1、应用对称性解决实际问题应用对称性解决实际问题 【专题综述】 轴对称图形和中心对称图形都是对称图形，应用其定义和性质求解诸如工厂决策、平分面积和周长、确定 函数及求值，是初中数学中常见的问题，下面略举几例，与大家共同探究求解此类问题的方法 定理 1 如果两个图形关于某一直线对称，则对称轴是对应点连线的垂直平分线 定理 2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分 【方法解读】 一、工程决策 例 1 如图 1，A、B 是两个蓄水池，都在河流 a 的同旁，为了方便灌溉农作物，要在河边建一个抽水站， 将河水送到 A、 B 两地， 问该站建在河边的哪一点， 可使所修建的渠道最
2、短， 试在图中画出该点 （不写作法） 分析 根据定理 1 可知：只需作出点 A关于河流 a 的对称点 D，连结 BD 交 a 于 C，则 C 点即为所求符合 题意的点 二、平分周长和面积 例 2 如图 2 所示，一个矩形内有任意一圆，请你用一直线同时将圆与矩形的周长二等分，说明作图的道理 和方法 分析 根据定理 2 可知，经过对称中心的任意一条直线可将中心对称图形周长等分、面积等分设矩形对 角线交点为 O1， 则 O1为矩形的对称中心， 圆的圆心为 O， 则 O 为圆的对称中心， 故直线O1为所求直线 例 3 有一块方角形钢板，如图 3 所示请你用一条直线将其分为面积相等的两部分（不写作法，保
3、留作图 痕迹，在图中直接画出） 分析 延长 FE 可将这块方钢分成两个矩形 ABMF、MCDE设两矩形的对称中心分别为 O、O1，根据 定理 2 可知，经过中心 O 的任意一条直线可将矩形 MCDE 面积平分；经过中心 O1的任意一条直线可将矩 形 ABMF 面积平分，故过 O、O1的直线可将这块方钢面积平分 三、求解析式 例 4 如图 4 所示， 正方形 ABCD 的边长是 4， 将此正方形置于直角坐标系 xOy中， 使 AB 在 x 轴正半轴上， A 点坐标是(1，0) (1)经过点 C 的直线 y 4 3 x 8 3 与 x 轴交于点 E，求四边形 AECD 的面积； (2)若直线 l
4、经过点 E 且将正方形 ABCD 面积平分，求直线 l 的方程 分析 (1)略； (2)根据定理 2 可知，设矩形的对称中心为 O，平分矩形面积的直线 l 必经过矩形中心 O，所以直线 EO 为所 求作的直线 l又 O 点坐标为(3，2)，E 点坐标为(2，0)，故直线 l 的方程为 y2x4 四、求最值 例 5 代数式 2 2 4129xx的最小值是_ 分析 通过观察代数式，可构造如图 5 所示的几何图形，设线段 AB 上有一点 E，且 AB12，AEx，则 EB12xAC2，且垂直 AB 于 A；BD3，且垂直 BD 于 B则 CE 2 4x ， DE 2 129x那么，问题变成 E 在
5、AB 上何处时，CEDE 最小？ 根据定理 1 可知，设点 F 为点 C关于 AB 的对称点，并设 E 为 DF 与 AB 的交点；则 CEDEFEED DF为最小（两点之间线段最短）此时 DF2122(32)2169，所以 DF16913，即代数式的最小 值为 13 【强化训练】 1. （2017 黑龙江省龙东地区）如图，在矩形 ABCD 中，AD=4，DAC=30 ，点 P、E 分别在 AC、AD 上， 则 PE+PD 的最小值是（ ） A2 B2 3 C4 D 8 3 3 【答案】B 【解析】 DD=4，DE=2 3，故选 B 考点：1轴对称最短路线问题；2矩形的性质；3最值问题 2.
6、（2017 山东省莱芜市）如图，菱形 ABCD 的边长为 6，ABC=120 ，M 是 BC 边的一个三等分点，P 是 对角线 AC 上的动点，当 PB+PM 的值最小时，PM 的长是（ ） A 7 2 B 2 7 3 C 3 5 5 D 26 4 【答案】A 【解析】 试题分析：如图，连接 DP，BD，作 DHBC 于 H四边形 ABCD 是菱形，ACBD，B、D 关于 AC 对称， PB+PM=PD+PM， 当 D、 P、 M 共线时， PB+PM=DM 的值最小， CM= 1 3 BC=2， ABC=120 ， 考点：1轴对称最短路线问题；2菱形的性质；3动点型；4最值问题；5和差倍分
7、3.（2017 天津）如图，在ABC 中，AB=AC，AD、CE 是ABC 的两条中线，P 是 AD 上一个动点，则下列 线段的长度等于 BP+EP 最小值的是（ ） ABC BCE CAD DAC 【答案】B 【解析】 考点：1轴对称最短路线问题；2等腰三角形的性质；3最值问题 4（2017 广西贺州市）如图，在O 中，AB 是O 的直径，AB=10，ACCDDB，点 E 是点 D 关于 AB 的对称点， M 是 AB 上的一动点， 下列结论： BOE=60 ； CED= 1 2 DOB； DMCE； CM+DM 的最小值是 10，上述结论中正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【答案
8、】C 【解析】 做 C 关于 AB 的对称点 F，连接 CF，交 AB 于 N，连接 DF 交 AB 于 M，此时 CM+DM 的值最短，等于 DF 长， 连接 CD， ACCDDB=AF， 并且弧的度数都是 60 ， D= 1 2 120 =60 ， CFD= 1 2 60 =30 ， FCD=180 60 30 =90 ， DF 是O 的直径， 即 DF=AB=10， CM+DM 的最小值是 10， 正确； 故选 C 考点：1圆周角定理；2轴对称最短路线问题；3最值问题 5. （2017 临沂）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 k y x （x0）的图象与边长是 6 的正方形 OABC
9、 的两边 AB，BC 分别相交于 M，N 两点，OMN 的面积为 10若动点 P 在 x 轴上，则 PM+PN 的最小值是 （ ） A6 2 B10 C2 26 D2 29 【答案】C 【解析】 考点：1反比例函数系数 k 的几何意义；2轴对称最短路线问题；3最值问题；4综合题 6（2017 山东省菏泽市）如图，矩形 ABOC 的顶点 A 的坐标为（4，5），D 是 OB 的中点，E 是 OC 上 的一点，当ADE 的周长最小时，点 E 的坐标是（ ） A（0， 4 3 ） B（0， 5 3 ） C（0，2） D（0， 10 3 ） 【答案】B 【解析】 考点：1轴对称最短路线问题；2坐标与图
10、形性质；3矩形的性质；4最值问题 7.（2017 贵州省毕节市）如图，在 RtABC 中，ACB=90 ，AC=6，BC=8，AD 平分CAB 交 BC 于 D 点， E，F 分别是 AD，AC 上的动点，则 CE+EF 的最小值为（ ） A 3 40 B 4 15 C 5 24 D6 【答案】C 【解析】 考点：1轴对称最短路线问题；2角平分线的性质；3最值问题 8. （2017 贵州省黔南州）如图，在正方形 ABCD 中，AB=9，点 E 在 CD 边上，且 DE=2CE，点 P 是对角线 AC 上的一个动点，则 PE+PD 的最小值是（ ） A3 10 B10 3 C9 D9 2 【答案】A 【解析】 考点：1轴对称最短路线问题；2正方形的性质；3动点型；4最值问题 9. （2017 山东省东营市）如图，已知菱形 ABCD 的周长为 16，面积为8 3，E 为 AB 的中点，若 P 为对角 线 BD 上一动点，则 EP+AP 的最小值为 【答案】2 3 【解析】 10. （2016 四川省雅安市）如图，在矩形 ABCD 中，AD=6，AEBD，垂足为 E，ED=3BE，点 P、Q 分别 在 BD，AD 上，则 AP+PQ 的最小值为（ ） A2 2 B2 C2 3 D3 3 【答案】D 【解析】 试题分析： 考点：1矩形的性质；2轴对称-最短路线问题；3最值问题
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