1、2021 年山东省济南市中考数学冲刺训练试卷（三）年山东省济南市中考数学冲刺训练试卷（三） 一选择题（满分一选择题（满分 48 分，每小题分，每小题 4 分）分） 1 （4 分）2 的绝对值是（ ） A2 B2 C2 D 2 （4 分）将一副三角板按如图所示位置摆放，其中 与 一定互余的是（ ） A B C D 3 （4 分）2020 年新冠肺炎席卷全球据经济日报 3 月 8 日报道，为支持发展中国家应对新冠肺炎疫情， 中国向世卫组织捐款 2000 万美元其中的 2000 万用科学记数法表示为（ ） A20106 B2107 C2108 D0.2108 4 （4 分）如图所示几何体的左视图正确
2、的是（ ） A B C D 5 （4 分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 6 （4 分）下列运算正确的是（ ） A （a+b）2a2+b2 B （ab）2a2b2 C （a2）3a6 Da3a3a9 7 （4 分）关于 x 的一元二次方程 kx24x+10 有两个实数根，则 k 的取值范围是（ ） Ak4 Bk4 Ck4 且 k0 Dk4 且 k0 8 （4 分）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋 30 双，各种尺码的鞋销售量如下表： 尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量/双 1 2 5 10 4 6 2 店主决定在下
3、次进货时增加一些 23.5cm 尺码的女鞋，影响店主决策的统计量是（ ） A平均数 B中位数 C众数 D方差 9 （4 分）一次函数 ykx+b 和反比例函数 y的部分图象在同一坐标系中可能为（ ） A B C D 10（4 分） 如图， ABC 沿 BC 所在直线向右平移得到DEF， 已知 EC2， BF8， 则平移的距离为 （ ） A3 B4 C5 D6 11 （4 分）如图，RtABC 中，C90，B30，AC3cm，点 P 在边 AC 上以 1cm/s 的速度从点 A 向终点 C 运动，与此同时点 Q 在边 AB 上以同样的速度从点 B 向终点 A 运动，各自到达终点后停止运 动，设运
4、动时间为 t（s） ，则当APQ 是直角三角形时，t 的值为（ ） A2s B4s C2s 或 4s D2s 或 4.5s 12 （4 分）如图，直线 ykx+b（k0）与抛物线 yax2（a0）交于 A，B 两点，且点 A 的横坐标是2， 点 B 的横坐标是 3，则以下结论： 抛物线 yax2（a0）的图象的顶点一定是原点； x0 时，直线 ykx+b（k0）与抛物线 yax2（a0）的函数值都随着 x 的增大而增大； AB 的长度可以等于 5； OAB 有可能成为等边三角形； 当3x2 时，ax2+kxb， 其中正确的结论是（ ） A B C D 二填空题（满分二填空题（满分 24 分，每
5、小题分，每小题 4 分）分） 13 （4 分）因式分解：3x212 14 （4 分）若正多边形的一个外角等于 36，那么这个正多边形的边数是 15 （4 分）当 x 时，代数式的值相等 16 （4 分）如图，在等腰直角三角形 ABC 中，C90，AB6，以 A 为圆心，AC 长为半径作弧， 交 AB 于点 D，则阴影部分的面积是 17 （4 分）甲、乙二人从学校出发去科技馆，甲步行一段时间后，乙骑自行车沿相同路线行进，两人均匀 速前行，他们的路程差 s（米）与甲出发时间 t（分）之间的函数关系如图所示下列说法：乙先到达 科技馆；乙的速度是甲速度的 2.5 倍；b480；a24其中正确的是 （填
6、序号） 18 （4 分）如图，在ABC 中，B90，C30AB将 AC 沿 AE 折叠，使点 C 与点 D 重 合且 DEBC，则 AE 三解答题（共三解答题（共 9 小题，满分小题，满分 78 分）分） 19 （6 分）计算： （3020）02cos45+|1| 20 （6 分）解不等式组，并写出该不等式组的所有整数解 21 （6 分）已知，在ABC 中，ACB90，ACBC，ADCE，BECE，垂足分别为 D，E （1）如图 1，求证：DEAD+BE； （2）如图 2，点 O 为 AB 的中点，连接 OD，OE请判断ODE 的形状？并说明理由 22 （8 分）为了认真贯彻教育部关于与开展“
7、阳光体育”活动的文件精神，实施全国亿万学生每天集体锻 炼一小时活动，吸引同学们走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，掀起校园内体育 锻炼热潮，我市各学校结合实际情况举办了“阳光体育”系列活动，为了解“阳光体育”活动的落实情 况，我市教育部门在红旗中学 2000 名学生中，随机抽取了若干名学生进行问卷调查（要求每位学生只能 填写一种自己喜欢的活动） ，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）参加调查的人数共有 人，在扇形统计图中，表示“C”的扇形的圆心角为 度； （2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中 m 的值； （3）若要从该校喜欢“D”项
8、目的学生中随机选择 8 名进行节目排练，则喜欢该项目的小丽同学被选中 的概率是多少？ 23 （8 分）如图，ABC 内接于O，CACB，CDAB，CD 与 OA 的延长线交于点 D （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若ACB120，OA2，求 CD 的长 24 （10 分）书法是中华民族的文化瑰宝，是人类文明的宝贵财富，是我国基础教育的重要内容某学校准 备为学生的书法课购买一批毛笔和宣纸，已知购买 40 支毛笔和 100 张宣纸需要 280 元；购买 30 支毛笔 和 200 张宣纸需要 260 元 （1）求毛笔和宣纸的单价； （2）某超市给出以下两种优惠方案： 方案 A：购买一支毛笔，
9、赠送一张宣纸； 方案 B：购买 200 张宣纸以上，超出的部分按原价打八折，毛笔不打折 学校准备购买毛笔 50 支，宣纸若干张（超过 200 张） 选择哪种方案更划算？请说明理由 25 （10 分）如图，已知一次函数 yx+2 的图象分别与 x 轴、y 轴交于点 A、C，与反比例函数 y的 图象在第一象限内交于点 P，过点 P 作 PBx 轴，垂足为 B，且ABP 的面积为 9 （1）点 A 的坐标为 ，点 C 的坐标为 ，点 P 的坐标为 ； （2）已知点 Q 在反比例函数 y的图象上，其横坐标为 6，在 x 轴上确定一点 M，使得PQM 的周长 最小，求出点 M 的坐标； （3）设点 E
10、是反比例函数 y在第一象限内图象上的一动点，且点 E 在直线 PB 的右侧，过点 E 作 EF x 轴，垂足为 F，当BEF 和AOC 相似时，求动点 E 的坐标 26 （12 分）如图，C 为线段 BD 上的一点，BCCD，分别以 BC，BD 为边在 BD 的上方作等边ABC 和等边CDE，连接 AE，F，G，H 分别是 BC，AE，CD 的中点，连接 FG，GH，FH （1）FGH 的形状是 ； （2） 将图中的CDE 绕点 C 顺时针旋转， 其他条件不变， （1） 的结论是否成立？结合图说明理由； （3）若 BC2，CD4，将CDE 绕点 C 旋转一周，当 A，E，D 三点共线时，直接写
11、出FGH 的 周长 27 （12 分）如图，抛物线 yx2+2x+与 x 轴相交于 A，B 两点，点 B 在点 A 的右侧，与 y 轴相交于 点 C （1）求点 A，B，C 的坐标； （2）在抛物线的对称轴上有一点 P，使 PA+PC 的值最小，求点 P 的坐标； （3）点 M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N，使以 A，C，M，N 四点构成的四边形为平行 四边形？若存在，求点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 2021 年山东省济南市中考数学冲刺训练试卷（三）年山东省济南市中考数学冲刺训练试卷（三） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（满分一选择题（满分 48 分，
12、每小题分，每小题 4 分）分） 1 （4 分）2 的绝对值是（ ） A2 B2 C2 D 【分析】根据绝对值的性质，当 a 是负有理数时，a 的绝对值是它的相反数a，解答即可 【解答】解：2 的绝对值是 2； 故选：A 【点评】此题主要考查的是绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反 数；0 的绝对值是 0 2 （4 分）将一副三角板按如图所示位置摆放，其中 与 一定互余的是（ ） A B C D 【分析】根据图形，结合互余的定义判断即可 【解答】解：A、 与 不互余，故本选项错误； B、 与 不互余，故本选项错误； C、 与 互余，故本选项正确； D、 与 不互余，
13、 和 互补，故本选项错误； 故选：C 【点评】本题考查了对余角和补角的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力 3 （4 分）2020 年新冠肺炎席卷全球据经济日报 3 月 8 日报道，为支持发展中国家应对新冠肺炎疫情， 中国向世卫组织捐款 2000 万美元其中的 2000 万用科学记数法表示为（ ） A20106 B2107 C2108 D0.2108 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正整数；当原数的绝对值1 时，n
14、是负整数 【解答】解：2000 万200000002107 故选：B 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 4 （4 分）如图所示几何体的左视图正确的是（ ） A B C D 【分析】找到从几何体的左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中 【解答】解：从几何体的左面看所得到的图形是： 故选：A 【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握左视图所看的位置 5 （4 分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据
15、轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； 故选：A 【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两 部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合 6 （4 分）下列运算正确的是（ ） A （a+b）2a2+b2 B （ab）2a2b2 C （a2）3a6 Da3a3a9 【分析】先根据完全平方公式，幂的乘方
16、，同底数幂的乘法进行计算，再逐个判断即可 【解答】解：A （a+b）2a2+2ab+b2，故本选项不符合题意； B （ab）2a22ab+b2，故本选项不符合题意； C （a2）3a6，故本选项符合题意； Da3a3a6，故本选项不符合题意； 故选：C 【点评】 本题考查了完全平方公式， 幂的乘方， 同底数幂的乘法等知识点， 注意： 完全平方公式是：（a+b） 2a2+2ab+b2， （ab）2a22ab+b2 7 （4 分）关于 x 的一元二次方程 kx24x+10 有两个实数根，则 k 的取值范围是（ ） Ak4 Bk4 Ck4 且 k0 Dk4 且 k0 【分析】若一元二次方程有两个实数
17、根，则根的判别式b24ac0，建立关于 k 的不等式，求出 k 的取值范围还要注意二次项系数不为 0 【解答】解：方程有两个实数根， 根的判别式b24ac164k0， 即 k4，且 k0 故选：D 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这 一隐含条件 8 （4 分）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋 30 双，各种尺码的鞋销售量如下表： 尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量/双 1 2 5 10 4 6 2 店主决定在下次进货时增加一些 23.5cm 尺码的女鞋，影响店主决策的统计量是（ ） A平均数 B中位数
18、 C众数 D方差 【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差是描述一组数据离散程度的统 计量销量大的尺码就是这组数据的众数 【解答】解：由表中数据知，这组数据的众数为 23.5cm， 所以影响店主决策的统计量是众数， 故选：C 【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义 9 （4 分）一次函数 ykx+b 和反比例函数 y的部分图象在同一坐标系中可能为（ ） A B C D 【分析】根据一次函数图象所在象限分别分析出 k、b 的正负，再根据反比例函数图象所在象限分析出 kb 的正负，进而可得答案 【解答】解：A、一次函数 ykx+b 中
19、k0，b0，则0，反比例函数 y在二、四象限，故此选 项不符合题意； B、一次函数 ykx+b 中 k0，b0，则0，函数 y无意义，故此选项不符合题意； C、一次函数 ykx+b 中 k0，b0，则0，反比例函数 y应该在第二、四象限，故此选项符合 题意； D、一次函数 ykx+b 中 k0，b0，则0，反比例函数 y在第一、三象限，故此选项不符合题 意； 故选：C 【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数图象，关键是掌握两个函数图象的性质，能根据图象所 在象限分析出 k、b 的正负 10（4 分） 如图， ABC 沿 BC 所在直线向右平移得到DEF， 已知 EC2， BF8， 则平移的
20、距离为 （ ） A3 B4 C5 D6 【分析】利用平移的性质解决问题即可 【解答】解：由平移的性质可知，BECF， BF8，EC2， BE+CF826， BECF3， 平移的距离为 3， 故选：A 【点评】本题考查平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，属于中考常考题型 11 （4 分）如图，RtABC 中，C90，B30，AC3cm，点 P 在边 AC 上以 1cm/s 的速度从点 A 向终点 C 运动，与此同时点 Q 在边 AB 上以同样的速度从点 B 向终点 A 运动，各自到达终点后停止运 动，设运动时间为 t（s） ，则当APQ 是直角三角形时，t 的值为（ ） A2s B4
21、s C2s 或 4s D2s 或 4.5s 【分析】先根据时间和速度确定两动点 P 和 Q 的路程：APBQt，根据直角三角形 30 度的性质得 AB 的长，分两种情况：当APQ90和AQP90，根据 AQ2AP 和 AP2AQ 列方程可得结论 【解答】解：由题意得：APBQt， RtABC 中，C90，B30， A60， AC3， AB2AC6， 当APQ 是直角三角形时，有两种情况： 当APQ90时，如图 1，AQP30， AQ2AP， 6t2t， t2； 当AQP90时，如图 2， 当 0t3 时，AP2AQ，即 t2（6t） ， t4（不符合题意） ， 当 t3 时，P 与 C 重合，
22、则 AQ6t， t4.5， 综上，t 的值为 2s 或 4.5s； 故选：D 【点评】本题考查了几何动点问题，一元一次方程的应用，等量关系比较明显，解题的关键是熟练掌握 基本知识，属于中考常考题型 12 （4 分）如图，直线 ykx+b（k0）与抛物线 yax2（a0）交于 A，B 两点，且点 A 的横坐标是2， 点 B 的横坐标是 3，则以下结论： 抛物线 yax2（a0）的图象的顶点一定是原点； x0 时，直线 ykx+b（k0）与抛物线 yax2（a0）的函数值都随着 x 的增大而增大； AB 的长度可以等于 5； OAB 有可能成为等边三角形； 当3x2 时，ax2+kxb， 其中正确
23、的结论是（ ） A B C D 【分析】由顶点坐标公式判断即可； 根据图象得到一次函数 ykx+b 为增函数，抛物线当 x 大于 0 时为增函数，本选项正确； AB 长不可能为 5，由 A、B 的横坐标求出 AB 为 5 时，直线 AB 与 x 轴平行，即 k0，与已知矛盾； 三角形 OAB 不可能为等边三角形，因为 OA 与 OB 不可能相等； 直线 ykx+b 与 ykx+b 关于 y 轴对称，作出对称后的图象，故 ykx+b 与抛物线交点横坐标分 别为3 与 2，找出一次函数图象在抛物线上方时 x 的范围判断即可 【解答】解：抛物线 yax2，利用顶点坐标公式得：顶点坐标为（0，0） ，
24、本选项正确； 根据图象得：直线 ykx+b（k0）为增函数；抛物线 yax2（a0）当 x0 时为增函数，则 x0 时，直线与抛物线函数值都随着 x 的增大而增大，本选项正确； 由 A、B 横坐标分别为2，3，若 AB5，可得出直线 AB 与 x 轴平行，即 k0， 与已知 k0 矛盾，故 AB 不可能为 5，本选项错误； 若 OAOB，得到直线 AB 与 x 轴平行，即 k0，与已知 k0 矛盾， OAOB，即AOB 不可能为等边三角形，本选项错误； 直线 ykx+b 与 ykx+b 关于 y 轴对称，如图所示： 可得出直线 ykx+b 与抛物线交点 C、D 横坐标分别为3，2， 由图象可得
25、：当3x2 时，ax2kx+b，即 ax2+kxb， 则正确的结论有 故选：B 【点评】此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：抛物线顶点坐标公式，一次函数与二次函数的增 减性，关于 y 轴对称点的性质，利用了数形结合的思想，熟练对称性质及数形结合思想是判断命题的 关键 二填空题（满分二填空题（满分 24 分，每小题分，每小题 4 分）分） 13 （4 分）因式分解：3x212 3（x+2） （x2） 【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可 【解答】解：原式3（x24） 3（x+2） （x2） 故答案为：3（x+2） （x2） 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握
26、因式分解的方法是解本题的关键 14 （4 分）若正多边形的一个外角等于 36，那么这个正多边形的边数是 10 【分析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数 【解答】解：正多边形的一个外角等于 36，且外角和为 360， 则这个正多边形的边数是：3603610 故答案为：10 【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，解决问题的关键是掌握多边形的外角和等于 360 度 15 （4 分）当 x 0 时，代数式的值相等 【分析】根据题意列出分式方程，按分式方程的解法步骤解方程即可得解 【解答】解：依题意得：， 两边同时乘 x7 得，x27x， 即 x（x7）0， 解得：x10，x27 检
27、验：当 x0 时，x70， 所以 x0 是原方程的根， 当 x7 时，x70， 所以 x7 不是原方程的根 所以原方程的解为：x0 故答案为：x0 【点评】本题考查了分式方程的解法掌握其解法是解决此题关键 16 （4 分）如图，在等腰直角三角形 ABC 中，C90，AB6，以 A 为圆心，AC 长为半径作弧， 交 AB 于点 D，则阴影部分的面积是 18 【分析】根据等腰直角三角形求出 ACBC，A45，解直角三角形求出 AC，分别求出ABC 和扇 形 CAD 的面积，再求出答案即可 【解答】解：ACB 是等腰直角三角形， ACBC， C90， AB45， AB6， ACBCABsin4566
28、， 阴影部分的面积 SSABCS扇形CAD18， 故答案为：18 【点评】本题考查了等腰直角三角形，解直角三角形和扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的 面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键 17 （4 分）甲、乙二人从学校出发去科技馆，甲步行一段时间后，乙骑自行车沿相同路线行进，两人均匀 速前行，他们的路程差 s（米）与甲出发时间 t（分）之间的函数关系如图所示下列说法：乙先到达 科技馆；乙的速度是甲速度的 2.5 倍；b480；a24其中正确的是 （填序号） 【分析】根据甲步行 720 米，需要 9 分钟，进而得出甲的运动速度，利用图形得出乙的运动时间以及运 动距离，进而分别判断得
29、出答案 【解答】解：由图象得出甲步行 720 米，需要 9 分钟， 所以甲的运动速度为：720980（m/分） ， 当第 15 分钟时，乙运动 1596（分钟） ， 运动距离为：15801200（m） ， 乙的运动速度为：12006200（m/分） ， 200802.5， （故正确） ； 当第 19 分钟以后两人之间距离越来越近，说明乙已经到达终点，则乙先到达青少年宫， （故正确） ； 此时乙运动 19910（分钟） ， 运动总距离为：102002000（m） ， 甲运动时间为：20008025（分钟） ， 故 a 的值为 25， （故错误） ； 甲 19 分钟运动距离为：19801520（m
30、） ， b20001520480， （故正确） 故正确的有： 故答案为： 【点评】此题主要考查了一次函数的应用，利用数形结合得出乙的运动速度是解题关键 18 （4 分）如图，在ABC 中，B90，C30AB将 AC 沿 AE 折叠，使点 C 与点 D 重 合且 DEBC，则 AE 【分析】根据折叠的性质得到AECAED，根据垂直的定义得到BED90，根据平角的定义得 到AEB45，推出ABE 是等腰直角三角形，于是得到结论 【解答】解：在ABC 中，B90，C30 CAB60， 将 AC 沿 AE 折叠，使点 C 与点 D 重合， AECAED，DC30， DEBC， BED90， AEC90
31、+AEB， AEC+AEB180， AEB+90+AEB180， AEB45， B90， ABE 是等腰直角三角形， AEAB， 故答案为： 【点评】本题考查了翻折变换折叠问题、等腰直角三角形的判定和性质、含 30 度角的直角三角形，正 确的理解题意是解题的关键 三解答题（共三解答题（共 9 小题，满分小题，满分 78 分）分） 19 （6 分）计算： （3020）02cos45+|1| 【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质、绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简 得出答案 【解答】解：原式124+1 14+1 4 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 20 （
32、6 分）解不等式组，并写出该不等式组的所有整数解 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀“大小小大中间找”确定不等式组的解集，再在解集 内确定其整数解即可 【解答】解：解不等式 5x+23（x1） ，得：x， 解不等式 1x，得：x2， 不等式组的解集为x2， 则不等式组的整数解为2，1，0，1 【点评】本题主要考查解一元一次不等式组和不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础， 熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键 21 （6 分）已知，在ABC 中，ACB90，ACBC，ADCE，BECE，垂足分别为 D，E （1）如图 1，求证：D
33、EAD+BE； （2）如图 2，点 O 为 AB 的中点，连接 OD，OE请判断ODE 的形状？并说明理由 【分析】 （1）根据条件可以得出EADC90，进而得出CEBADC，就可以得出 BEDC， ADCE； （2） 如图 2， 连接 OC， 由等腰直角三角形的性质可得 AOBOCO， CABCBA45， COAB， 由“SAS”可证DCOEBO，ADOCEO，可得 EODO，EOBDOC，AODCOE， 可证DOE 是等腰直角三角形 【解答】 （1）证明：如图 1， BECE，ADCE， EADC90， EBC+BCE90 BCE+ACD90， EBCDCA 在CEB 和ADC 中， ，
34、CEBADC（AAS） ， BEDC，ADCE DEDC+CEAD+BE，即 DEAD+BE； （2）DOE 等腰直角三角形， 理由如下：如图 2，连接 OC， ACBC，ACB90，点 O 是 AB 中点， AOBOCO，CABCBA45，COAB， AOCBOCADCBEC90， BOC+BEC+ECO+EBO360， EBO+ECO180，且DCO+ECO180， DCOEBO，且 DCBE，COBO， DCOEBO（SAS） ， EODO，EOBDOC， 同理可证：ADOCEO， AODCOE， AOD+DOC90， DOC+COE90， DOE90，且 DOOE， DOE 是等腰直角
35、三角形 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，添加恰当辅助线是本题 的关键 22 （8 分）为了认真贯彻教育部关于与开展“阳光体育”活动的文件精神，实施全国亿万学生每天集体锻 炼一小时活动，吸引同学们走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，掀起校园内体育 锻炼热潮，我市各学校结合实际情况举办了“阳光体育”系列活动，为了解“阳光体育”活动的落实情 况，我市教育部门在红旗中学 2000 名学生中，随机抽取了若干名学生进行问卷调查（要求每位学生只能 填写一种自己喜欢的活动） ，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）参
36、加调查的人数共有 300 人，在扇形统计图中，表示“C”的扇形的圆心角为 108 度； （2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中 m 的值； （3）若要从该校喜欢“D”项目的学生中随机选择 8 名进行节目排练，则喜欢该项目的小丽同学被选中 的概率是多少？ 【分析】 （1）用喜欢乒乓球的人数除以其所占的百分比即可求得调查的总人数， ； （2）用喜欢 C 项目的人数除以总人数即可求得其百分率，从而得到 m 的值； （3）先求出全校喜欢 D 选项的人数，再利用概率公式即可求得该同学被抽中的概率 【解答】解： （1）参加调查的人数为 6923%300（人） ， “C”的人数为：300606936459
37、0（人） ， 表示“C”的扇形的圆心角为360108， 故答案为：300，108 （2）补全条形图如下： m%100%20%， m20； （3）全校喜欢 D 选项的人数为 2000240（人） ， 则喜欢该项目的小丽同学被选中的概率是， 答：喜欢该项目的小丽同学被选中的概率是 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要 的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总 体的百分比大小，也考查了概率公式的应用 23 （8 分）如图，ABC 内接于O，CACB，CDAB，CD 与 OA 的延长线交于点 D （1
38、）求证：CD 是O 的切线； （2）若ACB120，OA2，求 CD 的长 【分析】 （1）连接 OC，证明 OCDC，利用经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线判定切线 即可； （2）利用等弧所对的圆心角相等和题目中的已知角得到D30，利用解直角三角形求得 CD 的长即 可 【解答】解： （1）CD 与O 相切理由如下： 如图，连接 OC， CACB， ， OCAB， CDAB， OCCD， OC 是半径， CD 与O 相切 （2）CACB，ACB120， ABC30， DOC60 D30， OCOD， OAOC2， DO4， CD2 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，勾
39、股定理，垂径定理正确的作出辅助线是解题 的关键 24 （10 分）书法是中华民族的文化瑰宝，是人类文明的宝贵财富，是我国基础教育的重要内容某学校准 备为学生的书法课购买一批毛笔和宣纸，已知购买 40 支毛笔和 100 张宣纸需要 280 元；购买 30 支毛笔 和 200 张宣纸需要 260 元 （1）求毛笔和宣纸的单价； （2）某超市给出以下两种优惠方案： 方案 A：购买一支毛笔，赠送一张宣纸； 方案 B：购买 200 张宣纸以上，超出的部分按原价打八折，毛笔不打折 学校准备购买毛笔 50 支，宣纸若干张（超过 200 张） 选择哪种方案更划算？请说明理由 【分析】 （1）设毛笔的单价为 x
40、 元，宣纸的单价为 y 元，根据“购买 40 支毛笔和 100 张宣纸需要 28 元； 购买 30 支毛笔和 200 张宣纸需要 260 元” ，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买宣纸 m（m200）张，利用总价单价数量，可找出选择方案 A 和选择方案 B 所需费用， 分 0.4m+2800.32m+316，0.4m+2800.32m+316 和 0.4m+2800.32m+316 三种情况，求出 m 的取值范 围（或 m 的值）即可得出结论 【解答】解： （1）设毛笔的单价为 x 元，宣纸的单价为 y 元， 依题意得：， 解得： 答：毛笔的单价为 6 元
41、，宣纸的单价为 0.4 元 （2）设购买宣纸 m（m200）张 选择方案 A 所需费用为 506+0.4（m50）0.4m+280（元） ； 选择方案 B 所需费用为 506+0.4200+0.40.8（m200）0.32m+316 当 0.4m+2800.32m+316 时，解得：m450， 当 200m450 时，选择方案 A 更划算； 当 0.4m+2800.32m+316 时，解得：m450， 当 m450 时，选择方案 A 和方案 B 所需费用一样； 当 0.4m+2800.32m+316 时，解得：m450， 当 m450 时，选择方案 B 更划算 答： 当购买的宣纸数量超过 20
42、0 张不足 450 张时， 选择方案 A 更划算； 当购买的宣纸数量等于 450 张时， 选择两方案所需费用相同；当购买的宣纸数量超过 450 张时，选择方案 B 更划算 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的 关键是： （1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组； （2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一 次不等式（或一元一次方程） 25 （10 分）如图，已知一次函数 yx+2 的图象分别与 x 轴、y 轴交于点 A、C，与反比例函数 y的 图象在第一象限内交于点 P，过点 P 作 PBx 轴，垂足为 B，且ABP 的面积为 9 （1）
43、点 A 的坐标为 （4，0） ，点 C 的坐标为 （0，2） ，点 P 的坐标为 （2，3） ； （2）已知点 Q 在反比例函数 y的图象上，其横坐标为 6，在 x 轴上确定一点 M，使得PQM 的周长 最小，求出点 M 的坐标； （3）设点 E 是反比例函数 y在第一象限内图象上的一动点，且点 E 在直线 PB 的右侧，过点 E 作 EF x 轴，垂足为 F，当BEF 和AOC 相似时，求动点 E 的坐标 【分析】 （1） 利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点 A， C 的坐标， 设点 P 的坐标为 （a， b） （a0） ， 由点 P 在一次函数 yx+2 的图象上及ABP 的面积为 9
44、，可得出关于 a，b 的二元二次方程，解之取 其正值即可得出点 P 的坐标； （2）作点 Q 关于 x 轴的对称点 Q，连接 PQ与 x 轴交于点 M，连接 QM，此时PQM 的周长最小， 由点 P 的坐标可得出反比例函数解析式，结合点 Q 的横坐标可得出点 Q，Q的坐标，由点 P，Q的 坐标，利用待定系数法可求出直线 PQ的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点 M 的坐标； （3）设点 E 的坐标为（x，） （x2） ，则点 F 的坐标为（x，0） ，分EFBAOC 和BFEAOC 两种情况考虑：当EFBAOC 时，利用相似三角形的性质可得出关于 x 的方程，解之即可得出点 E
45、 的坐标；当BFEAOC 时，利用相似三角形的性质可得出关于 x 的方程，解之即可得出点 E 的 坐标综上，此题得解 【解答】解： （1）当 y0 时，x+20， 解得：x4， 点 A 的坐标为（4，0） ； 当 x0 时，yx+22， 点 C 的坐标为（0，2） ； 设点 P 的坐标为（a，b） （a0） ，则， 解得：，（舍去） ， 点 P 的坐标为（2，3） 故答案为： （4，0） ； （0，2） ； （2，3） （2）如图 1，作点 Q 关于 x 轴的对称点 Q，连接 PQ与 x 轴交于点 M，连接 QM，此时PQM 的周 长最小 点 P（2，3）在反比例函数 y图象上， k236，即
46、反比例函数解析式为 y， 点 Q 的坐标为（6，1） ，点 Q的坐标为（6，1） 设直线 PQ的解析式为 ymx+n（m0） ， 将 P（2，3） ，Q（6，1）代入 ymx+n，得：， 解得：， 直线 PQ的解析式为 yx+5 当 y0 时，x+50， 解得：x5， 点 M 的坐标为（5，0） ， 当PQM 的周长最小时，点 M 的坐标为（5，0） （3）设点 E 的坐标为（x，） （x2） ，则点 F 的坐标为（x，0） 分两种情况考虑（如图 2） ： 当EFBAOC 时，即， 解得：x13，x21（舍去） ， 点 E 的坐标为（3，2） ； 当BFEAOC 时，即， 解得：x11+，x2
47、1（舍去） ， 点 E 的坐标为（1+，） 综上所述：当BEF 和AOC 相似时，动点 E 的坐标为（3，2）或（1+，） 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、解二元一次方程组、三角形的面积、反比例函数图 象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及相似三角形的性质，解题的关键是： （1）利用一 次函数图象上点的坐标特征求出点 A，C 的坐标； （2）利用两点之间线段最短，确定点 M 的位置； （3） 分EFBAOC 和BFEAOC 两种情况，利用相似三角形的性质找出关于 x 的方程 26 （12 分）如图，C 为线段 BD 上的一点，BCCD，分别以 BC，BD 为边在 BD
48、的上方作等边ABC 和等边CDE，连接 AE，F，G，H 分别是 BC，AE，CD 的中点，连接 FG，GH，FH （1）FGH 的形状是 等边三角形 ； （2） 将图中的CDE 绕点 C 顺时针旋转， 其他条件不变， （1） 的结论是否成立？结合图说明理由； （3）若 BC2，CD4，将CDE 绕点 C 旋转一周，当 A，E，D 三点共线时，直接写出FGH 的 周长 【分析】 （1）先判断出四边形 ABCE 是梯形，进而得出 FG 是梯形 ABCE 的中位线，得出GFC60， 即可得出结论； （2）先判断出 PG 是ACE 的中位线，PF 是ABC 的中位线，再判断出FPGFCH，进而判断出 PFGCFH，得出 FGFH，最判断出PF
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