 故选：C 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，共计分，共计 12 分）分） 13 （3 分）在一个不透明的盒子中装有 a 个除颜色外完全相同的球，其中只有 6 个白球若每次将球充分 搅匀后， 任意摸出 1 个球记下颜色后再放回盒子， 通过大量重复试验后， 发现摸到白球的频率稳定在 20% 左右，则 a 的值约为 30 【解答】解：由题意可得，100%20%， 解得，a30 故答案为：30 14 （3 分）函数 y的自变量 x 的取值范围 x1 且 x3 【
20、解答】解：根据题意得： 解得 x1 且 x3， 即：自变量 x 取值范围是 x1 且 x3 15 （3 分）如图，在正方形 ABCD 中，DE 平分CDB，EFBD 于点 F若 BE，则此正方形的边长 为 +1 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， BCD90，CBD45， EFBD 于点 FBE， EFBEsin451， DE 平分CDB， CEEF1， BC+1 故答案为：+1 16 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线 ykx（k0）分别交反比例函数 y和 y在第一 象限的图象于点 A，B，过点 B 作 BDx 轴于点 D，交 y的图象于点 C，连接 AC若ABC 是等腰 三
21、角形，则 k 的值是 或 【解答】解：联立 ykx、y并解得：点 A（，2） ，同理点 B（，3） ， 点 C（，） ，ABAC， 当 ABBC 时， （）2+（32）2（3）2，解得：k（舍去负值） ； 当 ACBC 时，同理可得： （） 2+（3 2） 2（3 ） 2，解得：k （舍 去负值） ； 故答案为：或 三、解答题（共三、解答题（共 9 小题，第小题，第 17、18、19 题每题题每题 6 分，第分，第 20、21 题每题题每题 8 分，第分，第 22、23 题每题题每题 9 分，第分，第 24、 25 题每题题每题 10 分，共分，共 72 分）分） 17 （6 分）计算：（2）
22、0+|1|+2cos30 【解答】解：原式31+1+2， 31+1+， 52 18 （6 分）先化简，再求值：，其中 a+2 【解答】解：原式 ， 当 a+2 时， 原式 19 （ 6分 ） 解 不 等 式 组 ：， 并 将 解 集 在 数 轴 上 表 示 出 来 【解答】解：， 由得：x5， 由得：x4， 不等式组的解集为4x5， 20 （8 分）新学期复学后，学校为了保障学生的出行安全，随机调查了部分学生的上学方式（每位学生从 乘私家车、坐公交、骑车和步行 4 种方式中限选 1 项） ，根据调查数据制作了如图所示的不完整的统计表 和扇形统计图 上学方式统计表 上学方式 人数 乘私家车 42
23、 坐公交 54 骑车 a 步行 b （1）本次学校共调查了 150 名学生，a 24 ，m 28 ； （2）求扇形统计图中“步行”对应扇形的圆心角； （3）甲、乙两位同学住在同一小区，且都坐公交车上学，有 A、B、C 三路公交车途径该小区和学校， 假设甲、乙两位同学坐这三路公交车是等可能的，请用列表或画树状图的方法求某日甲、乙两位同学坐 同一路公交车到学校的概率 【解答】解： （1）本次学校共调查了 5436%150 名学生，a15016%24（名） ，m100 28； 故答案为：150，24，28； （2）扇形统计图中“步行”对应扇形的圆心角为 360（136%28%16%）72； （3）画
24、树状图如图所示， 共有 9 种等可能的结果，甲、乙两位同学坐同一路公交车的有 3 种情况， 甲、乙两位同学坐同一路公交车的概率为 21 （8 分）如图，在ABC 中，BC，过 BC 的中点 D 作 DEAB，DFAC，垂足分别为点 E、F （1）求证：DEDF； （2）若B50，求BAC 的度数 【解答】 （1）证明：DEAB，DFAC， BEDCFD90， D 是 BC 的中点， BDCD， 在BED 与CFD 中， ， BEDCFD（AAS） ， DEDF； （2）解：B50， CB50， BAC180505080 22 （9 分）口味虾是长沙网红美食之一，步行街某口味虾店“五一黄金周”期
25、间，来店内就餐选择微辣和 不辣两种口味虾的游客共 2500 人，其中微辣和不辣两种口味虾的人均消费分别为 80 元和 60 元 （1） “五一”期间，若选择微辣口味虾的人数是不辣口味虾人数的 1.5 倍，求有多少人选择不辣口味虾？ （2）随着“五一”的结束，前来店里就餐的人数逐渐减少，据接下来的第二周统计数据显示，在（1） 的条件下，选择微辣口味虾的人数下降了 a%，选择不辣口味虾的人数不变，但选择微辣口味虾的人均消 费增长了 a%，选择不辣口味虾的人均消费增长了a%，最终销售总额为 18 万元，求 a 的值 【解答】解： （1）设有 x 人选择不辣口味虾，则有（2500 x）人选择微辣口味虾
26、， 依题意，得：2500 x1.5x， 解得：x1000 答：1000 人选择不辣口味虾 （2）依题意，得：80（1+a%）（25001000） （1a%）+60（1+a%）1000180000， 整理，得：12a2120a0， 解得：a110，a20（不合题意，舍去） 答：a 的值为 10 23 （9 分）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，D 为 BA 延长线上一点，ACDB （1）求证：DC 为O 的切线； （2）线段 DF 分别交 AC，BC 于点 E，F 且CEF45，O 的半径为 5，sinB，求 CF 的长 【解答】 （1）证明：连接 OC， AB 为O 的直径， ACB
27、BCO+OCA90， OBOC， BBCO， ACDB， ACDBCO， ACD+OCA90，即OCD90， DC 为O 的切线； （2）解：RtACB 中，AB10， sinB， AC6，BC8， ACDB，ADCCDB， CADBCD， ， 设 AD3x，CD4x，则 OD5+3x， RtOCD 中，OC2+CD2OD2， 52+（4x）2（5+3x）2， x0（舍）或 x， CEF45，ACB90， CECF， 设 CFa， CEFACD+CDE， CFEB+BDF， CDEBDF， ACDB， CEDBFD， ， ，a， CF 24 （10 分）定义：经过三角形一边中点，且平分三角形周
28、长的直线叫做这个三角形在该边上的中分线，其 中落在三角形内部的部分叫做中分线段 （1）如图，ABC 中，ACAB，DE 是ABC 在 BC 边上的中分线段，F 为 AC 中点，过点 B 作 DE 的 垂线交 AC 于点 G，垂足为 H，设 ACb，ABc 求证：DFEF； 若 b6c4，试说明 ABAG，并求出 CG 的长度； （2）若题（1）中，SBDHSEGH，求的值 【解答】 （1）证明：BDDC，AFCF， DFABc， DE 是ABC 的中分线段， CD+CF+EFBC+AC+AB， CDBC，CFAC， EFABc， DFEF 证明：如图设 BG 交 DF 于 O DFEF， FE
29、DFDE， BGDE， EHGDHO90， FED+EGH90，FDE+HOD90， HODFOG， FOGFGO， BDDC，AFCF， DFAB， ABGFOG， ABGAGB， ABAG， ABAG4，AC6， CGACAG642 （2）解：如图 2 中，过点 E 作 ENBC 于 N，过点 G 作 GMBC 于 M SBDHSEGH， SBCGSECD， BCGMCDEN， BC2CD， EN2GM， ENGM， EGCG，MNCM， EFc，CFAFb， EC， CGEC， ABAGc，AG+GCb， c+b， 4c+b+c4b， 5c3b， 25 （10 分）如图，直线 y2x+4
30、 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，抛物线 yax2+bx+c（a0）经过点 A、 E，点 E 的坐标是（5，3） ，抛物线交 x 轴于另一点 C（6，0） （1）求抛物线的解析式 （2）设抛物线的顶点为 D，连接 BD，AD，CD，动点 P 在 BD 上以每秒 2 个单位长度的速度由点 B 向 点 D 运动， 同时动点 Q 在线段 CA 上以每秒 3 个单位长度的速度由点 C 向点 A 运动， 当其中一个点到达 终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为 t 秒，PQ 交线段 AD 于点 H 当DPHCAD 时，求 t 的值； 过点 H 作 HMBD，垂足为点 M，过点 P
31、作 PNBD 交线段 AB 或 AD 于点 N在点 P、Q 的运动过 程中，是否存在以点 P，N，H，M 为顶点的四边形是矩形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理 由 【解答】解： （1）在直线 y2x+4 中， 令 x0 时，y4， 点 B 坐标（0，4） ， 令 y0 时，得：2x+40， 解得：x2， 点 A（2，0） ， 抛物线经过点 A（2，0） ，C（6，0） ，E（5，3） ， 可设抛物线解析式为 ya（x2） （x6） ， 将 E（5，3）代入，得：3a（52） （56） ， 解得：a1， 抛物线解析式为：y（x2） （x6）x2+8x12； （2）抛物线解析式为：yx
32、2+8x12（x4）2+4， 顶点 D（4，4） ， 点 B 坐标（0，4） ， BDOC，BD4， yx2+8x12 与 x 轴交于点 A，点 C， 点 C（6，0） ，点 A（2，0） ， AC4， 点 D（4，4） ，点 C（6，0） ，点 A（2，0） ， ADCD2， DACDCA， BDAC， DPHPQA， 且DPHDAC， PQADAC， PQDC，且 BDAC， 四边形 PDCQ 是平行四边形， PDQC， 42t3t， t； 存在以点 P，N，H，M 为顶点的四边形是矩形，此时 t1 如图，若点 N 在 AB 上时，即 0t1， BDOC， DBAOAB， 点 B 坐标（0，4） ，A（2，0） ，点 D（4，4） ， ABAD2，OA2，OB4， ABDADB， tanOABtanDBA， PN2BP4t， MHPN4t， tanADBtanABD2， MD2t， DH2t， AHADDH22t， BDOC， ， ， 5t210t+40， t11+（舍去） ，t21； 若点 N 在 AD 上，即 1t， PNMH， 点 E、N 重合，此时以点 P，N，H，M 为顶点的矩形不存在， 综上所述：当以点 P，N，H，M 为顶点的四边形是矩形时，t 的值为 1
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