1、2021 年四川省成都市中考数学模拟试卷（三）年四川省成都市中考数学模拟试卷（三） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分；每小题给出的四个选项，其中只有一项符合题分；每小题给出的四个选项，其中只有一项符合题 目要求）目要求） 1 （3 分）在有理数 2，0，1，3 中，任意取两个数相加，和最小是（ ） A2 B1 C3 D4 2 （3 分）下列几何体的主视图、左视图、俯视图都相同的是（ ） A B C D 3 （3 分）下列算式中，正确的是（ ） A （a3b）2a6b2 Ba2a3a C D（a3）2a6 4 （3 分）如图
2、，ABCD，ABCDCB，AC 与 BD 交于点 E，在图中全等三角形有（ ） A2 对 B3 对 C4 对 D5 对 5 （3 分） “PM2.5”是指大气中危害健康的直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们 含有大量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大危害，2.5 微米即 0.0000025 米将 0.0000025 用科学记数法表示为（ ） A2.510 7 B2.510 6 C2510 7 D0.2510 5 6 （3 分）将点 P（2，1）沿 x 轴方向向左平移 3 个单位，再沿 y 轴方向向上平移 2 个单位，所得的点的坐 标是（ ） A （1，1
3、） B （1，3） C （5，1） D （5，3） 7 （3 分）每年的 4 月 23 日为“世界读书日” ，某学校为了鼓励学生多读书，开展了“书香校园”的活动如 图是初三某班班长统计的全班 50 名学生一学期课外图书的阅读量（单位：本） ，则这 50 名学生图书阅读 数量的中位数、众数和平均数分别为（ ） A18，12，12 B12，12，12 C15，12，14.8 D15，10，14.5 8 （3 分）在平面直角坐标系中，平行四边形 ABCD 的顶点 A，B，D 的坐标分别是（0，0） ， （5，0） ， （2， 3） ，则顶点 C 的坐标是（ ） A （3，7） B （5，3） C （
4、7，3） D （8，2） 9 （3 分）如图，O 是ABC 的外接圆，连接 OA、OB，OBA50，则C 的度数为（ ） A30 B40 C50 D80 10 （3 分）如图，二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴的交点的横坐标分别为1、3，则下列结论 中，正确的有（ ） ac0； 2a+b0； 4a+2b+c0； 对于任意 x 均有 ax2+bxa+b A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 16 分）分） 11 （4 分）若，则 12 （4 分）在一不透明的袋子里装有除颜色外完全相同
5、的 4 个红色小球和绿色小球若干个，若从袋中随机 摸出一个小球是红色的概率为，则袋子里装有 个绿色小球 13（4 分） 一次函数 y1k1x+b1和 y2k2x+b2的图象交于点 （a， n） ， 直线 yn1 与 y1k1x+b1和 y2k2x+b2 的图象分别交于点 （b， n1） 和 （c， n1） 若 k10， k20， 则 a、 b、 c 从大到小排列应为 14 （4 分）如图，在长方形 ABCD 中，以点 A 为圆心，适当长为半径画弧，交 AD 于点 M、AB 于点 N，再 分别以点 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点 O，连接 AO 并延长；再分别以点 A、 C
6、 为圆心， 大于AC 的长为半径画弧， 两弧相交于 P、 Q 两点， 连接 PQ 并延长， 则图中 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 个小题，共个小题，共 54 分）分） 15 （12 分） （1）计算：+（） 24sin45+（2020）0； （2）化简： （） 16 （6 分）若方程 x2+（m4）x+m0 有两个不相等的实数根 x1和 x2，且 x1+x23，x1x2， 则 m 的取值范围为多少？ 17 （8 分）房山某中学改革学生的学习模式，变“老师要学生学习”为“学生自主学习” ，培养了学生自主 学习的能力小华与小明同学就“最喜欢哪种学习方式”随机调查了他们周围的一些同学
7、，根据收集到 的数据绘制了以下的两个统计图请根据下面两个不完整的统计图回答以下问题： （1）这次抽样调查中，共调查了 名学生； （2）补全两幅统计图； （3）根据抽样调查的结果，估算该校 1000 名学生中大约有多少人选择“小组合作学习”？ 18 （8 分）2013 年 3 月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测 仪在地面 A、B 两个探测点探测到 C 处有生命迹象已知 A、B 两点相距 4 米，探测线与地面的夹角分 别是 30和 45， 试确定生命所在点 C 的深度 （精确到 0.1 米， 参考数据：） 19 （10 分）如图，已知 A（4，） ，B（1，
8、a）是一次函数 yx+b 与反比例函数 y（m0，x 0）图象的两个交点，ACx 轴于 C，BDy 轴于 D （1）求 m、a 的值及一次函数表达式； （2）P 是线段 AB 上的一点，连接 PC，PD，若PCA 和PDB 面积相等，求点 P 坐标 20 （10 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，以 AC 为直径的O 与 AB 边交于点 D，过点 D 作O 的切线，交 BC 于 E （1）求证：点 E 是边 BC 的中点； （2）求证：BC2BDBA； （3）当以点 O、D、E、C 为顶点的四边形是正方形时，求证：ABC 是等腰直角三角形 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 5
9、个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 20 分）分） 21 （4 分）已知三个非负实数 a，b，c 满足：3a+2b+c5 和 2a+b3c1，若 m3a+b7c，则 m 的最小 值为 22 （4 分）如图，ABC 三边的中点 D，E，F 组成DEF，DEF 三边的中点 M，N，P 组成MNP，将 FPM 与ECD 涂成阴影假设可以随意在ABC 中取点，那么这个点取在阴影部分的概率 为 23 （4 分）如图，等腰 RtABC 中，ACB90，ACBC1，且 AC 边在直线 a 上，将ABC 绕点 A 顺时针旋转到位置可得到点 P1，此时 AP1；将位置的三角形绕点 P1顺时针旋转到位
10、置，可 得到点 P2，此时 AP21+；将位置的三角形绕点 P2顺时针旋转到位置，可得到点 P3，此时 AP3 2+；按此规律继续旋转，直至得到点 P2020为止，则 AP2020 24 （4 分）在平面内，先将一个多边形以点 O 为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应的线 段的比值为 k；再将所得多边形以点 O 为旋转中心，逆时针旋转一个角度 ，这种经过相似和旋转变化 的图形变换叫做旋转相似变换，记为 O（k，） ，O 为旋转相似中心，k 为相似比， 为旋转角如图， ABC 是边长为 1cm 的等边三角形， 将它作旋转相似变化 A （， 90） 得到ADE， 则 BD 长 cm 2
11、5 （4 分）如图，已知点 A 是双曲线 y在第一象限的分支上的一个动点，连接 AO 并延长交另一分支于 点 B，以 AB 为边作等边ABC，点 C 在第四象限随着点 A 的运动，点 C 的位置也不断变化，但点 C 始终在双曲线 y（k0）上运动，则 k 的值是 二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共 3 个小题，共个小题，共 30 分）分） 26 （8 分）某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为 10 元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价 部门规定这种产品的销售价不高于 18 元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量 y（千克）与销售价 x（元/千克）之间的函数关系如图所示： （1
12、）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）求每天的销售利润 W（元）与销售价 x（元/千克）之间的函数关系式当销售价为多少时，每天的 销售利润最大？最大利润是多少？ （3）该经销商想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应定为多少？ 27 （10 分）已知：如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 AC12cm，BD16cm点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，直线 EF 从点 D 出发，沿 DB 方向匀速运动， 速度为 1cm/s，EFBD，且与 AD，BD，CD 分别交于点 E，Q，F；当直线 EF
13、 停止运动时，点 P 也停 止运动连接 PF，设运动时间为 t（s） （0t8） 解答下列问题： （1）当 t 为何值时，四边形 APFD 是平行四边形？ （2）设四边形 APFE 的面积为 y（cm2） ，求 y 与 t 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻 t，使 S四边形APFE：S菱形ABCD17：40？若存在，求出 t 的值，并求出此时 P，E 两点间的距离；若不存在，请说明理由 28 （12 分）如图 1，已知抛物线的顶点为 A（0，1） ，矩形 CDEF 的顶点 C、F 在抛物线上，D、E 在 x 轴 上，CF 交 y 轴于点 B（0，2） ，且其面积为 8 （1）求此抛物
14、线的解析式； （2）如图 2，若 P 点为抛物线上不同于 A 的一点，连接 PB 并延长交抛物线于点 Q，过点 P、Q 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 S、R 求证：PBPS； 判断SBR 的形状； 试探索在线段 SR 上是否存在点 M，使得以点 P、S、M 为顶点的三角形和以点 Q、R、M 为顶点的三 角形相似？若存在，请找出 M 点的位置；若不存在，请说明理由 2021 年四川省成都市中考数学模拟试卷（三）年四川省成都市中考数学模拟试卷（三） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分；每
15、小题给出的四个选项，其中只有一项符合题分；每小题给出的四个选项，其中只有一项符合题 目要求）目要求） 1 （3 分）在有理数 2，0，1，3 中，任意取两个数相加，和最小是（ ） A2 B1 C3 D4 【分析】找出值最小的两个数相加即可 【解答】解： （1）+（3）4 故选：D 【点评】本题主要考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键 2 （3 分）下列几何体的主视图、左视图、俯视图都相同的是（ ） A B C D 【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形 【解答】解：A、圆柱的主视图和左视图都是长方形，俯视图是圆，故此选项错误； B、长方体的三
16、视图不相同，故此选项错误； C、圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，故此选项错误； D、球的主视图和左视图、俯视图都是圆，故此选项正确； 故选：D 【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键注意所有的看到的棱都应表现在三视图中 3 （3 分）下列算式中，正确的是（ ） A （a3b）2a6b2 Ba2a3a C D（a3）2a6 【分析】积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘同底数幂的除法，法则为： 底数不变，指数相减a p 任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1 【解答】解：A、 （a3b）2a3 2b12a6b2，故本选项正确； B、a2a3a2（1a） ；
17、故本选项错误； C、a （211）a01；故本选项错误； D、（a3）2（1）2a3 2a6；故本选项错误 故选：A 【点评】本题考查了整式的混合运算关于整式乘除法的法则和一些相关的知识点需熟练掌握且区分清 楚，才不容易出错 4 （3 分）如图，ABCD，ABCDCB，AC 与 BD 交于点 E，在图中全等三角形有（ ） A2 对 B3 对 C4 对 D5 对 【分析】根据题目的意思，可以推出ABCDCB；ABEDCE；ABDDCA；再分 别进行证明 【解答】解：ABCDCB； ABCD，ABCDCB， BCCB， ABCDCB； ABEDCE， ABCDCB， BACCDB， ABCD，AE
18、BDEC， ABECDE； ABDDCA， BACCDB，AEBDEC， ABDDCA， ABCD，BDAC， ABDDCA； 故选：B 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS，ASA、 HL同时考查了平行四边形的性质，题目比较容易 5 （3 分） “PM2.5”是指大气中危害健康的直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们 含有大量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大危害，2.5 微米即 0.0000025 米将 0.0000025 用科学记数法表示为（ ） A2.510 7 B2.510 6 C2510
19、7 D0.2510 5 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大数的科学记数 法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：0.00000252.510 6 故选：B 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10 n，其中 1|a|10，n 为由原数左边 起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 6 （3 分）将点 P（2，1）沿 x 轴方向向左平移 3 个单位，再沿 y 轴方向向上平移 2 个单位，所得的点的坐 标是（ ） A （1，1） B （1，3） C （5，1）
20、 D （5，3） 【分析】根据平移的方法：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减，即可得结论 【解答】解：将点 P（2，1）沿 x 轴方向向左平移 3 个单位， 再沿 y 轴方向向上平移 2 个单位，所得的点的坐标是（1，3） 故选：B 【点评】本题考查了坐标与图形变化平移，解决本题的关键是，在平面直角坐标系内，把一个图形各 个点的横坐标都加上（或减去）一个整数 a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移 a 个单位 长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数 a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下） 平移 a 个单位长度 （即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下
21、移减 ） 7 （3 分）每年的 4 月 23 日为“世界读书日” ，某学校为了鼓励学生多读书，开展了“书香校园”的活动如 图是初三某班班长统计的全班 50 名学生一学期课外图书的阅读量（单位：本） ，则这 50 名学生图书阅读 数量的中位数、众数和平均数分别为（ ） A18，12，12 B12，12，12 C15，12，14.8 D15，10，14.5 【分析】利用折线统计图得到 50 个数据，其中第 25 个数为 12 本，第 26 个数是 18 本，从而得到数据的 中位数，再求出众数和平均数 【解答】解：由折线统计图得这组数据的中位数为（12+18）215， 众数为 12， 平均数为（78
22、+1217+1815+2110）5014.8 故选：C 【点评】本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然 后把各点用线段依次连接起来以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化也考查了中位数、众数 和平均数 8 （3 分）在平面直角坐标系中，平行四边形 ABCD 的顶点 A，B，D 的坐标分别是（0，0） ， （5，0） ， （2， 3） ，则顶点 C 的坐标是（ ） A （3，7） B （5，3） C （7，3） D （8，2） 【分析】因为 D 点坐标为（2，3） ，由平行四边形的性质，可知 C 点的纵坐标一定是 3，又由 D 点相对 于 A 点横坐标
23、移动了 2，故可得 C 点横坐标为 2+57，即顶点 C 的坐标（7，3） 【解答】解：已知 A，B，D 三点的坐标分别是（0，0） ， （5，0） ， （2，3） ， AB 在 x 轴上， 点 C 与点 D 的纵坐标相等，都为 3， 又D 点相对于 A 点横坐标移动了 202， C 点横坐标为 2+57， 即顶点 C 的坐标（7，3） 故选：C 【点评】本题主要是对平行四边形的性质与点的坐标的表示及平行线的性质和互为余（补）角的等知识 的直接考查同时考查了数形结合思想，题目的条件既有数又有形，解决问题的方法也要既依托数也依 托形，体现了数形的紧密结合，但本题对学生能力的要求并不高 9 （3
24、分）如图，O 是ABC 的外接圆，连接 OA、OB，OBA50，则C 的度数为（ ） A30 B40 C50 D80 【分析】根据三角形的内角和定理求得AOB 的度数，再进一步根据圆周角定理求解 【解答】解：OAOB，OBA50， OABOBA50， AOB18050280， CAOB40 故选：B 【点评】此题综合运用了三角形的内角和定理以及圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心 角的一半 10 （3 分）如图，二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴的交点的横坐标分别为1、3，则下列结论 中，正确的有（ ） ac0； 2a+b0； 4a+2b+c0； 对于任意 x 均有
25、ax2+bxa+b A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】由抛物线开口方向得到 a0，利用抛物线与 x 轴的交点问题和抛物线的对称性得到抛物线的对 称轴为直线 x1，根据二次函数性质，x1 时，y 的值最小，所以 a+b+cax2+bx+c，分别分析得出答 案 【解答】解：抛物线开口向上， a0， 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方， c0， ac0，故正确； 抛物线与 x 轴的交点的坐标分别为（1，0） ， （3，0） ， 抛物线的对称轴为直线 x1，即1， 2a+b0，故正确； x3 时，y0， x2 时，4a+2b+c0，故错误； x1 时，y 的值最小， 对于任意 x，a+
26、b+cax2+bx+c， 即 ax2+bxa+b，所以正确 故选：C 【点评】本题考查了二次函数与不等式（组） ：函数值 y 与某个数值 m 之间的不等关系，一般要转化成 关于 x 的不等式，解不等式求得自变量 x 的取值范围；利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关 系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 16 分）分） 11 （4 分）若，则 【分析】对已知式子分析可知，原式可根据比例合比性质可直接得出比例式的值 【解答】解：根据得 3a5b，则 故答案
27、为： 【点评】主要考查了灵活利用比例的合比性质的能力 12 （4 分）在一不透明的袋子里装有除颜色外完全相同的 4 个红色小球和绿色小球若干个，若从袋中随机 摸出一个小球是红色的概率为，则袋子里装有 20 个绿色小球 【分析】根据概率公式列式计算即可 【解答】解：设袋子里有 x 个绿色小球， 根据题意得：， 解得：x20， 经检验 x20 是原方程的解， 故答案为：20 【点评】考查了概率公式的知识，解题的关键是根据概率公式列出方程，难度不大 13（4 分） 一次函数 y1k1x+b1和 y2k2x+b2的图象交于点 （a， n） ， 直线 yn1 与 y1k1x+b1和 y2k2x+b2 的
28、图象分别交于点（b，n1）和（c，n1） 若 k10，k20，则 a、b、c 从大到小排列应为 ca b 【分析】根据一次函数的性质即可得到结论 【解答】解：k10，k20， y1随 x 的增大而增大，y2随 x 的增大而减小， nn1， ab，ac， cab， 故答案为 cab 【点评】本题是两条直线的交点问题，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键 14 （4 分）如图，在长方形 ABCD 中，以点 A 为圆心，适当长为半径画弧，交 AD 于点 M、AB 于点 N，再 分别以点 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点 O，连接 AO 并延长；再分别以点 A、 C 为圆心， 大于A
29、C 的长为半径画弧， 两弧相交于 P、 Q 两点， 连接 PQ 并延长， 则图中 67 【分析】 先利用平行线的性质得到DAC68， 再根据基本作图得到AO平分DAB， 则DAO45， 根据基本作图得到 PQ 垂直平分 AC，所以190，然后利用互余计算出2，从而得到 的度数 【解答】解：四边形 ABCD 为矩形， ADBC， DACBCA68， 由作法得 AO 平分DAB， DAO9045， OAC684523， 由作法得 PQ 垂直平分 AC， 190， 290CAO902367， 267 故答案为 67 【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合
30、了几 何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本 性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了矩形的性质 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 个小题，共个小题，共 54 分）分） 15 （12 分） （1）计算：+（） 24sin45+（2020）0； （2）化简： （） 【分析】 （1）根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂可以解答本题； （2）根据分式的减法和除法可以解答本题 【解答】解： （1）+（） 24sin45+（2020）0 2+44+1 2+42+1 5； （2） （） 【点评】本题考查分式的混合运算、负整数指数
31、幂、特殊角的三角函数值、零指数幂，解答本题的关键 是明确它们各自的计算方法 16 （6 分）若方程 x2+（m4）x+m0 有两个不相等的实数根 x1和 x2，且 x1+x23，x1x2， 则 m 的取值范围为多少？ 【分析】由方程有两个不相等实数根结合根的判别式即可得出关于 m 的一元一次不等式，解不等式即可 得出 m 的取值范围，结合根与系数的关系可得出关于 m 的不等式，解不等式可得出答案 【解答】解：方程 x2+（m4）x+m0 有两个不相等的实数根， b24ac（m4）24（）0， 解得 m3 或 m1； 由题意得 x1+x2（4m）3， 解得 m7； x1x2， 解得 m2 综上所
32、述，2m1 或 3m7 【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，根据题意得出关于 m 的不等式是解题的关键 17 （8 分）房山某中学改革学生的学习模式，变“老师要学生学习”为“学生自主学习” ，培养了学生自主 学习的能力小华与小明同学就“最喜欢哪种学习方式”随机调查了他们周围的一些同学，根据收集到 的数据绘制了以下的两个统计图请根据下面两个不完整的统计图回答以下问题： （1）这次抽样调查中，共调查了 500 名学生； （2）补全两幅统计图； （3）根据抽样调查的结果，估算该校 1000 名学生中大约有多少人选择“小组合作学习”？ 【分析】 （1）根据个人自学后老师点拨的人数和所占的百
33、分比求出总人数即可； （2） 用小组合作学习的人数除以总人数得出小组合作学习所占的百分比， 用总人数减去其他学习方式的 人数求出教师传授的人数，再除以总人数，求出教师传授的人数所占的百分比，从而补全统计图； （3）用该校的总人数乘以“小组合作学习”所占的百分比即可得出答案 【解答】解： （1）这次抽样调查中，共调查的学生数是：500（名） ； 故答案为：500 （2）小组合作学习所占的百分比是：100%30%， 教师传授的人数是：50030015050（人） ， 教师传授所占的百分比是：100%10%； 补图如下： （3）根据题意得： 100030%300（人） 答：该校 1000 名学生中大
34、约有 300 人选择“小组合作学习” 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要 的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总 体的百分比大小 18 （8 分）2013 年 3 月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测 仪在地面 A、B 两个探测点探测到 C 处有生命迹象已知 A、B 两点相距 4 米，探测线与地面的夹角分 别是 30和 45， 试确定生命所在点 C 的深度 （精确到 0.1 米， 参考数据：） 【分析】过点 C 作 CDAB 于点 D，设 CDx，在
35、RtACD 中表示出 AD，在 RtBCD 中表示出 BD， 再由 AB4 米，即可得出关于 x 的方程，解出即可 【解答】解：过点 C 作 CDAB 于点 D， 设 CDx（m） ， 在 RtACD 中，CAD30， 则 ADCDcos30CDx（m） ， 在 RtBCD 中，CBD45， 则 BDCDx（m） ， 由题意得，ADBDAB，即xx4， 解得：x2（+1）5.5（m） ， 答：生命所在点 C 的深度为 5.5 米 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数知识表示 出相关线段的长度，注意方程思想的运用 19 （10 分）如图，已知 A（4
36、，） ，B（1，a）是一次函数 yx+b 与反比例函数 y（m0，x 0）图象的两个交点，ACx 轴于 C，BDy 轴于 D （1）求 m、a 的值及一次函数表达式； （2）P 是线段 AB 上的一点，连接 PC，PD，若PCA 和PDB 面积相等，求点 P 坐标 【分析】 （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征可计算出 m42，再把 B（1，a）代入 y 可求得 a2，然后把 A 点坐标代入 yx+b 求出 b，从而得到一次函数解析式； （2）连接 PC、PD，如图，设 P（x，x+） ，根据三角形面积公式得到（x+4）|1| （2x） ，解得 x，然后计算自变量为时的一次函数值即可得到 P
37、 点坐标 【解答】解： （1）反比例 y的图象过点（4，） ， m42， 把 B（1，a）代入 y得a2，解得 a2， yx+b 的图象过点 A（4，） （4）+b，解得 b， 一次函数的表达式是 yx+； （2）连接 PC、PD，如图，设 P（x，x+） ， PCA 和PDB 面积相等， （x+4）|1|（2x） ，解得 x， 当 x时，yx+， P 点坐标是（，） 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个 函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点注意用点的 坐标表示线段的长 20 （10 分）如图，在
38、RtABC 中，ACB90，以 AC 为直径的O 与 AB 边交于点 D，过点 D 作O 的切线，交 BC 于 E （1）求证：点 E 是边 BC 的中点； （2）求证：BC2BDBA； （3）当以点 O、D、E、C 为顶点的四边形是正方形时，求证：ABC 是等腰直角三角形 【分析】 （1）利用切线的性质及圆周角定理证明； （2）利用相似三角形证明； （3）利用正方形的性质证明 【解答】证明： （1）如图，连接 OD DE 为切线， EDC+ODC90； ACB90， ECD+OCD90 又ODOC， ODCOCD， EDCECD， EDEC； AC 为直径， ADC90， BDE+EDC90
39、，B+ECD90， BBDE， EDBE EBEC，即点 E 为边 BC 的中点； （2）AC 为直径， ADCACBBDC90， 又BB ABCCDB， ， BC2BDBA； （3）当四边形 ODEC 为正方形时，OCD45； AC 为直径， ADC90， CADADCOCD904545 RtABC 为等腰直角三角形 【点评】本题是几何证明题，综合考查了切线性质、圆周角定理、相似三角形、正方形、等腰直角三角 形等知识点试题着重对基础知识的考查，难度不大 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 20 分）分） 21 （4 分）已知三个非负实
40、数 a，b，c 满足：3a+2b+c5 和 2a+b3c1，若 m3a+b7c，则 m 的最小 值为 【分析】解方程组，用含 m 的式子表示出 a，b，c 的值，根据 a0，b0，c0，求得 m 的取值范围而 求得 m 的最小值 【解答】解：由题意可得， 解得 a3，b7，c， 由于 a，b，c 是三个非负实数， a0，b0，c0， m 所以 m最小值 故本题答案为： 【点评】本题考查了三元一次方程组和一元一次不等式的解法 22 （4 分）如图，ABC 三边的中点 D，E，F 组成DEF，DEF 三边的中点 M，N，P 组成MNP，将 FPM 与ECD 涂成阴影 假设可以随意在ABC 中取点，
41、 那么这个点取在阴影部分的概率为 【分析】先设阴影部分的面积是 x，得出整个图形的面积，再根据几何概率的求法即可得出答案 【解答】解：D、E 分别是 BC、AC 的中点， DE 是ABC 的中位线， EDAB，且 DEAB， CDECBA， ， SCDESCBA 同理，SFPMSFDESCBA SFPM+SCDESCBA 则 故答案是： 【点评】本题考查了三角形中位线定理和几何概率几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积 表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A） ；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比 例即事件（A）发生的概率 23 （4 分）如图，等腰 RtABC 中，AC
42、B90，ACBC1，且 AC 边在直线 a 上，将ABC 绕点 A 顺时针旋转到位置可得到点 P1，此时 AP1；将位置的三角形绕点 P1顺时针旋转到位置，可 得到点 P2，此时 AP21+；将位置的三角形绕点 P2顺时针旋转到位置，可得到点 P3，此时 AP3 2+；按此规律继续旋转，直至得到点 P2020为止，则 AP2020 1346+674 【分析】观察图形的变化可得，AP1；AP21+；AP32+；AP42+2；AP53+2；AP6 4+22（2+） ；发现规律即可求解 【解答】解：观察图形的变化可知： AP1； AP21+； AP32+； AP42+2； AP53+2； AP64+
43、22（2+） ； 发现规律： AP3nn（2+） ； AP3n+1n（2+）+； AP3n+2n（2+）+1 AP2020AP6733+1673（2+）+1346+674 故答案为：1346+674 【点评】本题考查了规律型图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律，总结规律， 运用规律 24 （4 分）在平面内，先将一个多边形以点 O 为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应的线 段的比值为 k；再将所得多边形以点 O 为旋转中心，逆时针旋转一个角度 ，这种经过相似和旋转变化 的图形变换叫做旋转相似变换，记为 O（k，） ，O 为旋转相似中心，k 为相似比， 为旋转角如图，
44、 ABC 是边长为 1cm 的等边三角形， 将它作旋转相似变化 A （， 90） 得到ADE， 则 BD 长 2 cm 【分析】已知 2 中ABC 旋转相似变换 A（，90） ，得到ADE，可推出BAD90，利用勾股 定理可求出 BD 的值 【解答】解： ABC 旋转相似变换 A（，90） ，得到ADE 以及 ADcm， 可推出BAD90， 利用勾股定理得到：BD2（cm） 故答案为：2 【点评】本题主要考查了几何变换综合题解答该题的关键是弄清楚 O（k，）所表达的含义，其中点 0 叫做旋转相似中心，k 叫做相似比， 叫做旋转角 25 （4 分）如图，已知点 A 是双曲线 y在第一象限的分支上
45、的一个动点，连接 AO 并延长交另一分支于 点 B，以 AB 为边作等边ABC，点 C 在第四象限随着点 A 的运动，点 C 的位置也不断变化，但点 C 始终在双曲线 y（k0）上运动，则 k 的值是 6 【分析】连接 OC，易证 AOOC，OCOA由AOC90想到构造 K 型相似，过点 A 作 AEy 轴， 垂足为 E， 过点 C 作 CFy 轴， 垂足为 F， 可证AEOOFC 从而得到 OFAE， FCEO. 设点 A 坐标为（a，b）则 ab2，可得 FCOF6设点 C 坐标为（x，y） ，从而有 FCOFxy6， 即 kxy6 【解答】解：双曲线 y关于原点对称， 点 A 与点 B
46、关于原点对称 OAOB 连接 OC，如图所示 ABC 是等边三角形，OAOB， OCABBAC60 tanOAC OCOA 过点 A 作 AEy 轴，垂足为 E， 过点 C 作 CFy 轴，垂足为 F， AEOE，CFOF，OCOA， AEOOFC，AOE90FOCOCF AEOOFC OCOA， OFAE，FCEO 设点 A 坐标为（a，b） ， 点 A 在第一象限， AEa，OEb OFAEa，FCEOb 点 A 在双曲线 y上， ab2 FCOFba3ab6 设点 C 坐标为（x，y） ， 点 C 在第四象限， FCx，OFy FCOFx （y）xy 6 xy6 点 C 在双曲线 y上，
47、 kxy6 故答案为：6 【点评】本题考查了等边三角形的性质、反比例函数的性质、相似三角形的判定与性质、点与坐标之间 的关系、特殊角的三角函数值等知识，有一定的难度由AOC90联想到构造 K 型相似是解答本题 的关键 二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共 3 个小题，共个小题，共 30 分）分） 26 （8 分）某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为 10 元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价 部门规定这种产品的销售价不高于 18 元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量 y（千克）与销售价 x（元/千克）之间的函数关系如图所示： （1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变
48、量 x 的取值范围； （2）求每天的销售利润 W（元）与销售价 x（元/千克）之间的函数关系式当销售价为多少时，每天的 销售利润最大？最大利润是多少？ （3）该经销商想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应定为多少？ 【分析】 （1）设函数关系式 ykx+b，把（10，40） ， （18，24）代入求出 k 和 b 即可，由成本价为 10 元/ 千克，销售价不高于 18 元/千克，得出自变量 x 的取值范围； （2） 根据销售利润销售量每一件的销售利润得到 w 和 x 的关系， 利用二次函数的性质得最值即可； （3）先把 y150 代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求出 x，再根据 x 的取值范围即可确定 x 的值 【解答】解： （1）设 y 与 x
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