2021年湖南省株洲市渌口区中考数学模拟试卷（含答案解析）

1、2021 年湖南省株洲市渌口区中考数学模拟试卷年湖南省株洲市渌口区中考数学模拟试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 40 分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确 的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1下列各数中，比2 小的数是（ ） A3 B1.5 C1 D2 2计算（a）6a3的结果是（ ） Aa3 Ba2 Ca3 Da2 3如图，AB 和 CD 相交于点 O，则下列结论正确的是（ ） A14+5 B23+5

2、C12 D25 4如图，点 A，B，C 均在O 上，若A64，则OCB 的度数是（ ） A24 B26 C28 D30 5若点 A（1+m，1n）与点 B（3，2）关于 y 轴对称，则 m+n 的值是（ ） A5 B3 C3 D1 6如图所示，圆柱的高 AB3，底面直径 BC6，现在有一只蚂蚁想要从 A 处沿圆柱表面爬到对角 C 处捕 食，则它爬行的最短距离是（ ） A3 B6 C3 D6 7已知一次函数 ykx+4 的图象经过点 A，且 y 随 x 的增大而减小，则点 A 的坐标不会是（ ） A （2，5） B （1，6） C （2，6） D （1，3） 8若式子在实数范围内有意义，则 x

3、的取值范围是（ ） Ax2 Bx2 Cx2 Dx2 9如果 x2+nx+2k（x1）2，那么 kn是（ ） A B C4 D4 10将边长分别为 2、3、5 的三个正方形按如图方式排列，则图中阴影部分的面积为（ ） A B C D3 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 32 分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 11已知 f（x），那么 f（5）的值是 12计算： 13分解因式：xy2x 14为了解某市六年级 8400 名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中 400 名学生，结果有 120

4、名学生 会游泳，那么估计该市会游泳的六年级学生人数约为 15已知 ， 是一元二次方程 x2+x20 的两个实数根，则 2+ 的值是 16小李从家步行到学校需走的路程为 1800 米图中的折线 OAB 反映了小李从家步行到学校所走的路程 s （米）与时间 t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小李从家出发去学校步行 16 分钟时，到 学校还需步行 米 17把两个同样大小的含 45角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的 直角顶点重合于点A， 且另三个锐角顶点B， C， D在同一直线上 若AB， 则CD 18RtABC 中，ABC90，AB3，BC4，过点 B 的直

5、线把ABC 分割成两个三角形，使其中只有 一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是 三、解析题（本大题共三、解析题（本大题共 8 个小题，满分个小题，满分 78 分）分） 19 （6 分）计算： （） 22sin45+| |（2021）0 20 （8 分）先化简，再求值（），其中 m+1 21 （8 分）如图，在ABC 中，AB8，BC4，CA6，CDAB，BD 是ABC 的平分线，BD 交 AC 于 点 E，求 AE 的长 22 （10 分）为响应党的“文化自信”号召，某校开展了古诗词诵读大赛活动，现随机抽取部分同学的成绩 进行统计，并绘制成两个不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下

6、列各题： （1）直接写出 a 的值，a ，并把频数分布直方图补充完整 （2）求扇形 B 的圆心角度数 （3）如果全校有 2700 名学生参加这次活动，90 分以上（含 90 分）为优秀，那么估计获得优秀奖的学 生有多少人？ 23 （10 分）某区域平面示意图如图，点 O 在河的一侧，AC 和 BC 表示两条互相垂直的公路甲勘测员在 A 处测得点 O 位于北偏东 45，乙勘测员在 B 处测得点 O 位于南偏西 73.7，测得 AC840m，BC 500m请求出点 O 到 BC 的距离 参考数据：sin73.7，cos73.7，tan73.7 24 （10 分）如图，点 O 是ABC 的边 AB

7、上一点，O 与边 AC 相切于点 E，与边 BC、AB 分别相交于点 D、F，且 DEEF （1）求证：C90； （2）当 BC3，sinA时，求 AF 的长 25 （13 分）已知反比例函数的图象经过三个点 A（4，3） ，B（2m，y1） ，C（6m，y2） ，其中 m0 （1）当 y1y24 时，求 m 的值； （2）如图，过点 B、C 分别作 x 轴、y 轴的垂线，两垂线相交于点 D，点 P 在 x 轴上，若三角形 PBD 的 面积是 8，请写出点 P 坐标（不需要写解答过程） 26 （13 分）已知抛物线 yax2+bx+c 过点 A（0，2） （1）若点（，0）也在该抛物线上，求

8、a，b 满足的关系式； （2）若该抛物线上任意不同两点 M（x1，y1） ，N（x2，y2）都满足：当 x1x20 时， （x1x2） （y1y2） 0；当 0 x1x2时， （x1x2） （y1y2）0以原点 O 为心，OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点 为 B，C，且ABC 有一个内角为 60 求抛物线的解析式； 若点 P 与点 O 关于点 A 对称，且 O，M，N 三点共线，求证：PA 平分MPN 2021 年湖南省株洲市渌口区中考数学模拟试卷年湖南省株洲市渌口区中考数学模拟试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 题，每题题，每题 4

9、 分，满分分，满分 40 分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确 的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1下列各数中，比2 小的数是（ ） A3 B1.5 C1 D2 【分析】正数大于 0，负数小于 0，正数大于负数，负数比较大小，绝对值大的反而小 【解答】解：321.512， 比2 小的数是3， 故选：A 2计算（a）6a3的结果是（ ） Aa3 Ba2 Ca3 Da2 【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案 【解答】解：原式a6a3a3 故选：C 3如图

10、，AB 和 CD 相交于点 O，则下列结论正确的是（ ） A14+5 B23+5 C12 D25 【分析】根据对顶角的性质，三角形的外角性质判断即可 【解答】解：A1 是OBC 的外角，14+5，故本选项不符合题意； B2 是AOD 的外角，23+A，故本选项不符合题意； C1 与2 是对顶角，12，正确 D2 是OBC 的外角，25，故本选项不符合题意； 故选：C 4如图，点 A，B，C 均在O 上，若A64，则OCB 的度数是（ ） A24 B26 C28 D30 【分析】 先根据圆周角定理得到BOC128， 然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算OCB 的度数 【解答】解：A 与BO

11、C 都对， BOC2A264128， OBOC， OBCOCB， OCB（180128）26 故选：B 5若点 A（1+m，1n）与点 B（3，2）关于 y 轴对称，则 m+n 的值是（ ） A5 B3 C3 D1 【分析】根据关于 y 轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此求出 m、n 的值， 代入计算可得 【解答】解：点 A（1+m，1n）与点 B（3，2）关于 y 轴对称， 1+m3、1n2， 解得：m2、n1， 所以 m+n211， 故选：D 6如图所示，圆柱的高 AB3，底面直径 BC6，现在有一只蚂蚁想要从 A 处沿圆柱表面爬到对角 C 处捕 食，则它爬行的最短距

12、离是（ ） A3 B6 C3 D6 【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求 解 【解答】解：蚂蚁也可以沿 ABC 的路线爬行，AB+BC9， 把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点 A、C 的最短距离为线段 AC 的长 在 RtADC 中，ADC90，CDAB3，AD 为底面半圆弧长，AD3， 所以 AC39， 故选：A 7已知一次函数 ykx+4 的图象经过点 A，且 y 随 x 的增大而减小，则点 A 的坐标不会是（ ） A （2，5） B （1，6） C （2，6） D （1，3） 【分析】由点 A 的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征

13、求出 k 的值，结合 y 随 x 的增大而减小即可 求解 【解答】解：A、当点 A 的坐标为（2，5）时，2k+45， 解得 k4.50， y 随 x 的增大而增大，选项 A 符合题意； B、当点 A 的坐标为（1，6）时，k+46， 解得 k20， y 随 x 的增大而减小，选项 B 不符合题意； C、当点 A 的坐标为（2，6）时，2k+46， 解得 k10， y 随 x 的增大而减小，选项 C 不符合题意； D、当点 A 的坐标为（1，3）时，k+43， 解得 k10， y 随 x 的增大而减小，选项 D 不符合题意， 故选：A 8若式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ） A

14、x2 Bx2 Cx2 Dx2 【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数，即可确定二次根式被开方数中字母的取值范围 【解答】解：在实数范围内有意义， 2x40， 解得：x2， x 的取值范围是：x2 故选：B 9如果 x2+nx+2k（x1）2，那么 kn是（ ） A B C4 D4 【分析】已知等式右边利用完全平方公式化简，再根据多项式相等的条件求出 n 与 k 的值，代入原式计 算即可求出值 【解答】解：x2+nx+2k（x1）2x22x+1， n2，2k1， 解得：k， 则 kn（） 24 故选：C 10将边长分别为 2、3、5 的三个正方形按如图方式排列，则图中阴影部分的面积为（ ） A

15、 B C D3 【分析】根据相似三角形的性质，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面积公式计算即可 【解答】解：对角线所分得的三个三角形相似， 根据相似的性质可知 5：10 x：5， 解得 x2.5， 即阴影梯形的上底就是 32.50.5 再根据相似的性质可知 2：5x：2.5， 解得：x1， 所以梯形的下底就是 312， 所以阴影梯形的高是（2+0.5）323.75 故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 32 分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 11已知 f（x），那么 f（5）的值

16、是 【分析】把 x5 代入函数关系式求解即可 【解答】解：当 x5 时， f（5）， 故答案为： 12计算： 2 【分析】先求出的值，再化简即可 【解答】解：原式35 2 故答案为：2 13分解因式：xy2x x（y1） （y+1） 【分析】先提取公因式 x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 【解答】解：xy2x， x（y21） ， x（y1） （y+1） 故答案为：x（y1） （y+1） 14为了解某市六年级 8400 名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中 400 名学生，结果有 120 名学生 会游泳，那么估计该市会游泳的六年级学生人数约为 2520 【分析】用样本中会游泳的学生

17、人数所占的比例乘总人数即可得出答案 【解答】解：84002520（人） ， 答：估计该市会游泳的六年级学生人数约为 2520 人 故答案为：2520 15已知 ， 是一元二次方程 x2+x20 的两个实数根，则 2+ 的值是 4 【分析】由题意得 2+20，2，再代入所要求的代数式，即可得出答案 【解答】解：， 是一元二次方程 x2+x20 的两个实数根， 2+20、2， 2+2（2）4， 故答案为 4 16小李从家步行到学校需走的路程为 1800 米图中的折线 OAB 反映了小李从家步行到学校所走的路程 s （米）与时间 t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小李从家出发去学校步行 1

18、6 分钟时，到 学校还需步行 280 米 【分析】当 8t20 时，设 skt+b，将（8，960） 、 （20，1800）代入求得 s70t+400，求出 t16 时 s 的值，从而得出答案 【解答】解：当 8t20 时，设 skt+b， 将（8，960） 、 （20，1800）代入，得： ， 解得， s70t+400； 当 t16 时，s1520， 18001520280（米） ， 当小明从家出发去学校步行 16 分钟时，到学校还需步行 280 米， 故答案为：280 17把两个同样大小的含 45角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的 直角顶点重合于点 A，且另

19、三个锐角顶点 B，C，D 在同一直线上若 AB，则 CD 1 【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出 BC2，BFAF1，再利用勾股定理求出 DF，即可得出结 论 【解答】解：如图，过点 A 作 AFBC 于 F， 在 RtABC 中，B45， BCAB2，BFAFAB1， 两个同样大小的含 45角的三角尺， ADBC2， 在 RtADF 中，根据勾股定理得，DF CDBF+DFBC1+21， 故答案为：1 18RtABC 中，ABC90，AB3，BC4，过点 B 的直线把ABC 分割成两个三角形，使其中只有 一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是 3.6 或 4.32 或 4.8 【分析

20、】在 RtABC 中，通过解直角三角形可得出 AC5、SABC6，找出所有可能的剪法，并求出剪 出的等腰三角形的面积即可 【解答】解：在 RtABC 中，ABC90，AB3，BC4， AC5，SABCABBC6 沿过点 B 的直线把ABC 分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况： 当 ABAP3 时，如图所示， S等腰ABPSABC63.6； 当 ABBP3，且 P 在 AC 上时，如图所示， 作ABC 的高 BD，则 BD2.4， ADDP1.8， AP2AD3.6， S等腰ABPSABC64.32； 当 CBCP4 时，如图所示， S等腰BCPSABC64.8 综上所述：

21、等腰三角形的面积可能为 3.6 或 4.32 或 4.8 故答案为 3.6 或 4.32 或 4.8 三、解析题（本大题共三、解析题（本大题共 8 个小题，满分个小题，满分 78 分）分） 19 （6 分）计算： （） 22sin45+| |（2021）0 【分析】原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项绝对值 的代数意义化简，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果 【解答】解：原式42+1 4+1 3 20 （8 分）先化简，再求值（），其中 m+1 【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后将 m 的值代入原式即可求出答案 【解答】解：原式 ， 当 m+

22、1 时， 原式 1 21 （8 分）如图，在ABC 中，AB8，BC4，CA6，CDAB，BD 是ABC 的平分线，BD 交 AC 于 点 E，求 AE 的长 【分析】根据角平分线定义和平行线的性质求出DCBD，求出 BCCD4，证AEBCED， 得出比例式，求出 AE2CE，即可得出答案 【解答】解：BD 为ABC 的平分线， ABDCBD， ABCD， DABD， DCBD， BCCD， BC4， CD4， ABCD， ABECDE， ， ， AE2CE， AC6AE+CE， AE4 22 （10 分）为响应党的“文化自信”号召，某校开展了古诗词诵读大赛活动，现随机抽取部分同学的成绩 进行

23、统计，并绘制成两个不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列各题： （1）直接写出 a 的值，a 30 ，并把频数分布直方图补充完整 （2）求扇形 B 的圆心角度数 （3）如果全校有 2700 名学生参加这次活动，90 分以上（含 90 分）为优秀，那么估计获得优秀奖的学 生有多少人？ 【分析】 （1）先根据 E 等级人数及其占总人数的比例可得总人数，再用 D 等级人数除以总人数可得 a 的 值，用总人数减去其他各等级人数求得 C 等级人数可补全图形； （2）用 360乘以 B 等级人数所占比例可得； （3）用总人数乘以样本中 E 等级人数所占比例 【解答】解： （1）被调查的总人数为 1

24、050（人） ， D 等级人数所占百分比 a%100%30%，即 a30， C 等级人数为 50（5+7+15+10）13 人， 补全图形如下： 故答案为：30； （2）扇形 B 的圆心角度数为 36050.4； （3）估计获得优秀奖的学生有 2700540（人） 23 （10 分）某区域平面示意图如图，点 O 在河的一侧，AC 和 BC 表示两条互相垂直的公路甲勘测员在 A 处测得点 O 位于北偏东 45，乙勘测员在 B 处测得点 O 位于南偏西 73.7，测得 AC840m，BC 500m请求出点 O 到 BC 的距离 参考数据：sin73.7，cos73.7，tan73.7 【分析】作

25、OMBC 于 M，ONAC 于 N，设 OMx，根据矩形的性质用 x 表示出 OM、MC，根据正 切的定义用 x 表示出 BM，根据题意列式计算即可 【解答】解：作 OMBC 于 M，ONAC 于 N， 则四边形 ONCM 为矩形， ONMC，OMNC， 设 OMx，则 NCx，AN840 x， 在 RtANO 中，OAN45， ONAN840 x，则 MCON840 x， 在 RtBOM 中，BMx， 由题意得，840 x+x500， 解得，x480， 答：点 O 到 BC 的距离为 480m 24 （10 分）如图，点 O 是ABC 的边 AB 上一点，O 与边 AC 相切于点 E，与边

26、BC、AB 分别相交于点 D、F，且 DEEF （1）求证：C90； （2）当 BC3，sinA时，求 AF 的长 【分析】 （1）连接 OE，BE，因为 DEEF，所以，从而易证OEBDBE，所以 OEBC， 从可证明 BCAC； （2）设O 的半径为 r，则 AO5r，在 RtAOE 中，sinA，从而可求出 r 的值 【解答】解： （1）证明：连接 OE，BE， DEEF， ， OBEDBE， OEOB， OEBOBE， OEBDBE， OEBC， O 与边 AC 相切于点 E， OEAC， BCAC， C90； （2）在ABC，C90，BC3，sinA， AB5， 设O 的半径为 r，

27、则 AO5r， 在 RtAOE 中，sinA， r， AF52 25 （13 分）已知反比例函数的图象经过三个点 A（4，3） ，B（2m，y1） ，C（6m，y2） ，其中 m0 （1）当 y1y24 时，求 m 的值； （2）如图，过点 B、C 分别作 x 轴、y 轴的垂线，两垂线相交于点 D，点 P 在 x 轴上，若三角形 PBD 的 面积是 8，请写出点 P 坐标（不需要写解答过程） 【分析】 （1）先根据反比例函数的图象经过点 A（4，3） ，利用待定系数法求出反比例函数的解析式 为 y，再由反比例函数图象上点的坐标特征得出 y1，y2，然后根据 y1y24 列出方程4，解方程即可求

28、出 m 的值； （2）设 BD 与 x 轴交于点 E根据三角形 PBD 的面积是 8 列出方程PE8，求出 PE4m，再由 E （2m，0） ，点 P 在 x 轴上，即可求出点 P 的坐标 【解答】解： （1）设反比例函数的解析式为 y， 反比例函数的图象经过点 A（4，3） ， k4（3）12， 反比例函数的解析式为 y， 反比例函数的图象经过点 B（2m，y1） ，C（6m，y2） ， y1，y2， y1y24， 4， m1， 经检验，m1 是原方程的解 故 m 的值是 1； （2）设 BD 与 x 轴交于点 E 点 B（2m，） ，C（6m，） ，过点 B、C 分别作 x 轴、y 轴的垂

29、线，两垂线相交于点 D， D（2m，） ，BD 三角形 PBD 的面积是 8， BDPE8， PE8， PE4m， E（2m，0） ，点 P 在 x 轴上， 点 P 坐标为（2m，0）或（6m，0） 26 （13 分）已知抛物线 yax2+bx+c 过点 A（0，2） （1）若点（，0）也在该抛物线上，求 a，b 满足的关系式； （2）若该抛物线上任意不同两点 M（x1，y1） ，N（x2，y2）都满足：当 x1x20 时， （x1x2） （y1y2） 0；当 0 x1x2时， （x1x2） （y1y2）0以原点 O 为心，OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点 为 B，C，且ABC 有一个内角

30、为 60 求抛物线的解析式； 若点 P 与点 O 关于点 A 对称，且 O，M，N 三点共线，求证：PA 平分MPN 【分析】 （1）由抛物线经过点 A 可求出 c2，再代入（，0）即可找出 2ab+20（a0） ； （2）根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为 y 轴、开口向下，进而可得出 b0，由抛物线的 对称性可得出ABC 为等腰三角形，结合其有一个 60的内角可得出ABC 为等边三角形，设线段 BC 与 y 轴交于点 D， 根据等边三角形的性质可得出点 C 的坐标， 再利用待定系数法可求出 a 值， 此题得解； 由的结论可得出点 M 的坐标为（x1，+2） 、点 N 的坐标为（x2，

31、+2） ，由 O、M、N 三 点共线可得出 x2，进而可得出点 N 及点 N的坐标，由点 A、M 的坐标利用待定系数法可求出 直线 AM 的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点 N在直线 PM 上，进而即可证出 PA 平 分MPN 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx+c 过点 A（0，2） ， c2 又点（，0）也在该抛物线上， a（）2+b（）+c0， 2ab+20（a0） （2）当 x1x20 时， （x1x2） （y1y2）0， x1x20，y1y20， 当 x0 时，y 随 x 的增大而增大； 同理：当 x0 时，y 随 x 的增大而减小， 抛物线的对称轴为 y 轴，

32、开口向下， b0 OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点为 B、C， ABC 为等腰三角形， 又ABC 有一个内角为 60， ABC 为等边三角形 设线段 BC 与 y 轴交于点 D，则 BDCD，且OCD30， 又OBOCOA2， CDOCcos30，ODOCsin301 不妨设点 C 在 y 轴右侧，则点 C 的坐标为（，1） 点 C 在抛物线上，且 c2，b0， 3a+21， a1， 抛物线的解析式为 yx2+2 证明：由可知，点 M 的坐标为（x1，+2） ，点 N 的坐标为（x2，+2） 直线 OM 的解析式为 yk1x（k10） O、M、N 三点共线， x10，x20，且， x1+x2+， x1x2， x1x22，即 x2， 点 N 的坐标为（，+2） 设点 N 关于 y 轴的对称点为点 N，则点 N的坐标为（，+2） 点 P 是点 O 关于点 A 的对称点， OP2OA4， 点 P 的坐标为（0，4） 设直线 PM 的解析式为 yk2x+4， 点 M 的坐标为（x1，+2） ， +2k2x1+4， k2， 直线 PM 的解析式为 yx+4 +4+2， 点 N在直线 PM 上， PA 平分MPN