1、专题专题 18 18 勾股定理实际应用勾股定理实际应用 一选择题 1如图，一根长 5 米的竹竿 AB 斜靠在竖直的墙上，这时 AO 为 4 米，若竹竿的顶端 A 沿墙下滑 2 米至 C 处，则竹竿底端 B 外移的距离 BD（ ） A小于 2 米 B等于 2 米 C大于 2 米 D以上都不对 解：由题意得：在 Rt AOB 中，OA4 米，AB5 米， OB3 米， 在 Rt COD 中，OC2 米，CD5 米， OD米， BDODOB（3）1.58（米） 故选：A 2 在以下列长度为边长的4个正方形铁片中， 若要剪出一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片， 则符合要求的正方形铁片边长
2、的最小值为（ ） A B C D 解：如图所示： CEF 是直角三角形，CEF90 ，CE4，EF1， AEF+CED90 ， 四边形 ABCD 是正方形， AD90 ，ADCD， DCE+CED90 ， AEFDCE， AEFDCE， ， 设 AExcm，则 ADCD4xcm， DEADAE3xcm， 在 Rt CDE 中，由勾股定理得：（3x）2+（4x）242， 解得：x， AD4 故选：B 3如图，有一个水池，水面是一边长为 10 尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面 1 尺如 果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（ ）尺 A10 B12 C
3、13 D14 解：设水深为 x 尺，则芦苇长为（x+1）尺， 根据勾股定理得：x2+（）2（x+1）2， 解得：x12， 芦苇的长度x+112+113（尺）， 答：芦苇长 13 尺 故选：C 4在我国古代数学著作九章算术“勾股”章中有一题：“今有开门去阃（kn）一尺，不合二寸，问门广 几何？”大意是说：如图，推开双门（AD 和 BC），门边缘 D，C 两点到门槛 AB 的距离为 1 尺（1 尺 10 寸），双门间的缝隙 CD 为 2 寸，那么门的宽度（两扇门的和）AB 为（ ） A103 寸 B102 寸 C101 寸 D100 寸 解：设 OAOBADBCr，过 D 作 DEAB 于 E，
4、则 DE10，OECD1，AEr1 在 Rt ADE 中， AE2+DE2AD2，即（r1）2+102r2， 解得 2r101 故门的宽度（两扇门的和）AB 为 101 寸 故选：C 5如图，一棵大树在离地面 3m，5m 两处折成三段，中间一段 AB 恰好与地面平行，大树顶部落在离大树 底部 6m 处，则大树折断前的高度是（ ） A9m B14m C11m D10m 解：如图，作 BDOC 于点 D， 由题意得：AOBD3m，ABOD2m， OC6m， DC4m， 由勾股定理得：BC5（m）， 大树的高度为 5+510（m）， 故选：D 6 将一根长度为 16cm 自然伸直的弹性皮筋 AB 两
5、端固定在水平的桌面上， 然后把中点 C 竖直向上拉升 6cm 至 D 点（如图），则该弹性皮筋被拉长了（ ） A2cm B4cm C6cm D8cm 解：连接 CD， 中点 C 竖直向上拉升 6cm 至 D 点， CD 是 AB 的垂直平分线， ACD90 ，ACBCAB8cm，ADBD， 在 Rt ACD 中，由勾股定理得： AD 10（cm）， BD10cm， AD+BD20cm， AB16cm， 该弹性皮筋被拉长了：20164（cm）， 故选：B 7如图，高速公路上有 A、B 两点相距 10km，C、D 为两村庄，已知 DA4km，CB6kmDAAB 于 A， CBAB 于 B， 现要在
6、 AB 上建一个服务站 E， 使得 C、 D 两村庄到 E 站的距离相等， 则 EB 的长是 （ ） km A4 B5 C6 D 解：设 BEx，则 AE（10 x）km， 由勾股定理得： 在 Rt ADE 中， DE2AD2+AE242+（10 x）2， 在 Rt BCE 中， CE2BC2+BE262+x2， 由题意可知：DECE， 所以：62+x242+（10 x）2， 解得：x4km 所以，EB 的长是 4km 故选：A 8某工厂的厂门形状如图（厂门上方为半圆形拱门），现有四辆装满货物的卡车，外形宽都是 2.0 米，高 分别为 2.8 米，3.1 米，3.4 米，3.7 米，则能通过该
7、工厂厂门的车辆数是（ ） （参考数据：1.41， 1.73，2.24） A1 B2 C3 D4 解：车宽 2 米， 卡车能否通过，只要比较距厂门中线 1 米处的高度与车高 在 Rt OCD 中，由勾股定理可得： CD 1.73（米）， CHCD+DH1.73+1.63.33， 两辆卡车都能通过此门， 故选：B 9如图，公路 AC、BC 互相垂直，公路 AB 的中点 M 与点 C 被湖隔开，若测得 AC10km，BC24km，则 M、C 两点之间的距离为（ ） A13km B12km C11km D10km 解：在 Rt ABC 中，AB2AC2+CB2 AC10km，BC24km， AB26k
8、m， M 点是 AB 中点 MCAB13km， 故选：A 10如图，小明（视为小黑点）站在一个高为 10 米的高台 A 上，利用旗杆 OM 顶部的绳索，划过 90 到达 与高台 A 水平距离为 17 米，高为 3 米的矮台 B那么小明在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度 MN 是（ ） A2 米 B2.2 米 C2.5 米 D2.7 米 解：作 AEOM 于 E，BFOM 于 F，如图所示： 则OEABFO90 ， AOE+BOFBOF+OBF90 AOEOBF 在 AOE 和 OBF 中， AOEOBF（AAS）， OEBF，AEOF， OE+OFAE+BFCD17（米） EFEMFMACB
9、D1037（米）， OE+OF2EO+EF17 米， 2OE17710（米）， BFOE5 米，OF12 米， CMCDDMCDBF17512（米），OMOF+FM12+315（米）， 由勾股定理得：ONOA13（米）， MNOMON15132（米） 故选：A 二填空题 11九章算术内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题： “今有垣高一丈 倚木于垣，上与垣齐引木却行一尺，其木至地问木长几何？”其内容可以表述为：“有 一面墙，高 1 丈将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上如果使木 杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动 1 尺， 则木杆上端恰好沿着墙滑落
10、到地面上 问木杆长多少尺？” （说明：1 丈10 尺） 设木杆长 x 尺，依题意，列方程是 解：如图，设木杆 AB 长为 x 尺，则木杆底端 B 离墙的距离即 BC 的长有（x1）尺， 在 Rt ABC 中， AC2+BC2AB2， 102+（x1）2x2， 故答案为：102+（x1）2x2 12一个矩形的抽斗长为 12cm，宽为 5cm，在抽斗底部放一根铁条，那么铁条最长可以是 cm 解：在直角 ABC 中，根据勾股定理可得：AC13（cm） 即铁条最长可以是 13cm 故答案是：13 13如图，学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段同学 们首先测量了多
11、出的这段绳子长度为 1m，然后将这根绳子拉直，当绳子的另一端和地面接触时，绳子与 旗杆的底端距离恰好为 5m，利用勾股定理求出旗杆的高度约为 m 解：设旗杆的高度 AC 为 x 米，则绳子 AB 的长度为（x+1）米， 在 Rt ABC 中，根据勾股定理可得：x2+52（x+1）2， 解得，x12 答：旗杆的高度为 12 米 14我国古代数学著作九章算术有一个问题：一根竹子高 1 丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端 3 尺 处，1 丈10 尺，那么折断处离地面的高度是 尺 解：1 丈10 尺， 设折断处离地面的高度为 x 尺，则斜边为（10 x）尺， 根据勾股定理得：x2+32（10 x）2 解
12、得：x4.55 答：折断处离地面的高度为 4.55 尺 故答案为：4.55 15 图 1 是由七根连杆链接而成的机械装置， 图 2 是其示意图 已知 O， P 两点固定， 连杆 PAPC140cm， ABBCCQQA60cm，OQ50cm，O，P 两点间距与 OQ 长度相等当 OQ 绕点 O 转动时，点 A， B，C 的位置随之改变，点 B 恰好在线段 MN 上来回运动当点 B 运动至点 M 或 N 时，点 A，C 重合， 点 P，Q，A，B 在同一直线上（如图 3） （1）点 P 到 MN 的距离为 cm （2）当点 P，O，A 在同一直线上时，点 Q 到 MN 的距离为 cm 解：（1）如
13、图 3 中，延长 PO 交 MN 于 T，过点 O 作 OHPQ 于 H 由题意：OPOQ50cm，PQPAAQ1406080（cm），PMPA+BC140+60200（cm）， PTMN， OHPQ， PHHQ40（cm）， cosP ， ， PT160（cm）， 点 P 到 MN 的距离为 160cm， 故答案为 160 （2）如图 4 中，当 O，P，A 共线时，过 Q 作 QHPT 于 H设 HAxcm 由题意 ATPTPA16014020 （cm） ， OAPAOP1405090 （cm） ， OQ50cm， AQ60cm， QHOA， QH2AQ2AH2OQ2OH2， 602x25
14、02（90 x）2， 解得 x， HTAH+AT（cm）， 点 Q 到 MN 的距离为cm 故答案为 16如图，池塘边一棵垂直于水面 BM 的笔直大树 AB 在点 C 处折断，AC 部分倒下，点 A 与水面上的点 E 重合，部分沉入水中后，点 A 与水中的点 F 重合，CF 交水面于点 D，DF2m，CEB30 ，CDB 45 ，求 CB 部分的高度为 m 解：设 CB 部分的高度为 xm BDCBCD45 ， BCBDxm 在 Rt BCD 中，CDx（m） 在 Rt BCE 中，BEC30 ， CE2BC2x（m） CECFCD+DF， 2xx+2， 解得：x2+ BC（2+）（m） 答：
15、CB 部分的高度约为（2+）m， 故答案为：（2+） 17将折叠书架画出侧面示意图，AB 为面板架，CD 为支撑架，EF 为锁定杆，F 可在 CD 上移动或固定已 知 BCCE8cm如图甲，将面板 AB 竖直固定时（ABBD），点 F 恰为 CD 的中点如图乙，当 CF 17cm 时，EFAB，则支撑架 CD 的长度为 cm 解：EFAB，CF17cm，BCCE8cm， EF cm， 过 F 作 FGAB， ABBD， FGBD， 点 F 恰为 CD 的中点， CGBC4cm， EG8+412cm， EF15cm， FG cm， BD2FG18cm， CD ， 故答案为：2 三解答题 18如图
16、，在笔直的高速路旁边有 A、B 两个村庄，A 村庄到公路的距离 AC8km，B 村庄到公路的距离 BD14km，测得 C、D 两点的距离为 20km，现要在 CD 之间建一个服务区 E，使得 A、B 两村庄到 E 服 务区的距离相等，求 CE 的长 解：设 CEx，则 DE20 x， 由勾股定理得： 在 Rt ACE 中，AE2AC2+CE282+x2， 在 Rt BDE 中，BE2BD2+DE2142+（20 x）2， 由题意可知：AEBE， 所以：82+x2142+（20 x）2，解得：x13.3 所以，E 应建在距 C 点 13.3km， 即 CE13.3km 19 如图， 学校有一块长
17、方形花圃 ABCD， 有极少数人为了避开拐角走“捷径”， 在花圃内走出了一条“路” 若 假设 2 步为 1 米，他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草？ 解：由勾股定理，得 路长5， 少走（3+45） 24 步 20 有一条笔直公路 l 上有 A、 B 两个停靠站， 公路旁有一块山地 C 正在开发， 现在 C 处时常需要爆破作业 如 图，已知 A、B 两站相距 2km，且ABC30 ，BAC60 ，为了安全起见，爆破点 C 周围半径 500 米 范围内任何人不得进入，问在进行爆破时，公路 AB 段是否需要暂时封锁？请说明理由（1.73） 解：如图，作 CDAB 交 AB 于 D 点， ABC30
18、，BAC60 ， C90 ， 在 Rt ABC 中，AB2，ABC30 ， AC1km， 在 Rt ABC 中，由勾股定理可得：BC（km）， 又在 Rt BCD 中，DBC30 ， CD（km）865（m）， CD500m， 不必封锁， 答：公路 AB 段不需要临时封锁 21如图，某港口 O 位于南北延伸的海岸线上，东面是大海远洋号、长峰号两艘轮船同时离开港 O，各 自沿固定方向航行， 远洋”号每小时航行 12 海里， “长峰”号每小时航行 16 海里， 它们离开港口 1 小时后， 分别到达 A，B 两个位置，且 AB20 海里，已知“远洋”号沿着北偏东 60 方向航行，请判断“长峰”号航
19、行的方向，并说明理由 解：由题意得：OA12，OB16，AB20， 122+162202， OA2+OB2AB2， OAB 是直角三角形， AOB90 ， DOA60 ， COB180 90 60 30 ， “长峰”号航行的方向是南偏东 30 22如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 C，河边原有两个取水点 A，B，其中 ABAC，由于某种 原因，由 C 到 A 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 H（A、H、B 在同 一条直线上），并新修一条路 CH，测得 CB1.5 千米，CH1.2 千米，HB0.9 千米 （1）问 CH 是否为从村庄 C 到河边的最近路？请通过计算加以说明； （2）求新路 CH 比原路 CA 少多少千米？ 解：（1）是， 理由是：在 CHB 中， CH2+BH2（1.2）2+（0.9）22.25， BC22.25， CH2+BH2BC2， CHAB， 所以 CH 是从村庄 C 到河边的最近路； （2）设 ACx 千米， 在 Rt ACH 中，由已知得 ACx，AHx0.9，CH1.2， 由勾股定理得：AC2AH2+CH2 x2（x0.9）2+（1.2）2， 解这个方程，得 x1.25， 1.251.20.05（千米） 答：新路 CH 比原路 CA 少 0.05 千米
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