1、2021 年山东省烟台市招远市中考数学一模试卷年山东省烟台市招远市中考数学一模试卷 一选择题（本大题共一选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 36 分）分） 1 （3 分）下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 2 （3 分）下列运算正确的是（ ） A2a33a26a6 B （x3）4x12 C （a+b）3a3+b3 D2mnmnmn 3 （3 分）数学老师为了判断小颖的数学成绩是否稳定，对小颖在中考前的 6 次模拟考试中的成绩进行了统 计，老师应最关注小颖这 6 次数学成绩的（ ） A方差 B中位数
2、C平均数 D众数 4 （3 分）如图，已知EOC 是平角，OD 平分BOC，在平面上画射线 OA，使AOC 和COD 互余，若 BOC56，则AOB 的度数为（ ） A118 B34 C90 或 34 D118 或 6 5 （3 分）2020 年的政府工作报告中，在回顾 2019 年的工作时提到：农村贫困人口减少 1109 万，贫困发 生率降至 0.6%，脱贫攻坚取得决定性成就将数据 1109 万用科学记数法表示为（ ） A0.1109108 B1.109106 C1.109107 D1.109108 6 （3 分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 7 （3 分）如图，
3、已知 AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，连接 OC 交O 于点 D，连接 BD若C 46，则B 的度数是（ ） A21 B22 C27 D28 8 （3 分）利用计算器求值时，小明将按键顺序为显示结果 记为 a，的显示结果记为 b则 a，b 的大小关系为（ ） Aab Bab Cab D不能比较 9 （3 分）小刚身高 1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为 0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长 为 1.11m，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ） A0.5m B0.52m C0.55m D2.22m 10 （3 分）有下列四个函数：y2xyxyy（x）2+，其中图象经过如图所示
4、的阴影部分（包括边界）的函数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 11 （3 分）如图，M 的半径为 2，圆心 M 的坐标为（3，4） ，点 P 是M 上的任意一点，PAPB，且 PA、 PB 与 x 轴分别交于 A、B 两点，若点 A、点 B 关于原点 O 对称，则 AB 的最小值为（ ） A3 B4 C6 D8 12 （3 分）已知二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，有以下结论： a+b+c0； ab+c1； abc0； 9a3b+c0； ca1 其中所有正确结论的序号是 （ ） A B C D 二填空题（本大题共二填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题
5、3 分，满分分，满分 18 分）分） 13 （3 分）的立方根是 14 （3 分）已知 x1，x2是一元二次方程 x24x70 的两个实数根，则 x12+3x1x2+x22的值是 15 （3 分）如图， “赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方 形由 4 个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵 爽弦图锣” ，其中ABC90，AC13cm，AB5cm，小明蒙上眼睛用棍子击中了锣面，他击中阴影 部分的概率是 16 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB6cm，BC5cm，将矩形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转得到
6、矩形 AB CD，AB交 CD 于点 E，且 DEBE，则 AE 的长为 17 （3 分）如图，在扇形 AOB 中，AOB90，点 C 为 OA 的中点，CEOA 交于点 E，以点 O 为圆 心，OC 的长为半径作交 OB 于点 D若 OA8，则图中阴影部分的面积为 18 （3 分）如图，MN 为O 的直径，A、B 是O 上的两点，过 A 作 ACMN 于点 C，过 B 作 BDMN 于点 D， P 为 DC 上的任意一点， 若 MN10， AC4， BD3， 则 PA+PB 的最小值是 三解答题（第三解答题（第 19 题各题各 6 分，第分，第 20、21 题各题各 8 分，第分，第 22、
7、23 题各题各 10 分，第分，第 24、25 题各题各 12 分）分） 19 （6 分）先化简，再求值：，其中 x 满足 x24x+30 20 （8 分） “金山银山，不如绿水青山” 某市不断推进“森林城市”建设，今春种植四类树苗，园林部门 从种植的这批树苗中随机抽取了 4000 棵，将各类树苗的种植棵数绘制成扇形统计图， 将各类树苗的成活 棵数绘制成条形统计图，经统计松树和杨树的成活率较高，且杨树的成活率为 97%，根据图表中的信息 解答下列问题： （1）扇形统计图中松树所对的圆心角为 度，并补全条形统计图 （2）该市今年共种树 16 万棵，成活了约多少棵？ （3） 园林部门决定明年从这四
8、类树苗中选两类种植，请用列表法或树状图求恰好选到成活率较高的两类 树苗的概率 （松树、杨树、榆树、柳树分别用 A，B，C，D 表示） 21 （8 分）烟台苹果享誉全国某水果超市计划从烟台购进“红富士”与“新红星”两种品种的苹果已 知 3 箱红富士苹果的进价与 4 箱新红星苹果的进价的和为 396 元，且每箱红富士苹果的进价比每箱新红 星苹果的进价贵 6 元 （1）求每箱“红富士”苹果的进价与每箱新红星苹果的进价分别是多少元？ （2）该水果超市计划再次购进 100 箱苹果，已知： “红富士”苹果的售价每箱 65 元， “新红星”苹果的 售价每箱 60 元，根据市场的实际需求， “红富士”苹果的数
9、量不低于“新红星”苹果数量的 4 倍为使 该水果超市售完这 100 箱苹果的总利润最大，该超市应如何进货？并求出最大利润 22 （10 分）如图，ABC 内接于O，AD 为O 的直径，BC 的延长线与过点 A 的直线相交于点 E，且 BEAC （1）求证：AE 是O 的切线； （2）已知 CFAE，CF 与 AB，AD 分别相交于点 F，H若 ABAF25，AD13，求 tanACF 的值 23（10 分） 如图是小强洗漱时的侧面示意图， 洗漱台 （矩形 ABCD） 靠墙摆放， 高 AD80cm， 宽 AB48cm， 小强身高 166cm，下半身 FG100cm，洗漱时下半身与地面成 80（F
10、GK80） ，身体前倾成 125 （EFG125） ，脚与洗漱台距离 GC15cm（点 D，C，G，K 在同一直线上） （1）此时小强头部 E 点与地面 DK 相距多少？ （2）小强希望他的头部 E 恰好在洗漱盆 AB 的中点 O 的正上方，他应向前或后退多少？ （sin800.98，cos800.17，1.41，结果精确到 0.1） 24 （12 分）探究发现： 如图 1， 将两块完全相同的含 45的直角三角板斜边重合， 拼成四边形 ABCD P 是对角线 BD 上一动点， APPE， 且点E在AD延长线上， PE交CD于点F， 连接PC 通过探究可以求出： CPE的度数 拓展延伸： （1）
11、若将“含 45的直角三角板”换成“含 30（ABDCBD30）的直角三角板” ，其他条件 不变，如图 2，直接写出CPE 的度数 ； （2）若将“含 45的直角三角形板”换成“含 30（ABDCBD30）的直角三角板” ，将“且 点 E 在 AD 延长线上”换成“且点 E 在线段 AD 上（不与点 A，D 重合） ” ，其他条件不变，如图 3，求 CPE 的度数（请说明理由） ； （3）在满足问题（1）或（2）的条件下，若 BD8，当点 P 在什么位置时，线段 CE 最短？最短值是多 少？（不写过程直接给出结果） 25 （12 分）如图，已知抛物线 yx2+bx+c 与一直线相交于 A（1，0
12、） ，C（2，3）两点，与 y 轴交于 点 N其顶点为 D （1）抛物线及直线 AC 的函数关系式； （2）若抛物线的对称轴与直线 AC 相交于点 B，E 为直线 AC 上的任意一点，过点 E 作 EFBD 交抛物 线于点 F，以 B，D，E，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点 E 的坐标；若不能，请说明 理由； （3）若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，求APC 的面积的最大值 （4）设点 M 的坐标为（3，m） ，直接写出使 MN+MD 的和最小时 m 的值 2021 年山东省烟台市招远市中考数学一模试卷年山东省烟台市招远市中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考
13、答案与试题解析 一选择题（本大题共一选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 36 分）分） 1 （3 分）下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意 故选：C 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关
14、键是寻找对称轴，图形两部分 沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合 2 （3 分）下列运算正确的是（ ） A2a33a26a6 B （x3）4x12 C （a+b）3a3+b3 D2mnmnmn 【分析】根据单项式乘单项式、幂的乘方、多项式乘多项式、合并同类项法则计算，判断即可 【解答】解：A、2a33a26a5，本选项计算错误，不符合题意； B、 （x3）4x12，本选项计算正确，符合题意； C、 （a+b）3a3+3a2b+3ab2+b3，本选项计算错误，不符合题意； D、2mnmn3mn，本选项计算错误，不符合题意； 故选：B 【点评】本题考查的
15、是单项式乘单项式、幂的乘方、多项式乘多项式、合并同类项，掌握它们的运算法 则是解题的关键 3 （3 分）数学老师为了判断小颖的数学成绩是否稳定，对小颖在中考前的 6 次模拟考试中的成绩进行了统 计，老师应最关注小颖这 6 次数学成绩的（ ） A方差 B中位数 C平均数 D众数 【分析】方差的意义：体现数据的稳定性，集中程度，波动性大小方差越小，数据越稳定 【解答】解：由于方差反映数据的波动大小，故老师最关注小颖这 6 次数学成绩的稳定性，就是关注这 6 次数学成绩的方差 故选：A 【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义 4 （3 分）如图，已知EOC 是平
16、角，OD 平分BOC，在平面上画射线 OA，使AOC 和COD 互余，若 BOC56，则AOB 的度数为（ ） A118 B34 C90 或 34 D118 或 6 【分析】先根据角平分线的性质求出COD 的度数，由两角互余的性质求出AOC 的度数，根据AOB AOC+BOC 或 AOBAOCBOC 即可得出结论 【解答】解：OD 平分BOC，BOC56， CODBOC5628 AOC 和COD 互余， AOC902862， AOBAOC+BOC62+56118 若点 A 在 A位置，则AOBAOCBOC62566 故选：D 【点评】本题考查的是余角和补角，熟知两角互余的定义是解答此题的关键
17、5 （3 分）2020 年的政府工作报告中，在回顾 2019 年的工作时提到：农村贫困人口减少 1109 万，贫困发 生率降至 0.6%，脱贫攻坚取得决定性成就将数据 1109 万用科学记数法表示为（ ） A0.1109108 B1.109106 C1.109107 D1.109108 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正整数；当原数的绝对值1 时，n 是负整数 【解答】解：1109 万110900001.109107 故选：
18、C 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 6 （3 分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小 无解了确定不等式组的解集 【解答】解：解不等式 2x+13，得：x1， 解不等式x3，得 x3， 不等式组的解集为3x1， 故选：A 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同 小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答
19、此题的关键 7 （3 分）如图，已知 AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，连接 OC 交O 于点 D，连接 BD若C 46，则B 的度数是（ ） A21 B22 C27 D28 【分析】 先根据切线的性质得OAC90， 再利用互余计算出AOC90C44， 由于OBD ODB，利用三角形的外角性质得OBDAOC22 【解答】解：AC 是O 的切线， OAAC， OAC90， AOC90C904644， OBOD， OBDODB， 而AOCOBD+ODB， OBDAOC22， 即ABD 的度数为 22， 故选：B 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了等腰三角形的性
20、质 8 （3 分）利用计算器求值时，小明将按键顺序为显示结果 记为 a，的显示结果记为 b则 a，b 的大小关系为（ ） Aab Bab Cab D不能比较 【分析】由计算器的使用得出 a、b 的值即可 【解答】解：由计算器知 a（sin30） 416、b 12， ab， 故选：B 【点评】本题主要考查计算器基础知识，解题的关键是掌握计算器的使用 9 （3 分）小刚身高 1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为 0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长 为 1.11m，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ） A0.5m B0.52m C0.55m D2.22m 【分析】根据在同一时物体的高度和影
21、长成正比，设出手臂竖直举起时总高度 x，即可列方程解出 x 的 值，再减去身高即可得出小刚举起的手臂超出头顶的高度 【解答】解：设手臂竖直举起时总高度 xm，列方程得： ， 解得 x2.22， 2.221.70.52m， 所以小刚举起的手臂超出头顶的高度为 0.52m 故选：B 【点评】本题考查相似三角形的应用，平行投影等知识，解答此题的关键是明确在同一时刻物体的高度 和影长成正比 10 （3 分）有下列四个函数：y2xyxyy（x）2+，其中图象经过如图所示 的阴影部分（包括边界）的函数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据题目中的函数解析式和性质，可以判断是否符合题
22、意，从而可以解答本题 【解答】解：在函数 y2x 中，当 x1 时，y2，故符合题意； 函数 yx 的图象经过二、四象限，故不符合题意； 函数 y经过一、三象限，当 x2 时，y2，故符合题意； 函数 y（x）2+的图象开口向下，对称轴是直线 x当 x1 时，y3，当 x2 时，y 3，故不符合题意； 故选：B 【点评】 本题考查一次函数的图象、 二次函数的图象、 反比例函数的图象， 解答本题的关键是明确题意， 利用它们的性质解答 11 （3 分）如图，M 的半径为 2，圆心 M 的坐标为（3，4） ，点 P 是M 上的任意一点，PAPB，且 PA、 PB 与 x 轴分别交于 A、B 两点，若
23、点 A、点 B 关于原点 O 对称，则 AB 的最小值为（ ） A3 B4 C6 D8 【分析】由 RtAPB 中 AB2OP 知要使 AB 取得最小值，则 PO 需取得最小值，连接 OM，交M 于点 P，当点 P 位于 P位置时，OP取得最小值，据此求解可得 【解答】解：PAPB， APB90， AOBO， AB2PO， 若要使 AB 取得最小值，则 PO 需取得最小值， 连接 OM，交M 于点 P，当点 P 位于 P位置时，OP取得最小值， 过点 M 作 MQx 轴于点 Q， 则 OQ3、MQ4， OM5， 又MP2， OP3， AB2OP6， 故选：C 【点评】本题主要考查点与圆的位置关
24、系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 得出 AB 取得最小值时点 P 的位置 12 （3 分）已知二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，有以下结论： a+b+c0； ab+c1； abc0； 9a3b+c0； ca1 其中所有正确结论的序号是 （ ） A B C D 【分析】由图象可知，a0，c1，对称轴 x1，即 b2a；当 x1 时，y0；当 x 1 时，y1；abc2a20；当 x3 时，y0；ca1a1 【解答】解：由图象可知，a0，c1， 对称轴 x1， b2a， 当 x1 时，y0， a+b+c0，故正确； 当 x1 时，y1， ab+c1，故正确； a
25、bc2a20，故正确； 由图可知当 x3 时，y0， 9a3b+c0，故正确； ca1a1，故正确； 正确， 故选：D 【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键 二填空题（本大题共二填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 13 （3 分）的立方根是 2 【分析】先根据算术平方根的定义求出，再利用立方根的定义解答 【解答】解：8264， 8， 8， （2）38， 的立方根是2 故答案为：2 【点评】本题考查了立方根与算术平方根的定义，是易错题，熟记概念是解题的关键 14 （3 分）已知 x1，x2是一元二次方
26、程 x24x70 的两个实数根，则 x12+3x1x2+x22的值是 9 【分析】先根据根与系数的关系得到 x1+x24，x1x27，然后利用整体代入的方法计算 【解答】解：根据题意得 x1+x24，x1x27， 所以 x12+3x1x2+x22（x1+x2）2+x1x21679 故答案为：9 【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的两根时，x1+x2 ，x1x2 15 （3 分）如图， “赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方 形由 4 个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学小
27、组制作了一面“赵 爽弦图锣” ，其中ABC90，AC13cm，AB5cm，小明蒙上眼睛用棍子击中了锣面，他击中阴影 部分的概率是 【分析】求出阴影部分的面积和大正方形的面积即可 【解答】解：在 RtABC 中，由勾股定理得， BC12（cm） ， 阴影部分正方形的边长为 1257（cm） ， 阴影部分正方形的面积为 7749（cm2） ， 大正方形的面积为 1313169（cm2） ， 击中阴影部分的概率是， 故答案为： 【点评】本题考查几何概率，求出阴影部分的面积和大正方形的面积是得出正确答案的前提 16 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB6cm，BC5cm，将矩形 ABCD 绕点
28、A 逆时针旋转得到矩形 AB CD，AB交 CD 于点 E，且 DEBE，则 AE 的长为 cm 【分析】由旋转的性质可得 ABAB6cm，在 RtADE 时，由勾股定理可求 DE 的长，即可求解 【解答】解：将矩形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转得到矩形 ABCD， ABAB6cm， DEBE， AEABBEABDE， AD2+DE2AE2， 25+DE2（6DE）2， DE， AE6（cm） ， 故答案为：cm 【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，利用勾股定理列出方程可求解 17 （3 分）如图，在扇形 AOB 中，AOB90，点 C 为 OA 的中点，CEOA 交于点 E，以点 O
29、 为圆 心，OC 的长为半径作交 OB 于点 D若 OA8，则图中阴影部分的面积为 【分析】连接 OE、AE，根据点 C 为 OC 的中点可得CEO30，继而可得AEO 为等边三角形，求 出扇形 AOE 的面积，最后用扇形 AOB 的面积减去扇形 COD 的面积，再减去（S弓形AE+SAEC）可求出阴 影部分的面积 【解答】解：连接 OE、AE， 点 C 为 OA 的中点， EO2OC， CEO30，EOC60， AEO 为等边三角形， S扇形AOE， S阴影S扇形AOBS扇形COD（S扇形AOESCOE） （） 164+8 +8， 故答案为：+8 【点评】本题考查了扇形的面积计算，解答本题的
30、关键是掌握扇形的面积公式：S 18 （3 分）如图，MN 为O 的直径，A、B 是O 上的两点，过 A 作 ACMN 于点 C，过 B 作 BDMN 于点 D，P 为 DC 上的任意一点，若 MN10，AC4，BD3，则 PA+PB 的最小值是 7 【分析】先由 MN10 求出O 的半径，再连接 OA、OB，由勾股定理得出 OD、OC 的长，作点 B 关于 MN 的对称点 B，连接 AB，则 AB即为 PA+PB 的最小值，BDBD3，过点 B作 AC 的垂线， 交 AC 的延长线于点 E，证出ABE 是等腰直角三角形即可得出结果 【解答】解：MN10， O 的半径5， 连接 OA、OB， 在
31、 RtOBD 中，OB5，BD3， OD4， 同理，在 RtAOC 中，OA5，AC4， OC3， CD4+37， 作点 B 关于 MN 的对称点 B，连接 AB， 则 AB即为 PA+PB 的最小值，BDBD3， 过点 B作 AC 的垂线，交 AC 的延长线于点 E，如图所示： 则四边形 CDBE 是矩形， BECD7，CEDBDB3， AEAC+CE4+37，BECD7， ABE 是等腰直角三角形， ABAE7， 故答案为：7 【点评】本题考查了勾股定理、轴对称、等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识；熟 练掌握最小值的求法是解题的关键 三解答题（第三解答题（第 19 题各题各
32、 6 分，第分，第 20、21 题各题各 8 分，第分，第 22、23 题各题各 10 分，第分，第 24、25 题各题各 12 分）分） 19 （6 分）先化简，再求值：，其中 x 满足 x24x+30 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出 x 的值代入进行计算即可 【解答】 解： 原式 ， x 满足 x24x+30， （x3） （x1）0， x13，x21， 当 x3 时，原式； 当 x1 时，原式无意义 故分式的值为 【点评】本题考查的是分式的化简求值，用到的知识点是通分、完全平方公式、约分和一元二次方程的 解法，熟知分式运算的法则是解答此题的关键 20 （8 分） “
33、金山银山，不如绿水青山” 某市不断推进“森林城市”建设，今春种植四类树苗，园林部门 从种植的这批树苗中随机抽取了 4000 棵，将各类树苗的种植棵数绘制成扇形统计图， 将各类树苗的成活 棵数绘制成条形统计图，经统计松树和杨树的成活率较高，且杨树的成活率为 97%，根据图表中的信息 解答下列问题： （1）扇形统计图中松树所对的圆心角为 144 度，并补全条形统计图 （2）该市今年共种树 16 万棵，成活了约多少棵？ （3） 园林部门决定明年从这四类树苗中选两类种植，请用列表法或树状图求恰好选到成活率较高的两类 树苗的概率 （松树、杨树、榆树、柳树分别用 A，B，C，D 表示） 【分析】 （1）求
34、出“松树”所占的百分比，即可求出“松树”所占的圆心角的度数，求出“杨树”成活 的棵数即可补全条形统计图； （2）求出样本的总成活率，估计总体成活率，进而求出成活的棵数； （3）用列表法列举出所有等可能出现的情况，从中找出“选到成活率较高的两类树苗，就 A、B”的结 果数，进而求出概率 【解答】解： （1）松树所对应的圆心角度数：360（115%20%25%）144， 杨树成活的棵数：400025%97%970（棵） ， 故答案为：144，补全条形统计图如图所示： （2）160000150000（棵） 答：该市今年共种树 16 万棵，成活了约 15 万棵； （3）用列表法表示所有可能出现的结果如
35、下： （松树、杨树、榆树、柳树分别用 A，B，C，D 表示） 共有 12 种等可能出现的结果数，其中选中松树和杨树的有 2 种， 选到成活率较高的两类树苗的概率为 答：选到成活率较高的两类树苗的概率为 【点评】考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量及数量之间的关系是解 决问题的关键， 样本估计总体是统计中常用的方法； 还考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率， 使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件 21 （8 分）烟台苹果享誉全国某水果超市计划从烟台购进“红富士”与“新红星”两种品种的苹果已 知 3 箱红富士苹果的进价与 4 箱新红星苹果
36、的进价的和为 396 元，且每箱红富士苹果的进价比每箱新红 星苹果的进价贵 6 元 （1）求每箱“红富士”苹果的进价与每箱新红星苹果的进价分别是多少元？ （2）该水果超市计划再次购进 100 箱苹果，已知： “红富士”苹果的售价每箱 65 元， “新红星”苹果的 售价每箱 60 元，根据市场的实际需求， “红富士”苹果的数量不低于“新红星”苹果数量的 4 倍为使 该水果超市售完这 100 箱苹果的总利润最大，该超市应如何进货？并求出最大利润 【分析】 （1）根据 3 箱红富士苹果的进价与 4 箱新红星苹果的进价的和为 396 元，且每箱红富士苹果的 进价比每箱新红星苹果的进价贵 6 元，可以列
37、出相应的二元一次方程组，从而可以求得每箱“红富士” 苹果的进价与每箱新红星苹果的进价分别是多少元； （2）设购买“红富士”苹果 x 箱，获得总利润为 w 元，根据总利润“红富士”苹果的利润+“新红星” 苹果的利润，可以写出 w 与 x 之间的函数关系式，根据一次函数的性质即可得出结论 【解答】解： （1）设每箱“红富士”苹果的进价与每箱“新红星”苹果的进价分别是 x 元、y 元， ， 解得：， 答：每箱“红富士”苹果的进价与每箱“新红星”苹果的进价分别是 60 元，54 元； （2）设购买“红富士”苹果 x 箱，获得利润为 w 元，由题意得： w（6560）x+（6054） （100 x）x+
38、600， k10， w 随 x 的增大而减小， “红富士”苹果的数量不低于“新红星”苹果数量的 4 倍 x4（100 x） ， x80， 当 x80 时，w 取得最大值 此时 wx+60080+600520（元） ， 100 x1008020（箱） ， 答：为使该水果超市售完这 100 箱苹果的总利润最大，该超市应购进“红富士”与“新红星”两种品种 的苹果各 80 箱和 20 箱最大利润为 520 元 【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键 是明确题意，利用一次函数的性质解答 22 （10 分）如图，ABC 内接于O，AD 为O 的直径，BC
39、 的延长线与过点 A 的直线相交于点 E，且 BEAC （1）求证：AE 是O 的切线； （2）已知 CFAE，CF 与 AB，AD 分别相交于点 F，H若 ABAF25，AD13，求 tanACF 的值 【分析】 （1）连接 CD，由圆周角定理得出 AEAD，则可得出结论； （2）证明ABCACF，由相似三角形的性质得出，由勾股定理及锐角三角函数的定义可得 出答案 【解答】 （1）证明：连接 CD， AD 是直径， ACD90，即D+CAD90， BD，BEAC， CAD+EAC90， AEAD， A 为半径外端， AE 是O 的切线； （2）解：CFAE， ACFEAC， BEAC， BA
40、CF， BACCAF， ABCACF， ， ABAF12， AC2ABAF12， AC0， AC， 在 RtACD 中，AD6， CD， tanD， BACF，BD， ACFD tanACFtanD 【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题关 键是灵活运用所学知识解决问题 23（10 分） 如图是小强洗漱时的侧面示意图， 洗漱台 （矩形 ABCD） 靠墙摆放， 高 AD80cm， 宽 AB48cm， 小强身高 166cm，下半身 FG100cm，洗漱时下半身与地面成 80（FGK80） ，身体前倾成 125 （EFG125） ，脚与洗漱台距离 G
41、C15cm（点 D，C，G，K 在同一直线上） （1）此时小强头部 E 点与地面 DK 相距多少？ （2）小强希望他的头部 E 恰好在洗漱盆 AB 的中点 O 的正上方，他应向前或后退多少？ （sin800.98，cos800.17，1.41，结果精确到 0.1） 【分析】 （1）过点 F 作 FNDK 于 N，过点 E 作 EMFN 于 M求出 MF、FN 的值即可解决问题； （2）求出 OH、PH 的值即可判断； 【解答】解： （1）过点 F 作 FNDK 于 N，过点 E 作 EMFN 于 M EF+FG166，FG100， EF66， FGK80， FN100sin8098， EFG1
42、25， EFM1801251045， FM66cos453346.53， MNFN+FM144.5， 此时小强头部 E 点与地面 DK 相距约为 144.5cm （2）过点 E 作 EPAB 于点 P，延长 OB 交 MN 于 H AB48，O 为 AB 中点， AOBO24， EM66sin4546.53， PH46.53， GN100cos8017，CG15， OH24+15+1756，OPOHPH5646.539.479.5， 他应向前约 9.5cm 【点评】本题考查直角三角形的应用，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造 直角三角形解决问题，属于中考常考题型 24 （
43、12 分）探究发现： 如图 1， 将两块完全相同的含 45的直角三角板斜边重合， 拼成四边形 ABCD P 是对角线 BD 上一动点， APPE， 且点E在AD延长线上， PE交CD于点F， 连接PC 通过探究可以求出： CPE的度数 90 拓展延伸： （1）若将“含 45的直角三角板”换成“含 30（ABDCBD30）的直角三角板” ，其他条件 不变，如图 2，直接写出CPE 的度数 60 ； （2）若将“含 45的直角三角形板”换成“含 30（ABDCBD30）的直角三角板” ，将“且 点 E 在 AD 延长线上”换成“且点 E 在线段 AD 上（不与点 A，D 重合） ” ，其他条件不变
44、，如图 3，求 CPE 的度数（请说明理由） ； （3）在满足问题（1）或（2）的条件下，若 BD8，当点 P 在什么位置时，线段 CE 最短？最短值是多 少？（不写过程直接给出结果） 【分析】 （1）先根据 SAS 求证ADPCDP 得出DAPDCP，再证DEFPCF 得出CPF EDF，最后根据EDF90即可得出所求角的度数； （2）同（1）可证CPFEDF，此时EDF60即可得出所求角的度数； （3）根据直角三角形的性质得出当 APBD 时 CE 最短，此时可证PCE 为等边三角形，即得出 CE PCAP，根据给出的边和角度算出长度即可 【解答】解：探究发现：CPE90，理由如下： 将两
45、块完全相同的含 45的直角三角板斜边重合，拼成四边形 ABCD， 四边形 ABCD 为正方形， ADCD，PDAPAC， 又PDPD， ADPCDP（SAS） ， DAPDCP， APPE， DAPDEP， DCPDEP， 又PFCDFE， DEFPCF， CPFEDF， 点 E 在 AD 延长线上， EDF90， 故CPF90， 故答案为：90； 拓展延伸： （1）CPE60，与探究发现同理可证CPFEDF， EDF180ADBCDB180606060， 故CPF60， 故答案为：60； （2）分别延长 PE，CD 相交于点 F，如图 3， 在ADP 和CDP 中， ， ADPCDP， PC
46、FPAE， APPE， PAEPEA， PEADEF， PCDDEF， FDE180FFED，CPE180FPCD， FDECPE， FDE180606060， CPEFDE60； （3）当 APBD 时，此时 CE 最短为 2， 在 RtABD 中， ABD30，BD8， ADBD4， 在 RtAPD 中，ADP903060， DAP90ADP30， PDAD42， AP2， 由（1）知CPE60，PCPE， PCE 为等边三角形， CEPCAP2， 故当 APBD 时 CE 最短，最短为 2 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一个角是 30的直角三 角形
47、的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握这些知识点是解题的关键 25 （12 分）如图，已知抛物线 yx2+bx+c 与一直线相交于 A（1，0） ，C（2，3）两点，与 y 轴交于 点 N其顶点为 D （1）抛物线及直线 AC 的函数关系式； （2）若抛物线的对称轴与直线 AC 相交于点 B，E 为直线 AC 上的任意一点，过点 E 作 EFBD 交抛物 线于点 F，以 B，D，E，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点 E 的坐标；若不能，请说明 理由； （3）若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，求APC 的面积的最大值 （4）设点 M 的坐标为（
48、3，m） ，直接写出使 MN+MD 的和最小时 m 的值 【分析】 （1）由抛物线 yx2+bx+c 过点 A（1，0）及 C（2，3）得，解得， 得抛物线为 yx2+2x+3； 又设直线为 ykx+n 过点 A （1， 0） 及 C （2， 3） ， 得， ， 解得， 得直线 AC 为 yx+1； （2）由 yx2+2x+3（x1）2+4，得 D（1，4） ，当 x1 时，yx+12，得 B（1，2） ，求出 BD 2，设 E（x，x+1） ，当 EFBD2 时，以 B，D，E，F 为顶点的四边形为平行四边形，分两种情形讨 论：如图 2，当点 E 在线段 AC 上时，点 F 在点 E 上方，得 x+3x2+2x+3，即可求解；当点 E 在 线段 AC（或 C
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