1、 绝密绝密启用前启用前 2021 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学理科数学 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效本试卷上无效 3考试结束后，将
2、本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1. 设2 346zzzzi，则z （ ） A. 1 2i B. 1 2i C. 1 i D. 1i 2. 已知集合 21,Ss snnZ，41,Tt tnnZ，则S T?（ ） A. B. S C. T D. Z 3. 已知命题: ,sin1pxx R 命题 :qx R | | e1 x ，则下列命题中为真命题的是（ ） A. pq B
3、. pq C. pq D. pq 4. 设函数 1 ( ) 1 x f x x ，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. 11f x B. 11f x C. 11f x D. 11f x 5. 在正方体 1111 ABCDABC D中，P 为 11 B D的中点，则直线PB与 1 AD所成的角为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 6. 将 5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶 4 个项目进行培训，每名志愿者只分 配到 1 个项目，每个项目至少分配 1 名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 60 种 B. 120 种 C. 240 种 D. 480 种 7.
4、把函数 ( )yf x 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 3 个 单位长度，得到函数sin 4 yx 的图像，则( )f x （ ） A. 7 sin 212 xx B. sin 212 x C. 7 sin 2 12 x D. sin 2 12 x 8. 在区间(0,1)与(1,2)中各随机取 1个数，则两数之和大于 7 4 的概率为（ ） A. 7 9 B. 23 32 C. 9 32 D. 2 9 9. 魏晋时刘徽撰写的海岛算经是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高如图，点E，H，G 在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测
5、量标杆的高度， 称为“表高”，EG称为“表距”， GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”则海岛的高AB （ ） A. 表高 表距 表目距的差 表高 B. 表高 表距 表目距的差 表高 C. 表高 表距 表目距的差 表距 D. 表高 表距 - 表目距的差 表距 10. 设0a，若x a 为函数 2 fxa xaxb的极大值点，则（ ） A. ab B. ab C. 2 aba D. 2 aba 11. 设B是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的上顶点，若C上的任意一点P都满足| | 2PBb ，则C的离心 率的取值范围是（ ） A. 2 ,1 2 B. 1
6、,1 2 C. 2 0, 2 D. 1 0, 2 12. 设2ln1.01a ，ln1.02b，1.041c 则（ ） A. abc B. bca C. bac D. cab 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13. 已知双曲线 2 2 :1(0) x Cym m 的一条渐近线为30 xmy，则 C 的焦距为_ 14. 已知向量1,3 ,3,4ab，若()abb，则_ 15. 记ABC的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 面积为3， 60B ， 22 3acac， 则b_ 16. 以图为正视图，在图中选两个分别作
7、为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧 视图和俯视图的编号依次为_（写出符合要求的一组答案即可） 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17. 某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一 台新设备各生产了 10件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备
8、9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10 0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.4 10 1 10.0 10.1 10.3 10 6 10.5 10.4 10.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y，样本方差分别记为 2 1 S和 2 2 S （1）求x，y， 2 1 S， 2 2 S； （2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 22 12 2 10 SS yx ，则认为 新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高） 18. 如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD 底面ABCD
9、，1PDDC，M为BC的中点，且 PBAM （1）求BC； （2）求二面角APMB的正弦值 19. 记 n S为数列 n a的前 n项和， n b为数列 n S的前 n 项积，已知 21 2 nn Sb （1）证明：数列 n b是等差数列; （2）求 n a的通项公式 20. 设函数 lnf xax，已知0 x是函数 yxf x的极值点 （1）求 a； （2）设函数 ( ) ( ) ( ) xf x g x xf x 证明: 1g x 21. 已知抛物线 2 :20C xpy p的焦点为F，且F与圆 22 :(4)1M xy上点的距离的最小值为 4 （1）求p； （2）若点P在M上，,PA P
10、B是C的两条切线，,A B是切点，求 PAB 面积的最大值 （二）选考题，共（二）选考题，共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一 题计分题计分 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（10 分）分） 22. 在直角坐标系xOy中，C的圆心为2,1C，半径为 1 （1）写出C一个参数方程; （2）过点4,1F作C的两条切线以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线 的极坐标方程 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23. 已知函数 3f xxax （1）
11、当1a 时，求不等式 6f x 的解集; （2）若 f xa，求 a 的取值范围 绝密绝密启用前启用前 2021 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学理科数学 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答
12、非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1. 设2 346zzzzi，则z （ ） A. 1 2i B. 1 2i C. 1 i D. 1i 【答案】C 【解析】 【分析】设zabi，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a、b的等式，解出这两个未知 数的值，即可得出复数z. 【详解】设zab
13、i，则z abi ，则234646zzzzabii， 所以， 44 66 a b ，解得1ab，因此，1zi . 故选：C. 2. 已知集合 21,Ss snnZ，41,Tt tnnZ，则S T?（ ） A. B. S C. T D. Z 【答案】C 【解析】 【分析】分析可得TS，由此可得出结论. 【详解】任取tT，则412 21tnn ，其中nZ，所以，tS，故TS， 因此，STT. 故选：C. 3. 已知命题: ,sin1pxx R 命题 :qx R | | e1 x ，则下列命题中为真命题的是（ ） A. pq B. pq C. p q D. pq 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦
14、函数的有界性确定命题 p的真假性，由指数函数的知识确定命题q的真假性，由此确定正 确选项. 【详解】由于sin0=0，所以命题p为真命题； 由于 x ye在R上为增函数，0 x ，所以 | |0 1 x ee，所以命题q为真命题； 所以p q 为真命题， pq 、p q 、pq为假命题. 故选：A 4. 设函数 1 ( ) 1 x f x x ，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. 11f x B. 11f x C. 11f x D. 11f x 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可. 【详解】由题意可得 12 ( )1 11 x f x xx ， 对
15、于 A， 2 112f x x 不是奇函数； 对于 B， 2 11f x x 是奇函数； 对于 C， 2 112 2 f x x ，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于 D， 2 11 2 f x x ，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 故选：B 【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题. 5. 在正方体 1111 ABCDABC D中，P 为 11 B D的中点，则直线PB与 1 AD所成的角为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】平移直线 1 AD至 1 BC，将直线PB与 1 AD所成的角转化为PB与 1 BC所成的
16、角，解三角形即可. 【详解】 如图，连接 11 ,BC PC PB，因为 1 AD 1 BC， 所以 1 PBC或其补角为直线PB与 1 AD所成的角， 因为 1 BB 平面 1111 DCBA，所以 11 BBPC，又 111 PCB D， 1111 BBB DB， 所以 1 PC 平面 1 PBB，所以 1 PCPB， 设正方体棱长为 2，则 1111 1 2 2,2 2 BCPCD B， 1 1 1 1 sin 2 PC PBC BC ，所以 1 6 PBC . 故选：D 6. 将 5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶 4 个项目进行培训，每名志愿者只分 配到 1 个
17、项目，每个项目至少分配 1 名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 60 种 B. 120种 C. 240种 D. 480种 【答案】C 【解析】 【分析】先确定有一个项目中分配 2 名志愿者，其余各项目中分配 1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法 原理求得. 【详解】根据题意，有一个项目中分配 2 名志愿者，其余各项目中分配 1 名志愿者，可以先从 5名志愿者中 任选 2 人，组成一个小组，有 2 5 C种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位 置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有 4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有 2 5 4!240C 种不同的
18、分配方案， 故选：C. 【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排 思想求解. 7. 把函数 ( )yf x 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 3 个 单位长度，得到函数sin 4 yx 的图像，则( )f x （ ） A. 7 sin 212 xx B. sin 212 x C. 7 sin 2 12 x D. sin 2 12 x 【答案】B 【解析】 【分析】 解法一： 从函数( )yf x的图象出发， 按照已知的变换顺序， 逐次变换， 得到2 3 yfx ， 即得2sin 34 fxx ，再
19、利用换元思想求得( )yf x的解析表达式； 解法二：从函数sin 4 yx 出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到( )yf x的解析表 达式. 【详解】解法一：函数( )yf x图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，得到(2 )yfx 的图象，再把所得曲线向右平移 3 个单位长度，应当得到2 3 yfx 的图象， 根据已知得到了函数sin 4 yx 的图象，所以2sin 34 fxx ， 令2 3 tx ,则 , 234212 tt xx , 所以 sin 212 t f t ,所以 sin 212 x f x ； 解法二：由已知的函数sin 4 yx 逆向变
20、换， 第一步：向左平移 3 个单位长度，得到sinsin 3412 yxx 的图象， 第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变，得到sin 212 x y 的图象， 即为 yf x的图象，所以 sin 212 x f x . 故选：B. 【点睛】本题考查三角函数的图象的平移和伸缩变换，属基础题，可以正向变换，也可以逆向变换求解， 关键是要注意每一步变换，对应的解析式中都是x的变换，图象向左平移a个单位，对应x替换成xa, 图象向右平移 a 个单位，对应 x 替换成xa,牢记“左加右减”口诀；图象上每个点的横坐标伸长或缩短到原 来的 k 倍，对应解析式中x替换成 x k . 8
21、. 在区间(0,1)与(1,2)中各随机取 1个数，则两数之和大于 7 4 的概率为（ ） A. 7 9 B. 23 32 C. 9 32 D. 2 9 【答案】B 【解析】 【 分 析 】 设 从 区 间( ) () 0,1 , 1, 2中随 机 取 出 的 数 分 别为 , x y ， 则 实 验 的 所 有 结果构 成 区 域 为 ,01,12x yxy ， 设 事 件A表 示 两 数 之 和 大 于 7 4 ， 则 构 成 的 区 域 为 7 ,01,12, 4 Ax yxyxy ，分别求出,A对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即 可解出 【详解】如图所示： 设从区间( ) ()
22、 0,1 , 1,2中随机取出的数分别为 , x y，则实验的所有结果构成区域为 ,01,12x yxy ，其面积为1 1 1S 设事件A表示两数之和大于 7 4 ，则构成的区域为 7 ,01,12, 4 Ax yxyxy ，即图中的阴影 部分，其面积为 13323 1 24432 A S ，所以 23 32 A S P A S 故选：B. 【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中的面积问题，解题关键是准确求出事件,A对应的区 域面积，即可顺利解出 9. 魏晋时刘徽撰写的海岛算经是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高如图，点E，H，G 在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等
23、高的测量标杆的高度， 称为“表高”，EG称为“表距”， GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”则海岛的高AB （ ） A. 表高 表距 表目距的差 表高 B. 表高 表距 表目距的差 表高 C. 表高 表距 表目距的差 表距 D. 表高 表距 - 表目距的差 表距 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出 【详解】如图所示： 由平面相似可知，, DEEHFGCG ABAHABAC ，而DEFG，所以 DEEHCGCGEHCGEH ABAHACACAHCH ，而CHCEEHCGEHEG， 即 CGEHEGEGDE ABDEDE CGEHCG
24、EH + 表高 表距 表高 表目距的差 故选：A. 【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出 10. 设0a，若x a 为函数 2 fxa xaxb的极大值点，则（ ） A. ab B. ab C. 2 aba D. 2 aba 【答案】D 【解析】 【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否编号，结合极大值点的性质，对进行分 类讨论，画出图象，即可得到, a b所满足的关系，由此确定正确选项. 【详解】若ab，则 3 f xa xa为单调函数，无极值点，不符合题意，故ab. f x有x a和x b两个不同零点， 且在x a左右附近是不变号， 在x
25、b左右附近是变号的.依题意， 为函数的极大值点，在xa左右附近都是小于零的. 当0a 时，由xb， 0f x ，画出 f x的图象如下图所示： 由图可知ba，0a ，故 2 aba . 当0a时，由xb时， 0f x ，画出 f x的图象如下图所示： 由图可知ba，0a，故 2 aba . 综上所述， 2 aba成立. 故选：D 【点睛】本小题主要考查三次函数图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答. 11. 设B是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的上顶点，若C上的任意一点P都满足| | 2PBb ，则C的离心 率的取值范围是（ ） A. 2 ,1 2 B. 1 ,
26、1 2 C. 2 0, 2 D. 1 0, 2 【答案】C 【解析】 【分析】设 00 ,P x y，由0,Bb，根据两点间的距离公式表示出PB，分类讨论求出PB的最大值，再 构建齐次不等式，解出即可 【详解】设 00 ,P x y，由0,Bb，因为 22 00 22 1 xy ab ， 222 abc ，所以 2 2234 222 2222 0 0000 2222 1 ycbb PBxybaybyab bbcc ， 因为 0 byb ，当 3 2 b b c ，即 22 bc 时， 2 2 max 4PBb，即 max 2PBb，符合题意，由 22 bc 可 得 22 2ac，即 2 0 2
27、 e； 当 3 2 b b c ，即 22 bc 时， 4 2 22 2max b PBab c ，即 4 222 2 4 b abb c ，化简得， 2 22 0cb，显 然该不等式不成立 故选：C 【点睛】本题解题关键是如何求出PB的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论 函数的单调性从而确定最值 12. 设2ln1.01a ，ln1.02b，1.041c 则（ ） A. abc B. bca C. bac D. cab 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对 a,b 的大小作出判定，对于 a与 c，b 与 c 的大小关系， 将 0.01 换
28、成 x,分别构造函数 2ln 11 41f xxx, ln 1 21 41g xxx， 利用导数分 析其在 0的右侧包括 0.01的较小范围内的单调性，结合 f(0)=0,g(0)=0即可得出 a与 c，b与 c的大小关系. 【详解】 2 22 2ln1.01ln1.01ln 1 0.01ln 1 2 0.01 0.01ln1.02ab , 所以ba; 下面比较c与, a b的大小关系. 记 2ln 11 41f xxx,则 00f, 21 41 22 11 411 4 xx fx xxxx ， 由于 2 2 14122xxxxxx 所以当 0x0 时, 2 14120 xx, 所以 0g x
29、 ,即函数 g x在0,+)上单调递减，所以 0.0100gg,即ln1.021.041,即 bc; 综上，bca, 故选：B. 【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数， 利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的. 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13. 已知双曲线 2 2 :1(0) x Cym m 的一条渐近线为30 xmy，则 C 的焦距为_ 【答案】4 【解析】 【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出, a b的关系，再结合
30、双曲线中 22 ,a b对应关系，联立求解m，再由 关系式求得c，即可求解 【详解】由渐近线方程30 xmy化简得 3 yx m ，即 3b am ，同时平方得 2 22 3b am ，又双曲线中 22 ,1am b，故 2 31 mm ，解得3,0mm（舍去） ， 222 3 142cabc ，故焦距24c 故答案为：4 【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键 14. 已知向量1,3 ,3,4ab，若()abb，则_ 【答案】 3 5 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出 【详解】因为1,33,4
31、1 3 ,34ab，所以由abb可得， 3 1 34 3 40，解得 3 5 故答案为： 3 5 【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设 1122 ,ax ybxy， 1 212 00aba bx xy y ，注意与平面向量平行的坐标表示区分 15. 记ABC内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 面积为3， 60B ， 22 3acac， 则b_ 【答案】2 2 【解析】 【分析】由三角形面积公式可得4ac ，再结合余弦定理即可得解. 【详解】由题意， 13 sin3 24 ABC SacBac， 所以 22 4,12acac， 所以 222 1 2cos122
32、 48 2 bacacB ，解得 2 2b （负值舍去）. 故答案为：2 2. 16. 以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧 视图和俯视图的编号依次为_（写出符合要求的一组答案即可） 【答案】 【解析】 【分析】由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可. 【详解】选择侧视图为，俯视图为， 如图所示，长方体 1111 ABCDABC D中， 1 2,1ABBCBB， ,E F分别为棱 11, BC BC的中点， 则正视图，侧视图，俯视图对应的几何体为三棱锥EADF. 故答案为：. 【点睛】三视图问题解决的关键之处是由三视图确定直观图的形状以及直观图
33、中线面的位置关系和数量关 系. 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17. 某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一 台新设备各生产了 10件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 1
34、0.2 9.7 新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y，样本方差分别记为 2 1 S和 2 2 S （1）求x，y， 2 1 S， 2 2 S； （2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 22 12 2 10 SS yx ，则认为 新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高） 【答案】 （1） 22 12 10,10.3,0.036,0.04xySS； （2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有 显著提高.
35、【解析】 【分析】 （1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差. （2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断. 【详解】 （1） 9.8 10.3 10 10.29.99.8 10 10.1 10.29.7 10 10 x ， 10.1 10.4 10.1 10 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 10.3 10 y ， 22222222 2 1 0.20.300.20.10.200.10.20.3 0.036 10 S ， 222222222 2 2 0.20.10.20.30.200.30.20.10.2 0.04 10 S . （2）依题意，
36、2 0.32 0.152 0.152 0.025yx ， 0.0360.04 22 0.0076 10 ， 22 12 2 10 ss yx ，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高. 18. 如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD 底面ABCD，1PDDC，M为BC的中点，且 PBAM （1）求BC； （2）求二面角APMB的正弦值 【答案】 （1） 2； （2） 70 14 【解析】 【分析】 （1）以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 设2BCa，由已知条件得出 0PB AM ，求出a的值，即可得出BC的长； （2）求出平面PA
37、M、PBM的法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果. 【详解】 （1）PD 平面ABCD，四边形ABCD为矩形，不妨以点D为坐标原点，DA、DC、DP所 在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系Dxyz， 设2BCa，则0,0,0D、0,0,1P、2 ,1,0Ba、,1,0M a、2 ,0,0Aa， 则2 ,1, 1PBa，,1,0AMa ， PBAM，则 2 210PB AMa ，解得 2 2 a ，故22BCa； （2）设平面PAM的法向量为 111 ,mx y z，则 2 ,1,0 2 AM ，2,0,1AP ， 由 11 11 2 0 2 20 m A
38、Mxy m APxz ，取 1 2x ，可得2,1,2m ， 设平面PBM的法向量为 222 ,nxy z， 2 ,0,0 2 BM ，2, 1,1BP ， 由 2 222 2 0 2 20 n BMx n BPxyz ，取 2 1y ，可得 0,1,1n r ， 33 14 cos, 1472 m n m n mn ， 所以， 2 70 sin,1 cos, 14 m nm n ， 因此，二面角APMB的正弦值为 70 14 . 【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角步骤如下： （1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标； （2）设出法向量，根据法向量垂直
39、于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为 坐标平面，直接取法向量即可） ； （3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角， 从而得到二面角的余弦值. 19. 记 n S为数列 n a的前 n项和， n b为数列 n S的前 n 项积，已知 21 2 nn Sb （1）证明：数列 n b是等差数列; （2）求 n a的通项公式 【答案】 （1）证明见解析； （2） 3 ,1 2 1 ,2 1 n n a n n n . 【解析】 【 分 析 】（ 1 ） 由 已 知 21 2 nn Sb 得 2 21 n n n b S b
40、 , 且 0 n b ， 取1n , 得 1 3 2 b , 由 题 意 得 12 12 222 21 2121 n n n bbb b bbb ,消积得到项的递推关系 11 1 2 21 nn nn bb bb ,进而证明数列 n b是等差数列; （2）由（1）可得 n b的表达式,由此得到 n S的表达式,然后利用和与项的关系求得 3 ,1 2 1 ,2 1 n n a n n n . 【详解】 （1）由已知 21 2 nn Sb 得 2 21 n n n b S b ,且 0 n b ， 1 2 n b , 取1n ,由 11 Sb得 1 3 2 b , 由于 n b为数列 n S的前
41、n项积， 所以 12 12 222 21 2121 n n n bbb b bbb , 所以 112 1 121 222 21 2121 n n n bbb b bbb ， 所以 11 1 2 21 nn nn bb bb , 由于 1 0 n b 所以 1 21 21 nn bb ，即 1 1 2 nn bb ,其中 * nN 所以数列 n b是以 1 3 2 b 为首项，以 1 2 d 为公差等差数列; （2）由（1）可得，数列 n b是以 1 3 2 b 为首项，以 1 2 d 为公差的等差数列， 31 11 222 n n bn , 22 211 n n n bn S bn , 当 n
42、=1 时， 11 3 2 aS, 当 n2 时, 1 211 11 nnn nn aSS nnn n ,显然对于 n=1 不成立, 3 ,1 2 1 ,2 1 n n a n n n . 【点睛】本题考查等差数列的证明，考查数列的前 n 项和与项的关系，数列的前 n项积与项的关系，其中由 12 12 222 21 2121 n n n bbb b bbb ,得到 112 1 121 222 21 2121 n n n bbb b bbb ，进而得到 11 1 2 21 nn nn bb bb 是关键一 步；要熟练掌握前 n项和，积与数列的项的关系，消和（积）得到项（或项的递推关系） ，或者消项
43、得到和 （积）的递推关系是常用的重要的思想方法. 20. 设函数 lnf xax，已知0 x是函数 yxf x的极值点 （1）求 a； （2）设函数 ( ) ( ) ( ) xf x g x xf x 证明: 1g x 【答案】1；证明见详解 【解析】 【分析】 （1）由题意求出 y，由极值点处导数为 0即可求解出参数a； （2）由（1）得 ln 1 ( ) ln 1 xx g x xx ，1x且0 x，分类讨论0,1x和,0 x ，可等价转化为要 证 1g x ，即证ln 1ln 1xxxx在0,1x和,0 x 上恒成立，结合导数和换元法即可 求解 【详解】 （1）由 n 1 l a fxa
44、xf x x ， ln x yax xa yxfx ， 又0 x是函数 yxf x的极值点，所以 0ln0ya，解得1a ； （2）由（1）得 ln 1f xx， ln 1( ) ( ) ( )ln 1 xxxf x g x xf xxx ，1x且0 x， 当 0,1x时，要证 ln 1 ( )1 ln 1 xx g x xx ，0,ln 10 xx， ln 10 xx，即证 ln 1ln 1xxxx，化简得 1ln 10 xxx ； 同理，当,0 x 时，要证 ln 1 ( )1 ln 1 xx g x xx ，0,ln 10 xx， ln 10 xx，即证 ln 1ln 1xxxx，化简得
45、 1ln 10 xxx ； 令 1ln 1h xxxx，再令1tx ，则 0,11,t，1xt ， 令 1lng tttt ， 1 ln1lng ttt ， 当0,1t时， 0gx ， g x单减，假设 1g能取到，则 10g，故 10g tg； 当1,t时， 0gx ， g x单增，假设 1g能取到，则 10g，故 10g tg； 综上所述， ln 1 ( )1 ln 1 xx g x xx 在 ,00,1x 恒成立 【点睛】本题为难题，根据极值点处导数为 0 可求参数a，第二问解法并不唯一，分类讨论对函数进行等价 转化的过程，一定要注意转化前后的等价性问题，构造函数和换元法也常常用于解决复
46、杂函数的最值与恒 成立问题. 21. 已知抛物线 2 :20C xpy p的焦点为F，且F与圆 22 :(4)1M xy上点的距离的最小值为 4 （1）求p； （2）若点P在M上，,PA PB是C的两条切线，,A B是切点，求 PAB 面积的最大值 【答案】 （1）2p ； （2）20 5. 【解析】 【分析】 （1）根据圆的几何性质可得出关于p的等式，即可解出p的值； （2）设点 11 ,A x y、 22 ,B x y、 00 ,P x y，利用导数求出直线PA、PB，进一步可求得直线AB的方 程，将直线AB的方程与抛物线的方程联立，求出AB以及点P到直线AB的距离，利用三角形的面积公 式结合二次函数的基本性质可求得 PAB 面积的最大值. 【详解】 （1）抛物线C的焦点为0, 2 p F ，4 2 p FM ， 所以，F与圆 22 :(4)1M xy上点的距离的最小值为4 14 2 p ，解得2p ； （2）抛物线C的方程为 2 4xy，即 2 4 x y ，对该函数求导得 2 x y， 设点 11 ,A x y、 22 ,B
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