1、平行四边形平行四边形 模块一 平行四边形的性质 模块二 平行四边形的判定及综合 一、平行四边形的定义和表示：一、平行四边形的定义和表示： 平行四边形平行四边形： 两组对边分别平行的四边形叫 做平行四边形 （如图） ，记作“ABCD” 平行四边形的表示平行四边形的表示： 一般按一定的方向依次 表示各顶点， 如右图的平行四边形不能表示 成ACBD，也不能表示成ADBC ABCD ADBC 四边形 ABCD 叫 做平行四边形 二、平行四边形的性质：二、平行四边形的性质： 平行四边形的对边平行且相等 四边形 ABCD 为平行四边形 AB CD ， AD BC 平行四边形的对角相等； 四边形 ABCD
2、为平行四边形 AC ，BD 平行四边形的对角线互相平分 四边形 ABCD 为平行四边形 OAOC，OBOD 平行四边形是中心对称图形， 对称中心 就是两条对角线的交点； 连接四边上任意 一点和平行四边形的对称中心， 与另一条 边相交于一点， 则这两个点关于平行四边 形的对称中心对称； 并且这条线段将平行 四边形面积分成相等的两部分 四边形 ABCD 为平行四边形， E、 F 在 AD，BC 上，且线段 EF 过 点OOEOF； 四边形四边形ABFECDEF SS 平行四边形中重要结论： AOBBOCDOCDOA SSSS AOBCOD AODCOB ABCCDA BCDDAB A B C D
3、D C B A O D C B A F E A B C D O A B C D O C A D B 平行四边形的面积 ACBD SADEC= ； 平行四边形面积=底高 三、平行四边形的判定：三、平行四边形的判定： 定义：两组对边分别平行的 四边形是平行四边形 ADBC ABCD 四边形 ABCD 是平行四边形 一组对边平行且相等的四边 形是平行四边形 = ABCD ABCD 四边形 ABCD 是平行四边形 两组对边分别相等的四边形 是平行四边形 ABCD ADBC 四边形 ABCD 是平行四边形 两组对角分别相等的四边形 是平行四边形 AC BD 四边形 ABCD 是平行四边形 对角线互相平分
4、的四边形是 平行四边形 OAOCAC OBODBD 四边形 ABCD 是平行四边形 模块一模块一 平行四边形的性质平行四边形的性质 （1）如图 1-1，ABCD的周长为 20cm，AE 平分BAD，若cmCE ，则 AB 的长度是_ （2） （棕北半期）如图 1-2，ABCD的对角线 AC、BD 相交于 O 点，点 E、F 分别是线段 AO、BO 的中点， 若 cmACBD ，OAB的周长为 18cm，则EF _ （3）如图 1-3，在ABCD中，DBDC，A ，CEBD于 E，则BCE_ （4）如图 1-4，ABCD与DCFE的周长相等，且60BAD，110F，则DAE的度数为_ 图 1-1
5、 图 1-2 图 1-3 图 1-4 D C B A A B C D A B C D A B C D O B C D A 例题 1 A B C D E A B C D E F B A D C E A BC D O E F A BC D E （1）4cm； （2）3cm； （3）四边形 ABCD 是平行四边形，ADCB ，又DBDC DBCDCB ，又CEBD， BCE （4）ABCD与DCFE的周长相等，且CDCD， ADDE， DAEDEA， 60BAD，110F， 120ADC，110CDEF， 360120110130ADE， DAE 【教师备课提示】【教师备课提示】这 4 个题主要是考
6、查平行四边形的性质，难度由基础到中等，孩子们在学习基础的同时也可 以进行稍微深入的理解 （1） 如图，ABCD中， P 是四边形内任意一点，ABP，BCP，CDP，ADP 的面积分别为S，S，S，S，则一定成立的是（ ） ASSSS BSSSS CSSSS DSSSS （2）如图，ABCD中，平行于边的两条线段 EF，GH 把ABCD分成四部分，分别记这四部分的面积为S， S，S和S，则下列等式一定成立的是（ ） ASS BSSSS CSSSS DSSSS （3）现有如图的铁片，其形状是一个大的平行四边形在一角剪去一个小的平行四边形，工人师傅想用一条直线 将其分割成面积相等的两部分，请你帮助师
7、傅设计三种不同的分割方案 （1）设 AB、CD 间距离为h，AD、BC 间的距离为h， ，SSAB hSSAD h ， 又 ABCD SAB hAD h Y 选 D （2）设 CD、EF 间的距离为h，EF、AB 间的距离为h，由 SSh SSh ， SSSS 选 D （3）答案不惟一 备用备用备用 例题 2 S4S3 S2 S1 H G F E D C BA S4 S3 S2 S1 P D C BA 【教师备课提示】【教师备课提示】在讲完（1）的时候，老师可以根据孩子的实际情况补充当 P 点在平行四边形外部的时候的 情况 （西川 20142015 期中）如图，已知四边形 ABDE 是平行四边
8、形，C 为边 BD 延长线上一点，连接 AC、CE， 使 AB=AC （1）求证：BADAEC； （2）若B=30 ，ADC=45 ，BD=10，求平行四边形 ABDE 的面积 （1）证明： ABAC，BACB ， 又四边形 ABDE 是平行四边形， AE/BD，AEBD， ACBCAEB ， SAS)(BADACE； （2）过 A 作AGBC，垂足为 G设AGx， 在RtAGD中， 45ADC， AGDGx， 在RtAGB中， 30B， BGx， 又10BD BGDGBD， 即，xx ， 解得AGx ， S平行四边形ABDE =BDAG=10 ( )= 【教师备课提示】【教师备课提示】学校主
9、要会把平行四边形的性质结合面积的计算来考查，所以通过这题让孩子们理解通过作 高求平行四边形面积 方法3方法2方法1 例题 3 A C D E B G A C D E B 已知在ABCD中，AEBC于 E，DF 平分ADC交线段 AE 于 F （1）如图 4-1，若AEAD，ADC ，请直接写出线段 CD 与+AFBE之间所满足的关系； （2）如图 4-2，若AEAD，你在（1）中得到的结论是否仍然成立，若成立，对你的结论加以证明 若不成 立，请说明理由 图 4-1 图 4-2 （1）CDAFBE （2） （1）中的结论仍然成立 证明：延长 EA 到 G，使得AGBE，连接 DG 四边形 ABC
10、D 是平行四边形, ABCD，AB/CD，ADBC AEBC于点 E， 90AEBAEC 90AEBDAG 90DAG AEAD， ABEDAG 12 ，DGAB 903GFD DF 平分ADC， 34 B ，BADC ，又 ， GDF GDFGFD DGGF CDGFAFAGAFBE 即CDAFBE 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题是平行四边形和全等综合，主要是通过平行四边形来复习孩子们对于全等的感觉，也 慢慢培养孩子的综合能力 例题 4 4 3 2 1 G D A F C E B B AD F EC B AD F EC 模块二 平行四边形的判定及综合 对于下列说法，正确的请给出证明，
11、错误的请举出反例 （1）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 （2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 （3）一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形 （4）一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形 （5）一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 （1）正确如图 1 所示，设 AB/CD，AC ，此时A与D互补，B和C互补，从而BD，故四 边形 ABCD 是平行四边形 （2）错误如图 2 所示，在四边形 ABCD 中，ADBC，ABDC，但四边形 ABCD 不是平行四边 形 （3）错误如图 3 所示，ABCADC ，OBOD
12、，但四边形 ABCD 不是平行四边形 （4）错误如图 4 所示，在四边形 ABCD 中，ADBC，AOOC，但四边形 ABCD 不是平行四边 形 （构造办法：作平行四边形AB CD，在 DB 上取点 B 或延长 DB 至点 B，使BCB C，连接 AB 即得） （5）错误如图 5 所示，作等腰三角形 ABE，在底边 BE 上取一点 C（C 不是 BE 的中点） ，作ACE 关于 AC 的垂直平分线 l 对称的CAD， 则在四边形 ABCD 中，BD，ABCD， 但四边形 ABCD 不是平行四边形（BCCE，CEAD，BCAD） 图 1 图 2 图 3 图 4 图 5 l E D CB A 例题
13、 5 已知四边形 ABCD， 从下列条件中： AD/BC； AB/CD； A B C D； A D B C； AC ； BD； 任取其中两个，可以得出“四边形 ABCD 是平行四边形 ABCD”这一结论的情况有 （ ） A4 种 B9 种 C13 种 D15 种 B 【教师备课提示】【教师备课提示】通过这道题加深孩子们对于平行四边形判定条件的理解 在ABCD中，E、F 在 BD 上，且BEDF，点 G、H 分别在 AD、BC 上，且AGCH，GH 与 BD 交于点 O， 求证：EG/HF，EGHF 连接 GF、EH， 四边形 ABCD 为平行四边形， AD/BC，ADBC， OGDOHB ，O
14、DGOBH ， AGCH，GDHB， OGDOHB， OGOH，ODOB， DFBE，OFOE， 四边形 EHFG 为平行四边形， EG/HF，EGHF 如图，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 P，过点 P 作直线交 AD 于点 E，交 BC 于点 F若PEPF，且 APAECPCF求证：四边形 ABCD 是平行四边形 N M A E D P C F B 例题 6 例题 7 例题 8 A BC D E F H G O A BC D E F H G O A D P C E F B 延长 PA、PC，使AMAE、CFCN 连接 MF、EN、ME、NF APAECPCF，PMPN 四边
15、形 MFNE 是平行四边形 MENF，AMECNF AEAM，CNCF AMECNF，AMCN APCP，PADPCB ， APDCPB，PDPB 四边形 ABCD 是平行四边形 1在ABCD中，若周长为 54cm，cmABBC ，则AB _cm 2在平行四边形 ABCD 中，:ABC ，则D等于（ ） A B C D 3在平行四边形 ABCD 中，点A、A、A、A和C、C、C、C分别为 AB 和 CD 的五等分点，点B、B 和D、D分别是 BC 和 DA 的三等分点， 已知四边形A B C D 的面积 1， 则平行四边形 ABCD 面积为 （ ） A2 B C D15 116；2C；3C 4
16、 （西川期中改编）如图，在ABCD中，ADAB ，F 是 AD 的中点，作CEAB，垂足 E 在线段 AB 上， 连接 EF、CF，则下列结论中一定成立的是_ （把所有正确结论的序号都填在横线上） DCFBCD ；EFCF； BECCEF SS ；DFEAEF ；提示：延长 EF，CD 交于点 G 即可 演练 1 演练 2 A BC D E F G A BC D E F 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题是一道考试 B 填的改编题，比较综合，主要考察平行四边形和全等的综合，老师可以 根据时间决定评讲的详略 5 在ABCD中， E 是 AD 边上的中点， 连接 BE， 并延长 BE 交 CD
17、 的延长线于点 F 已知AB ，A， BF ；则FD _， ABCD S=_ （1）证明： 在平行四边形 ABCD 中，E 是 AD 边上的中点， AEED，ABEF， (AAS)ABEDFE， FDAB； （2）过 B 点作BGDA交 DA 的延长线于 G 点 A =BAG BG ，AG 又=BF ，则5BE GEBEBG ()ADAEGEAG ABCD SADBG 6如图，过平行四边形 ABCD 对角线的交点 O 作直线 EF 交 AD、BC 分别于 E、F，又 G、H 分别为 OD、OB 的中点，求证：四边形 EHFG 为平行四边形 易证EOFO，HOGO， 四边形 EHFG 为平行四边
18、形 演练 3 演练 4 A BC D E F A BC D E F G B AED F C H G O 7如图，在平行四边形 ABCD 中，AEBC，CFAD，DNBM求证：EF 与 MN 互相平分 连接 MF、FN、EN、ME， AEBC，CFAD， AE/CF， ABCD 是平行四边形， AD/BC， AECF 是平行四边形，从而AECF RtRt(HL)ABECDF，BEDF 又由已知BMDN， 所以(SAS)BEMDFN，MENF 又因为AFCE，AMCN，MAFNCE ， 所以(SAS)MAFNCE， 所以MFNE， 由得四边形 ENFM 是平行四边形，故对角线 EF 与 MN 互相
19、平分 F E N M A BC D 演练 5 一天，平行四边形和三角形在公园碰面了。三角形提议说： “咱们两个比本领吧。 ” “比就比，Who 怕 who 啊”平行四边形说道。 三角形顶起了一块大石头，稳稳地站在那里。平行四边形四边形也把大石头顶了起来，但一会儿就被压变 形了。三角形说： “我的稳定性强吧，你看看那房顶上的金字架、支撑照相机的三角架和自行车上的三角架都是 按照我不易变形的特点制作的。 ”平行四边形听了，顿时茅塞顿开： “我的特点是容易变形，如：公司、学校的 伸缩门，就是按照我的特点做的。 ” 尽管三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，但是在我们的生活中很常见，那就都有存在的价值。 知 识 链 接
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