1、中考数学基本几何模型探究中考数学基本几何模型探究 【专题综述】 许多中考试题都是以教材的例题、习题为背景，经过命题专家巧妙构思编拟而成.中考试题的权威性和导向 性是由命题专家独具匠心精心打造的，其思路和方法常具有类比迁移和拓广探索性.因此，教师在教学中若 能引导学生提炼出基本几何模型，用基本几何模型解决问题，则能提高学习效率，提升创新创造能力. 【方法解读】 一、中考试题呈现和探源 题目 如图 1，正方形ABCD的边长为 3cm, ,P Q分别从,B A出发沿,BC AD方向运动，P点的运动速度 是 1cm/秒，Q点的运动速度是 2 cm/秒.连结AP并过点Q作QEAP，垂足为E. (1)求证
2、: ABPQEAV: V; (2)当运动时间t为何值时，ABPQEAVV? (3)设QEAV的面积为y，用运动时间t表示QEAV的面积y .(不要求考虑t的取值范围) (提示:解答(2)(3)时可不分先 后) 此题动静分明，梯度清晰，较好考察了学生全等、相似、函数的有关知识.仔细观察，不难看出此题由课本 题变化而来.课本原题为:如图 2，四边形ABCD是正方形，点G是边BC的中点，,/DEAG BFDE交 AG于点F，求证: AFBFEF. (人教版义务教育教科书八年级数学 2013 年 10 月第一版 P62 页第 15 题) 将此题的条件“/BFDE交AG于点F”去掉，即可变为上述中考题.
3、 二、探寻基本图形和基本模型 由课本习题和中考题不难找出它们蕴含的基本图形和几何模型:如图 3，在正方形ABCD中，点,E F分别在 边,BC CD上，,AE BF交于点O. 性质 1 若AEBF，则AEBF (或BECF). 性质 2 若AEBF (或BECF)，则AEBF. 性质 3 若点O是中心对称图形的对称中心，且AEBF，则,AE BF把该图形的面积四等分. 若将线段,AE BF分别平移到,GH EF处(如图 4)，结论EFGH仍成立. 由于以上主要利用直角和互余的性质，不难猜想到若由正方形变为矩形，会有三角形相似和对应线段成比 例. 如图5，在矩形ABCD中，点,E F分别在,AB
4、 AD上，且DECF，则 DEAD CFCD . 若将线段,DE CF分别平移到,NM HQ处(如图 6)，结论 MNAD QHCD 仍成立. 由以上图形可提炼出如下模型: 模型 1 正方形+线段垂直(或线段相等)=线段相等(或线段垂直) 模型 2 中心对称图形+线段垂直(或面积四等分)=面积四等分(或线段垂直) 模型 3 矩形+线段垂直(或线段成比例)=线段成比例(或线段垂直) 三、模型解题提升能力 1、用模型 1 解决问题 例 1 已知:如图 7，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQBE于点,Q DPAQ于点P. (1)求证: APBQ; (2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图
5、中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于 PQ的长. 分析 由模型 1 易得AQDP，得本题证明思路是证全等形，进而得APBQ，由全等形可得 AQBQPQ或PDAPPQ. 例 2 如图 8，正方形ABCD的面积为 3cm2, E为BC边上一点，30BAE,F为AE的中点，过点F 作直线分别与,AB DC相交于点,M N，若MNAE，则AM的长等于 cm. 分析 由模型 2 可得MNAE，用勾股定理和30BAE，求得AE=2，则AF=1，所以 3 3 AM . 2、用模型 2 解决问题 例 3 问题探究 (在图 9 中作出两条直线，使它们将圆的面积四等分. (2)如图 10, M是正方
6、形ABCD内一定点，在图 9 中作出两条直线(要求其中一条直线必须过点M)，使正 方形ABCD的面积四等分，并说明理由. 问题解决 (3)如图 11，在四边形ABCD中，/,ABCD ABCDBC，点P是AD的中点.如果,ABa CDb， 且ba，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在的直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分? 若存在，求出PQ的长;若不存在，说明理由. 分析 (1)据模型 2，只要作两条过圆心且互相垂直的直线即可，如图 9 所示. (2)据模型 2，过点M和正方形ABCD对角线的交点O作直线OM，分别交,AD BC于,P Q两点，再过点 O作OM的垂线， 交,AB CD
7、于,E F两点， 则直线,OM EF将正方形ABCD的面积四等分， 如图 10 所示. (3)如图 11，延长BA至点E，使AEb,延长CD至F点，使DFa，连结EF. 由/,BCCF BCBECFab， 易 证四 边形BCEF是 菱形 ，连 结BF交AD于 点M， 则 MABMDFV，得AMDM，所以点M与P重合，点P是菱形对角线的交点. 在BC上截取BQCDb，则CQABa.设点P到菱形一边的距离为d，则 1 () 2 ABPQBP SSABBQ 1 () 2 CQCD d CPQCPD SS . 所以，当BQb时，直线PQ将四边形ABCD分成面积相等的两部分. 3、用模型 3 解题 例
8、3 探究证明 (1)某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究， 提出下列问题， 请你给出证明. 如图 12，矩形ABCD中，,EFGH EF分别交,AB CD于点,E F GH分别交,AD BC于点,G H.求证: EFAD GHAB . 结论应用 (2)如图 13，在满足(1)的条件下，又AMBN，点,M N分别在边,BC CD上，若 11 15 EF GH ,则 BN AM 的值 为 . 联系拓展 (3)如图 14，四边形ABCD中， 90 ,10,5,ABCABADBCCDAMDN,点,M N分别在边,BC AB上，求 DN AM 的值. 分析 (1)
9、由模型 3，过点A作/APEF,交CD于P，过点B作/BQGH，交AD于Q，如图 15，易证 ,APEF GHBQPDA QAB，然后运用相似三角形的性质就可解决问题. (2)只需运用(1)中的结论,可得到 EFADBN GHABAM ，就可解决问题. (3)过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于点R，交BC的延长线于点S，如图 16，易 证四边形ABSR是矩形，由模型 3 可得 DNAR AMAB . 设,SCx DSy，则5,10ARBSx RDy，在Rt CSDV中，根据勾股定理，可得 22 25xy. 在Rt ARDV中，根据勾股定理，可得 22 (5)(10)100 x
10、y. 解就可求出x，即可得到AR，问题得以解决. 【强化训练】 1. （2017 四川省广元市）如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 边的中点，BEAC，垂足为 F，连结 DF，下 列四个结论：AEFCAB；tanCAD=2；DF=DC；CF=2AF，正确的是（ ） A B C D 【答案】C 【解析】 设 AE=a，AB=b，则 AD=2a，由BAEADC，有 2ba ab ，即 b=2a，tanCAD= DC AD = 2 b a = 2 2 故 不正确； 正确的有，故选 C 考点：1相似三角形的判定与性质；2矩形的性质；3解直角三角形 2 （2017 四川省泸州市）如图，在矩形 AB
11、CD 中，点 E 是边 BC 的中点，AEBD，垂足为 F，则 tanBDE 的值是（ ） A 2 4 B 1 4 C 1 3 D 2 3 【答案】A 【解析】 考点：1矩形的性质；2解直角三角形；3综合题 3. （2017 湖北省十堰市）如图，正方形 ABCD 中，BE=EF=FC，CG=2GD，BG 分别交 AE，AF 于 M，N下 列结论：AFBG；BN= 4 3 NF； 3 8 BM MG ； 1 2 CGNFANGD SS其中正确的结论的序号是 【答案】 【解析】 作 EHAF， 令 AB=3， 则 BF=2， BE=EF=CF=1， AF= 22 ABBF=13， S ABF =
12、1 2 AFBN= 1 2 ABBF， BN= 6 13 13 ，NF= 2 3 BN= 4 13 13 ，AN=AFNF= 9 13 13 ，E 是 BF 中点，EH 是BFN 的中位线， EH= 3 13 13 ，NH= 2 13 13 ，BNEH，AH=11 13 13 ， ANMN AHEH ，解得：MN= 27 13 143 ，BM=BNMN= 3 13 11 ，MG=BGBM= 8 13 11 ， 3 8 BM MG ；正确； 连接 AG，FG，根据中结论，则 NG=BGBN= 7 13 13 ，S四边形 CGNF=S CFG +SGNF= 1 2 CGCF+ 1 2 NFNG=1
13、+14 13 = 27 13 ，S四边形 ANGD=S ANG +SADG= 1 2 ANGN+ 1 2 ADDG= 273 132 = 93 26 ，S四边形CGNF 1 2 S四边形ANGD，错误； 故答案为： 考点：1相似三角形的判定与性质；2全等三角形的判定与性质；3正方形的性质；4综合题 4. （2017 四川省广安市）如图，四边形 ABCD 是正方形，E、F 分别是了 AB、AD 上的一点，且 BFCE， 垂足为 G，求证：AF=BE 【答案】证明见解析 【解析】 考点：1正方形的性质；2全等三角形的判定与性质 5. （2017 浙江省宁波市）如图，四边形 ABCD 是边长为 6
14、的正方形，点 E 在边 AB 上，BE=4，过点 E 作 EFBC，分别交 BD，CD 于 G，F 两点若 M，N 分别是 DG，CE 的中点，则 MN 的长为（ ） A3 B2 3 C13 D4 【答案】C 【解析】 1=5，CM=EM= 22 15=26，CE2=EM2+CM2，EMC=90 ，N 是 EC 的中点，MN= 1 2 EC= 13；故选 C 考点：1全等三角形的判定与性质；2等腰直角三角形；3正方形的性质 6. （2017 丽水） 如图， 在矩形 ABCD 中， 点 E 是 AD 上的一个动点， 连接 BE， 作点 A 关于 BE 的对称点 F， 且点 F 落在矩形 ABCD
15、 的内部，连接 AF，BF，EF，过点 F 作 GFAF 交 AD 于点 G，设 AD n AE （1）求证：AE=GE； （2）当点 F 落在 AC 上时，用含 n 的代数式表示 AD AB 的值； （3）若 AD=4AB，且以点 F，C，G 为顶点的三角形是直角三角形，求 n 的值 【答案】（1）证明见解析；（2） AD AB =n ；（3）n=16 或 84 2 【解析】 试题解析：（1） 证明： 由对称得 AE=FE， EAF=EFA， GFAE， EAF+FGA=EFA+EFG=90 ， FGA=EFG，EG=EF，AE=EG （2）解：设 AE=a，则 AD=na，当点 F 落在
16、AC 上时（如图 1），由对称得 BEAF，ABE+BAC=90 ， DAC+BAC=90 ，ABE=DAC，又BAE=D=90 ，ABEDAC ， ABAE DADC AB=DC，AB2=AD AE=na a=na2，AB0，AB=na， AD AB = na na =n， AD AB =n （3）解：设 AE=a，则 AD=na，由 AD=4AB，则 AB= 4 n a 当点 F 落在线段 BC 上时（如图 2），EF=AE=AB=a，此时 4 n aa，n=4，当点 F 落在矩形外部时，n 4 解得 n=84 2或 n=84 24（不合题意，舍去），当 n=16 或 84 2时，以点 F
17、，C，G 为顶点 的三角形是直角三角形 考点：1矩形的性质；2解直角三角形的应用；3相似三角形的判定与性质；4分类讨论；5压轴题 7. （2017 江苏省南通市）如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 上一点，PQ 垂直平分 BE，分别交 AD、BE、 BC 于点 P、O、Q，连接 BP、EQ （1）求证：四边形 BPEQ 是菱形； （2）若 AB=6，F 为 AB 的中点，OF+OB=9，求 PQ 的长 【答案】（1）证明见解析；（2）15 2 【解析】 试题解析：（1）证明：PQ 垂直平分 BE，QB=QE，OB=OE，四边形 ABCD 是矩形，ADBC， PEO=QBO，在BOQ 与E
18、OP 中，PEO=QBO，OB=OE，POE=QOB，BOQEOP （ASA） ， PE=QB， 又ADBC， 四边形 BPEQ 是平行四边形， 又QB=QE， 四边形 BPEQ 是菱形； （2）解：O，F 分别为 PQ，AB 的中点，AE+BE=2OF+2OB=18，设 AE=x，则 BE=18x，在 RtABE 中，62+x2=（18x）2，解得 x=8，BE=18x=10，OB= 1 2 BE=5，设 PE=y，则 AP=8y，BP=PE=y，在 RtABP 中，62+（8y）2=y2，解得 y= 25 4 ，在 RtBOP 中，PO= 22 25 ()5 4 =15 4 ，PQ=2PO
19、=15 2 考点：1矩形的性质；2线段垂直平分线的性质；3菱形的判定与性质；4和差倍分；5综合题 8. （2016 内蒙古赤峰市）如图，正方形 ABCD 的面积为 3cm2，E 为 BC 边上一点，BAE=30 ，F 为 AE 的中点，过点 F 作直线分别与 AB，DC 相交于点 M，N若 MN=AE，则 AM 的长等于 cm 【答案】 3 3 或 2 3 3 【解析】 考点：1正方形的性质；2全等三角形的判定与性质；3勾股定理；4分类讨论 9. （2016 内蒙古包头市）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 A 作 AEBD，垂 足为点 E，若EAC=2CA
20、D，则BAE=度 【答案】22.5 【解析】 考点：矩形的性质 10. （2016 广西贺州市）如图，AC 是矩形 ABCD 的对角线，过 AC 的中点 O 作 EFAC，交 BC 于点 E， 交 AD 于点 F，连接 AE，CF （1）求证：四边形 AECF 是菱形； （2）若 AB=3，DCF=30 ，求四边形 AECF 的面积（结果保留根号） 【答案】（1）证明见解析；（2）2 3 【解析】 （2）解：四边形 ABCD 是矩形，CD=AB=3，在 RtCDF 中，cosDCF= CD CF ，DCF=30 ，CF= cos30 CD =2，四边形 AECF 是菱形，CE=CF=2，四边形 AECF 是的面积为：ECAB=2 3 考点：1矩形的性质；2菱形的判定
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