1、第第 18 章平行四边形期末复习综合提升训练章平行四边形期末复习综合提升训练 2（附答案）（附答案） 1如图，在ABC 中，BAC90，AB3，AC4，P 为边 BC 上一动点，PEAB 于 E，PFAC 于 F， 则 EF 的最小值为（ ） A1.2 B1.25 C2.4 D2.5 2 已知在平行四边形 ABCD 中， AC6， E 是 AD 上一点， DCE 的周长是平行四边形 ABCD 周长的一半， 且 EC4，连接 EO，则 EO 的长为（ ） A3 B5 C2 D 3如图，在ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 作 OEAC 交 AD 于 E，若 AE12，DE5
2、， AB13，则 AC 的长为（ ） A12 B16 C18 D14 4如图，正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中，点 D 在 CG 上，BC1，CE3，H 是 AF 的中点，那么 CH 的长是（ ） A2.5 B C D2 5如图，在菱形 ABCD 中，点 E，F 分别在 AB，CD 上，且 AECF，连接 EF 交 BD 于点 O，连接 AO若 DBC25，则OAD 的度数为（ ） A50 B55 C65 D75 6已知平行四边形 ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ） AAB BAC CACBD DABBC 7如图，ABCD 的周长是 24cm，对角线 AC 与
3、 BD 交于点 O，BDAD，E 是 AB 中点，COD 的周长比 BOC 的周长多 4cm，则 DE 的长为（ ）cm A5 B5 C4 D4 8 如图， 四边形 ABCD 中， AB1， CD4， M、 N 分别是 AD、 BC 的中点， 则线段 MN 的取值范围是 （ ） A3MN5 B3MN5 CMN DMN 9在 RtABC 中，C90，AC3，BC4，点 N 是 BC 边上一点，点 M 为 AB 边上的动点，点 D、E 分别为 CN，MN 的中点，则 DE 的最小值是 10 如图在正方形 ABCD 中， EAF 的两边分别交 CB、 DC 延长线于 E、 F 点且EAF45， 如果
4、 BE1， DF7，则 EF 11 如图所示， 在ABCD 中， 点 E 在线段 BC 上且 BE2CE， 点 F 是 CD 边的中点， 若 AE4， AF4， 且EAF45，则 AB 的长是 12如图，平行四边形 ABCD 中，AB8cm，AD12cm，点 P 在 AD 边上以每秒 1cm 的速度从点 A 向点 D 运动，点 Q 在 BC 边上，以每秒 4cm 的速度从点 C 出发，在 CB 间往返运动，两个点同时出发，当点 P 到达点 D 时停止（同时点 Q 也停止） 在运动以后，当 t 时以 P、D、Q、B 四点组 成的四边形为平行四边形 13已知矩形 ABCD 中有一点 P，满足 PA
5、1，PB2，PC3，则 PD 14四边形 ABCD 是菱形，BAD60，AB6，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E 在 AC 上，若 OE ，则 CE 的长为 15如图，正方形 ABCD 中，对角线 BD 长为 15cmP 是线段 AB 上任意一点，则点 P 到 AC，BD 的距离 之和等于 cm 16 如图， ABCD 中， 对角线 AC、 BD 交于点 O， OEAC 交 AB 于点 E， 已知BCE 的周长为 14， 则ABCD 的周长为 17 如图， 已知正方形 ABCD 的边长为 5， 点 E、 F 分别在 AD、 DC 上， AEDF2， BE 与 AF 相交于点 G，
6、点 H 为 BF 的中点，连接 GH，则 GH 的长为 18如图，菱形 ABCD 的对角线交于点 O，AB5，AC6，DEBC 于点 E，则 OE 19如图，ABC 中，BD 平分ABC，CDBD，垂足为 D，E 为 AC 中点若 AB10，BC6，则 DE 的长为 20如图，在正方形 ABCD 内，以 AB 为边作等边ABE，则BEG 21如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，过点 A 作 AEBC 于点 E，延长 BC 到点 F，使 CFBE，连接 DF （1）求证：四边形 AEFD 是矩形； （2）连接 OE，若 AD10，EC4，求 OE 的长度 22如图，在AB
7、CD 中，E、F 分别为 AD、BC 的中点，点 M、N 在对角线 AC 上，且 AMCN （1）求证四边形 EMFN 是平行四边形； （2）若 ABAC，求证EMFN 是菱形 23如图，已知四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC、BD 相交于 O （1）如图 1，设 E、F 分别是 AD、AB 上的点，且EOF90，线段 AF、BF 和 EF 之间存在一定的 数量关系请你用等式直接写出这个数量关系； （2）如图 2，设 E、F 分别是 AB 上不同的两个点，且EOF45，请你用等式表示线段 AE、BF 和 EF 之间的数量关系，并证明 24如图，平行四边形 ABCD 中，AD2AB，E 为
8、 AD 的中点，CE 的延长线交 BA 的延长线于点 F （1）求证：FBAD （2）若DAF70，求EBC 的度数 25如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，分别过点 C、D 作 CFBD，DFAC，连接 BF 交 AC 于点 E （1）求证：FCEBOE； （2）当ADC90时，判断四边形 OCFD 的形状？并说明理由 26 如图， 在ABC 中， BAC90， B45， BC10， 过点 A 作 ADBC， 且点 D 在点 A 的右侧 点 P 从点 A 出发沿射线 AD 方向以每秒 1 个单位的速度运动，同时点 Q 从点 C 出发沿射线 CB 方向以每秒 2 个单
9、位的速度运动，在线段 QC 上取点 E，使得 QE2，连接 PE，设点 P 的运动时间为 t 秒 （1）若 PEBC，求 BQ 的长； （2）请问是否存在 t 的值，使以 A，B，E，P 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出 t 的值；若 不存在，请说明理由 27如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是 BC 边上的动点（不与点 B、C 重合） ，将射线 AE 绕点 A 按逆 时针方向旋转 45后交 CD 边于点 F，AE、AF 分别交 BD 于 G、H 两点 （1）当BEA55时，求HAD 的度数； （2）设BEA，试用含 的代数式表示DFA 的大小； （3）点 E 运动的过程中，试
10、探究BEA 与FEA 有怎样的数量关系，并说明理由 28如图 1，已知 ADBC，ABCD，BC （1）求证：四边形 ABCD 为矩形； （2）如图 2，M 为 AD 的中点，N 为 AB 中点，BNC2DCM，BN2，求 CN 的长 参考答案参考答案 1解：连接 AP，如图： PEAB，PFAC， AEPAFP90， BAC90， 四边形 AFPE 是矩形， EFAP， 要使 EF 最小，只要 AP 最小即可， 当 APBC 时，AP 最短， BAC90，AB3，AC4， BC5， ABC 的面积435AP， AP2.4， 即 EF2.4， 故选：C 2解：四边形 ABCD 是平行四边形，
11、AC、BD 互相平分， O 是 AC 的中点 OAOCAC3， DCE 的周长是平行四边形 ABCD 周长的一半， DCE 的周长CD+CE+DECD+AD， CE+DEAD， AE+DEAD， AECE， OE 是线段 AC 的中垂线， OEBD， AEEC4，OA3， EO 故选：D 3解：连接 CE， 四边形 ABCD 是平行四边形， AOCO，CDAB13， OEAC， OE 垂直平分 AC， CEAE12， DE5， CE2+DE2122+52132CD2， CED90， AEC90， AEC 是等腰直角三角形， ACAE12， 故选：A 4解：如图，连接 AC、CF， 正方形 AB
12、CD 和正方形 CEFG 中，BC1，CE3， AC，CF3， ACDGCF45， ACF90， 由勾股定理得，AF2， H 是 AF 的中点， CHAF2 故选：B 5方法一：解：如图，连接 EC，OC，AF 在菱形 ABCD 中，EBCADF，ADBDBC25，ABCD，BCDA AECF， ABAECDCF，即 BEDF 在EBC 与FDA 中， EBCFDA（SAS） ECAF 又 AECF， 四边形 AECF 是平行四边形， EF 与 AC 平分， 在菱形 ABCD 中，AOBD， OAD90ADB902565 方法二：解：ABCD 是菱形，AECF， ABCD，ABCD， BEDF
13、，OBDODF， 在OEB 和OFD 中， OEBODF（AAS） OBOD， AOBD， OAD90ADB902565 故选：C 6解：A、AB，A+B180，所以AB90，可以判定这个平行四边形为矩形，正确； B、AC 不能判定这个平行四边形为矩形，错误； C、ACBD，对角线相等，可推出平行四边形 ABCD 是矩形，故正确； D、ABBC，所以B90，可以判定这个平行四边形为矩形，正确； 故选：B 7解：四边形 ABCD 是平行四边形，四边形 ABCD 的周长是 24， ABCD，ADBC，OBOD，AD+ABCD+BC12， COD 的周长比BOC 的周长多 4， （CD+OD+OC）
14、（CB+OB+OC）4，即 CDBC4， ， 解得，CD8，BC4， ABCD8， BDAD，E 是 AB 中点， DEAB4， 故选：C 8解：连接 AC，取 AC 的中点 H，连接 MH、NH， M、H 分别是 AD、AC 的中点， MHCD2， 同理可得，NHAB， 在MHN 中，MHNHMNMH+NH，即MN， 当点 H 在 MN 上时，MNMH+NH， MN， 故选：D 9解：连接 CM， 点 D、E 分别为 CN，MN 的中点， DECM， 当 CMAB 时，CM 的值最小，此时 DE 的值也最小， 由勾股定理得：AB5， SABC， CM， DE，故答案为： 10解：如图，把AB
15、E 绕点 A 逆时针旋转 90到 DA，交 CD 于点 G， 由旋转的性质可知，AGAE，DGBE，DAGBAE， EAF45， DAG+BAF45， 又BAD90， GAF45， 在AEF 和AGF 中， ， AEFAGF（SAS） EFGF， BE1，DF7， EFGFDFDGDFBE716， 故答案为 6 11解：如图，过点 F 作 FMAE 于点 M，过点 M 作 MGAB 交 BC 于点 G，连接 EF， EAF45， AMF 是等腰直角三角形， AMMFAF2， AE4， EMAEAM2， AMEM， MGAB， BGGE， GM 是三角形 AEB 的中位线， GMAB，GMAB，
16、 GMCD， 点 F 是 CD 边的中点， CFCD， GMCF，GMCF， 四边形 GMFC 是平行四边形， GCMF2， BE2BG2GE，BE2CE， BGGEEC， BEGC2， FMAE，FMGC， AEGC， AE4， AB2 故答案为：2 12解：设经过 t 秒，以点 P、D、Q、B 为顶点组成平行四边形， 以点 P、D、Q、B 为顶点组成平行四边形， DPBQ， 分为以下情况：点 Q 的运动路线是 CB，方程为 124t12t， 此时方程 t0，此时不符合题意； 点 Q 的运动路线是 CBC，方程为 4t1212t， 解得：t4.8； 点 Q 的运动路线是 CBCB，方程为 1
17、2（4t24）12t， 解得：t8； 点 Q 的运动路线是 CBCBC，方程为 4t3612t， 解得：t9.6； 综上所述，t4.8s 或 8s 或 9.6s 时，以 P、D、Q、B 四点组成的四边形为平行四边形， 故答案为：4.8s 或 8s 或 9.6s 13解：过点 P 作 GHBC 交 AB、CD 于点 G、H， 过 P 作 EFAB 交 AD、BC 于点 E、F， 设 AEBFc，AGDHa， GBHCb，EDFCd， AP2a2+c2， CP2b2+d2， BP2b2+c2， DP2d2+a2， AP1，BP2，CP3， AP2+CP2BP2+DP2， 1+94+DP2， DP2
18、6， DP 故答案为： 14解：四边形 ABCD 是菱形， ABAD6，ACBD，OBOD，OAOC， BAD60， ABD 是等边三角形， BDAB6， OBBD3， OCOA3， AC2OA6， 点 E 在 AC 上，OE， 当 E 在点 O 左边时 CEOC+4 当点 E 在点 O 右边时 CEOC2， CE4或 2； 故答案为：4或 2 15解：作 PEOA 于 E，PFOB 于 F，连接 OP，如图， 四边形 ABCD 为正方形， OAOCOBODBD，OAOB， SOPA+SOPBSOAB， PEOA+PFOBOAOB， PE+PFOAcm 故答案为 16解：四边形 ABCD 是平
19、行四边形， O 点为 AC 中点 OEAC， AECE BCE 的周长BC+CE+BEBC+AE+BEBC+AB14 平行四边形 ABCD 周长为 21428 故答案为 28 17解：四边形 ABCD 为正方形， BAED90，ABAD， 在ABE 和DAF 中， ， ABEDAF（SAS） ， ABEDAF， ABE+BEA90， DAF+BEA90， AGEBGF90， 点 H 为 BF 的中点， GHBF， BC5、CFCDDF523， BF， GHBF， 故答案为： 18解：四边形 ABCD 是菱形， ADAB5，ACBD，AOAC63，OBOD， 在 RtAOD 中，由勾股定理得：O
20、D4， BD2OD8， DEBC， DEB90， ODOB， OEBD84， 故答案为：4 19解：延长 CD 交 AB 于 F， 在BDC 和BDF 中， ， BDCBDF（ASA） ， BFBC6，CDDF， AFABBF4， CDDF，CEEA， DEAF2， 故答案为：2 20解：四边形 ABCD 是正方形， ABBCCDDA，ABCBCDCDADAB90 又三角形 ABE 是等边三角形， ABAEBE，EABABEAEB60 DAEDABEAB906030， AEAD， ADEAED75， BEG180DAEAEB180756045 故答案为：45 21 （1）证明：四边形 ABCD
21、 是菱形， ADBC 且 ADBC， BECF， BCEF， ADEF， ADEF， 四边形 AEFD 是平行四边形， AEBC， AEF90， 四边形 AEFD 是矩形； （2）解：四边形 ABCD 是菱形，AD10， ADABBC10， EC4， BE1046， 在 RtABE 中，AE， 在 RtAEC 中，AC， 四边形 ABCD 是菱形， OAOC， OEAC 22证明： （1）四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ADBC， EAMFCN， E、F 分别为 AD、BC 的中点， AEDEBFCF， 在AEM 和CFN 中， ， AEMCFN（SAS） ， EMFN，AMECN
22、F， EMNFNM， EMFN， 四边形 EMFN 是平行四边形； （2）连接 EF 交 AC 于 O，如图所示： 由（1）得：AEBF，AEBF， 四边形 AEBF 是平行四边形， ABEF， ABAC， BAC90， COFBAC90， EFMN， EMFN 是菱形 23解： （1）EF2AF2+BF2 理由：如图 1，四边形 ABCD 是正方形， OAOB，OAEOBF45，ACBD， EOFAOB90， EOAFOB， 在EOA 和FOB 中， ， EOAFOB（ASA） ， AEBF， 在 RtEAF 中，EF2AE2+AF2AF2+BF2； （2）在 BC 上取一点 H，使得 BH
23、AE 四边形 ABCD 是正方形， OAOB，OAEOBH，AOB90， 在OAE 和OBH 中， OAEOBH（SAS） ， AEBH，AOEBOH，OEOH， EOF45， AOE+BOF45， BOF+BOH45， FOEFOH45， 在FOE 和FOH 中 ， ， FOEFOH（SAS） ， EFFH， FBH90， FH2BF2+BH2， EF2BF2+AE2， 24 （1）证明E 为 AD 的中点， DEAE， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABDC， EDCEAF， 在DEC 和AEF 中， DECAEF（AAS） ， DCFA， AD2AB， ABDEEAFA，
24、FBAD； （2）解：四边形 ABCD 是平行四边形， DACB， CBFDAF70，AEBEBC， 又AEAB， AEBABE， EBCABE35 25证明： （1）CFBD，DFAC， 四边形 OCFD 是平行四边形，OBECFE， ODCF， 四边形 ABCD 是平行四边形， OBOD， OBCF，在 FCE 和BOE 中， FCEBOE（AAS） ； （2）当ADC 满足ADC90时，四边形 OCFD 为菱形；理由如下： ADC90，四边形 ABCD 是平行四边形， 四边形 ABCD 是矩形， OAOC，OBOD，ACBD， OCOD， 四边形 OCFD 为菱形 26解： （1）作 A
25、MBC 于 M，设 AC 交 PE 于 N如图所示： BAC90，B45， C45B， ABAC， BMCM， AMBC5， ADBC， PANC45， PEBC， PEAM5，PEAD， APN 和CEN 是等腰直角三角形， PNAPt，CENE5t， CECQQE2t2， 5t2t2， 解得：t，所以 BQBCCQ102； （2）存在，t4 或 12；理由如下： 若以 A，B，E，P 为顶点的四边形为平行四边形， 则 APBE， t102t+2 或 t2t210 解得：t4 或 12 存在 t 的值，使以 A，B，E，P 为顶点的四边形为平行四边形，t4 或 12 27解： （1）四边形
26、ABCD 是正方形， EBABAD90， EAB90BAE905535， HADBADEAFEAB90453510； （2）四边形 ABCD 是正方形， EBABADADF90， EAB90BAE90， DAFBADEAFEAB9045（90）45， DFA90DAF90（45）135； （3）BEAFEA，理由如下： 延长 CB 至 I，使 BIDF，连接 AI 四边形 ABCD 是正方形， ADAB，ADFABC90， ABI90， 又BIDF， DAFBAI（SAS） ， AFAI，DAFBAI， EAIBAI+BAEDAF+BAE45EAF， 又AE 是EAI 与EAF 的公共边， EAIEAF（SAS） ， BEAFEA 28证明： （1）ADBC，ABCD， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD， B+C180， 又BC， BC90， 四边形 ABCD 为矩形； （2）如图 2，延长 BA，CM 交于点 E， M 为 AD 的中点，N 为 AB 中点， ANBN2，AMMD， ABCD4， AEDC， EMCD， 在AEM 和DCM 中， ， AMEDMC（AAS） ， AECD4， BNC2DCMNCD， NCEECDE， CNENAE+AN4+26
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