2021年人教A版高中数学知识点与公式大全

1、人教人教 A 版高中数学知识点与公式大全（按照教学顺序）版高中数学知识点与公式大全（按照教学顺序） 必修一必修一 第一章第一章 集合与函数概念集合与函数概念 1.集合集合 1.1 集合的概念及其表示集合的概念及其表示 .集合中元素的三个特征： 确定性：确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了 互异性：互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的. 无序性：无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。 .元素与集合的关系有且只有两种：属于（用符号“”表示）和不属于（用符号“”表示） .集合常用的表示方法有三种：列举法、Venn 图、描述法 (4)

2、.常见的数集及其表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 表示符号 N * N或 N Z Q R 1.2 集合间的基本关系集合间的基本关系 性质 符号表示 空集 空集是任何集合的子集 A 空集是任何非空集合的真子集 ）（AA 相等 集合 A 与集合 B 所有元素相同 A=B 子集 集合A中的任何一个元素均是集合B中的元素 BA 真子集 集合 A 中的任何一个元素均是集合 B 中的元 素,且 B 中至少有一个元素在 A 中没有 1.3 集合之间的基本运算集合之间的基本运算 符号表示符号表示 集合表示集合表示 并集并集 BA BAxxx|或 交集交集 BA BxAxx 且| 补

3、集补集 ACU AUxxx|且 【重要提醒】 1若有限集 A 中有 n 个元素,则集合 A 的子集个数为 2n,真子集的个数为 2n1. 2ABABAABB UU ABABU 痧 . 3奇数集： 21,21,41.x xnnx xnnx xnnZZZ. 4. 德摩根定律：并集的补集等于补集的交集，即()=()() UUU ABAB痧?； 交集的补集等于补集的并集，即()=()() UUU ABAB痧? 2.函数及其表示函数及其表示 2.1 函数与映射的相关概念函数与映射的相关概念 函数 映射 两个集合 A、B 设 A、B 是两个非空数集 设 A、B 是两个非空集合 对应关系 按照某种确定的对应

4、关系 f， 使对于集 合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中 都有唯一确定的数 f(x)和它对应 按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有 唯一确定的元素 y 与之对应 名称 称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一 个函数 称 f： AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映 射 记法 yf(x)，xA f：AB 注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个 自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点 (2)函数的定义域、值域 在函数 yf(x)，xA 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫

5、做函数的定义域，与 x 的值相对应的 y 值叫做 函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域 (3)构成函数的三要素：函数的三要素为定义域、值域、对应关系. (4)函数的表示方法 函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法. 解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域； 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征； 图象法：注意定义域对图象的影响. 2.2 函数的三要素函数的三要素 （1） 函数的定义域函数的定义域 函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为： (1)分式函数中分母不等于零.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于 0. (

6、3)一次函数、二次函数的定义域均为 R.(4)yx0的定义域是x|x0. （2） 函数的解析式函数的解析式 (1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是 yf(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式. (2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不 注明定义域往往导致错误. （3） 函数的值域函数的值域 函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域： (1)一次函数 ykxb(k 为常数且 k0)的值域为 R. (2)反比例函数 k y x (k 为常数且 k0)的值域为(，0)(0，) (3)二次函数 yax2bx

7、c(a，b，c 为常数且 a0)， 当 a0 时，二次函数的值域为 2 4 ,) 4 acb a ；当 a0 时，二次函数的值域为 2 4 (, 4 acb a . 求二次函数的值域时，应掌握配方法： 2 22 4 () 24 bacb yaxbxca x aa . 2.3 分段函数分段函数 分段函数的概念分段函数的概念 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分 段函数分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数 3.函数基本性质函数基本性质 3.13.1 函数的单调性函数的单调性 单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数 f(x

8、)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上 的任意两个自变量的值 x1，x2 当 x1x2时， 都有 f(x1)f(x2)， 那 么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函 数 当 x1f(x2)，那 么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 单调区间的定义 如果函数 yf(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性， 区间 D 叫做 yf(x)的单调区间 函数的最值函数的最值 前提 设函数 yf x的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 （1） 对于任意的xI， 都 f xM；

9、 （2）存在 0 xI，使得 0 f xM （3）对于任意的xI，都 f xM； （4）存在 0 xI，使得 0 f xM 结论 M为最大值 M为最小值 注意：注意： （1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在； （2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值 域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值. 函数单调性的常用结论函数单调性的常用结论 （1）若 ,f xg x均为区间 A 上的增(减)函数，则 f xg x也是区间 A 上的增(减)函数； （2）若0k ，则 kf x与 f x的单调性相同；若0k ，则 kf x与 f x单调性相

10、反； （3）函数 0yf xf x在公共定义域内与 yf x， 1 ( ) y f x 的单调性相反； （4）函数 0yf xf x在公共定义域内与( )yf x的单调性相同； （5）一些重要函数的单调性： 1 yx x 的单调性：在, 1 和1,上单调递增，在1,0和0,1上单调递减； b yax x （0a，0b） 的单调性： 在, b a 和, b a 上单调递增， 在,0 b a 和0, b a 上单调递减 3.2 3.2 函数的奇偶性函数的奇偶性 （1） 函数奇偶性的定义及图象特点函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数 f x的定义域内任意一个x，

11、都有 fxf x，那么函数 f x是偶函数 图象关于y轴对称 奇函数 如果对于函数 f x的定义域内任意一个x， 都有 fxf x，那么函数 f x是奇函数 图象关于原点对称 注意：注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个 x，x也 在定义域内（即定义域关于原点对称） （2） 函数奇偶性的几个重要结论函数奇偶性的几个重要结论 （1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反 （2）( )f x，( )g x在它们的公共定义域上有下面的结论： ( )f x ( )g x ( )( )f xg x ( )( )f

12、xg x ( ) ( )f x g x ( ( )f g x 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 （3）若奇函数的定义域包括0，则 00f （4）若函数 f x是偶函数，则 fxf xfx （5）定义在, 上的任意函数 f x都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和 （6）若函数 yf x的定义域关于原点对称，则 f xfx为偶函数， f xfx为奇函数， f xfx为偶函数 重难点重难点 复合函数的单调性奇函数+奇函数=奇函数，

13、偶函数+偶函数=偶函数； 奇函数奇函数=偶函数，奇函数偶函数=奇函数，偶函数偶函数=偶函数； 第二章第二章 基本初等函数基本初等函数 2.1 指数与指数函数指数与指数函数 （1）根式根式 概念：式子na叫做根式，其中 n 叫做根指数，a 叫做被开方数. 性质：(na)na(a 使 n a有意义)； 当 n 为奇数时，nana，当 n 为偶数时，nan|a| a，a0， a，a0，m，nN*，且 n1)；正数的负分数指数幂的意义是 a m n 1 n am (a0，m，nN*，且 n1)；0 的正分数指数幂等于 0；0 的负分数 指数幂没有意义. 有理指数幂的运算性质：arasar+s；(ar)

14、sars；(ab)rarbr，其中 a0，b0，r，sQ. （3）指数函数及其性质指数函数及其性质 概念：函数 yax(a0 且 a1)叫做指数函数，x 是自变量，函数的定义域是 R，a 是底数. 指数函数的图象与性质 a1 0a0 时，y1； 当 x0 时，0y1 当 x1； 当 x0 时，0y0，且 a1)，那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作Nx a log，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数. （2）对数的性质、换底公式与运算性质对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：alogaNN；logaabb(a0，且 a1). (2)对数的运算法则；如果 a0 且 a1，

15、M0，N0，那么 NMMN aaa loglog)(log； NM N M aaa logloglog； MnM a n a loglog(nR)； b n m b a m an loglog. (3)换底公式： a b b c c a log log log(a，b 均大于零且不等于 1). （3）对数函数及其性质对数函数及其性质 (1)概念：ylogax(a0，且 a1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，定义域是(0，). (2)对数函数的图象与性质 a1 0a1 时，y0； 当 0x1 时，y1 时，y0； 当 0x0 在(0，)上是增函数 在(0，)上是减函数 2.3 幂函数幂函数 (

16、1)幂函数的定义：一般地，形如 yx的函数称为幂函数，其中 x 是自变量， 为常数. (2)常见的 5 种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 幂函数在(0，)上都有定义； 当 0 时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，)上单调递增； 当 0 时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，)上单调递减. 第三章第三章 函数的应用函数的应用 1.函数零点的定义函数零点的定义 一般地，如果函数( )yf x在实数处的值等于零，即( )0f ，则 叫做这个函数的零点零点. 重点强调重点强调：零点不是点，是一个实数； 2.2.零点存在性定理零点存在性定理 如果函数( )yf x在区间a,b

17、上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(bfaf，那么函数 ( )yf x在区间（a,b）内有零点，即存在),(bac，使得0)(cf，这个c也就是方程0)(xf的根. 3.3.二分法二分法 二分法求零点：对于在区间a，b上连续不断，且满足)(af)(bf0的函数)(xfy ，通过不断地把函 数)(xf的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二二 分法分法 给定精度，用二分法求函数)(xf的零点近似值的步骤如下： （1）确定区间a，b，验证)(af)(bf0，给定精度； （2）求区间a(，)b的中点 1 x； （3）计算)( 1 xf：若)(

18、1 xf=0，则 1 x就是函数的零点； 若)(af)( 1 xf0，则令b= 1 x（此时零点),( 10 xax ） ； 若)( 1 xf)(bf0，0) A T2 f1 T 2 x 3.用五点法画 yAsin(x)一个周期内的简图 用五点法画 yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： x 2 3 2 2 x 0 2 3 2 2 yAsin(x) 0 A 0 A 0 第二章第二章 平面向量平面向量 1.向量的有关概念向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大 小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 零向量 长度为 0 的向量 记作

19、 0，其方向是任意的 单位向量 长度等于 1 个单位的向量 非零向量 a 的单位向量为 a |a| 平行向量 方向相同或相反的非零向量(又叫 做共线向量) 0 与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不相等， 不能比较大 小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0 的相反向量为 0 2.向量的线性运算向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和 的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律： abba； (2)结合律： (ab)ca(b c) 减法 求a与b的相反 向量b的和的 运算叫做 a 与 b 的差 三角形法则 ab

20、a(b) 数乘 求实数 与向 量 a 的积的运 |a|a|，当 0 时，a 的方向与 a 的方向相同；当 (a)()a；()aa a；(ab)ab 算 0时， a的方向与a的方向相反； 当 0 时，a0 3.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 运算 坐标表示 和(差) a(x1，y1)，b(x2，y2)，ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2) 数乘 已知 a(x1，y1)，则 a(x1，y1)，其中 是实数 任一向量的坐标 已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 AB (x 2x1，y2y1) 4.向量的夹角向量的夹角 定义 图示 范围 共线与垂直 已知两个非零向量 a

21、 和 b， 作 OA a， OBb，则 AOB 就是 a 与 b 的夹角 设是a与b的夹角， 则 的取值范围是 0180 0或 180 ab，90 ab 5.平面向量的数量积平面向量的数量积 定义 设两个非零向量 a， b 的夹角为 ， 则数量|a|b|cos 叫做 a 与 b 的数 量积，记作 a b 投影 |a|cos 叫做向量 a 在 b 方向上的投影， |b|cos 叫做向量 b 在 a 方向上的投影 几何意义 数量积 a b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积 6.向量数量积的运算律向量数量积的运算律 交换律 a bb a 分配律 (ab) ca

22、 cb c 数乘结合律 (a) b(a b)a (b) 第三章第三章 三角恒等变换三角恒等变换 1 1、同角三角函数的基本关系式、同角三角函数的基本关系式 ： 22 sincos1，tan= = cos sin ， 2 2、正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）、正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 3 3、和角与差角公式、和角与差角公式 sin()sincoscossin cos( )coscossinsin tantan tan() 1tantan . . cossin21)cos(sin 2 4 4、二倍角公式及降幂公式、二倍角公式及降幂公式 sin2sincos. .

23、 2222 cos2cossin2cos11 2sin 2 2tan tan2 1tan 22 1 cos21 cos2 sin,cos 22 必修五必修五 第一章第一章 解三角形解三角形 【正弦定理】 2 sinsinsin abc R ABC （R 为ABC外接圆的半径）. 【正弦定理的变形】2 sin,2 sin,2 sinaRA bRB cRC 2 sinsinsinsinsinsin abcabc R ABCABC 【三角形常用结论 】 （1）BABABAbacoscossinsin （2）在ABC 中，有()ABCCAB 222 CAB 222()CAB. （3)面积公式： 111

24、 222 abc Sahbhch ， 111 sinsinsin 222 SabCbcAcaB. 第二章第二章 数列数列 2.1 等差数列 （1）.等差数列的定义-（证明或判断等差数列） 1 ( nn aad d 为常数）或 11( 2) nnnn aaaan （2） 等差数列的通项公式： 1 (1) n aand或() nm aanm d 当0d 时，等差数列的通项公式 11 (1) n aanddnad是关于n的一次函数，且斜率为公差d； （3） 等差数列的前n和： 1 () 2 n n n aa S ， 1 (1) 2 n n n Snad 前n和 2 11 (1) () 222 n n

25、 ndd Snadnan 是关于n的二次函数且常数项为 0. （4） 、等差中项： 若,a A b成等差数列，则 A 叫做a与b的等差中项，且 2 ab A 。 当mnpq时,则有 qpnm aaaa 5、若 n a是等差数列 ， 232 , nnnnn S SS SS ，也成等差数列. 2.22.2 等比数列等比数列 （1 1）等比数列的定义等比数列的定义-（证明或判断等比数列） 1 ( n n a q q a 为常数）， （2 2）等比数列的通项公式：）等比数列的通项公式： 1 1 n n aa q 或 n m nm aa q 。 （3）等比数列的前等比数列的前n和：和：当1q 时， 1n

26、 Sna； 当1q 时， 1(1 ) 1 n n aq S q 1 1 n aa q q 。 （4 4）等比中项：等比中项： 若,a A b成等比数列，那么 A 叫做a与b的等比中项， 当mnpq时，则有。 第三章第三章 不等式不等式 1.一元二次不等式的概念及形式 (1).概念：把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式 (2).形式：ax2bxc0(a0)； ax2bxc0(a0)； ax2bxc0(a0)或 ax2bxc0 或 f(x)0)，方程 ax2bxc0 的判别式 b24ac 判别式 b24ac 0 0 0 求方程 f(x)0 的解 有两个不等的实

27、数 解 x1，x2 有两个相等的实数 解 x1x2 没有实数解 或 f(x)0 x|xx2 x|x b 2a R f(x)0 x|x1x0f(x)g(x)0， fx gx0f(x) g(x)0 表示直线 AxByC0 某一侧所 有点组成的平面区域，直线 AxByC0 某一侧所有点组成的平面区域，直线 AxByC0 称为这个平 面区域的边界.这时，在平面直角坐标系中，把直线 AxByC0 画成虚线，以表示区域不包括边界；而 不等式 AxByC0 表示的平面区域包括边界，把边界画成实线. (2)判断方法：只需在直线 AxByC0 的同一侧取某个特殊点(x0，y0)作为测试点，由 Ax0By0C 的

28、符 号就可以断定 AxByC0 表示的是直线 AxByC0 哪一侧的平面区域 特别地，当 C0 时，常取原点(0,0)作为测试点；当 C0 时，常取(0,1)或(1,0)作为测试点 7.线性规划中的基本概念 名称 意义 约束条件 变量 x，y 满足的一组条件 线性约束条件 关于 x，y 的二元一次不等式 目标函数 欲求最大值或最小值所涉及的变量 x、y 的解析式 线性目标函数 目标函数是关于 x，y 的一次函数解析式 可行解 满足线性约束条件的解 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题 8.

29、线性规划常用来解决下列问题： (1)给定一定数量的人力、物力、资金等资源，怎样安排运用这些资源，才能使完成的任务量最大，收到的 效益最大 (2)给定一项任务，怎样统筹安排，才能使完成这项任务的人力、资金、物力资源最小.常见问题有：物资调 运、产品安排、下料等问题 9.基本不等式(或)均值不等式：ab ba 2 10.基本不等式的变形与拓展 1(1)若Rba,则abba2 22 ； (2)若Rba,则 2 22 ba ab （当且仅当ba 时取“=”） 2(1)若00a,b,则ab ba 2 ；(2)若00a,b,则abba2（当且仅当ba 时取“=”） ； (3)若00a,b,则 2 2 ba

30、 ab （当且仅当ba 时取“=”） 3若0 x,则 1 2x x （当且仅当1x 时取“=”） ；若0 x,则 1 2x x （当且仅当1x时取“=”） ； 若0 x,则 1 2x x ,即 1 2x x 或 1 2x x （当且仅当ba 时取“=”） 4若0ab,则 2 a b b a （当且仅当ba 时取“=”） ；若0ab,则2 ab ba ,即2 ab ba 或2 ab ba （当且仅当ba 时取“=”） 5一个重要的不等式链： 22 2 11 22 abab ab ab 必修二必修二 第一章第一章 空间几何体空间几何体 1多面体的结构特征 2旋转体的形成 几何体 旋转图形 旋转轴

31、圆柱 矩形 任一边所在的直线 圆锥 直角三角形 任一直角边所在的直线 圆台 直角梯形 垂直于底边的腰所在的直线 球 半圆 直径所在的直线 3空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是： (1)原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x轴，y轴的夹角为 45 或 135 ，z轴与 x轴 和 y轴所在平面垂直. (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保 持原长度不变；平行于 y 轴的线段在直观图中长度变为原来的一半. “三变” 坐标轴的夹角改变 与y轴平行的线段的长度变为原来的一半 图形改变 “三不变”

32、 平行性不改变 与x，z轴平行的线段的长度不改变 相对位置不改变 (3)平面图形的直观图与原图形面积的关系：S直观图 2 4 S原图 4多面体的表面积、侧面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底 面面积之和 5圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展 开图 侧面积 公式 S圆柱侧2rl S圆锥侧rl S圆台侧(r1r2)l 6柱、锥、台和球的表面积和体积 名称 几何体 表面积 体积 柱体 (棱柱和圆柱) S表面积S侧2S底 VSh 锥体 (棱锥和圆锥) S表面积S侧S底 V1 3Sh 台体 (棱台和圆台) S表面积

33、S侧S上S下 V1 3(S 上S下 S上S下)h 球 S4R2 V4 3R 3 第二章第二章 点线面之间的位置关系点线面之间的位置关系 1直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 平面外一条直线与此平面内的一条直 线平行，则该直线与此平面平行(线线 平行线面平行) la，a， ll 性质 定理 一条直线与一个平面平行，则过这条 直线的任一平面与此平面的交线与该 直线平行(线面平行线线平行) l，l， blb 2判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点) (2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba) (3)利用面面平行的性质定理(，a

34、a) (4)利用面面平行的性质(，a，a，aa) 3.平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一个平面内的两条相交直 线与另一个平面平行， 则这 两个平面平行(线面平行 面面平行) a， b， abP， a， b 性质 定理 如果两个平行平面同时和 第三个平面相交， 那么它们 的交线平行 ，a，ba b 4.重要结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若 a，a，则 . (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若 a，b，则 ab. (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若 ，则 . 5直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义：直线 l 与平面

35、内的任意一条直线都垂直，就说直线 l 与平面 互相垂直 (2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一条直线与一个平面内 的两条相交直线都垂 直，则该直线与此平面 垂直 a，b abO la lb l 性质 定理 垂直于同一个平面的两 条直线平行 a b ab 6证明线面垂直的常用方法 (1)利用线面垂直的判定定理 (2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直” (3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直” (4)利用面面垂直的性质定理 7证明线线垂直的常用方法 (1)利用特殊图形中的垂直关系(2)利用等腰三角

36、形底边中线的性质 (3)利用勾股定理的逆定理(4)利用直线与平面垂直的性质 9平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义：两个平面相交， 如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相 垂直 (2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一个平面过另一个平面 的垂线，则这两个平面 垂直 l l 性质 定理 两个平面垂直，则一个 平面内垂直于交线的直 线与另一个平面垂直 l a la l 10.面面垂直的两种证明方法 (1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化 为证明平面角为直角的问题 (2)定理法：利

37、用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化 成证明线线垂直加以解决 第三章第三章 直线与方程直线与方程 1直线的倾斜角 (1)定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角 (2)规定：当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0. (3)范围：直线 l 倾斜角的取值范围是0，) 2斜率公式 (1)定义式：直线 l 的倾斜角为 2 ，则斜率 ktan . (2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 l 上，且 x1x2，则 l 的斜率 ky2y1 x2x1.

38、3直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 yy0k(xx0) 不含垂直于 x 轴的直线 斜截式 ykxb 不含垂直于 x 轴的直线 两点式 yy1 y2y1 xx1 x2x1 不含直线 xx1(x1x2) 和直线 yy1(y1y2) 截距式 x a y b1 不含垂直于坐标轴 和过原点的直线 一般式 AxByC0， A2B20 平面内所有直线都适用 4. 求直线方程的两种方法 (1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式 的方程的适用范围，必要时要分类讨论 (2)待定系数法，即设定含有参数的直线方程，由条件列出方程(组)，再求出参数，最

39、后将其代入直线方 程 5两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线 l1，l2，若其斜率分别为 k1，k2，则有 l1l2k1k2 当直线 l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2 (2)两条直线垂直 如果两条直线 l1，l2的斜率存在，设为 k1，k2，则有 l1l2k1 k21 当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为 0 时，l1l2 6两直线平行或重合的充要条件 直线 l1：A1xB1yC10 与直线 l2：A2xB2yC20 平行的充要条件是 A1B2A2B10，A1C2A2C1.重 合的充要条件是 A1B2A2B10，A1C2A2C 7两直线垂直的

40、充要条件 直线 l1：A1xB1yC10 与直线 l2：A2xB2yC20 垂直的充要条件是 A1A2B1B20 8三种距离 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2| d x2x12y2y12 点 P0(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离 d|Ax 0By0C| A2B2 平行线 AxByC10 与 AxByC20 间的距离 d |C1C2| A2B2 9直线系方程 (1)与直线 AxByC0 平行的直线系方程是 AxBym0(mR 且 mC) (2)与直线 AxByC0 垂直的直线系方程是 BxAyn0(nR) (3)过直线 l1：A1xB1yC10 与 l

41、2：A2xB2yC20 的交点的直线系方程为 A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括 l2 第四章第四章 圆的方程圆的方程 1圆的定义及方程 定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 标准 方程 (xa)2(yb)2r2(r0) 圆心(a，b)，半径 r 一般 方程 x2y2DxEyF0，(D2E2 4F0) 圆心 D 2， E 2 ， 半径1 2 D2E24F 2点与圆的位置关系 点 M(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系： (1)若 M(x0，y0)在圆外，则(x0a)2(y0b)2r2 (2)若 M(x0，y0)在圆上，则(x0a)2(y0b)2

42、r2 (3)若 M(x0，y0)在圆内，则(x0a)2(y0b)2r2 3. 确定圆心的方法 求圆的标准方程，其关键是确定圆心，确定圆心的主要方法有： (1)当题目条件中出现直线与圆相切时，可利用圆心在过切点且与切线垂直的直线上来确定圆心位置； (2)当题目条件中出现直线与圆相交，可考虑圆心在弦的垂直平分线上； (3)当题目条件出现两圆相切时，可考虑切点与两圆的圆心共线 4. 求圆的方程的两种方法 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程 (2)待定系数法： 若已知条件与圆心(a，b)和半径 r 有关，则设圆的标准方程，求出 a，b，r 的值； 选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D

43、，E，F 的方程组，进而求出 D，E，F 的值 5. 与圆有关的最值问题的常见解法 (1)形如 yb xa形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题 (2)形如 taxby 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题 (3)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题 必修三必修三 第一章第一章 算法初步算法初步 1、算法 (1)算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤. (2)应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题. 2、程序框图 定义：程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形. 3、三种基

44、本逻辑结构 名称 内容 顺序结构 条件结构 循环结构 定义 由若干个按先后顺序算法的流程根据从某处开始，按照一定 执行的步骤组成，这是任 何一个算法都离不开的基 本结构 条件是否成立而选择 执行不同的流向的结 构形式 的条件反复执行某些步骤 的情况，反复执行的步骤称 为循环体 程序 框图 第二章第二章 统计统计 1.简单随机抽样简单随机抽样 (1)定义：设一个总体含有 N 个个体，从中逐个不放回地抽取 n 个个体作为样本(nN)，如果每次抽取时总体 内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样简单随机抽样. (2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法抽签法和随机数法

45、. 2.分层抽样分层抽样 (1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体， 将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样分层抽样. (2)应用范围：当总体是由由差异明显的几个部分差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样. 3.系统抽样系统抽样 (1)定义：当总体中的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先定出的规则，从每一 部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样系统抽样. (2)系统抽样的操作步骤：假设要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本. 先将总体的 N 个个体编号； 确定分段间隔

46、 k，对编号进行分段，当N n(n 是样本容量)是整数时，取 k N n； 在第 1 段用简单随机抽样确定第一个个体编号 l(lk)； 按照一定的规则抽取样本，通常是将 l 加上间隔 k 得到第 2 个个体编号(lk)，再加 k 得到第 3 个个 体编号(l2k)，依次进行下去，直到获取整个样本. 4. 用样本的频率估计总体的频率用样本的频率估计总体的频率 (1)频率分布表的画法： 第一步：求极差，决定组数和组距，组距极差 组数； 第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间； 第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表. (2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图(如图) 横轴表示样本数据，纵轴表示频率 组距，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率. 1.频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系 (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数. (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的. (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中 点的横坐标之和. 5.用样本的数字特征估计总体的数字特征用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数.