1、4.5 相似三角形的性质及其应用（2）相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方1.两个相似三角形的一组对应边分别为 5cm 和 3cm，若它们的面积之和为 136cm2，则较大的三角形的面积是(D).A.36cm2 B.85cm2 C.96cm2 D.100cm22.如图所示，已知ABCDEF，ABDE=12，则下列等式中，一定成立的是(D).（第 2 题） （第 3 题） （第 4题）3.如图所示，在ABCD 中，点 E 在边 DC 上，DE EC=31，连结 AE 交 BD 于点 F，则DEF 的面积与BAF 的面积之比为( B).A.34 B.916 C.91 D.314
2、.如图所示，在ABC 中，D 是 AB 边上的一点，若ACD=B，AD=1，AC=2，ADC的面积为 1，则BCD 的面积为( C).A.1 B.2 C.3 D.45.如图所示，如果ABC 与DEF 都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上） ，那么 SDEF S ABC 的值为 2 （第 5 题） （第 6 题） （第 7 题）6.如图所示，在平面直角坐标系中，RtABO 的顶点 O 与原点重合，顶点 B 在 x 轴上，ABO=90，OA 与反比例函数 y= (x0)的图象交于点 D，且 OD=2AD，过点 D 作 xxk轴的垂线交 x 轴于点 C.若 S 四边形 ABCD=10，则 k
3、的值为 -16 7.如图所示，在四边形 ABCD 中，ADBC，CM 是BCD 的平分线，且 CMAB，点 M为垂足，AM= AB.若四边形 ABCD 的面积为 ，则四边形 AMCD 的面积是 1 .317158.已知两个相似三角形的一组对应边长分别是 35cm 和 14cm.（1）若它们的周长相差 60cm，求这两个三角形的周长（2）若它们的面积相差 588cm2，求这两个三角形的面积【答案】(1)较大的三角形的周长为 100cm，较小的三角形的周长为 40cm.(2)较大的三角形的面积为 700cm2，较小的三角形的面积为 112cm2.9.如图所示，ABC 是正方形网格中的格点三角形（顶
4、点在格点上） ，请在正方形网格上按下列要求画一个与ABC 相似的格点三角形，并填空.（1）在图 1 中画A 1B1C1，使得 A 1B1C1 的周长是ABC 的周长的 2 倍，则 = 2 AB1（2）在图 2 中画A 2B2C2，使得 A 2B2C2 的面积是ABC 的面积的 2 倍，则 = 2（第 9 题）【答案】(1)图略 2(2)图略10.如图所示，在ABC 中，P 是 BC 边上任意一点（点 P 与点 B，C 不重合） ，AFPE 的顶点 F，E 分别在 AB，AC 上.已知 BC=2，S ABC =1.设 BP=x，平行四边形 AFPE 的面积为y.（1）求 y 关于 x 的函数表达
5、式.（2）上述函数有最大值或最小值吗？若有，则当 x 取何值时，y 有这样的值，并求出该值；若没有，请说明理由.（第 10 题）【答案】(1)四边形 AFPE 是平行四边形，PFCA. BFPBAC. .S ABC =1，S BFP = .同理 SPEC = ,y=42x.(2)上述函数有最大值，最大值为 .理由如下：y=- +x=- （x-1 ） 2+ ，- 0，212x11y 有最大值.又0x2,当 x=1 时，y 有最大值，最大值为 .11.如图所示，D，E 分别是 ABC 的边 AB，BC 上的点，且 DEAC，AE，CD 相交于点O，若 SDOE S COA =19，则 S，则 SB
6、DE 与 SCDE 的比是(B).A.13 B.12 C.14 D.19（第 11 题） （第 12 题） （第 13 题） （第 14题）12.如图所示，D，E，F ，G 为ABC 两边上的点，且 DEFGBC ，若 DE，FG 将ABC 的面积三等分，则下列结论正确的是( C).13.如图所示，在ABCD 中，AB=6，AD=9，BAD 的平分线交 BC 于点 E，交 DC 的延长线于点 F，BGAE 于点 G，BG=4 ，则EFC 的周长为(D).2A.11 B.10 C.9 D.814.如图所示，在ABC 中，C=90，D 是 BC 边上一点， DEAB 于点E，ADC=45，若 DE
7、AE=15，BE=3，则ABD 的面积为 13 15.如图所示，平面内有 16 个格点，每个格点小正方形的边长为 1，则图中阴影部分的面积为 .12（第 15 题） （第 16 题）16.如图所示，M 是ABC 内- 点，过点 M 分别作直线平行于ABC 的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是 1，4，9.则ABC 的面积是 36 17.如图所示，已知 AD 是ABC 的角平分线，O 经过 A，B，D 三点.过点 B 作BEAD，交O 于点 E，连结 ED.（1）求证：EDAC.（2）若 BD=2CD，设EBD 的面积为 S1，ADC 的面积为 S2，且 S21-16S2+4
8、=0，求ABC 的面积.（第 17 题）【答案】(1)AD 是ABC 的角平分线，BAD=DAC.E=BAD，E= DAC.BEAD，E=EDA.EDA= DAC.EDAC.(2)BEAD， EBD=ADC.又E= DAC， EBDADC，且相似比 k=DCB=2. =k2=4，即 S1=4S2.S1 2-16S2+4=0，16S2 2-16S2+4=0，即(4S2-2) 2=0.S 2= .1S 1 =3，S ABC = .2318.如图 1 所示，分别以直角三角形 ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S 2，S 3 表示，则不难证明 S1=S2+S3（1）如图 2 所示，分
9、别以直角三角形 ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S 2，S 3 表示，则 S1，S 2，S 3 之间有什么关系？（不必证明）（2）如图 3 所示，分别以直角三角形 ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1，S 2，S 3 表示，请你确定 S1，S 2，S 3 之间的关系并加以证明（3）若分别以直角三角形 ABC 三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S 2，S 3 表示，为使 S1，S 2，S 3 之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件？请证明你的结论（4）类比（1） ， （2） ， （3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论（第
10、18 题）【答案】设直角三角形 ABC 的三边 BC，CA，AB 的长分别为 a，b，c，则 c2=a2+b2.(1)S1=S2+S3.(2)S1=S2+S3.证明 :S1= c2，S2= a2，S3= b2，S2+S3= (a2+b2)= 434343c2=S1.S 1=S2+S3.43(3)当所作的三个三角形相似时，S 1=S2+S3.证明：所作的三个三角形相似， , =1.S 1=S2+S3.(4)分别以直角三角形 ABC 三边为边向外作三个相似图形，其面积分别用 S1，S 2，S 3 表示，则 S1=S2+S3.19.【镇江】点 E，F 分别在ABCD 的边 BC，AD 上，BE=DF
11、，点 P 在边 AB 上，APPB=1n（n1） ，过点 P 且平行于 AD 的直线 l 将ABE 分成面积为 S1，S 2 的两部分，将CDF 分成面积为 S3，S 4 的两部分（如图所示） .有下列四个等式：S 1S 3=1n ；S 1S 4=1 （2n+1 ） ；（S 1+S4）（S 2+S3）=1n；（S 3-S1）（S 2-S4）=n（n+1 ）.其中成立的是 (B).A. B. C. D.（第 19 题） （第 20 题）20.【杭州】如图所示，在 RtABC 中，BAC=90，AB=15，AC=20，点 D 在边 AC 上，AD=5， DEBC 于点 E，连结 AE，则ABE 的
12、面积等于 78 .【解析】在 RtABC 中，BAC=90，AB=15，AC=20，BC= =25，S 2ACBABC= ABAC= 1520=150.AD=5，CD=AC-21AD=15.DEBC，DEC=BAC=90.又C=C，CDECBA. =ACE，即 = ，解得 CE=12.BE=BC-CE=13.S ABES CBD0E5ABC=BEBC=13 25，S ABE = 150=78.251321.如图所示，在ABC 中，已知 AB=AC=5，BC=6，且ABCDEF，将DEF 与ABC 重合在一起，ABC 不动，DEF 运动，并满足：点 E 在边 BC 上沿点 B 到点 C 方向运动
13、，且 DE 始终经过点 A，EF 与 AC 交于点 M（1）求证：ABEECM（2）在DEF 的运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出 BE 的长；若不能，请说明理由（3）当线段 AM 最短时，求重叠部分的面积（第 21 题）【答案】(1)AB=AC，B= C.ABCDEF，AEF= B.AEF+CEM=AEC=B+BAE，CEM=BAE.ABEECM.(2)能.AEF=B=C，AMEC，AME AEF.AEAM.当 AE=EM 时，则ABEECM，CE=AB=5.BE=BC-EC=1.当 AM=EM 时，则MAE=MEA ，MAE+ BAE=MEA+CEM，即CAB=CEA.C= C ，CAECBA. = .CE= = .BE=ACEBA265.BE=1 或 .6161(3)设 BE=x.ABEECM， .CM=- （x-3）512+ .AM=5-CM= （x-3） 2+ .当 x=3 时，AM 最短为 .此时 BE= BC，E 为595165162BC 的中点.AEBC.AE= =4.EFAC.EM=AE 2-AM2= .S AEM = 2BEA 1 = .162
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