1、2021 届高三年级上学期第二次月考数学届高三年级上学期第二次月考数学试卷试卷 本试卷分第本试卷分第 I 卷卷( (选择题选择题) )和第和第卷卷( (非选择题非选择题) )两部分，共两部分，共 5 页页.时量时量 120 分钟分钟.满分满分 150 分分. 第第 I 卷卷 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1. 已知集合 2 2,60Ax xxZBx xx ，则AB ( ) A. 2, 1,0,1,2,3 B. 2,
2、 1,0,1,2 C. 1,0,1,2 D. 2, 1,0,1 【答案】C 【解析】 【分析】 化简集合 A,B再求交集即可 【详解】由题意2,2, 1,0,1,2 ,AxxxZ 2 603Bx xxxx-2 则AB 1,0,1,2 故选：C 【点睛】本题考查交集的运算，考查一元二次不等式及绝对值不等式的解法，是基础题 2. 若( )11zii ，则z ( ) A. 1i B. 1 i C. i D. i 【答案】C 【解析】 【分析】 根据复数的除法运算，采用分母实数化的方法求解出z的结果. 【详解】因为 2 1(1)2 1(1)(1)2 iii zi iii ， 故选：C. 【点睛】本题考
3、查复数的除法运算，难度较易.复数进行除法运算时，要注意将分母实数化即乘以分母的共 轭复数. 3. 已知 2 sin2 3 ，则 2 cos 4 ( ) A. 1 6 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 【答案】A 【解析】 【分析】 利用二倍角公式和诱导公式，可得2 1+cos(2 +) 1sin2 2 cos 422 ，即得解. 【详解】已知 2 sin2 3 ，则2 2 11+cos(2 +) 1sin21 32 cos 42226 故选：A 【点睛】本题考查了二倍角公式和诱导公式的综合应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于 基础题. 4. 刘徽(约公元 225年-295年
4、)， 魏晋期间伟大的数学家， 中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出 的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极 限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正 n 边形等分成 n个等腰三角形(如图所示)，当 n变得 很大时，这 n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到sin2的近似值为( ) A. 90 B. 180 C. 270 D. 360 【答案】A 【解析】 【分析】 设圆的半径为r,每个等腰三角形的顶角为 360 n ,则每个等腰三角形的面积为 2 1360 sin 2 r n ,由割圆术可得 圆
5、的面积为 22 1360 sin 2 rnr n ,整理可得 3602 sin nn ,当180n时即可为所求. 【详解】由割圆术可知当 n 变得很大时,这 n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积, 设圆的半径为r,每个等腰三角形的顶角为 360 n , 所以每个等腰三角形的面积为 2 1360 sin 2 r n , 所以圆的面积为 22 1360 sin 2 rnr n ,即 3602 sin nn , 所以当180n时,可得 3602 sinsin2 18018090 , 故选:A 【点睛】本题考查三角形面积公式的应用,考查阅读分析能力. 5. 25 2 1 (2)(1)x x 的展
6、开式的常数项是( ) A. 3 B. 2 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】的展开式通项为：，由2100r得=5r，所以 的常数项系数为；由2102r 得4r ，所以的项系数为 ，所以的展开式的常数项是,故选 D. 6. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指孙子算经中记载的算筹.古代用 算筹(一根根同样长短和粗细的小棍子)来进行运算.算筹的摆放有纵式横式两种(如图所示).当表示一个多位 数时，个位百位万位数用纵式表示，十位千位十万位数用横式表示，以此类推，遇零则置空.例如 3266 用算筹表示就是，则 8771用算筹应表示为( ) A. B. C.
7、D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据算筹的定义和摆放方法解题 【详解】解：由算筹的定义，得，所以 8771 用算筹应表示 ， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了新定义题型，理解算筹的定义是解题关键，属于基础题 7. 对任意实数, ,a b c给出下列命题:“ab ”是“acbc”的充要条件;“5a是无理数”是“a是无理数” 的充要条件;“ab”是“ 22 ab ”的充分条件;“5a”是“3a”的必要条件.其中真命题的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据充要条件的定义对题目中的四个答案逐一进行分析即可得到答案 【详解】中“ab”“acb
8、c”为真命题， 但当0c =时，“acbc” “ab”为假命题， 故“ab”是“ac bc”的充分不必要条件，故为假命题； 中“5a是无理数”“a是无理数”为真命题， “a是无理数”“5a是无理数”也为真命题， 故“5a是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故为真命题； 中“ab”“ 22 ab ”为假命题， “ 22 ab ”“ab”也为假命题， 故“ab”是“ 22 ab ”即不充分也不必要条件，故为假命题； 中 | 5 |3a aa a，故“5a ”是“ 3a”的必要条件， 故为真命题故真命题的个数为 2 故选：B 【点睛】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断及不等式的性质，属于基
9、础题 8. 四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAD 平面ABCD， 120APD ，ABPA 2PD ，则该四棱锥PABCD外接球的体积为( ) A. 32 3 B. 20 5 3 C. 8 6 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】 如图，设ABCD的中心为O，球心为 O，则 1 2 2 O BBD ，设 O 到平面ABCD的距离为 d，则 22222 22(2)Rdd，求出R的值，即可求出四棱锥PABCD外接球的体积 【详解】取AD的中点 E，连接,PEPAD中，120 ,2APDPAPD 1PE ， 2 3AD ，设ABCD中心为O，球心为 O，则 1 2 2 O BBD
10、， 设 O 到平面ABCD的距离为 d，则 22222 22(2)Rdd， 1,5dR， 四棱锥PABCD的外接球的体积为 3 420 5 33 R . 故选：B. 【点睛】此题考查求四棱锥外接球的体积，考查学生的计算能力，考查空间想象能力，属于中档题 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分. 9. 甲乙两所学校高三年级分别有 1200 人，
11、1000 人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六 校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了 110名学生的数学成绩，考生成绩都分 布在70,150内，并作出了如下频数分布统计表，规定考试成绩在120,150内为优秀，则下列说法正确的 有( ) 分 组 70,80) 80,90) 90,100) 100,110) 110,120) 120,130) 130,140) 140,150 甲3 4 8 15 15 x 3 2 校 频 率 数 乙 校 频 率 数 1 2 8 9 10 10 y 3 A. 计算得 10,7xy B. 估计甲校优秀率为 25%，乙校优秀率为 40%
12、 C. 估计甲校和乙校众数均为 120. D. 估计乙校的数学平均成绩比甲校高. 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据分层抽样，众数，优秀率，平均成绩等概念逐一判断. 【详解】甲校抽取 1200 11060 2200 人，乙校抽取 1000 11050 2200 人，故10 x ，7y ，故 A 正确； 甲校优秀率为 15 25% 60 ，乙校优秀率为 20 40% 50 .故 B 正确； 甲校众数估计值为 110，故 C 错误； 甲校平均成绩 109.5，乙校平均成绩 114.6，故 D 正确. 故选:ABD 【点睛】此题考查了统计中常见概念，属于基础题. 10. 函数 ( )sin()
13、(0,0)f xAxA 的部分图象如图中实线所示，图中圆 C 与 ( )f x的图象交 于 M，N两点，且 M在 y轴上，则下列说法中正确的是( ) A. 函数 ( )f x在 3 , 2 上单调递增 B. 函数 ( )f x的图象关于点 2 ,0 3 成中心对称 C. 函数 ( )f x的图象向右平移 5 12 个单位后关于直线 5 6 x 成轴对称 D. 若圆半径为 5 12 ，则函数 ( )f x的解析式为 3 ( )sin 2 63 f xx 【答案】BD 【解析】 【分析】 由 图 易 得 点C的 横 坐 标 为 3 ， 所 以 ( )f x 的 周 期T， 所 以2, 从 而 可
14、得 ( )sin 20 3 f xAxA ， ，根据三角函数的图象性质对选项进行逐一分析可得答案. 【详解】由图易得点 C 的横坐标为 3 ，所以 ( )f x的周期T ，所以2，又0 6 f ， 所以 3 ，因此( )sin 20 3 f xAxA ， . 222, 232 kxkkZ 5 , 1212 kxkkZ 所以函数 ( )f x在 5 1212 kkkZ ， 上单调递增. 3 222, 232 kxkkZ 7 , 1212 kxkkZ 所以函数 ( )f x在 7 1212 kkkZ ，上单调递减. 则函数 ( )f x在 11 12 ，上单调递减，所以选项 A 不正确. 由2,
15、3 xkkZ ,得, 26 k xkZ 函数 ( )f x的图象的对称中心为0 , 26 k kZ ， 所以函数 ( )f x的图象关于点 2 ,0 3 成中心对称，故选项B正确. 函数 ( )f x的图象向右平移 5 12 个单位得到( )cos2f xAx ， 直线 5 6 x 不是此时的对称轴， 故选项 C 不 正确. 若圆半径为 5 12 ，则 22 35 2123 A ， 3 6 A ，函数 ( )f x的解折式为 3 ( )sin 2 63 f xx 故选：BD. 【点睛】本题考查根据三角函数的图象求解析式，考查三角函数的单调性和对称性等性质，属于中档题. 11. 正方体 1111
16、 ABCDABC D中，E 是棱 1 DD的中点，F在侧面 11 CDDC上运动，且满足 1 / /B F 平面 1 ABE. 以下命题正确的有( ) A. 侧面 11 CDDC上存在点 F，使得 11 B FCD B. 直线 1 B F与直线BC所成角可能为30 C. 平面 1 ABE与平面 11 CDDC所成锐二面角的正切值为2 2 D. 设正方体棱长为 1，则过点 E，F，A的平面截正方体所得的截面面积最大为 5 2 【答案】AC 【解析】 【分析】 取 11 C D中点 M， 1 CC中点 N，连接 11 ,B M B N MN，易证得平面 1 /B MN平面 1 ABE，可得点 F运
17、动轨 迹为线段MN取MN的中点 F，根据等腰三角形的性质得 1 B FMN，即有 11 B FCD，A 正确；当点 F 与点 M 或点 N 重合时， 直线 1 B F与直线BC所成角最大， 可判断 B错误； 根据平面 1 /B MN平面 1 ABE， 11 B FC 即为平面 1 B MN与平面 11 CDDC所成的锐二面角，计算可知 C正确； 【详解】取 11 C D中点 M， 1 CC中点 N，连接 11 ,B M B N MN，则易证得 11 / /B NAE， 1 / /MNAB，从而平 面 1 /B MN平面 1 ABE，所以点 F 的运动轨迹为线段MN 取MN的中点 F，因为 1
18、B MN是等腰三角形，所以 1 B FMN，又因为 1 / /MNCD，所以 11 B FCD， 故 A 正确； 设正方体的棱长为 a，当点 F 与点 M或点 N重合时，直线 1 B F与直线BC所成角最大，此时 11 tanC B F 11 tan30 23 ，所以 B 错误； 平面 1 /B MN平面 1 ABE，取 F为MN的中点，则 1 MNC F， 1 MNB F， 11 B FC 即为平面 1 B MN 与平面 11 CDDC所成的锐二面角， 11 11 1 tan BC B FC C F 2 2，所以 C 正确； 因为当 F 为 1 C E与MN的交点时，截面为菱形 1 AGC
19、E(G为 1 BB的交点)，面积为 6 2 ，故 D 错误. 故选：AC. 【点睛】本题主要考查线面角，二面角，截面面积的求解，空间几何中的轨迹问题，意在考查学生的直观 想象能力和数学运算能力，综合性较强，属于较难题 12. 如图，过点(2,0)P作两条直线2x和 :2(0)l xmym 分别交抛物线 2 2yx于 ,A B和,C D(其中 ,A C位于 x 轴上方)，直线,AC BD交于点 Q.则下列说法正确的是( ) A. ,C D两点的纵坐标之积为4 B. 点 Q在定直线2x上 C. 点 P与抛物线上各点的连线中，PA最短 D. 无论CD旋转到什么位置，始终有CQPBQP 【答案】AB
20、【解析】 【分析】 设点 1122 ,C x yD x y，联立直线与抛物线方程消x，利用韦达定理得到 12 4y y ，故 A 正确；由题 得(2,2), (2, 2)AB，写出直线AC的方程和BD的方程消去 y 得 1212 12 2 4 y yyy x yy ，将 12 4y y 代 入即可判断选项 B，计算,PA OP即可判断选项 C，由QAQB即可判断选项 D. 【详解】设点 1122 ,C x yD x y， 将直线 l的方程2xmy代入抛物线方程 2 2yx得： 2 240ymy. 则 12 4y y .故 A正确； 由题得(2,2), (2, 2)AB， 直线AC的方程为 1
21、2 2(2) 2 yx y ， 直线BD的方程为 2 2 2(2) 2 yx y ， 消去 y 得 1212 12 2 4 y yyy x yy ， 将 12 4y y 代入上式得2x， 故点 Q在直线2x上，故 B正确； 计算 1 2, 2 PAOP可知选项 C错误； 因为PAPB，但QAQB， 所以 D错误. 故选：AB. 【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的相关问题.属于中档题. 第第卷卷 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13. 如图所示，在平面直角坐标系中，(2, 3)CD ，则点 D 的坐标为_. 【答案】(4,1
22、) 【解析】 【分析】 点 D 的坐标为( , ) x y，由CD OD OC 可得答案. 【详解】设点 D的坐标为( , ) x y，则 (2,4)(2, 3)CDODOCxy， 即 22, 43, x y 解得4,1xy. 故答案为：(4,1) 【点睛】本题考查利用向量的坐标求点的坐标，属于基础题. 14. 已知函数 2 ln x fxax x ， 若曲线 yf x在 1,1f处的切线与直线210 xy 平行， 则a _. 【答案】 1 2 【解析】 【分析】 根据函数 2 ln x fxax x ， 求导， 再根据曲线 yf x在 1,1f处的切线与直线210 xy 平行， 由 11 2
23、2fa 求解. 【详解】因为函数 2 ln x fxax x ， 所以 2 1 ln 2 x fxax x ， 又因为曲线 yf x在 1,1f处的切线与直线210 xy 平行， 所以 11 22fa ， 解得 1 2 a ， 故答案为： 1 2 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 15. 过双曲线 22 22 10,0 yx ab ab 的下焦点 1 F作y轴的垂线，交双曲线于,A B两点，若以AB为直径 的圆恰好过其上焦点 2 F,则双曲线的离心率为_ 【答案】12 【解析】 过双曲线 22 22 10,0 yx ab ab 的下焦点 1 F作y轴的垂
24、线，交双曲线于A，B两点，则 2 2b AB a ， 以AB为直径的圆恰好过其上焦点 2 F，可得： 2 2 b c a ， 22 20caac ，可得 2 210ee ，解得 12e ， 12e 舍去，故答案为1 2 . 16. 已知函数 1,1 ln ,1 x xex f x x x x ， 其中e为自然对数的底数.若函数 g xf xkx有3个不同的零 点，则实数k的取值范围是_. 【答案】 1 0, 2e 【解析】 【分析】 本题先根据分段函数的解析式求出函数在各段内的最值并判断单调性，再将零点问题转化为交点问题，最 后根据函数图像解题即可. 【详解】(1)当1x时，( )(1)0 x
25、 f xxe，则( )(1) xxx fxexexe， 当0 x时，( )0fx ， ( )f x单调递减， 当01x时，( )0fx ， ( )f x单调递增， ( )f x在 0 x时取得极小值也即最小值 (0)1f ； (2)当1x 时， ln ( )0 x f x x ， 2 1 ln ( ) x fx x ， 当1xe时， 2 1 ln ( )0 x fx x ， ( )f x单调递增， 当xe时， 2 1ln ( )0 x fx x ， ( )f x单调递减， ( )f x在xe 时取得极大值也即最大值 1 ( )f e e ； 把函数( )( )g xf xkx有 3 个不同的零
26、点转化为( )yf x，y kx 有三个不同的交点问题； 当 ln x y x 与ykx相切时， 两函数图形恰好有两个交点，设切点坐标( , )A m n， 则 2 ln 1 ln m n m nkm m k m ，整理得 1 2 me ， 1 2 k e ，由图像观察得： 1 0 2 k e . 故答案为： 1 0, 2e . 【点睛】本题考查分段函数的单调性与最值，根据函数的零点的个数求参数的范围，是基础题. 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在 22 ()3abca
27、b，3 sincosacAaC，(2)sin(2)sin2 sinabAbaBcC， 这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答.已知ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c， 3c ，而且_. (1)求C； (2)求ABC周长的最大值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)条件选择见解析， 3 C ；(2)最大值为3 3. 【解析】 【分析】 (1)选可整理得 222 abcab，由余弦定理得 1 cos 2 C ，即可求得C的值； 选，由正弦定理，可得sin3sinsinsincosACAAC，得到3sincos1CC， 求得 1 sin 6
28、2 C ，进而求得C的值； 选，由正弦定理化简得 222 abcab，结合余弦定理，求得 1 cos 2 C ，即可求得C的值； (2)由(1)可得 3 C ，再由余弦定理求得 22 3abab，结合基本不等式，得到 2 2 3() ()33 4 ab abab ，进而求得ABC周长的最大值. 【详解】(1)选，把 22 ()3abcab，整理得 222 abcab， 由余弦定理得 222 1 cos 222 abcab C abab ， 因为(0, )C，所以 3 C . 选，因为3 sincosacAaC， 由正弦定理，可得sin3sinsinsincosACAAC， 因为(0, )A，则
29、sin0A，所以3sincos1CC， 可得 1 sin 62 C ， 又0C，所以 5 666 C ，故 66 C ，即 3 C . 选，因为(2)sin(2)sin2 sinabAbaBcC， 由正弦定理得： 2 (2)(2)2ab aba bc，即 222 abcab， 所以 222 cos 1 22 abc C ab ， 因为0C，所以 3 C . (2)由(1)可知， 3 C ， 在ABC中，由余弦定理得 22 2cos3ababC，即 22 3abab， 所以 2 2 3() ()33 4 ab abab ，当且仅当ab时取等号， 所以2 3ab，所以3 3abc， 即ABC周长的
30、最大值为3 3. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的 边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一 角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解. 18. 如图 1，在ABC中， 3 22 2, 4 ABBCABC ，D 为AC的中点，将ABD沿BD折起， 得到如图 2 所示的三棱锥PBCD，二面角PBD C为直二面角. (1)求证：平面PBC 平面PBD； (2)设 E为PC的中点， 3CFFB ，求二面角CDEF的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 6
31、 3 . 【解析】 【分析】 (1)根据条件求解出,CD BD的长度，由此判断出,BC BD的位置关系，再根据面面垂直的性质定理得到线 面垂直并结合面面垂直的判定定理完成证明； (2)建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量夹角的余弦值计算出二面角CDEF的余弦值. 【详解】(1)证明：在ABC中， 222 2cos20ACABBCAB BCABC ， 2 5AC ， D 为AC中点，5CD ， 又 1 () 2 BDBABC， 2221 21 4 BDBABA BCBC， 1BD ， 222, BDBCCD BCBD . 二面角PBD C为直二面角， 平面BCD平面PBD，又 平面BCD 平
32、面PBDBD， BC平面PBD. 又BC平面PBC，平面PBC 平面PBD. (2)以 B为坐标原点，BC所在直线为 x轴，BD所在直线为 y 轴，过点 B 且垂直于平面BCD的直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 可求得(0,0,0),(2,0,0)BC，(0,1,0), (0,2,2)DP，因为 E 为PC的中点， 3CFFB ，所以(1,1,1)E， 1 ,0,0 2 F ， 1 ( 2,1,0),(1,0,1), 1,0 2 CDDEDF ， 设平面CDE的法向量为 111 ,mx y z，平面FDE的法向量为 222 ,nx y z，则 0, 0, CD m DE m 得
33、11 11 20 0 xy xz ， 取(1,2, 1)m ， 0, 0, DF n DE n 得 22 22 20 0 xy xz ， 取 1 1, 1 2 n ， 1 1 16 cos, 39 6 4 m n ，所以二面角CDEF的余弦值为 6 3 . 【点睛】本题考查立体几何的综合应用，其中涉及了面面垂直的证明、二面角的向量求法，难度一般.(1) 面面垂直的证明思路：先证明线面垂直，再根据面面垂直的判定定理完成证明；(2)利用向量法求解二面角 的余弦值时，要注意结合图形判断二面角的平面角是钝角还是锐角. 19. 已知各项均为整数的数列 n a满足 3 1a ， 7 4a ，前 6项依次成
34、等差数列， 从第 5 项起依次成等 比数列 (1)求数列 n a通项公式； (2)求出所有的正整数 m ，使得 1212mmmmmm aaaa aa 【答案】(1) ；(2) m= 1，或 m=3 【解析】 【分析】 (1)首先根据条件前项成等差数列可以将，用公差的代数式表示，再由条件从第项起依次成等比 数列可以得到关于公差的方程： 2 (31)4(21)dd， 从而解得1d 或(舍去)， 即可得数列 的通项公式为 5 4,(4) 2 ,(5) n n nn a n ；(2)考虑到(1)中求得数列的分段性，因此首先可验证或时 符合题意，或时不合题意，接下来只需说明当，条件给出的方程无解即可：
35、535 12 2(21)72 mm mmm aaa ， 312 12 2 m mmm a aa 若 1212mmmmmm aaaa aa ，则 5312 722 mm ， 27 27 m ，而这是不可能成立的，从而得证. 【详解】(1)设数列前项的公差为d，则 5 1 2ad ， 6 1 3ad (d为整数) 又 5 a， 6 a， 7 a成等比数列， 2 (31)4(21)dd，即 2 91450dd，得1d 或(舍去)， 当6n 时，4 n an， 6 分 5 1a ， 6 2a ，数列从第项起构成的等比数列的公比为， 当5n时， 5 2n n a ，故 5 4,(4) 2 ,(5) n
36、n nn a n ， (2)由(1)知，当1m时等式成立，即32 16( 3) ( 2) ( 1) ， 当3m时等式成立，即1 0 10( 1) 0 1 ， 当2m或时等式不成立， 当时， 535 12 2(21)72 mm mmm aaa ， 312 12 2 m mmm a aa 若 1212mmmmmm aaaa aa ，则 5312 722 mm ， 27 27 m ， 5m， 27 28 m ，从而方程 27 27 m 无解， 1212mmmmmm aaaa aa . 故所求或 20. 设函数( )cos x f xaex，其中aR. (1)若1a ，证明：当0 x时，( )2f x
37、 ； (2)若 ( )f x在区间0, 内有两个不同的零点，求 a的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；(2) 3 4 2 , 2 ee . 【解析】 【分析】 (1)由( )sin0 x fxex得 ( )f x在(0,)上为增函数，则( )(0)2f xf 从而得证. (2)即 cos x x a e 在区间0, 内有两个不同的实数根,设 cos ( ), x x h x e 求出( )h x的导数， 研究出( )h x的 单调性，从而可得答案. 【详解】(1)( )sin x fxex， 由0 x，得1,sin 1,1 x ex ， 则( )sin0 x fxex，即 ( )f x在(
38、0,)上为增函数. 故 ( )(0)2f xf ，即( )2f x . (2)由( )cos0 x f xaex，得 cos x x a e . 设函数 cos ( ),0, x x h xx e ， 则 sincos ( ) x xx h x e . 令( )0h x ，得 3 4 x . 则 3 0, 4 x 时， 3 ( )0, 4 h xx 时，( )0h x ， 所以( )h x在 3 0, 4 上单调逼增，在 3 , 4 上单调减. 又因为 3 4 32 (0)1, ( ), 42 hhehe ， 所以当 3 4 2 , 2 aee 时，方程 cos x x a e 在区间0, 内
39、有两个不同解， 即所求实数 a的取值范围为 3 4 2 , 2 ee . 【点睛】本题考查利用导数证明不等式和利用导数研究零点问题，考查等价转化的能力，属于中档题. 21. 现有 4 个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个 人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏， 掷出点数为 1或 2 的人去参加甲游戏， 掷出点数大 于 2的人去参加乙游戏. ()求这 4个人中恰有 2人去参加甲游戏的概率； ()求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； ()用 X，Y分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分
40、布列与数 学期望. 【答案】(1) 8 27 (2) 1 9 (3) 148 ( ) 81 E 【解析】 【详解】解：依题意，这 4 个人中，每个人去参加甲游戏的概率为 1 3 ，去参加乙游戏的概率为 2 3 .设“这 4 个人中恰有 i人去参加甲游戏”为事件(i0,1,2,3,4)，则 ()这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏概率 ()设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件 B，则， 由于与互斥，故 所以，这 4 个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 1 9 () 的所有可能取值为 0,2,4.由于与互斥，与互斥，故 ， 所以 的分布列是 0 2
41、 4 P 8 27 40 81 17 81 随机变量 的数学期望 考点：1.离散型随机变量的期望与方差；2.相互独立事件的概率乘法公式；3.离散型随机变量及其分布列 22. 已知点 P是圆 22 :(2)32Qxy上任意一点，定点 (2,0)R ，线段PR的垂直平分线 l与半径PQ相 交于 M 点，P 在圆周上运动时，设点 M的运动轨迹为. (1)求点 M的轨迹的方程； (2)若点 N 在双曲线 22 1 42 xy (顶点除外)上运动，过点 N，R的直线与曲线相交于 ,A B，过点,N Q的 直线与曲线相交于,C D，试探究| |ABCD 是否为定值，若为定值请求出这个定值，若不为定值，请
42、说明理由. 【答案】(1) 22 1 84 xy ；(2)存在，定值为：6 2. 【解析】 【分析】 (1)根据椭圆定义即可求出结果；(2)设 00 ,N x y得直线,NR NQ的斜率乘积 12 k k 1 2 ，利用点斜式方程设 出直线 NR，NQ 的方程，与(1)的方程联立，写出根与系数的关系，利用弦长公式求出|AB|，|CD|的长度， 然后求和，通过计算可得出结果 【详解】(1)依题意：| |MPMR， 且| | | 4 24 |MRMQMQMPPQRQ， 由椭圆定义知点 M的轨迹为以 R，Q为焦点，长轴长为4 2，焦距为 4 的椭圆， 即：2 2,2,2acb， 故 22 :1 84
43、 xy . (2)设 00 ,N x y，则 22 00 0 1,2 42 xy x ， 直线,NR NQ的斜率都存在，分别设为12 ,k k， 则 2 0 2 000 1 2 22 0000 2 1 2 22442 x yyy k k xxxx ， 将直线NR的方程 1( 2)yk x 代入 22 1 84 xy 得 2222 111 218880kxk xk， 设 1122 ,A x yB x y，则 22 11 1212 22 11 888 , 2121 kk xxx x kk ， 2 2 2 1 11212 2 1 1 |144 2 21 k ABkxxx x k ， 同理可得 2 2 2 2 1 | 4 2 21 k CD k ， 2222 1211 222 121 2 1 2 1 2 1 1 1 1114 | 4 24 2 1 212121 1 2 3 21 2 4 26 2 21 kkkk ABCD kkk k k k 【点睛】本题考查了椭圆定义以及根与系数的关系，弦长公式，考查了学生的运算转化能力，属于中档题
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