1、转化构图巧解题转化构图巧解题 【专题综述】 转化构图的方法是：根据题设的结构特征和目标特点，通过添加适当的辅助线，构造出恰当的新图形，使 之成为连接条件和结论的纽带运用这种方法有时可取得出奇制胜的效果，下面举一例说明 【方法解读】 题目 如图 1，在矩形 ABCD 中，设 ABaAD2a，E 是 BC 边上的一点，且CDE15求证：AE 2a 分析 本题是一道具有较大难度的题目，难在题设 15不易发挥它的应有功效，实际它正是结论 AE2a 成立的关键，为此要对 15的角进行转化，但同时要兼顾 AD2AB 观察可知，在本题已知的矩形中，不难由CDE15，得ADE75 欲证 AE2a，即证AED7
2、5，也即证DAE30 在 AE2a、AED75、DAE30三个中，其中一个成立，则另两个也成立若单独证明其中一 个有困难，不如把它们看成一个整体，另构造一个顶角是 30，且腰长为 2a 的等腰三角形，并使它和欲证 明的等腰ADE 密切相连， 这样既容易产生新的等边 2a、 新的等角 15、 75， 又极易发挥 30角的作用， 从而使问题迎刃而解 简证一 如图 2，以 D 为圆心，AD 为半径画弧，交 BC 延长线于点 F，即 DFAD CDa，DF2a，DFE30， FDECDFCDE75， FED75， FDE 是等腰三角形 ADEF，ADEF， 四边形 ADFE 是菱形， AEDF2a 简
3、证二 如图 3，以 D 为顶点，DA 为一腰，在另一侧作顶角为 30的等腰DAF，过点 F 作 FGAD 于 点 G AFED 四边形 AFDE 是平行四边形， AEFD2a 简证三 如图 4， 以 D 为顶点， 以 AD为一腰， 作顶角为 30的等腰ADF， 作 FGAD 于点 G， 连结 EF DAF30，AF2a， FGa， DCFG FDGDEC75， FGDDCE FGDDCE，DEDF ADEADF75 DA 垂直平分 EF，AEAF2a 注 四边形 AEDF 是筝形 简证四 如图 5，以D 为顶点，在矩形 ABCD 内作一射线与 AD 的夹角为 30，并与 BC 相交于点 F，
4、作 FGAD 于点 G ADF30，FGCDa， DF2aDFAD DAF 是等腰三角形， ADF75 ADE75 梯形 AFED 是等腰梯形， AEDF2a 【强化训练】 1. （2017 四川省达州市）ABC 中，AB=5，AC=3，AD 是ABC 的中线，设 AD 长为 m，则 m 的取值范围 是 【答案】1m4 【解析】 试题分析：延长 AD 至 E，使 AD=DE，连接 CE，则 AE=2m，AD 是ABC 的中线，BD=CD，在ADB 和EDC 中，AD=DE，ADB=EDC，BD=CD，ADBEDC，EC=AB=5，在AEC 中，EC ACAEAC+EC，即 532m5+3，1m
5、4，故答案为：1m4 考点：1全等三角形的判定与性质；2三角形三边关系 2. （2017 天津）如图，在ABC 中，AB=AC，AD、CE 是ABC 的两条中线，P 是 AD 上一个动点，则下列 线段的长度等于 BP+EP 最小值的是（ ） ABC BCE CAD DAC 【答案】B 【解析】 考点：1轴对称最短路线问题；2等腰三角形的性质；3最值问题 3. （2017 四川省雅安市）如图，四边形 ABCD 中，A=C=90 ，B=60 ，AD=1，BC=2，则四边形 ABCD 的面积是（ ） A 3 3 2 B3 C2 3 D4 【答案】A 【解析】 考点：1勾股定理；2含 30 度角的直角
6、三角形；3解直角三角形 4.（2017 四川省乐山市）如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关 数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=0.25 米，BD=1.5 米，且 ABCD 与水平地面 都是垂直的根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是（ ） A2 米 B2.5 米 C2.4 米 D2.1 米 【答案】B 【解析】 考点：垂径定理的应用 5.（2017 北京市）在等腰直角ABC 中，ACB=90 ，P 是线段 BC 上一动点（与点 B、C 不重合），连接 AP，延长 BC 至点 Q，使得 CQ=CP，过点 Q
7、作QHAP 于点 H，交 AB 于点 M （1）若PAC=，求AMQ 的大小（用含 的式子表示） （2）用等式表示线段 MB 与 PQ 之间的数量关系，并证明 【答案】（1）AMQ=45+；（2）PQ=2MB 【解析】 试题解析：（1）AMQ=45+；理由如下： PAC=，ACB 是等腰直角三角形，BAC=B=45 ，PAB=45 ，QHAP，AHM=90 ， AMQ=180 AHMPAB=45+； （2）PQ=2MB；理由如下： 连接 AQ，作 MEQB，如图所示： ACQP，CQ=CP，QAC=PAC=，QAM=45+=AMQ，AP=AQ=QM，在APC 和QME 中，MQE=PAC，AC
8、P=QEM，AP=QM，APCQME（AAS），PC=ME，AEB 是等 腰直角三角形， 1 2 PQ= 2 2 MB，PQ=2MB 考点：1全等三角形的判定与性质；2等腰直角三角形；3探究型；4动点型 6.（2017 湖北省随州市）如图，在 RtABC 中，C=90 ，AC=BC，点 O 在 AB 上，经过点 A 的O 与 BC 相切于点 D，交 AB 于点 E （1）求证：AD 平分BAC； （2）若 CD=1，求图中阴影部分的面积（结果保留 ） 【答案】（1）证明见解析；（2）1 4 【解析】 试题解析：（1）证明：连接 DE，OD BC 相切O 于点 D，CDA=AED，AE 为直径，
9、ADE=90 ，ACBC，ACD=90 ， DAO=CAD，AD 平分BAC； （2）在 RtABC 中，C=90 ，AC=BC，B=BAC=45 ，BC 相切O 于点 D，ODB=90 ， OD=BD，BOD=45 ，设 BD=x，则 OD=OA=x，OB=2x，BC=AC=x+1，AC2+BC2=AB2，2（x+1） 2= （ 2x+x ） 2 ， x=2， BD=OD=2， 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 =SBOD S扇 形 DOE= 2 145( 2) 22 2360 =1 4 考点：1切线的性质；2角平分线的性质；3等腰直角三角形；4扇形面积的计算 7. （2017 云南省）如
10、图，ABC 是以 BC 为底的等腰三角形，AD 是边 BC 上的高，点 E、F 分别是 AB、AC 的中点 （1）求证：四边形 AEDF 是菱形； （2）如果四边形 AEDF 的周长为 12，两条对角线的和等于 7，求四边形 AEDF 的面积 S 【答案】（1）证明见解析；（2）13 4 【解析】 （2） 设 EF=x， AD=y， 则 x+y=7， 进而得到 x2+2xy+y2=49， 再根据 RtAOE 中， AO2+EO2=AE2， 得到 x2+y2=36， 据此可得 xy=13 2 ，进而得到菱形 AEDF 的面积 S 试题解析： （1）ADBC，点 E、F 分别是 AB、AC 的中点
11、，RtABD 中，DE= 1 2 AB=AE，RtACD 中， DF= 1 2 AC=AF，又AB=AC，点 E、F 分别是 AB、AC 的中点，AE=AF，AE=AF=DE=DF，四边形 AEDF 是菱形； （2）如图，菱形 AEDF 的周长为 12，AE=3，设 EF=x，AD=y，则 x+y=7，x2+2xy+y2=49， ADEF 于 O，RtAOE 中，AO2+EO2=AE2，（ 1 2 y）2+（ 1 2 x）2=32，即 x2+y2=36， 把代入，可得 2xy=13，xy=13 2 ，菱形 AEDF 的面积 S= 1 2 xy=13 4 考点：1菱形的判定与性质；2等腰三角形的
12、性质 8. （2016 四川省雅安市）如图，在矩形 ABCD 中，AD=6，AEBD，垂足为 E，ED=3BE，点 P、Q 分别在 BD，AD 上，则 AP+PQ 的最小值为（ ） A2 2 B2 C2 3 D3 3 【答案】D 【解析】 试题分析： 考点：1矩形的性质；2轴对称-最短路线问题；3最值问题 9. （2017 四川省泸州市）如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E若 AB=8，AE=1，则弦 CD 的长是 （ ） A7 B2 7 C6 D8 【答案】B 【解析】 试题分析：由题意，得：OE=OBAE=41=3，CE=CD= 22 OCOE=7，CD=2CE=2 7，故选
13、B 考点：1垂径定理；2勾股定理 10. （2017 青海省西宁市）如图，AB 是O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 P，AP=2，BP=6，APC=30 ，则 CD 的长为（ ） A15 B2 5 C2 15 D8 【答案】C 【解析】 试题分析： 作 OHCD 于 H， 连结 OC， 如图， OHCD， HC=HD， AP=2， BP=6， AB=8， OA=4， OP=OAAP=2， 在 RtOPH 中， OPH=30 ， POH=30 ， OH= 1 2 OP=1， 在 RtOHC 中， OC=4， OH=1，CH= 22 OCOH=15，CD=2CH=2 15故选 C 考点：1垂径定理；2含 30 度角的直角三角形；3勾股定理
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