1、20202021 学年学年高三高三第一学期第一学期 11 月六校联合调研月六校联合调研数学数学试题试题 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 40 分分.每小题给出的四个选项中，只有每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题意的一项是符合题意的 1. 已知i是虚数单位，则复数 4 1 i i 在复平面内对应的点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】 利用复数的乘除运算化简复数的代数形式，得到其对应坐标即知所在象限. 【详解】 44 (1) 2(1) 12 iii i
2、 i ，所以复数对应的坐标为(2,2)在第一象限， 故选：A 2. 已知集合 1 1 Ax y x ， 1 1Bx x ，则AB ( ) A. 1x x B. | 10 xx 或1x C. 01xx D. 11xx 【答案】B 【解析】 【分析】 先求得集合|1Ax x， |0Bx x或1x ，再根据集合的交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合 1 1 1 Ax yx x x ， 1 1 |0Bxx x x 或1x ， 根据集合的交集的运算，可得AB | 10 xx 或1x . 故选：B. 3. 已知命题p：xR ， 2 10axax ，命题q：函数1 x ya 是减函数，则命题p成立是
3、q成 立的( ) A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】 由命题条件得到对应的集合，根据集合的关系即可知命题p、q的关系. 【详解】命题p：xR ， 2 10axax 有 2 0 40 a aa 或0a，即04a， 命题q：函数1 x ya 是减函数有1 1a ，即0a， pq，qp， 命题p成立是q成立的既不充分也不必要条件. 故选：D 4. 已知非零向量a、b，若3a b， 2aab，则a与b的夹角是( ) A. 6 B. 3 C. 2 3 D. 5 6 【答案】A 【解析】 【分析】 设a与b的夹角为，由2a
4、ab可求得cos的值，结合0可求得的值. 【详解】设a与b的夹角为，3ab，2aab， 则 222 2 222cos32 3cos0aabaa baa bbb，可得 3 cos 2 ， 0Q， 6 . 故选：A. 5. 2020 年是“干支纪年法”中的庚子年.“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、 丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十 二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺 序为：甲子、乙丑、丙寅、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、癸未，甲申、乙酉、丙戌
5、、癸巳，.共得到 60 个组合，周而复始，循环记录.今年国庆节是小明 10 岁生日，那么他 80岁生日时的年份是“干支纪年法” 中的( ) A. 己亥年 B. 戊戌年 C. 庚戌年 D. 辛丑年 【答案】C 【解析】 【分析】 根据一个甲子的周期为 60年，故只需分别对“庚”和“子”向后推算 10即可 【详解】解：由于一个甲子是 60周年， 故小明 80 岁生日时和 20 岁生日的“干支纪年法”的年份一样， 故只需在 10 岁的基础上再向后推算 10即可， 由于“天干”以 10 为周期，故向后推算 10后还是“庚”， “地支”以 12 为周期， 故向后推算 10 后还是“戌”， 故他 80岁生
6、日时的年份是“干支纪年法”中的庚戌年. 故选：C. 【点睛】 本题考查逻辑推理能力， 是中档题.本题解题的关键是由已知得小明 80岁生日时和 20 岁生日的“干 支纪年法”的年份一样，进而只需求 2030年的小明 20 岁时的“干支纪年法”中的年份即可. 6. 已知直三棱柱 111 ABCABC的顶点都在球O上，且 4AB ， 1 6AA ，30ACB，则此直三棱柱 的外接球O的表面积是( ) A. 25 B. 50 C. 100 D. 500 3 【答案】C 【解析】 【分析】 设点 O 为ABC外接圆的圆心，根据30ACB，得到 AO B 是等边三角形，求得外接圆的半径 r， 再根据直三棱
7、柱 111 ABCABC的顶点都在球O上，由 2 2 1 5 2 AA Rr 求得，直三棱柱的外接球的 半径即可. 【详解】如图所示： 设点 O 为ABC外接圆的圆心， 因为30ACB， 所以60AO B，又OAOBr， 所以 AO B 是等边三角形， 所以4rOAOBAB， 又直三棱柱 111 ABCABC的顶点都在球O上， 所以外接球的半径为 2 2 1 5 2 AA Rr ， 所以直三棱柱的外接球O的表面积是 2 4100SR， 故选：C 7. 已知0a，0b，直线1 l：410 xay ， 2 l：220bxy，且 12 ll，则 11 12ab 的最 小值为( ) A. 2 B. 4
8、 C. 2 3 D. 4 5 【答案】D 【解析】 【分析】 根据 12 ll得到1 25ab ，再将 11 12ab 化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果. 【详解】因为 12 ll，所以240ba ，即1 25ab ， 因0,0ab，所以10,20ab ， 所以 11 12ab 11 12ab 1 12 5 ab 121 2 512 ba ab 1214 22 5125 ba ab ， 当且仅当 35 , 24 ab时，等号成立. 故选：D 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足三个条件： (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； (2)“二定”就
9、是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积 的因式的和转化成定值； (3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求 的最值，这也是最容易发生错误的地方 8. 已知0a，函数 2 1sincos2f xaxxxxa ，xR记函数 f x的值域为M，函 数 ffx的值域为N，若MN，则a的最大值是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 分析】 利用导数分析函数 f x的单调性，可得出1,Ma ，然后分10a 和10a 两种情况讨论， 利用函数 f x的单调性可求得N，验证MN是
10、否成立，由此可求得实数a的最大值. 【详解】0a， 2 1sincos2f xaxxxxa ， 211 cossinfxaxxx ， 22 sincos20fxaxxa ， 所以，函数 fx 在R上单调递增， 00 f Q，当0 x时， 0fx；当0 x时， 0fx. 所以，函数 f x在,0上单调递减，在0,上单调递增. min 0121f xfaa ，则函数 f x的值域为1,a ，即1,Ma . 当10a 时，即当1a 时，由上可知，函数 ffx的值域为1,Na，满足MN； 当10a 时，即当1a 时，由上可知，函数 ffx的值域为1 ,Nf a ， 且 101f afa，此时NM，不合
11、乎题意. 综上所述，实数a的最大值为1. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查含有参数的复合函数的值域问题，利用导数分析函数 f x的单调性，并求 出函数 f x的值域M是解题的关键， 其次就是要分10a 和10a 两种情况讨论， 结合函数 f x的 单调性求出复合函数 ffx的值域M，这次解决此类问题的常用方法. 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分分.每小题给出的四个选项中，有多每小题给出的四个选项中，有多 个选项符合题意全部选对的得个选项符合题意全部选对的得 5分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的
12、得分，有选错的得 0 分分 9. 若 11 22 ab ，则下列关系式中一定成立的是( ) A. 33 ab B. ab ee(2.718e) C. sincossincos ab (是第一象限角) D. 22 ln1ln1ab 【答案】BC 【解析】 【分析】 由已知得ab，根据各选项对应函数的单调性判断大小即可. 【详解】由 11 22 ab 知：ab， 33 ab， ab ee，即 A错误，B 正确； sincos2sin() 4 且 3 444 ，即1 sincos2 ，则有 sincossincos ab ，故 C正确； 22 ln1 ,ln1ab的大小不确定，故 D错误. 故选：B
13、C 【点睛】思路点睛：注意各选项函数的形式，根据对应函数的单调性比较大小. 1、如： 1 3, x xe 单调增函数； 2、对于sincos，根据所在象限确定其范围即可应用 x a的单调性判断大小； 3、由于ab无法确定 22 1,1ab的大小， 22 ln1 ,ln1ab的大小也无法确定. 10. 已知双曲线 1 C： 22 22 10,0 xy ab ab 的实轴长是 2， 右焦点与抛物线 2 C： 2 8yx的焦点F重合， 双曲线 1 C与抛物线 2 C交于A、B两点，则下列结论正确的是( ) A. 双曲线 1 C的离心率为2 3 B. 抛物线 2 C的准线方程是2x C. 双曲线 1
14、C的渐近线方程为 3yx D. 20 3 AFBF 【答案】BC 【解析】 【分析】 由题意可知1a ，2c 可写出双曲线 1 C的方程，进而可知其离心率、渐近线方程，由抛物线 2 C的方程知 准线方程，结合其定义有 AB AFBFxxp，即知正确的选项. 【详解】由双曲线 1 C： 22 22 10,0 xy ab ab 的实轴长为 2，可得 1a ， 又由抛物线 2 C： 2 8yx的焦点F重合，可得双曲线的右焦点为(2,0)，即2c ， 则 222 3bca，可知双曲线 1 C： 2 2 1 3 y x ， 所以双曲线 1 C的离心率为2 c e a ，抛物线 2 C的准线方程是2x，
15、双曲线 1 C的渐近线方程为 3yx ， 所以 A不正确；B、C正确， 联立方程组 2 22 8 33 yx xy ，解得 3 2 6 x y ， 所以3 3 410 AB AFBFxxp ，所以 D 不正确. 故选：BC. 【点睛】结论点睛： 1、抛物线 2 2ypx的焦点(,0) 2 p ，准线方程为 2 p x ，焦点弦AB长为 AB xxp； 2、双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 渐近线方程为 b yx a ； 11. 若数列 n a的前n项和是 n S， 且22 nn Sa， 数列 n b满足 2 log nn ba， 则下列选项正确的为( ) A. 数列 n a是等差
16、数列 B. 2n n a C. 数列 2 n a的前n项和为 21 22 3 n D. 数列 1 1 nn b b 的前n项和为 n T，则1 n T 【答案】BD 【解析】 【分析】 根据22 nn Sa，利用数列通项与前 n 项和的关系得 1, 1 ,2 n n S n a S n ，求得通项 n a，然后再根据选项求 解逐项验证. 【详解】当1n 时， 1 2a ， 当2n时，由22 nn Sa，得 11 22 nn Sa ， 两式相减得： 1 2 nn aa ， 又 21 2aa， 所以数列 n a是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列， 所以2n n a ， 2 4n n a，数
17、列 2 n a 的前n项和为 1 4 1 4 44 1 43 n n n S ， 则 22 loglog 2n nn ban， 所以 1 1111 11 nn b bnnnn ， 所以 1111111 .11 123411 n T nnn ， 故选：BD 【点睛】方法点睛：求数列的前 n项和的方法 (1)公式法：等差数列的前 n项和公式， 1 1 1 22 n n n aan n Snad 等比数列的前 n项和公式 1 1 ,1 1 ,1 1 n n na q Saq q q ； (2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解 (3)裂项相消法：把数列的通
18、项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项 (4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广 (5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的 前 n项和用错位相减法求解. (6)并项求和法：一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如 an(1)nf(n)类型， 可采用两项合并求解 12. 函数 cosf xA x(0A，0， 0 2 )的部分图象如图所示，已知函数 f x在区 间0,m有且仅有 3个极大值点，则下列说法正确的是( ) A. 函数 fx的最小正周期为 2 B. 点 9 ,0
19、4 为函数 f x的一个对称中心 C. 函数 f x的图象向左平移 3 2 个单位后得到 sin()yAx 的图象 D. 函数 f(x)在区间 3 25 m，0上是增函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】 由函数的图象求得( )cos() 4 f xx ，即可求 fx的最小正周期， f x的对称中心以及函数图象平 移后的解析式，根据0,m有且仅有 3 个极大值点得到 m的范围进而判断 f x在 3 25 m,0上的单调性. 【详解】由图知：1A且 1 42 T ，即 2 2T 有， 4 k ，kZ，结合已知可得： 4 ， ( )cos() 4 f xx ， 对于 A，函数 fx的最小正周期为
20、1 2 T ，错误； 对于 B，由 42 xk 有 3 4 xk，kZ，则 9 ,0 4 为 f x的一个对称中心，正确； 对于 C，函数 f x的图象向左平移 3 2 个单位， 33 ( )()cos()sin() 2244 g xf xxx ，正 确； 对于 D， f x在0,m有且仅有 3 个极大值点知：17 25 44 m，则 5133 100254 m ，而 f x在 3 ,0 4 单调增，则在 3 25 m,0上是增函数，正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：由图象可确定A、T，再结合图象中的点求写出解析式，对于函数 cosf xAx， fx最小正周期是原函数的一半；余弦函数c
21、osx的对称中心为 , 2 )0(k ；函 数水平移动 m，上下移动 n 可表示为()f xmn； 二、填空题二、填空题 13. 已知函数 f x满足 1f xf x，当0,1x时，函数 3xf x ，则 1 3 log 19f _. 【答案】 27 19 【解析】 【分析】 由 f x满足 1f xf x，得到函数 f x是以 2为周期的周期函数，结合对数的运算性质，即可求 解. 【详解】由题意，函数 f x满足 1f xf x，化简可得 2f xf x， 所以函数 f x是以 2 为周期的周期函数， 又由0,1x时，函数 3xf x ，且 1f xf x， 则 1333 3 9 (log
22、19)( log 19)( log 192)(log) 19 ffff 3 27 log 19 33 92727 (log1)(log)3 191919 ff . 故答案为： 27 19 【点睛】函数的周期性有关问题的求解策略： 1、求解与函数的周期性有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期； 2、解决函数周期性、奇偶性和单调性结合问题，通常先利用周期性中为自变量所在区间，再利用奇偶性和 单调性求解. 14. 某校进行体育抽测，小明与小华都要在50m跑、跳高、跳远、铅球、标枪、三级跳远这 6项运动中选 出 3项进行测试，假设他们对这 6项运动没有偏好，则他们选择的结果至少有 2项相同
23、的概率为_. 【答案】 1 2 【解析】 【分析】 由题意分析知，小明与小华选择的结果至少有 2项相同：有 2 项相同，有 3项相同，而他们选项目是相互 独立的，即总选法共有 33 66 C C种，即可算出概率. 【详解】由题意，两人在 6 项运动任选 3 项的选法： 33 66 400C C 种， 小明与小华选出 3项中有 2 项相同的选法： 211 643 180C C C 种， 小明与小华选出 3项中有 3 项相同的选法： 3 6 20C 种， 他们选择的结果至少有 2 项相同的概率为 2113 6436 33 66 1 2 C C CC P C C ， 故答案为： 1 2 . 【点睛】
24、关键点点睛：将选择的结果至少有 2 项相同的基本事件有 2项相同，有 3 项相同列出，再应用古 典概型求概率. 15. 已知边长是4的菱形ABCD，60A，点P是菱形ABCD内部一点，若320PAPBPC ，则 PBC与菱形ABCD的面积的比值是_. 【答案】 1 12 【解析】 【分析】 设ACBDO，以点O为坐标原点，OA、OB所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，根据 320PAPBPC 可求得点P的坐标，进而可求得PBC与菱形ABCD的面积的比值. 【详解】设ACBDO，则ACBD，以点O为坐标原点，OA、OB所在直线分别为x、y轴建立 平面直角坐标系，如下图所示： 则点2 3,0
25、A、0,2B、2 3,0C ， 设点,P x y，则2 3,PAxy，,2PBxy ，2 3,PCxy ， 由 320PAPBPC 可得 62 30 660 x y ，解得 3 3 1 x y ，即点 3 ,1 3 P ， 直线BC的方程为 1 22 3 xy ，即32 30 xy， 点P到直线32 30 xy的距离为 3 32 3 3 3 23 d ， 所以， 132 3 4 233 PBC S ，菱形ABCD的面积为 2 4sin608 3S ， 所以，PBC与菱形ABCD的面积的比值 2 311 3128 3 PBC S S . 故答案： 1 12 . 【点睛】思路点睛：本题考查几何图形
26、中的面积比值的计算，解决此类问题的常用有效方法是，建立合适 的直角坐标系，将几何关系转化为坐标关系，利用向量的坐标运算进行计算即可准确求解. 16. 已知对任意的0 x，不等式ln1 x xexax恒成立，则实数a的取值范围为_. 【答案】1a 【解析】 【分析】 由不等式恒成立构造( )ln1 x f xxexax，只需 min ( )0f x 成立：利用导函数研究( ) fx单调性知 0 (0,)x使 0 ()0fx，此时得 0 0 0 1 (1) x ax e x ，而 min0 ( )()0f xf x，构造( ) x h xxe得到 0 0 1 x e x 时( )0f x 恒成立，
27、进而可求a的取值范围. 【详解】由题意，对任意的0 x不等式ln10 x xexax 恒成立， 令( )ln1 x f xxexax，则 1 ( ) xx fxexea x ， 2 1 ( )20 xx fxexe x ， ( ) fx在(0, )上单调增，且 0 (0,)x使 0 ()0fx，即 0 0 0 1 (1) x ax e x ， ( )f x在 0 (0,)x上递减， 0 (,)x 上递增， 故： 00 2 min000000 ( )()ln1(ln)0 xx f xf xx exaxx ex ，即 00 0 0 ln x x x e x ， 而( ) x h xxe在(0,)上
28、单调增，又 1ln (ln) x h xx ， 0 0 1 ()(ln)h xh x ，即有 0 0 1 x e x 时( )0f x 恒成立， 0 0 0 000 111 (1)1 x x ax e xxx ， 故答案为：1a . 【点睛】关键点点睛： 1、构造( )ln1 x f xxexax，原不等式恒成立转化为0 x有 min ( )0f x成立； 2、由导数知 0 (0,)x使 0 ()0fx，此时保证 min0 ( )()0f xf x即原不等式恒成立； 3、由上得 00 0 0 ln x x x e x ，构造( ) x h xxe讨论单调性有 0 0 1 x e x . 三、解
29、答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的 文字说明，证明过程或演算步骤文字说明，证明过程或演算步骤 17. 在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，并且 1 coscossinsin 2 bACaBCb.请在 19b ，2c ，2sin3sinAC这三个条件中任选两个，将下面问题补充完整，并作答.注意：只 需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分. 问题：已知_，计算ABC的面积. 【答案】答案见解析. 【解析】 【分析】 由已知边角关系可
30、求B， 根据所选的条件结合正余弦定理求 , a c， 最后应用三角形面积公式即可求 ABC 的面积. 【详解】 1 coscossinsin 2 bACaBCb， 1 sincoscossinsinsinsin 2 BACABCB， 由sin0B，即 1 coscossinsin 2 ACAC，即 1 cos 2 AC， 又A CB，有 1 coscos 2 ACB ，即 1 cos 2 B ，且0B， 2 3 B 若选19b ，2c ， 222 2cosbacacB， 2 2150aa，即3a 或5a(舍)， ABC的面积 1133 3 sin3 2 2222 SacB ； 若选2c ，2s
31、in3sinAC 由2sin3sinAC，得23ac 又2c ， 3a ， ABC的面积 1133 3 sin3 2 2222 SacB ； 若选19b ，2sin3sinAC 由2sin3sinAC，得23ac， 222 2cosbacacB， 2 9a ，即3a 或3a(舍)， ABC的面积 1133 3 sin3 2 2222 SacB . 【点睛】关键点点睛：题设中含边角关系的等式，注意应用正余弦定理的边角互化、三角恒等变换、三角 形内角和，求其中的角或边，再应用三角形面积公式求三角形面积. 18. 已知等差数列 n a的前n项和为 n S， 3 7a ， 6 48S ，数列 n b满
32、足 1 22 nn bb ， 1 3b . (1)证明：数列2 n b 是等比数列，并求数列 n a与数列 n b通项公式； (2)若2 nnn cab，求数列 n c的前n项和 n T. 【答案】(1)证明见解析；21 n an； 1 1 2 2 n n b ， * nN；(2) 1 1 1025 2 n n Tn . 【解析】 【分析】 (1)根据等比数列的定义计算 1 2 2 n n b b 即可证出， 然后求出数列2 n b 的通项公式， 进而可求出数列 n b通 项公式；将 3 7a ， 6 48S 用基本量 1, a d表示，解方程组即可求出 1, a d，进而可求出数列 n a的
33、通项公 式； (2)根据(1)可得 1 1 221 2 n nnn cabn ，利用错位相减法即可求出数列 n c的前n项和 n T. 【详解】(1) 1 11 1 22 21 22 2222 nn n nnn bb b bbb ， 所以数列2 n b 是首项为 1 2b ，公比 1 2 q 等比数列， 所以 11 1 11 22 22 nn n bb ，即 1 1 2 2 n n b ， * nN； 由 31 61 27 6 5 648 2 aad Sad ，解得 1 3a ，2d ，所以 1 121 n aandn (2)由(1)知 1 1 221 2 n nnn cabn ， 所以 01
34、221 11111 3572121 22222 nn n Tnn ， 1231 111111 3572121 222222 nn n Tnn ， -得 1231 111111 321 222222 nn n Tn ， 1 11 1 22 1 3221 1 2 1 2 n n n 1 11 32 121 22 nn n 1 525 2 n n ， 所以 1 1 1025 2 n n Tn . 【点睛】方法点睛：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求 这个数列的前n项和即可用错位相减法求解.在写出 n S与 n qS的表达式时，应特别注意将两式“错位对 齐”，以
35、便下一步准确写出 nn SqS；作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号 19. 如图， 在四棱锥PABCD中， 已知PC 底面ABCD，ABAD，/AB CD，2AB ，1ADCD， BCPC，E是PB的中点. (1)求证：PB 平面EAC (2)求二面角PACE的大小. 【答案】(1)证明见解析；(2)45. 【解析】 【分析】 方法一： (1)应用线面垂直的判定证明PB 平面AEC； (2)由AC 平面PBC可确定PCE是二面角PACE的平面角，即可求PCE的大小. 方法二：构建以C为坐标原点，分别以射线CG、射线CD射线CP为 x 轴、y轴和z轴的正方向，建立 如图空间直角坐标系. (
36、1)利用向量的数量积为 0时两向量垂直证明线面垂直； (2)利用平面法向量的夹角与二面角的关系求二面角. 【详解】方法一： (1)PC 平面ABCD，AC 平面ABCD，得ACPC， 又1ADCD，在Rt ADC中，得 2AC ， 设AB中点为G，连接CG， 则四边形ADCG为边长为 1 的正方形，所以CGAB，且 2BC ， 因为 222 ACBCAB，所以ACBC， 又BCPCC，所以AC 平面PBC， 又PB 平面PBC，所以AC PB， 因为BCPC，E是PB的中点， 所以PBEC，因为ACECC，又AC，EC 平面AEC， PB 平面AEC (2)由(1)知AC 平面PBC，所以PC
37、E是二面角PACE的平面角， 因为PBC是等腰直角三角形，且E是PB的中点， 所以45PCE 所以二面角PACE的大小是45. 方法二： (1)AB中点为G，连接CG，以C为坐标原点，分别以射线CG、射线CD射线CP为 x 轴、y轴和z轴 的正方向，建立如图空间直角坐标系， 则0,0,0C，1,1,0A，1, 1,0B 又1ADCD，在Rt ADC中，得 2AC ， 设AB中点为G，连接CG，则四边形ADCG为边长为 1的正方形， 所以CGAB，且 2BC ，所以 2BCPC ，则(0,0,2)P， 因为E是PB的中点，所以 112 , 222 E ， 所以1,1,0CA， 112 , 222
38、 CE ，(1, 1,2)PB ， 112112 1,1,0,1100 222222 CA CE ， 112112 ,1, 1,21120 222222 PB CE ， 所以AC PB，PBEC，因为ACECC，又AC，EC 平面AEC， PB 平面AEC (2)PC 平面ABCD，BC平面ABCD，得PCBC. 因为 222 ACBCAB，所以ACBC，又ACPCC， 所以BC 平面PAC，所以CB是平面PAC一个法向量， 由(1)可知PB是平面AEC一个法向量， 1, 1,2PB ，1, 1,0CB ， 所以 1 11120 2 cos, 22 2 PB CB PB CB PB CB ，
39、所以二面角PACE的大小是45. 【点睛】方法点睛：应用几何法、向量法证明线线、线面垂直，求二面角. 1、几何法：根据相关判定或性质证线面垂直、线线垂直；根据线线、线面垂直关系以及特殊三角形的性质 找到二面角的平面角直接求其大小； 2、向量法：首先构建空间直角坐标系，利用向量的数量积为 0 时向量垂直证明线面、线线垂直；根据平面 法向量的夹角与二面角的关系求二面角的大小. 20. 某单位招考工作人员，须参加初试和复试，初试通过后组织考生参加复试，共 5000人参加复试，复试 共三道题，第一题考生答对得 3 分，答错得 0 分，后两题考生每答对一道题得 5分，答错得 0分，答完三道 题后得分之和
40、为考生的复试成绩. (1)通过分析可以认为考生初试成绩X服从正态分布 2 ( ,)N ，其中64， 2 169，试估计初试成 绩不低于 90分的人数； (2)已知某考生已通过初试，他在复试中第一题答对的概率为 3 4 ，后两题答对的概率均为 2 3 ，且每道题回答 正确与否互不影响.记该考生的复试试成绩为Y，求Y的分布列及数学期望. 附：若随机变量X服从正态分布 2 ( ,)N ，则0.6826PX， 220.9544PX，330.9974PX 【答案】(1)114人；(2)分布列见解析，107 12 . 【解析】 【分析】 (1)通过分析得64，13，2642 1390 ， 初试成绩不低于
41、90分的概率为90P X 求 得人数； (2)由题得Y的取值分别为 0，3，5，8，10，13，分别计算对应概率列出分布列得解. 【详解】(1)学生笔试成绩X服从正态分布 2 ,N ，其中64， 2 169， 2642 1390 1 9021 0.95440.0228 2 P XP X 估计笔试成绩不低于 90分的人数为0.0228 5000114人 (2)Y的取值分别为 0，3，5，8，10，13， 则 2 321 0(1) (1) 4336 P Y 2 3231 3(1) 433612 P Y 1 2 3221 5(1)(1) 4339 P YC 1 2 32231 8(1) 43393
42、P YC 2 321 10(1) ( ) 439 P Y 2 3231 13( ) 4393 P Y Y的分布为 故的分布列为： Y 0 3 5 8 10 13 P 1 36 1 12 1 9 1 3 1 9 1 3 111111321107 03581013 361293933612 E Y 【点睛】利用正态曲线的对称性求概率是常见的正态分布应用问题解题的关键是利用对称轴 =x确定所 求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时可借助图形判断 对于正态分布 2 ()N，由 =x是正态曲线的对称轴知： (1)对任意的a，有 ()()P XaP Xa ； (2) 00
43、1;()P XxP Xx (3)=()P aXbP XbP Xa 21. 已知椭圆C： 22 22 10 xy ab ab 离心率为 2 2 ，点 6 1, 2 在椭圆C上，P点坐标 1 0, 3 ，直 线l：y xm 交椭圆C于A、B两点，且PAPB. (1)求椭圆C的方程； (2)求 PAB 的面积. 【答案】(1) 22 1 42 xy ；(2) 4 10 9 . 【解析】 【分析】 (1)根据椭圆的离心率、过定点以及椭圆参数关系，即可求 22 ,a b，进而写出椭圆方程； (2)由PAPB即 PAB 为等腰三角形，结合直线与椭圆关系联立方程得AB中点E的坐标，由等腰三 角形的性质知PE
44、AB即可求参数 m，结合弦长公式、点线距求 PAB 的底、高，进而可求 PAB 的面 积. 【详解】解：(1)由题意可得 22 222 2 2 13 1 2 c a ab abc ，解得 2 2 4 2 a b ，所以椭圆C的方程为 22 1 42 xy (2)设 11 ,A x y， 22 ,B x y，AB中点为 00 ,E x y， 由 22 1 42 yxm xy 得 22 34240 xmxm， 22 1612 240mm 得66m， 12 4 3 m xx， 2 12 24 3 m x x ，所以 12 0 2 23 xxm x ， 00 3 m yxm ， 由PAPB，有PEAB
45、，所以 0 0 1 1 3 33 1 2 3 PE m y k m x ，得1m， 所以 12 4 3 xx， 12 2 3 x x ， 2 1212 1624 5 1424 933 ABkxxx x ， 此时，点 1 0, 3 P 到直线AB：10 xy 的距离 1 01 2 23 32 d ， 所以 PAB 的面积 14 52 24 10 2339 1 2 SAB d . 【点睛】思路点睛： 1、由等腰三角形性质，底边的中线与底边垂直，利用 1 2 1k k 即可求参数 m； 2、应用弦长公式、点线距离公式求得三角形的底边长、高. 22. 已知函数 lnf xaxxx， 2 1 bx g
46、x x a、bR， (1)讨论 f x的单调性； (2)已知函数 f x的极大值为 1， 若2b，设1nm，证明： f mg n； 设 t xf xg x，判断函数 t x零点个数，并说明理由. 【答案】(1) f x的单调增区间为 1 (0,) a e ，单调减区间为 1,a e ；(2)证明见解析；零点个数为 1 个，理由见解析. 【解析】 【分析】 (1)求出函数的导数，判断导数正负即可求出； (2)根据 f x的单调性可得 f nf m，又可得 2 2 1 ln 1 n g nf nnn n ，构造函数 2 2 1 ln 1 n nn n ，利用导数判断出单调性，即可判断 g nf n； 可得 t x零点个数等价于 2 ln1ln10 xxxb 在0,上解的个数， 求出导数， 利用导数研究 函数的单调性可判断. 【详解】解：(1) f x的定义域为0,， 因为 ln11 lnxaxxfa ， 令 0fx ，解得 1 0 a xe ；令 0fx，解得 1a
浙公网安备33030202001339号