1、 第第 1515 讲讲 一次函数和几何综一次函数和几何综合(二)合(二) 模块一:一次函数和将军饮马模型综合模块一:一次函数和将军饮马模型综合 “将军饮马”问题比较经典,近两年常出现在压轴题的第 2、3 问,但是在考试中往往不是单一出现,而是 “将军饮马”模型和一次函数、勾股定理、特殊的四边形结合在一起考试,综合考察 模型模型 I:最小问题:最小问题 模型模型 II:最大问题:最大问题 模块二:一次函数与折叠问题模块二:一次函数与折叠问题 一次函数斜率与倾斜角(直线与 x 轴正方向所形成的夹角)的关系: 角度角度 30 45 60 120 135 150 斜率斜率 3 3 1 3 3 1 3
2、3 方法:解析法(根据折叠前后图像对称) 、几何法(解直角三角形) (树德期末改编)如图,已知ABC三个顶点坐标分别为(0, 4)A,( 2,2)B ,(3,0)C,点 P 在线段 AC 上移 动当点 P 坐标为(1,)m时,请在 y 轴上找点 Q,使PQC周长最小,画出图形并求出 Q 点坐标 l P P B A l B P A B P l A B C D P2 P1 P O B A F E D C C D A O B D C P P A O B l PP A B l B P B A 模块一 一次函数和将军饮马模型综合 例题1 【解析】【解析】(0, 4)A,(3,0)C,直线 AC 的解析式
3、为 4 4 3 yx ; 点 P 在线段 AC 上移动,点 P 坐标为(1, m), 8 1, 3 P , 作 P 点关于 y 轴的对称点 P,连接P C交 y 轴于 Q,此时PQQCPC, 根据两点之间线段最短,Q 就是使PQC周长最小的点;则 8 1, 3 P 直线 PC 的解析式为 2 2 3 yx,Q 点的坐标为(0, 2) 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查最一般的将军饮马,基本思路: (1)过定点作定直线的对称点; (2)作对称的目的是转移线段 如图, 在直角坐标系中有四个点( 6,3)A ,( 2,5)B ,(0,)Cm,( ,0)D n, 当四边形 ABCD 周长最短时
4、, 则mn _,此时四边形 ABCD 的面积为_ 【解析】【解析】作 A 点关于 x 轴对称点A,作 B 点关于 y 轴对称点B,连接A D,B C 四边形 ABCD 周长最短,且 AB 长度一定, 必须使ADCDBC最短, 即 A、 D、 C、B共线, 设直线AB 为ykxb, 则( 6 , 3 )A ,(2,5)B, 将其代入直线中得:1k ,3b ,3yx, (0,)Cm,( ,0)D n, 则代入直线方程中,得:3m ,3n , 因此,0mn,通过四个点坐标易求出四边形 ABCD 面积为 15 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查两个动点的将军饮马模型,思路一样,过定点作定直线的
5、对称点 例题2 例题3 x y C P A O B g x y C P A O B gP Q y x A B C DO y x A B C DO B A (育才期末改编)如图,在直标系内,一次函数 1 1 2 yx 的图象分别与 x 轴、y 轴和直线4x 相交于 A、B、 C 三点,直线4x 与 x 轴交于点 D (1)若点 M 在 x 轴上运动,当 M 运动到某个位置时,|MBMC最小,试求出此时点 M 的坐标; (2) 若点 G 在直线 CD 上, 点 H 在直线 AB 上, 试问: 在 (1) 条件下, 是否存在某个合适的位置, 使得MGGH 取得最小值?如果存在请直接写出这个最小值和此
6、时点 H 的坐标;如果不存在请说明理由 【解析】【解析】(1)由条件:(0, 1)B,(4, 3)C, 如图,当MBMC时,|MBMC最小为 0, 故作线段 BC 的中垂线交 x 轴于 M,交 BC 于 N,点 M 就是符合题意 的点,设点 M 的坐标为:( ,0)m,则: 2222 ( 1)(4)( 3)mm , 解得3m ,(3,0)M; (2)存在如图,作点 M 关于直线 CD 的对称点 M, 过点M作M HBC于 H,交 CD 于 G,则点 G,H 就是符合条件 的点,(5,0)M, 直线M H解析式为:210yx,与直线 CD 交点为点 G:(4,2) 与直线 AB 交点为点 H:
7、1 1 2 210 yx yx ,解得: 18 5 x ,H 点坐标为: 1814 , 55 MGGH的最小值为 7 5 5 MH= 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查将军饮马+垂线段最短,相对较难 (1)如图 4-1,矩形 OABC 在平面直角坐标系中,AC 的解析式为 3 1 3 yx ,把ABC沿 AC 对折,点 B 落在B处,线段AB与 x 轴交于点 D,则CDB的面积为_ 模块二 一次函数与折叠问题 例题4 A B C DO 4x = y x A B C DO 4x = y x M N A B C DO 4x = y x M N M G H (2) (嘉祥期末)直角三角形 A
8、OB 在平面直角坐标系中如图 4-2 所示,O 与坐标原点重合,点 A 在 x 轴上,点 B 在 y 轴上,直线 AB 的解析式为 3 2 3 3 yx,将AOB沿直线 BE 折叠,使得 OB 边落在 AB 上,点 O 与 点 D 重合则点 D 的坐标为_ 图 4-1 图 4-2 【解析】【解析】(1) 3 6 ; (2)过 D 作DGOA于 G, 沿 BE 折叠 O、D 重合, 2DE , 30DAE, 60DEA,90ADEBOE , 30EDG, 1GE ,3DG , 123OG , D 的坐标是:( 3,3). 也可以用解析法,求点 O 关于直线 BE 的对称点 D (1)如图 5-1
9、,直线 4 8 3 yx 与 x 轴,y 轴分别交于点 A 和 B,M 是 OB 上的一点,若将ABM沿 AM 折 叠,点 B 恰好落在 x 轴上点B处,则直线 AM 的解析式为_ (2) (实外期末)如图 5-2,直线 4 4 3 yx 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B,M 是 y 轴上一点,若将ABM沿 AM 折叠,点 B 恰好落在 x 轴上,则点 M 的坐标为_ 图 5-1 图 5-2 例题5 y B OAx y B O A x B M y B OA x D E 【解析】【解析】(1) (解析法) :当0 x 时, 4 88 3 yx ,即(0,8)B, 当0y 时,6x ,即(6,
10、0)A,所以10ABAB ,即( 4,0)B , 因为点 B 与B关于 AM 对称,所以BB的中点为 04 80 , 22 , 即( 2,4)在直线 AM 上,设直线 AM 的解析式为 ykxb, 把( 2,4),(6, 0),代入可得 1 3 2 yx (几何法) :直线 4 8 3 yx 与 x 轴,y 轴分别交于点 A 和 B, (6,0)A,(0,8)B, 22 6810AB, 则10AB , 设OMx, 则8B MBMBOMOx,1064B OABAO, 222 4(8)xx,解得3x , (0,3)M又(6,0)A, 故直线 AM 的解析式为 1 3 2 yx . (2)(0, 6
11、)或 3 0, 2 (成外期末)将矩形 OABC 放在平面直角坐标系中,顶点 O 为原点,顶点 C、A 分别在 x 轴和 y 轴上在 OA 边上选取适当点 E,连接 CE,将EOC沿 CE 折叠,如图 (1)若矩形 OABC 的边长8OA ,10OC ,如图 6-1,当点 O 落在矩形 OABC 内部的点 D 处时,过点 E 作 EG/x 轴交 CD 于点 H,交 BC 于点 G设( , )H m n,用含 n 的代数式表示 m 为_; (2)如图 6-2,将矩形 OABC 变为正方形,10OC ,当点 E 为 AO 中点时,点 O 落在正方形 OABC 内部的点 D 处,延长 CD 交 AB
12、 于点 T,求此时 AT 长度 图 6-1 图 6-2 【解析】【解析】(1)m 与 n 之间的关系式为: 2 1 5 20 mn; (2) (几何法) 解: (如图)连接 ET,由题意可知,EDEO,EDTC,10DCOC, E是 AO 中点,AEEO AEED 例题6 y B O A x D EG H C y B O A x D E T C 在RtATE和RtDTE中, TETE AEED , RtRt(HL)ATEDTE ATDT 设ATx,则10BTx,10TCx, 在RtBTC中, 222 BTBCTC, 即 222 (10)10(10)xx, 解得2.5x , 即2.5AT (解析
13、法) :先求 O 点关于 CE 的对称点 D,再求 CD 解析式,最后求 T 点坐标 (1)在平面直角坐标系中,x 轴上一动点 P 到定点(1,1)A、(5,7)B的距离分别为 AP 和 BP,那么当BPAP最 小时,P 点坐标为_ (2)已知点 P 坐标是(4, 0),点 Q 坐标是(6, 2),在直线 yx 上找一点 M,使得 QMP 的周长最小,则点 M 的坐标为_ 【解析】【解析】(1) 3 , 0 2 ; (2)(3,3) (1)在直角坐标系中,有四个点(1,3)A、(3,1)B、(0, )Cn、( ,0)D m,当四边形 ABCD 的周长最小时,mn 的 值为_ (2)如图,在直角
14、坐标系中有线段 AB,50cmAB ,A、B 到 x 轴的距离分别为 10cm 和 40cm,B 点到 y 轴的 距离为 30cm,现在在 x 轴、y 轴上分别有动点 P、Q,当四边形 PABQ 的周长最短时,则这个值为_ 【解析】【解析】(1)由 A、B 两点固定可知,AB 的线段长度固定,故只需考虑 的长度, 取点B关于x轴的对称点(3,1) B , 点A关于y轴的对称点( 1,3)A , 易知当 A 、D、C、 B 四点共线时,的长度最小, 最小值为A B 易知直线A B 的解析式为:2yx ,此时(0, 2)C、(2,0)D,故 BCCDAD BCCDAD 复习巩固 模块一 一次函数和
15、将军饮马模型综合 演练1 演练2 O B A x y (2)(50 550)cm (树德期末) 如图, 将一矩形纸片 OABC 放在直角坐标系中, O 为原点, C 在 x 的正半轴上,6OA ,10OC , 在 OA 上取一点 E,将EOC沿 EC 折叠,使 O 点落在 AB 边上的 D 点,则直线 CE 的解析式为_ 【解析】【解析】 110 33 yx (嘉祥期末)如图,矩形 OABC 在平面直角坐标系中,若 OA、OC 的长满足 2 |2| (2 3)0OAOC (1)求 B、C 两点的坐标; (2)把ABC沿 AC 对折,点 B 落在点B处, AB与 x 轴交于点 D,求直线BB解析
16、式 【解析】【解析】(1)根据题意得,2OA ,2 3OC , 四边形 OABC 为矩形 2BCOA, 故(2 3, 2)B,(2 3,0)C, (2)法一:计算出( 3,1)B, 设直线BB的解析式为ykxb, 过点(2 3, 2)B和( 3,1)B, 有 22 3 13 kb kb , 解得 3 4 k b 所以34yx 法二:利用 B 点坐标和BB的斜率。因为 AC 与BB垂直,则斜率乘积为1 (1)如图 5-1,在平面直角坐标系中,矩形 ABCO 的边 OA 在 x 轴上,边 OC 在 y 轴上,点 B 的坐标为(1,3), 将矩形沿对角线 AC 翻折,点 B 落在点 D 的位置,且
17、AD 交 y 轴于点 E,那么点 D 的坐标为_ (2)如图 5-2,长方形 OABC 在平面直角坐标系 xOy 的第一象限内,点 A 在 x 轴正半轴上,点 C 在 y 轴的正半 轴上,30CDE,点 E 的坐标为(2, 4 3)现将长方形 OABC 沿 DE 折叠,使顶点 C 落在 AB 上的点C处, 则C的坐标为_ 4mn 模块二 一次函数与折叠问题 演练3 演练4 演练5 y D B A E OC x y BA OD C x B 图 5-1 图 5-2 【解析】【解析】(1)D 的坐标为 4 12 , 55 : 法一:几何法,CEDAEO,1CD ,设DEx,则3CEx,用勾股定理 法二:解析法,求出 AC 的解析式,那么点 D 就是点 B 关于直线 AC 的对称点 (2)将长方形 OABC 沿 DE 折叠,使顶点 C 落在平面内的点C处, 60CEDC ED ,2C ECE, 1EB ,3C B, 213CBCEEB ,4 333 3C AABC B, (3,3 3)C 也可以用解析法,求点 C 关于直线 DE 的对称点C EB OA x D C C y