1、2020 年秋季学期高三九月联考数学试题年秋季学期高三九月联考数学试题 一一 单项选择题：单项选择题： 1. 设全集 0Ux x， 1 2 log0Mxx ，则 UM ( ) A. ,1 B. 1, C. 0,1 D. 1, 【答案】D 【解析】 【分析】 先利用对数不等式的解法化简集合 M，再根据全集求补集. 【详解】由题意 1 2 log001Mxxxx ， 又0Ux x， 1 UM x x 故选：D 【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及对数不等式的解法，属于基础题. 2. 己知0ab，1c，则下列各式成立的是( ) A. lnlnab B. cc ab C. ab cc D. 11cc
2、 ba 【答案】C 【解析】 【分析】 根据指数函数和对数函数的单调性和特殊值法，逐一对选项进行判断即可. 【详解】解：对于A选项：因函数lnyx在( ) 0,+?上单调递增，所以0ab时，lnlnab，故A 选项错误； 对于C选项：因为1 x ycc在R单调递增函数，所以0ab， ab cc，故C选项正确； 对于B选项： 因为0ab，1c， 可取2a，1b，2c ， 此时， 22 24,11 cc ab， 所以 cc ab ， 故B选项错误； 对于D选项： 因为0ab，1c， 可取2a，1b，2c ， 此时， 12 112 11 1, 122 cc ba ， 所以 11cc ba - ，故D
3、选项错误. 故选：C. 【点睛】本题主要考查利用对数函数与指数函数的单调性比较大小，属于基础题. 3. 已知函数 24 xx x f x ，则函数 1 1 f x x 的定义域为( ) A. ,1 B. , 1 C. , 11,0 U D. , 11,1 【答案】D 【解析】 【分析】 先求得函数 f x的定义域，再运用复合函数的定义域求解方法可得选项. 【详解】因为 24 xx x f x ，所以24 0 xx 解得0 x，所以函数 f x的定义域为0， 所以函数 1 1 f x x 需满足10 x 且+10 x，解得1x且1x， 故选：D. 【点睛】本题考查函数的定义域，以及复合函数的定义
4、域的求解方法，属于基础题. 4. 易 系辞上有“河出图，洛出书”之说，河图洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥 的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源.河图的排列结构如图所示，一与六共宗居 下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈数为阳数，黑点数 为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为 3的概率为( ) A. 1 5 B. 7 25 C. 8 25 D. 2 5 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题目意思，先计算从阴数与阳数中各取一个的所有可能情况，再用列举法写出其差的绝对值为 3 的可 能情况，再根据古典概型概
5、率计算方法求解. 【详解】由题意可知阳数有1，3，5，7，9共 5 个，阴数有2，4，6，8，10共 5 个， 故从阳数和阴数中各取一数共有25种可能结果，若使阴数与阳数的差的绝对值为1，3，5，3则可能为： 1,4，3,6，5,8，7,10，5,2 ，7,4，9,6，共 7 种情况； 故从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为 3的概率为： 7 25 P . 故选：B. 【点睛】本题考查概率的实际应用，考查利用列举法求解古典概型的概率，较简单. 5. 设 p：实数x满足 2 10 05xaxaa，q：实数x满足ln2x，则 p是 q 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.
6、 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 分类讨论求出集合A，结合充分性、必要性的定义进行求解即可 【详解】本题考查充分必要条件，不等式的解法，考查运算求解能力，逻辑推理能力. 2 1010Ax xaxax xxa ， 当01a时， ,1Aa； 当1a 时，1A； 当15a，1, Aa， 2 ln20Bxxxxe ， 因为AB，所以pq是的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断，考查了一元二次方程的解法，考查了对数不等式的解法，考 查了数学运算能力. 6. 已知函数 2 ln1f xxx ， 若正实数a，b满足410faf b， 则 1
7、1 ab 的最小值为( ) A. 4 B. 8 C. 9 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】 先判断 2 ln1f xxx 是R上的奇函数，可得41ab，再利用基本不等式即可求最小值. 【详解】因 2222 ln1ln1ln1ln10fxf xxxxxxx ， 所以 fxf x， 可得： 2 ln1f xxx 是R上的奇函数， 因为410faf b， 所以41ab， 所以 111144 45529 baba ab abababab ， 当且仅当 41 4 ab ba ab 即 1 6 1 3 a b 时等号成立， 所以 11 ab 的最小值为9， 故选：C 【点睛】本题主要考查了利用基
8、本不等式求函数的最小值，涉及奇函数的定义，属于中档题. 7. 若函数 f x对a，Rb，同时满足：(1)当 0ab时有 0f af b；(2)当0ab时有 0f af b，则称 f x为函数.下列函数中是函数的为( ) sinxxxf 0,0 1 ,0 x f x x x xx f xee f xx x A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意可得 yf x满足是R上的奇函数，且为增函数，称为函数，由函数的奇偶性和单调性与导数 之间的关系，分别判断、的函数的奇偶性和单调性，可得所求结论 【详解】 由(1)当0ab时有 0f af b，即为 faf a， 则 yf x为R上
9、的奇函数； 由(2)当0ab时有 0f af b，即为ab ， f af bfb， 可得 yf x为R上的增函数， 则函数 yf x为R上的奇函数，且为增函数 由 sinxxxf，定义域为R， sinsinsinfxxxxxxxf x ,即 yf x为奇函数， 又 1 cos0fxx ，可得 yf x为R上的增函数，故是函数； 0,0 1 ,0 x f x x x ，定义域R，0 x时， 11 fxf x xx ， 可得 yf x为奇函数， 又 yf x在,0，0,上单调递增，但在R上不为增函数， 比如 11ff，故不是函数； xx f xee，定义域为R， xx fxeef x ， 可得 y
10、f x为偶函数，故不是函数； f xx x，定义域为R， fxxxf x ，可得 yf x为奇函数， 又 2 2 ,0 = ,0 xx f x xx 在R上单调递增，故是函数. 故选：D 【点睛】本题考查函数的新定义，主要考查函数的奇偶性与单调性的判断，考查逻辑推理与运算求解能力. 8. 定义：如果函数 yf x在区间, a b上存在 1212 ,x xaxxb，满足 1 f bf a fx ba ， 2 f bf a fx ba ，则称函数 yf x是在区间, a b上的一个双中值函数，已知函数 32 6 5 f xxx是区间0,t上的双中值函数，则实数t的取值范围是( ) A. 3 6 ,
11、 5 5 B. 2 6 , 5 5 C. 2 3 , 5 5 D. 6 1, 5 【答案】A 【解析】 【详解】 322 612 ,3 55 f xxxfxxx， 函数 32 6 5 f xxx 是区间0,t上的双中值函数， 区间0,t上存在 1212 0 xxxxt，（ ） ， 满足 2 12 06 ( )() 5 f tf fxfxtt t ， 方程 22 126 3 55 xxtt在区间0,t有两个不相等的解， 令 22 126 30 55 g xxxttxt（ ），（ ）， 则 2 2 2 2 126 12()0 55 2 0 5 6 00 5 6 20 5 tt t gtt g tt
12、t ， 解得 63 55 t ， 实数t的取值范围是 3 6 , 5 5 . 故选:A 二二 多项选择题：多项选择题： 9. 某地某所高中 2019年的高考考生人数是 2016 年高考考生人数的 1.5 倍， 为了更好地对比该校考生的升学 情况，统计了该校 2016 年和 2019年的高考升学情况，得到如下柱图： 则下列结论正确的是( ) A. 与 2016 年相比，2019年一本达线人数有所增加 B. 与 2016 年相比，2019年二本达线人数增加了 0.5 倍 C. 与 2016 年相比，2019年艺体达线人数相同 D. 与 2016 年相比，2019年不上线的人数有所增加 【答案】AD
13、 【解析】 【分析】 根据柱状图给定的信息，作差比较，即可求解. 【详解】依题意，设 2016年高考考生人数为x，则 2019 年高考考生人数为1.5x， 由24% 1.528%8%0 xxx ，所以 A项正确； 由 7 (40% 1.532%)32% 8 xxx ，所以 B项不正确； 由8% 1.58%4%0 xxx ，所以 C项不正确； 由28% 1.532%10%0 xxx ，所以 D项正确. 故选：AD. 【点睛】本题主要考查了统计图表的识别和应用，其中解答中熟记柱状图表表示的含义是解答的关键，属 于基础题. 10. 若 2021 232021 01232021 12xaa xa xa
14、 xaxxR，则( ) A. 0 1a B. 2021 1352021 31 2 aaaa C. 2021 0242020 31 2 aaaa D. 1232021 232021 1 2222 aaaa 【答案】ACD 【解析】 【分析】 利用赋值法解决， 对于 A：通过给x赋值0即可作出判断； 对于 B和 C：通过给x赋值1和1，得到两个等式作差得到结果，进而作出判断； 对于 D： 22021 202112 122021 22021 111 222222 aaa aaa ，通过给x赋值 1 2 得到结果即可作 出判断. 【详解】由题意，当0 x时， 2021 0 11a ， 当1x 时， 2
15、021 01232021 11aaaaa ， 当1x时， 2021 01232021 3aaaaa， 所以 2021 1352021 31 2 aaaa ， 2021 0242020 31 2 aaaa ， 22021 202112 122021 22021 111 222222 aaa aaa ， 当 1 2 x 时， 22021 0122021 111 0 222 aaaa ， 所以 22021 1220210 111 1 222 aaaa . 故选：ACD. 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题. 11. 已知定义 , 的奇函数，满足 2f xfx
16、 ，若 11f，则( ) A. 31f B. 4 是 f x的一个周期 C. 2018201920201fff D. f x的图像关于1x 对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】 对于A，f(3)1 ，故A错误；对于B， (4)( )f xf x，即 4是 ( )f x的一个周期，故B正确；对于 C， (2018)(2019)(2020)1fff ，故C正确；对于D， ( )f x的图象关于 1x 对称，故D正确. 【详解】对于A，f(3) ( 1)ff (1)1 ，故A错误； 对于B， (4)2(4)(2)(2)f xfxfxf x ， 而 (2)2(2)()( )f xfxfxf x ，
17、 (4)( )f xf x ，即 4 是 ( )f x的一个周期，故B正确； 对于C，( )f x是奇函数，(0)0f， 又 ( )f x的一个周期为 4， (2018)ff (2)(0)0f， (2019)ff (3)1，(2020)(0)0ff， (2018)(2019)(2020)1fff ，故C正确； 对于D， ( )(2)f xfx ， (1)2(1)(1)f xfxfx ， ( )f x 的图象关于1x 对称，故D正确； 故选：BCD 【点睛】本题主要考查了函数奇偶性、函数周期性和对称性判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水 平 12. 已知正数x，y，z满足3212 xyz ，
18、下列结论正确的有( ) A. 623zyx B. 121 xyz C. 32 2xyz D. 2 8xyz 【答案】BCD 【解析】 【分析】 设3212 xyz m 1，求得 3 logxm， 2 logym， 12 logzm，然后根据对数的运算法则和基本 不等式判断各选项 【详解】设3212 xyz m 1，则 3 logxm， 2 logym， 12 logzm， 2 266 22log log 23log 2log 8 mmm ym ， 3 366 33log log 32log 3log 9 mmm xm ， 又0log 8log 9 mm ，所以23yx， 12 6 66log
19、log 12 m zm ，而log 12log 8 mm ，所以62zy，A错； 则 32 12121 log 32log 2log 12 loglog mmm xymmz ，B正确； 23 2323 12 loglog (loglog)log 12(loglog)(2log 2log 3) log mmm mmxy mmmm zm 32 23 2332 2loglog21 (loglog)()3 loglogloglog mm mm mmmm 32 32 2loglog 3232 2 loglog mm mm ，当 且仅当 32 32 2loglog loglog mm mm ，即 23 l
20、og2logmm，这个等式不可能成立，因此等号不能取到， 32 2 xy z ，即(32 2)xyz，C 正确； 因为 2 22 (log 12)(2log 2log 3)2 2log 2 log 38log 2log 3 mmmmmmm ， 所以 2 111 8 zxy ，即 2 8xyz，D 正确 故选：BCD 【点睛】本题考查对数的运算法则，考查基本不等式的应用，解题关键是由题设指数式改写为对数式，实 质就是表示出变量 , ,x y z，然后证明各个不等式 三三 填空题填空题 13. 若“1,2x ，0 xa”是假命题，则实数a的取值范围是_. 【答案】1， 【解析】 【分析】 由题转化
21、为命题“1,2x ，0 xa”为真命题，即ax 恒成立，故可求解实数a的取值范围. 【详解】由题转化为命题“1,2x ，0 xa”为真命题，即ax恒成立， 又y x 1,2上单调递减，所以 max 1y ，故1a . 故答案为：1， 【点睛】本题考查特称命题的否定与不等式恒成立问题，考查转化与化归的思想. 14. 已知 f x为偶函数，当0 x 时， lnx f x x ，则曲线 yf x在点1,0处的切线方程是 _. 【答案】10 xy 【解析】 【分析】 由已知求得函数 ( )f x在(0,)上的解析式，求其导函数，得到f (1)，再由直线方程点斜式得答案 【详解】( )f x为偶函数，且
22、当0 x时， () ( ) lnx f x x ， 当 0 x时，0 x ，则 ( )() lnx f xfx x ， 2 1 ( ) lnx fx x ， 11f 曲线( )yf x 在点(1,0)处的切线方程是 01 (1)yx ， 即10 xy 故答案为：10 xy 【点睛】 本题考查函数解析式的求解及常用方法， 利用导数研究在曲线上某点处的切线方程， 属于基础题 15. 5人并排站成一行，甲乙两人之间恰好有一人的概率是_.(用数字作答) 【答案】 3 10 【解析】 【分析】 利用捆绑法求出甲乙两人之间恰好有一人的排法，再求出 5 人并排站成一行的排法，利用古典概率公式计 算即可. 【
23、详解】甲乙两人之间恰好有一人的排法共有 213 233 36A C A 种， 5 人并排站成一行的排法共有 5 5 120A 种， 所以甲乙两人之间恰好有一人的概率是 363 12010 P 故答案为： 3 10 【点睛】本题主要考查了排列组合知识，考查了捆绑法，涉及古典概率公式，属于中档题. 16. 已知函数 2 10 210 x x x f xe xxx ，则方程 2021 2020 fx 的实根的个数为_；若函数 1yff xa有三个零点，则a的取值范围是_. 【答案】 (1). 3 (2). 11 1,12,33 ee 【解析】 【分析】 用导数求出 ( )f x在 0 x的时单调性，
24、极值，确定函数的变化趋势，得出函数的单调区间，作出函数图象， 方程的 ( )f xm 的解的个数转化为( )yf x的图象与直线y m 的交点个数，由此分析可得 【详解】由( )1 x x f x e 得 1 ( ) x x fx e ，01x时，( )0fx ， ( )f x递增， 1x 时， ( )0fx ， ( )f x递减， 1x 时， ( )f x取得极大值 1 (1)1f e ， 0 x时， 2 ( )(1)f xx， 所以 ( )f x的增区间是 1,1 ，减区间是(, 1) ，(1,)，且x时，( )f x ，x 时， ( )1f x ， 作出函数( )yf x的图象， 如图，
25、 作直线y m ， 由图可知： 直线y m 与函数( )yf x的图象， 在0m 时无交点，0m或 1 1m e 时有一个交点，01m或 1 1m e 时有两个交点， 1 11m e 时，有三 个交点 因为 20211 11 2020e ， 所以直线 2021 2020 y 与( )yf x的图象有三个交点，方程 2021 2020 fx 有三个实根， 易知 ( )1f x 有两个解 1 0 x ， 2 2x ， 由( )0f xa得( )f xa，由( )2f xa 得( )2f xa， 当1a 时，函数 1yff xa至多有两个零点，不合题意 1 11a e 时20a，函数 1yff xa
26、有三个零点， 1 1a e ，函数 1yff xa有两个零点，不合题意， 1 1a e 时，( )f xa有一个解，由题意( )2f xa要有两解，所以021a或 1 21a e ，所以 1 13a e 或 1 3a e ， 综上，函数 1yff xa有三个零点，则a取值范围是 11 1,12,33 ee 【点睛】本题考查方程解的个数，函数零点个数问题，解题方法是数形结合思想，问题转化为直线与函数 图象交点个数，作出函数图象与直线，由它们交点个数得出结论 四四 解答题：解答题： 17. 设数列 n a的前n项和为 n S，在 2 a， 3 a， 4 4a 成等差数列. 1 S， 2 2S ，
27、3 S成等差数列中任选 一个，补充在下列的横线上，并解答. 在公比为 2 的等比数列 n a中，_ (1)求数列 n a的通项公式； (2)若 2 1 log nn bna，求数列 2 2 22 n nn b 的前n项和 n T. 【答案】条件选择见解析(1)2n n a ；(2) 2 1 n n T n . 【解析】 【分析】 (1)若选，根据三个数成等差数列，建立等量关系，求得 1 2a ，进而求得通项公式；若选，根据 1 S， 2 2S ， 3 S成等差数列，建立等量关系，求得 1 2a ，进而求得通项公式； (2)将2n n a 代入，求得1 n bn n， 2 2 2211 2 1
28、n nn bnn ，裂项之后求和得结果. 【详解】(1)选：因为 2 a， 3 a， 4 4a 成等差数列，所以 324 42aaa， 所以 111 8284aaa，解得 1 2a ，所以2n n a . 选：因为 1 S， 2 2S ， 3 S成等差数列，所以 213 22SSS，即 23 4aa， 所以 11 244aa，解得 1 2a ，所以2n n a ； (2)因为2n n a ，所以 22 1 log1 log 21 n nn bnann n， 所以， 2 2 22211 2 11 n nn bn nnn ， 所以 1111112 212 1 223111 n n T nnnn .
29、 【点睛】 本题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有三数成等差数列的条件， 等比数列的通项公式， 裂项相消法求和，考查学生的运算求解能力. 18. 已知定义域为R的函数 1 xx f xaka(0a且1a )是奇函数. (1)求实数k的值； (2)若 10f，求不等式 2 4f xtxfx 对xR恒成立时t的取值范围. 【答案】(1)2k ；(2)35t . 【解析】 【分析】 (1)由(0)0f求出k值，代入检验 ( )f x是奇函数即可； (2)由(1)0f得01a，确定函数 ( )f x是R上的减函数，利用奇函数与减函数的性质可把不等式变形 为 2 4xtxx，然后根据一元二次不等式
30、恒成立得结论 【详解】(1) f x是定义域为R的奇函数， 00 01110fakak ，2k . 经检验：2k 时， xx f xaa(0a且1a )是奇函数.故2k ； (2) xx f xaa(0a且1a ) 10f， 1 0a a ，又0a，且1a ，01a 而 x ya在R上单调递减， x ya在R上单调递增， 故判断 xx f xaa在R上单调递减， 不等式化为 2 4fxtxfx ， 2 4xtxx， 2 140 xtx恒成立， 2 1160t ，解得35t . 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查不等式恒成立问题，解题关键是由奇偶性与单调性把问题 转化为一元二次不等式恒成
31、立，利用判别式即可得解 19. 为调研高中生的作文水平，在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生与理科生人数之比为 14， 且成绩分布在0,60的范围内， 规定分数在 50以上(含 50)的作文获奖， 按文理科用分层抽样的方法抽取 400 人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示，其中a，b，c构成以 2 为公比的等比数列. (1)求a，b，c的值； (2)填写下面22列联表，能否在犯错误的概率不超过 0.01 的情况下认为“获奖”与“学生的文理科”有关？ 文科生 理科生 合计 获奖 6 不获奖 合计 400 (3)从获奖的学生中任选 2人，求至少有一个文科生的概率. 附： 2 2
32、n adbc K abcdacbd ，其中na b cd . 2 P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)0.005a ，0.01b，0.02c ；(2)列联表答案见解析，在犯错误的概率不超过 0.01 的情况 下，不能认为“获奖”与“学生的文理科”有关；(3) 99 190 . 【解析】 【分析】 (1)利用频率分布直方图中，频率和为1列出关于a，b，c的方程，然后再根据a，b，c成公比为2的等 比数列，得到关于a，b，c的方程组，求解a，b
33、，c即可； (2)先根据频率分布直方图计算出获奖的人数，根据样本中文科生与理科生的比例为1:4得出文理科的人数， 补全22列联表，计算 2 K 的值，然后判断能否在犯错误的概率不超过 0.01 的情况下认为“获奖”与“学 生的文理科”有关; (3)计算出从获奖的学生中任选 2 人的基本事件总数，再计算至少有一个文科生所包含的基本事件数，利用 古典概率模型概率的计算公式求解即可. 【详解】(1)由频率分布直方图可知，101 100.018 0.0220.0250.35abc ， 因为a，b，c构成以 2为公比的等比数列，所以240.035aaa，解得0.005a ， 所以20.01ba，40.0
34、2ca.故0.005a ，0.01b，0.02c . (2)获奖的人数为0.005 10 40020人，因为参考的文科生与理科生人数之比为 14， 所以 400人中文科生的数量为 1 40080 5 ，理科生的数量为400 80320. 由表可知，获奖的文科生有 6人，所以获奖的理科生有20 614人，不获奖的文科生有80 674人. 于是可以得到22列联表如下： 文科生 理科生 合计 获奖 6 14 20 不获奖 74 306 380 合计 80 320 400 2 2 4006 306 147425 1.3166.635 20 380 80 32019 K 所以在犯错误的概率不超过 0.0
35、1 的情况下，不能认为“获奖”与“学生的文理科”有关. (3)获奖的学生一共 20人，其中女生 6人，男生 14人，从中任选 2 人，至少 1 名女生的概率为 112 6146 2 20 99 190 C CC P C . 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查计算 2 K 进行独立性检验，考查古典概型概率的计算，难度 一般. 20. 一动圆与圆 22 1( 1)1Oxy：外切，与圆 22 2( 1)9Oxy：内切 (1)求动圆圆心M的轨迹L的方程 (2)设过圆心 1 O的直线:1l xmy与轨迹L相交于A B、两点， 2 ABO( 2 O为圆 2 O的圆心)的内切圆N 的面积是否存在最大
36、值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程，若不存在，请说明理由 【答案】(1) 22 1 43 xy (2) max 9 16 S 【解析】 【分析】 (1) 利 用 动 圆 与 圆 2 2 1: 11Oxy外 切 ， 与 圆 2 2 2: 19Oxy内 切 ， 可 得 12 1,3,MORMOR 12 4MOMO，由椭圆定义知M是以 12 ,O O为焦点的椭圆，从而可 得动圆圆心M的轨迹L的方程；(2)当 2 ABO S 最大时，r也最大， 2 ABO内切圆的面积也最大，表示出 三角形的面积，利用换元法，结合导数，可求得最值. 【详解】试题解析：(1)设动圆圆心为,M x y，半径为R，即可
37、求得结论. 由题意，动圆与圆 2 2 1: 11Oxy外切，与圆 2 2 2: 19Oxy内切， 1212 1,3,4MORMORMOMO ，由椭圆定义知M在 12 ,O O为焦点的椭圆上，且 2,1ac， 222 4 13bac ，动圆圆心M的轨迹L的方程为 22 1 43 xy . (2)如图，设 2 ABO内切圆N的半径为r，与直线l的切点为C，则三角形 2 ABO的面积 2 22 1 2 ABO SABAOBOr 1212 1 24 2 AOAOBOBOrarr ，当 2 ABO S 最大时，r也最大， 2 ABO内切圆的面积也最大，设 112212 ,0,0A x yB x yyy，
38、则 2 12112212 11 22 ABO SOOyOOyyy ， 由 22 1 1 43 xmy xy ， 得 22 34690mymy，解 得 22 12 22 361361 , 3434 mmmm yy mm ， 2 2 2 121 34 ABO m S m ，令 2 1tm ，则1t ， 且 22 1mt，有 2 22 121212 1 31314 3 ABO tt S tt t t ，令 1 3f tt t ，则 2 1 3ft t ， 当1t 时， 0,ftf t在1,上单调递增，有 14f tf， 2 12 3 4 ABO S ，即当 1,0tm时，4r有最大值3，得 max
39、3 4 r，这时所求内切圆面积为 9 , 16 存在直线:1l x ， 2 ABO的内切圆M的面积最大值为 9 16 . 21. 某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有 3 个电子元件组成，各个电子元件能否正常 工作的概率均为 1 2 ，且每个电子元件能否正常工作相互独立.若系统C中有超过一半的电子元件正常工作， 则G可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需费用为 500 元. (1)求系统不需要维修的概率； (2)该电子产品共由 3 个系统G组成，设E为电子产品需要维修的系统所需的费用，求的分布列与期望; (3)为提高G系统正常工作概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的
40、电子元件，每个新元件正常 工作的概率均为p，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则 C 可以正常工作，问:p满足什么条 件时，可以提高整个G系统的正常工作概率? 【答案】(1) 1 2 ；(2)见解析；(3) 当 1 1 2 p时，可以提高整个G系统的正常工作概率. 【解析】 【分析】 (1)由条件，利用独立重复试验成功的次数对应的概率公式以及概率加法公式求得系统不需要维修的概率； (2)设X为维修维修的系统的个数，根据题意可得 1 3, 2 XB ，从而得到500X，利用公式写出分 布列，并求得期望； (3)根据题意，当系统G有 5 个电子元件时，分析得出系统正常工作对应的情况，分类得
41、出结果，求得相应 的概率，根据题意列出式子，最后求得结果. 【详解】(1)系统不需要维修的概率为 23 23 33 1111 2222 CC . (2)设X为维修维修的系统的个数，则 1 3, 2 XB ，且500X， 所以 3 3 11 500,0,1,2,3 22 kk k PkP XkCk . 所以的分布列为 0 500 1000 1500 P 1 8 3 8 3 8 1 8 所以的期望为 1 500 3750 2 E . (3)当系统G有 5 个电子元件时， 原来 3 个电子元件中至少有 1 个元件正常工作，G系统的才正常工作. 若前 3 个电子元件中有 1 个正常工作，同时新增的两个
42、必须都正常工作， 则概率为 2 122 3 113 228 Cpp ； 若前 3 个电子元件中有两个正常工作， 同时新增的两个至少有 1 个正常工作， 则概率为 22 21222 323 11113 12 22228 CCppCppp ； 若前 3 个电子元件中 3 个都正常工作，则不管新增两个元件能否正常工作， 系统G均能正常工作，则概率为 3 3 3 11 28 C . 所以新增两个元件后系统G能正常工作的概率为 22 33131 2 88848 pppp， 于是由 3113 21 4828 pp知，当210p 时，即 1 1 2 p时， 可以提高整个G系统的正常工作概率. 【点睛】该题考
43、查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有独立重复试验，二项分布，分布列与期望，概 率加法公式，属于中档题目. 22. 已知函数 x f xxeax，aR. (1)设 f x的导函数为 fx ，求 fx 的最小值； (2)设 lnln1 a g xaxxaxax，当1,x时，若 f xg x恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1) 2 1 a e ；(2),e. 【解析】 【分析】 (1)求出导函数 1 x fxxea，再对导函数求导，根据导函数与函数单调性之间的关系即可求解. (2)将不等式转化为 ln lnln xx xexax eax 对1,x恒成立，构造不等式 lnf xf ax， 讨论a
44、的取值，令 lnm xxax，利用导数判断 m x的单调性，求出 m x的最小值大于0即可求解. 【详解】(1) 1 x fxxea， 2 x fxxe 所以 fx 在, 2 上单调递减；在2,上单调递增 所以 fx 的最小值为 2 1 2af e (2)当1,x时，若 f xg x成立， 即lnln xa xexaxxax 对1,x恒成立， 亦即 ln lnln xx xexax eax 对1,x恒成立. 即 lnf xf ax， 由(1)知1a 时 fx 的最小值为 2 1 10 e ，所以 f x在R上单调递增. lnxxx在 1,上恒成立. 令 lnm xxax，则 1 axa m x xx . 1a 时， 0m x 在1,上恒成立， 110m xm ，此时满足已知条件， 当1a 时，由 0m x ，解得xa. 当1,xa时， 0m x ，此时 m x在1,a上单调递减； 当,xa时， 0m x ，此时 m x在, a 上单调递增. m x的最小值 ln0m aaaa，解得1ae. 综上，a的取值范围是,e. 【点睛】本题考查了利用求函数的最值，利用导数研究不等式恒成立，考查了转化与化归的思想，属于难 题.
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