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    2021年四川省泸州市中考数学真题(含答案解析)

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    2021年四川省泸州市中考数学真题(含答案解析)

    1、2021 年四川省泸州市中考数学试卷年四川省泸州市中考数学试卷 一、选择题(本大题共一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题个小题,每小题 3 分,共分,共 36 分分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的)目要求的). 12021 的相反数是( ) A2021 B2021 C D 2第七次全国人口普查统计,泸州市常住人口约为 4254000 人,将 4254000 用科学记数法表示为( ) A4.254105 B42.54105 C4.254106 D0.4254107 3下列立体图形中,主视图是圆的是( ) A B C D 4函数

    2、 y的自变量 x 的取值范围是( ) Ax1 Bx1 Cx1 Dx1 5如图,在ABCD 中,AE 平分BAD 且交 BC 于点 E,D58,则AEC 的大小是( ) A61 B109 C119 D122 6在平面直角坐标系中,将点 A(3,2)向右平移 5 个单位长度得到点 B,则点 B 关于 y 轴对称点 B 的坐标为( ) A (2,2) B (2,2) C (2,2) D (2,2) 7下列命题是真命题的是( ) A对角线相等的四边形是平行四边形 B对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C对角线互相垂直的四边形是菱形 D对角线互相垂直平分的四边形是正方形 8在锐角ABC 中,A,B,C

    3、所对的边分别为 a,b,c,有以下结论:2R (其中 R 为ABC 的外接圆半径)成立在ABC 中,若A75,B45,c4,则ABC 的 外接圆面积为( ) A B C16 D64 9关于 x 的一元二次方程 x2+2mx+m2m0 的两实数根 x1,x2,满足 x1x22,则(x12+2) (x22+2)的值 是( ) A8 B32 C8 或 32 D16 或 40 10已知 10a20,100b50,则a+b+的值是( ) A2 B C3 D 11如图,O 的直径 AB8,AM,BN 是它的两条切线,DE 与O 相切于点 E,并与 AM,BN 分别相交 于 D,C 两点,BD,OC 相交于

    4、点 F,若 CD10,则 BF 的长是( ) A B C D 12直线 l 过点(0,4)且与 y 轴垂直,若二次函数 y(xa)2+(x2a)2+(x3a)22a2+a(其中 x 是自变量)的图象与直线 l 有两个不同的交点,且其对称轴在 y 轴右侧,则 a 的取值范围是( ) Aa4 Ba0 C0a4 D0a4 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题个小题,每小题 3 分,共分,共 12 分)分). 13分解因式:44m2 14不透明袋子中装有 3 个红球,5 个黑球,4 个白球,这些球除颜色外无其他差别,从袋子中随机摸出一 个球,则摸出红球的概率是 15关于 x 的

    5、不等式组恰好有 2 个整数解,则实数 a 的取值范围是 16如图,在边长为 4 的正方形 ABCD 中,点 E 是 BC 的中点,点 F 在 CD 上,且 CF3DF,AE,BF 相 交于点 G,则AGF 的面积是 三、本大题共三、本大题共 3 个小题,每小题个小题,每小题 6 分,共分,共 18 分分. 17 (6 分)计算: ()0+() 1(4)+2 cos30 18 (6 分)如图,点 D 在 AB 上,点 E 在 AC 上,ABAC,BC,求证:BDCE 19 (6 分)化简: (a+) 四、本大题共四、本大题共 2 个小题,每小题个小题,每小题 7 分,共分,共 14 分分. 20

    6、 (7 分)某合作社为帮助农民增收致富,利用网络平台销售当地的一种农副产品为了解该农副产品在 一个季度内每天的销售额,从中随机抽取了 20 天的销售额(单位:万元)作为样本,数据如下: 16 14 13 17 15 14 16 17 14 14 15 14 15 15 14 16 12 13 13 16 (1)根据上述样本数据,补全条形统计图; (2)上述样本数据的众数是 ,中位数是 ; (3)根据样本数据,估计这种农副产品在该季度内平均每天的销售额 21 (7 分)某运输公司有 A、B 两种货车,3 辆 A 货车与 2 辆 B 货车一次可以运货 90 吨,5 辆 A 货车与 4 辆 B 货车

    7、一次可以运货 160 吨 (1)请问 1 辆 A 货车和 1 辆 B 货车一次可以分别运货多少吨? (2)目前有 190 吨货物需要运输,该运输公司计划安排 A、B 两种货车将全部货物一次运完(A、B 两 种货车均满载) ,其中每辆 A 货车一次运货花费 500 元,每辆 B 货车一次运货花费 400 元请你列出所 有的运输方案,并指出哪种运输方案费用最少 五、本大题共五、本大题共 2 个小题,每小题个小题,每小题 8 分,共分,共 16 分分. 22 (8 分)一次函数 ykx+b(k0)的图象与反比例函数 y的图象相交于 A(2,3) ,B(6,n)两点 (1)求一次函数的解析式; (2)

    8、将直线 AB 沿 y 轴向下平移 8 个单位后得到直线 l,l 与两坐标轴分别相交于 M,N,与反比例函数 的图象相交于点 P,Q,求的值 23 (8 分)如图,A,B 是海面上位于东西方向的两个观测点,有一艘海轮在 C 点处遇险发出求救信号,此 时测得 C 点位于观测点 A 的北偏东 45方向上,同时位于观测点 B 的北偏西 60方向上,且测得 C 点 与观测点 A 的距离为 25海里 (1)求观测点 B 与 C 点之间的距离; (2)有一艘救援船位于观测点 B 的正南方向且与观测点 B 相距 30 海里的 D 点处,在接到海轮的求救信 号后立即前往营救,其航行速度为 42 海里/小时,求救

    9、援船到达 C 点需要的最少时间 六、本大题共六、本大题共 2 个小题,每小题个小题,每小题 12 分,共分,共 24 分分. 24 (12 分)如图,ABC 是O 的内接三角形,过点 C 作O 的切线交 BA 的延长线于点 F,AE 是O 的直径,连接 EC (1)求证:ACFB; (2)若 ABBC,ADBC 于点 D,FC4,FA2,求 ADAE 的值 25 (12 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 yx2+x+4 与两坐标轴分别相交于 A,B,C 三点 (1)求证:ACB90; (2)点 D 是第一象限内该抛物线上的动点,过点 D 作 x 轴的垂线交 BC 于点 E,交 x

    10、 轴于点 F 求 DE+BF 的最大值; 点 G 是 AC 的中点,若以点 C,D,E 为顶点的三角形与AOG 相似,求点 D 的坐标 2021 年四川省泸州市中考数学试卷年四川省泸州市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题个小题,每小题 3 分,共分,共 36 分分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的)目要求的). 12021 的相反数是( ) A2021 B2021 C D 【分析】利用相反数的定义分析得出答案,只有符号不同的两个数叫做互为相反数 【解答】

    11、解:2021 的相反数是:2021 故选:A 2第七次全国人口普查统计,泸州市常住人口约为 4254000 人,将 4254000 用科学记数法表示为( ) A4.254105 B42.54105 C4.254106 D0.4254107 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式,其中 1|a|10,n 为整数确定 n 的值时,要看把 原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时,n 是正整数;当原数的绝对值1 时,n 是负整数 【解答】解:42540004.254106 故选:C 3下列立体图形中,主视图是圆的是( ) A B C D 【

    12、分析】分别得出三棱柱,圆柱,圆锥,球的主视图即可 【解答】解:三棱柱、圆柱的主视图都是长方形, 圆锥的主视图是三角形, 球的主视图是圆, 故选:D 4函数 y的自变量 x 的取值范围是( ) Ax1 Bx1 Cx1 Dx1 【分析】根据二次根式的意义和分式的意义可知:x10,可求 x 的范围 【解答】解:要使函数有意义, 则 x10, 解得:x1, 故选:B 5如图,在ABCD 中,AE 平分BAD 且交 BC 于点 E,D58,则AEC 的大小是( ) A61 B109 C119 D122 【分析】由平行四边形的性质可得BAD122,BD58,由角平分线的性质和外角性质可 求解 【解答】解:

    13、四边形 ABCD 是平行四边形,D58, BAD122,BD58, AE 平分BAD, BAE61, AECB+BAE119, 故选:C 6在平面直角坐标系中,将点 A(3,2)向右平移 5 个单位长度得到点 B,则点 B 关于 y 轴对称点 B 的坐标为( ) A (2,2) B (2,2) C (2,2) D (2,2) 【分析】首先根据横坐标右移加,左移减可得 B 点坐标,然后再关于 y 轴对称点的坐标特点:横坐标互 为相反数,纵坐标不变可得答案 【解答】解:点 A(3,2)向右平移 4 个单位长度得到的 B 的坐标为(3+5,2) ,即(2,2) , 则点 B 关于 y 轴的对称点 B

    14、的坐标是: (2,2) 故选:C 7下列命题是真命题的是( ) A对角线相等的四边形是平行四边形 B对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C对角线互相垂直的四边形是菱形 D对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【分析】根据平行四边形及特殊平行四边形的判定,逐个判断即可 【解答】解:A、对角线互相平分的四边形是平行四边形,对角线相等的四边形也可能是等腰梯形等四 边形,故 A 不符合题意; B、对角线互相平分的四边形是平行四边形,若对角线再相等,则四边形是矩形,故 B 符合题意; C、对角线互相垂直的四边形不能判定是平行四边形,也就不能判定是菱形,故 C 不符合题意; D、对角线互相垂直平分的四边形是

    15、菱形,不能判断它的内角有直角,故 D 不符合题意; 故选:B 8在锐角ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,有以下结论:2R (其中 R 为ABC 的外接圆半径)成立在ABC 中,若A75,B45,c4,则ABC 的 外接圆面积为( ) A B C16 D64 【分析】已知 c,所以求出C 的度数即可使用题中的结论,得到关于 R 的方程,再求圆的面积即可 【解答】解:A+B+C180, C180AB180754560, 2R, 2R, R, SR2()2, 故选:A 9关于 x 的一元二次方程 x2+2mx+m2m0 的两实数根 x1,x2,满足 x1x22,则(x12+2) (

    16、x22+2)的值 是( ) A8 B32 C8 或 32 D16 或 40 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到 x1+x22m,x1x2m2m2,进而求得 m2 或 m 1,从而求得 x1+x24 或 2,把原式变形,代入计算即可 【解答】解:关于 x 的一元二次方程 x2+2mx+m2m0 的两实数根 x1,x2,满足 x1x22, 则 x1+x22m,x1x2m2m2, m2m20,解得 m2 或 m1, x1+x24 或 2, (x12+2) (x22+2) (x1x2)2+2(x1+x2)24x1x2+4, 当 x1+x24 时,原式22+2(4)242+432; 当 x1+x

    17、22 时,原式22+22242+48; 故选:C 10已知 10a20,100b50,则a+b+的值是( ) A2 B C3 D 【分析】把 100 变形为 102,两个条件相乘得 a+2b3,整体代入求值即可 【解答】解:10a100b10a102b10a+2b20501000103, a+2b3, 原式(a+2b+3)(3+3)3, 故选:C 11如图,O 的直径 AB8,AM,BN 是它的两条切线,DE 与O 相切于点 E,并与 AM,BN 分别相交 于 D,C 两点,BD,OC 相交于点 F,若 CD10,则 BF 的长是( ) A B C D 【分析】如图,构建如图平面直角坐标系,过

    18、点 D 作 DHBC 于 H想办法求出 C,D 两点坐标,构建 一次函数,利用方程组确定交点坐标即可 【解答】解:如图,构建如图平面直角坐标系,过点 D 作 DHBC 于 H AB 是直径,AB8, OAOB4, AD,BC,CD 是O 的切线, DABABHDHB90,DADE,CECB, 四边形 ABHD 是矩形, ADBH,ABDH8, CH6, 设 ADDEBHx,则 ECCBx+6, x+x+610, x2, D(2,4) ,C(8,4) ,B(0,4) , 直线 OC 的解析式为 yx,直线 AD 的解析式为 y4x4, 由,解得, F(,) , BF, 故选:A 12直线 l 过

    19、点(0,4)且与 y 轴垂直,若二次函数 y(xa)2+(x2a)2+(x3a)22a2+a(其中 x 是自变量)的图象与直线 l 有两个不同的交点,且其对称轴在 y 轴右侧,则 a 的取值范围是( ) Aa4 Ba0 C0a4 D0a4 【分析】先写出直线 l 的解析式,根据直线和抛物线有两个不同的交点,由直线和抛物线解析式得出关 于 x 的一元二次方程,通过判别式0,求出 a 的取值,再根据对称轴在 y 轴右侧,得出 a 的取值,故 可以判断 D 正确 【解答】解:直线 l 过点(0,4)且与 y 轴垂直, 直线 l 为:y4, 二次函数 y(xa)2+(x2a)2+(x3a)22a2+a

    20、 的图象与直线 l 有两个不同的交点, (xa)2+(x2a)2+(x3a)22a2+a4, 整理得:3x212ax+12a2+a40, (12a)243(12a2+a4)144a2144a212a+4812a+480, a4, 又二次函数 y(xa)2+(x2a)2+(x3a)22a2+a3x212ax+12a2+a 对称轴在 y 轴右侧, 2a0, a0, 0a4, 故选:D 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题个小题,每小题 3 分,共分,共 12 分)分). 13分解因式:44m2 4(1+m) (1m) 【分析】先提取公因式 4,再用平方差公式因式分解 【解答

    21、】解:原式4(1m2) 4(1+m) (1m) 故答案为:4(1+m) (1m) 14不透明袋子中装有 3 个红球,5 个黑球,4 个白球,这些球除颜色外无其他差别,从袋子中随机摸出一 个球,则摸出红球的概率是 【分析】用红色球的个数除以球的总个数即可 【解答】解:袋子中共有 3+5+412 个除颜色外无其他差别的球,其中红球的个数为 3, 从袋子中随机摸出一个球,摸出红球的概率是, 故答案为: 15关于 x 的不等式组恰好有 2 个整数解,则实数 a 的取值范围是 0a0.5 【分析】先解不等式组得出 1.5x2a+3,根据不等式组恰有 2 个整数解得出 32a+34,解之即可得 出答案 【

    22、解答】解:解不等式 2x30,得:x1.5, 解不等式 x2a3,得:x2a+3, 不等式组恰好有 2 个整数解, 32a+34, 解得:0a0.5, 故答案为:0a0.5 16如图,在边长为 4 的正方形 ABCD 中,点 E 是 BC 的中点,点 F 在 CD 上,且 CF3DF,AE,BF 相 交于点 G,则AGF 的面积是 【分析】根据正方形的性质和相似三角形的性质,可以得到 GN 的长,然后通过图形可知,AGF 的面 积ABF 的面积ABG 的面积,代入数据计算即可 【解答】解:作 FMAB 于点 M,作 GNAB 于点 N,如右图所示, 正方形 ABCD 的边长为 4,点 E 是

    23、BC 的中点,点 F 在 CD 上,且 CF3DF, BE2,MF4,BMCF3, GNAB,FMAB, GNFM, BNGBMF, , 设 BN3x,则 NG4x,AN43x, GNAB,EBAB, ANGABE, , 即, 解得 x, GN4x, AGF 的面积是:, 故答案为: 三、本大题共三、本大题共 3 个小题,每小题个小题,每小题 6 分,共分,共 18 分分. 17 (6 分)计算: ()0+() 1(4)+2 cos30 【分析】利用 0 指数幂、负指数幂法则,以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果; 【解答】解: ()0+() 1(4)+2 cos30 1+4+4+3 12

    24、18 (6 分)如图,点 D 在 AB 上,点 E 在 AC 上,ABAC,BC,求证:BDCE 【分析】要证 BDCE 只要证明 ADAE 即可,而证明ABEACD,则可得 ADAE 【解答】证明:在ABE 与ACD 中 , ABEACD(ASA) ADAE BDCE 19 (6 分)化简: (a+) 【分析】先计算括号内分式的加法,然后将分子因式分解,继而将除法转化为乘法,最后约分即可 【解答】解:原式(+) a1 四、本大题共四、本大题共 2 个小题,每小题个小题,每小题 7 分,共分,共 14 分分. 20 (7 分)某合作社为帮助农民增收致富,利用网络平台销售当地的一种农副产品为了解

    25、该农副产品在 一个季度内每天的销售额,从中随机抽取了 20 天的销售额(单位:万元)作为样本,数据如下: 16 14 13 17 15 14 16 17 14 14 15 14 15 15 14 16 12 13 13 16 (1)根据上述样本数据,补全条形统计图; (2)上述样本数据的众数是 14 万元 ,中位数是 14.5 万元 ; (3)根据样本数据,估计这种农副产品在该季度内平均每天的销售额 【分析】 (1)根据题目中的数据,可以得到销售额 14 万元和 16 万元的天数,然后即可将条形统计图补 充完整; (2)根据条形统计图中的数据,可以直接写出样本数据的众数,计算出样本数据的中位数

    26、; (3)根据条形统计图中的数据,可以计算出这种农副产品在该季度内平均每天的销售额 【解答】解: (1)由题目中的数据可得, 销售额为 14 万元的有 6 天,销售额为 16 万元的有 4 天, 补全的条形统计图如右图所示; (2)由条形统计图可得, 样本数据的众数是 14 万元,中位数是(14+15)214.5(万元) , 故答案为:14 万元,14.5 万元; (3)14.65(万元) , 答:估计这种农副产品在该季度内平均每天的销售额是 14.65 万元 21 (7 分)某运输公司有 A、B 两种货车,3 辆 A 货车与 2 辆 B 货车一次可以运货 90 吨,5 辆 A 货车与 4 辆

    27、 B 货车一次可以运货 160 吨 (1)请问 1 辆 A 货车和 1 辆 B 货车一次可以分别运货多少吨? (2)目前有 190 吨货物需要运输,该运输公司计划安排 A、B 两种货车将全部货物一次运完(A、B 两 种货车均满载) ,其中每辆 A 货车一次运货花费 500 元,每辆 B 货车一次运货花费 400 元请你列出所 有的运输方案,并指出哪种运输方案费用最少 【分析】 (1)设 1 辆 A 货车一次可以运货 x 吨,1 辆 B 货车一次可以运货 y 吨,根据 3 辆 A 货车与 2 辆 B 货车一次可以运货 90 吨,5 辆 A 货车与 4 辆 B 货车一次可以运货 160 吨列出方程

    28、组解答即可; (2)设 A 货车运输 m 吨,则 B 货车运输(190m)吨,设总费用为 w 元,列出 w 的一次函数表达式, 化简得 w 随 m 的增大而减小;根据 A、B 两种货车均满载,得,都是整数,分类列举得到符 合题意得方案,最后根据费用越少,m 越大得到费用最少的方案 【解答】解: (1)设 1 辆 A 货车一次可以运货 x 吨,1 辆 B 货车一次可以运货 y 吨, 根据题意得:, 解得:, 答:1 辆 A 货车一次可以运货 20 吨,1 辆 B 货车一次可以运货 15 吨; (2)设 A 货车运输 m 吨,则 B 货车运输(190m)吨,设总费用为 w 元, 则:w500+40

    29、0 25m+ 25mm+ m+, 0, w 随 m 的增大而减小 A、B 两种货车均满载, ,都是整数, 当 m20 时,不是整数; 当 m40 时,10; 当 m60 时,不是整数; 当 m80 时,不是整数; 当 m100 时,6; 当 m120 时,不是整数; 当 m140 时,不是整数; 当 m160 时,2; 当 m180 时,不是整数; 故符合题意的运输方案有三种: A 货车 2 辆,B 货车 10 辆; A 货车 5 辆,B 货车 6 辆; A 货车 8 辆,B 货车 2 辆; w 随 m 的增大而减小, 费用越少,m 越大, 故方案费用最少 五、本大题共五、本大题共 2 个小题

    30、,每小题个小题,每小题 8 分,共分,共 16 分分. 22 (8 分)一次函数 ykx+b(k0)的图象与反比例函数 y的图象相交于 A(2,3) ,B(6,n)两点 (1)求一次函数的解析式; (2)将直线 AB 沿 y 轴向下平移 8 个单位后得到直线 l,l 与两坐标轴分别相交于 M,N,与反比例函数 的图象相交于点 P,Q,求的值 【分析】 (1)根据待定系数法,先求出反比例函数的解析式,求出 B 点坐标,进而求出一次函数的解析 式; (2)根据直线 AB 沿 y 轴向下平移 8 个单位后得到直线 l 求得 l 的解析式,然后求出点 M,N 得坐标, 根据勾股定理求得 MN 的长度;

    31、联立一次函数 l 和反比例函数得到点 P,Q 的坐标,过点 P 作 x 轴的平 行线,过点 Q 作 y 轴的平行线,两条平行线交于点 C,根据勾股定理求得 PQ 的长度,问题即可迎刃而 解 【解答】解: (1)反比例函数 y得图象过点 A(2,3) ,点 B(6,n) , m236,m6n, y,n1, 一次函数 ykx+b(k0)的图象过点 A(2,3) ,点 B(6,1) , , 解得:, 一次函数的解析式为:yx+4; (2)直线 AB 沿 y 轴向下平移 8 个单位后得到直线 l, 直线 l 的解析式为:yx+48x4, 当 x0 时,y4, 当 y0 时,x8, M(8,0) ,N(

    32、0,4) , OM8,ON4, MN4, 联立, 得:x4, 解得:x12,x26, 将 x12,x26 代入 y得:y13,y21, 经检验:和都是原方程组的解, P(6,1) ,Q(2,3) , 如图,过点 P 作 x 轴的平行线,过点 Q 作 y 轴的平行线,两条平行线交于点 C, 则C90,C(2,1) , PC2(6)4,CQ1(3)2, PQ2, 23 (8 分)如图,A,B 是海面上位于东西方向的两个观测点,有一艘海轮在 C 点处遇险发出求救信号,此 时测得 C 点位于观测点 A 的北偏东 45方向上,同时位于观测点 B 的北偏西 60方向上,且测得 C 点 与观测点 A 的距离

    33、为 25海里 (1)求观测点 B 与 C 点之间的距离; (2)有一艘救援船位于观测点 B 的正南方向且与观测点 B 相距 30 海里的 D 点处,在接到海轮的求救信 号后立即前往营救,其航行速度为 42 海里/小时,求救援船到达 C 点需要的最少时间 【分析】 (1)过点 C 作 CEAB 于点 E,根据题意可得ACECAE45,AC25海里,根据勾 股定理可得 AECE25(海里) ,由CBE30,即可得结论; (2)作 CFDB 于点 F,证明四边形 CEBF 是矩形,可得 FBCE25(海里) ,CFBE25(海 里) ,根据勾股定理求出 CD 的长,进而可得救援船到达 C 点需要的最

    34、少时间 【解答】解: (1)如图,过点 C 作 CEAB 于点 E, 根据题意可知:ACECAE45,AC25海里, AECE25(海里) , CBE30, BE25(海里) , BC2CE50(海里) 答:观测点 B 与 C 点之间的距离为 50 海里; (2)如图,作 CFDB 于点 F, CFDB,FBEB,CEAB, 四边形 CEBF 是矩形, FBCE25(海里) ,CFBE25(海里) , DFBD+BF30+2555(海里) , 在 RtDCF 中,根据勾股定理,得 CD70(海里) , 7042(小时) 答:救援船到达 C 点需要的最少时间是小时 六、本大题共六、本大题共 2

    35、个小题,每小题个小题,每小题 12 分,共分,共 24 分分. 24 (12 分)如图,ABC 是O 的内接三角形,过点 C 作O 的切线交 BA 的延长线于点 F,AE 是O 的直径,连接 EC (1)求证:ACFB; (2)若 ABBC,ADBC 于点 D,FC4,FA2,求 ADAE 的值 【分析】 (1)如图 1,连接 OC,先根据切线的性质和同圆的半径相等,及等边对等角可得:ACF OCEE,从而得结论; (2)证明ACFCBF,得 BF8,再证明ABDAEC,列比例式可得结论 【解答】 (1)证明:如图 1,连接 OC, CF 是O 的切线, OCF90, OCA+ACF90, O

    36、BOC, EOCE, AE 是O 的直径, ACE90, OCA+OCE90, ACFOCEE, BE, ACFB; (2)解:ACFB,FF, ACFCBF, , AF2,CF4, , BF8, ABBC826,AC3, ADBC, ADBACE90, BE, ABDAEC, ,即 AEADABAC6318 25 (12 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 yx2+x+4 与两坐标轴分别相交于 A,B,C 三点 (1)求证:ACB90; (2)点 D 是第一象限内该抛物线上的动点,过点 D 作 x 轴的垂线交 BC 于点 E,交 x 轴于点 F 求 DE+BF 的最大值; 点 G

    37、 是 AC 的中点,若以点 C,D,E 为顶点的三角形与AOG 相似,求点 D 的坐标 【分析】 (1)由抛物线 yx2+x+4 与两坐标轴分别相交于 A,B,C 三点,求出 A,B,C 坐标和 ABC 三边长,用勾股定理逆定理判断ABC 是直角三角形即可 (2)由 B(8,0) ,C(0,4)可得直线 BC 解析式为 yx+4,设第一象限 D(m,+m+4) , 则 E(m,m+4) ,可得 DE+BF(m2+2m)+(8m)(m2)2+9,即可得 DE+BF 的 最大值是 9; 由CAB+CBA90,FEB+CBA90,得CABFEBDEC,以点 C,D,E 为顶点的 三角形与AOG 相似

    38、, 只需或,而 OA2,AG,用含 m 的代数式表示 DE m2+2m,CE,分情况列出方程即可得 m 的值,从而得到答案 【解答】解: (1)yx2+x+4 中,令 x0 得 y4,令 y0 得 x12,x28, A(2,0) ,B(8,0) ,C(0,4) , OA2,OB8,OC4,AB10, AC2OA2+OC220,BC2OB2+OC280, AC2+BC2100, 而 AB2102100, AC2+BC2AB2, ACB90; (2)设直线 BC 解析式为 ykx+b,将 B(8,0) ,C(0,4)代入可得:, 解得, 直线 BC 解析式为 yx+4, 设第一象限 D(m,+m+

    39、4) ,则 E(m,m+4) , DE(+m+4)(m+4)m2+2m,BF8m, DE+BF(m2+2m)+(8m) m2+m+8 (m2)2+9, 当 m2 时,DE+BF 的最大值是 9; 由(1)知ACB90, CAB+CBA90, DFx 轴于 F, FEB+CBA90, CABFEBDEC, 以点 C,D,E 为顶点的三角形与AOG 相似,只需或, 而 G 为 AC 中点,A(2,0) ,C(0,4) , G(1,2) ,OA2,AG, 由知:DEm2+2m,E(m,m+4) , CE, 当时,解得 m4 或 m0(此时 D 与 C 重合,舍去) D(4,6) , 当时,解得 m3 或 m0(舍去) , D(3,) , 综上所述,以点 C,D,E 为顶点的三角形与AOG 相似,则 D 的坐标为(4,6)或(3,)


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