1、专题专题 14 图形的变化之填空题（图形的变化之填空题（1） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一填空题（共一填空题（共 50 小题）小题） 1 （2019上海）如图，在正方形 ABCD 中，E 是边 AD 的中点将ABE 沿直线 BE 翻折，点 A 落在点 F 处，联结 DF，那么EDF 的正切值是 2 【答案】解：如图所示，由折叠可得 AEFE，AEBFEB= 1 2AEF， 正方形 ABCD 中，E 是 AD 的中点， AEDE= 1 2AD= 1 2AB， DEFE， EDFEFD， 又AEF 是DEF 的外角， AEFEDF+EFD， EDF= 1 2AEF， AEBEDF， t
2、anEDFtanAEB= =2 故答案为：2 【点睛】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小 不变，位置变化，对应边和对应角相等 2 （2018上海）如图，已知正方形 DEFG 的顶点 D、E 在ABC 的边 BC 上，顶点 G、F 分别在边 AB、AC 上如果 BC4，ABC 的面积是 6，那么这个正方形的边长是 12 7 【答案】解：作 AHBC 于 H，交 GF 于 M，如图， ABC 的面积是 6， 1 2BCAH6， AH= 26 4 =3， 设正方形 DEFG 的边长为 x，则 GFx，MHx，AM3x， GFBC， AGFABC， =
3、，即 4 = 3; 3 ，解得 x= 12 7 ， 即正方形 DEFG 的边长为12 7 故答案为12 7 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公 共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构 造相似三角形；在应用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算相应线段的长也考查了正方形的性 质 3 （2017上海）一副三角尺按如图的位置摆放（顶点 C 与 F 重合，边 CA 与边 FE 叠合，顶点 B、C、D 在一条直线上） 将三角尺 DEF 绕着点 F 按顺时针方向旋转 n后（0n180 ） ，如果 E
4、FAB，那么 n 的值是 45 【答案】解：如图 1 中，EFAB 时，ACEA45， 旋转角 n45 时，EFAB 如图 2 中，EFAB 时，ACE+A180， ACE135 旋转角 n360135225， 0n180， 此种情形不合题意， 故答案为 45 【点睛】本题考查旋转变换、平行线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属 于中考常考题型 4 （2019青浦区二模）如图，在矩形 ABCD 中，AB3，E 为 AD 的中点，F 为 CD 上一点，且 DF2CF， 沿 BE 将ABE 翻折，如果点 A 恰好落在 BF 上，则 AD 26 【答案】解：连接 EF， 点 E
5、、点 F 是 AD、DC 的中点， AEED，DF2CF2， 由折叠的性质可得 AEAE， AEDE， 在 RtEAF 和 RtEDF 中， = = ， RtEAFRtEDF（HL） ， AFDF2， BFBA+AFAB+DF3+25， 在 RtBCF 中， BC= 2 2= 52 12= 26 ADBC26 故答案为 26 【点睛】本题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是连接 EF，证明 RtEAFRtEDF，得出 BF 的长，注意掌握勾股定理的表达式 5 （2019静安区二模）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A（23，0） ，B（0，6） ，M（0，2） 点 Q 在直线 AB
6、上，把BMQ 沿着直线 MQ 翻折，点 B 落在点 P 处，联结 PQ如果直线 PQ 与直线 AB 所构 成的夹角为 60，那么点 P 的坐标是 （23，4）或（0，2）或（23，0） 【答案】解：A（23，0） ，B（0，6） ，M（0，2） ， OA23，OB6，OM2，BMOBOM4， tanBAO= = 6 23 = 3， BAO60， AOB90， ABO30， AB2OA43， 直线 PQ 与直线 AB 所构成的夹角为 60， PQB120或PQB60， （1）当PQB120时，分两种情况： 如图 1 所示：延长 PQ 交 OB 于点 N，则BQN60， QNB90，即 QNBM，
7、 由折叠得：BMMP4，BQMPQM， PQB120， BQMPQM120， BQNMQN60， QNBM， BNNM= 1 2BM2， 在 RtPNM 中，NP= 2 2= 42 22=23， ONOM+NM4， P 点的坐标为： （23，4） ； 如图 2 所示：QMOB，BMMP， OPPMOMBMOM422， P 点的坐标为： （0，2） ； （2）当PQB60时，如图 3 所示：Q 点与 A 点重合， 由折叠得：ABAP43， OPAPOA43 23 =23， P 点的坐标为： （23，0） ； 综上所述：P 点的坐标为： （23，4）或（0，2）或（23，0） 【点睛】本题考查了翻
8、折变换的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角函数、坐标等知识，熟练掌 握翻折变换的性质、直角三角形的性质，并进行分类讨论是关键 6 （2019闵行区二模）如图，在ABC 中，ABAC5，BC25，D 为边 AC 上一点（点 D 与点 A、C 不重合） 将ABD 沿直线 BD 翻折， 使点 A 落在点 E 处， 连接 CE 如果 CEAB， 那么 AD： CD 5： 6 【答案】解：如图，过 A 作 AGBC 于 G，过 B 作 BHCE，交 EC 的延长线于 H，延长 BD 和 CE 交于 点 F， ACAB5， BGCG= 5，AG= 2 2=52 (5)2=25， FHAB， ABGBC
9、H， HAGB90， BCHABG， = = ， 25 = 25 5 = 5 ， BH4，CH2， 由折叠得：ABBE5， EH= 2 2= 52 42=3，CE321， FHAB， FABDEBD， EFBE5， FC5+16， FCAB， = = 5 6， 故答案为：5：6 【点睛】本题考查翻折变换、三角形相似的性质和判定、平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质 等知识，解题的关键是正确作辅助线，寻找相似三角形解决问题 7 （2019虹口区二模）如图，在矩形 ABCD 中，AB6，点 E 在边 AD 上且 AE4，点 F 是边 BC 上的一 个动点，将四边形 ABFE 沿 EF 翻折，A
10、、B 的对应点 A1、B1与点 C 在同一直线上，A1B1与边 AD 交于 点 G，如果 DG3，那么 BF 的长为 65 8 【答案】解：CDGAEG，AE4 AG2 BG4 由勾股定理可知 CG= 35 则 CB= 35 4 由CDGCFB 设 BFx = 35;4 = 3 6 解得 x= 65 8 故答案为65 8 【点睛】本题考查了翻折的性质与相似，通过寻找等角关系，确定相似关系是本题的关键 8 （2019杨浦区二模）如图，点 M、N 分别在AOB 的边 OA、OB 上，将AOB 沿直线 MN 翻折，设点 O 落在点 P 处，如果当 OM4，ON3 时，点 O、P 的距离为 4，那么折
11、痕 MN 的长为 23 5 【答案】解：设 MN 与 OP 交于点 E， 点 O、P 的距离为 4， OP4 折叠 MNOP，EOEP2， 在 RtOME 中，ME= 2 2 =23 在 RtONE 中，NE= 2 2 = 5 MNMENE23 5 故答案为：23 5 【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，利用勾股定理求线段的长度是本题的关键 9 （2019静安区一模）如图，将矩形 ABCD 沿对角线 BD 所在直线翻折后，点 A 与点 E 重合，且 ED 交 BC 于点 F，连接 AE如果 tanDFC= 2 3，那么 的值是 13 2 【答案】解：四边形 ABCD 是矩形， BCAD，DA
12、BC90，ADBC， ADBDBC， 矩形 ABCD 沿对角线 BD 所在直线翻折后，点 A 与点 E 重合， DEAD，BEDDAB90，ADBBDE， DBFFDB， BFDF， EFCF， tanDFCBFE= 2 3， 设 CDBE2x，CFEF3x， BFCF= (2)2+ (3)2= 13x， BC（13 +3）x， BD= 2+ 2=26 + 613x， AEBD， AH= ， AE2AH= 2 ， = 2 = 2 2 = 13 2 ， 故答案为： 13 2 【点睛】 本题考查了翻折变换 （折叠问题） ， 矩形的性质， 解直角三角形， 正确的识别图形是解题的关键 10 （2019
13、长宁区一模）如图，点 P 在平行四边形 ABCD 的边 BC 上，将ABP 沿直线 AP 翻折，点 B 恰好 落在边 AD 的垂直平分线上，如果 AB5，AD8，tanB= 4 3，那么 BP 的长为 25 7 或 7 【答案】解：如图 1，过 A 作 AHBC 于 H，连接 DB， 设 BB与 AP 交于 E， AD 的垂直平分线交 AD 于 M，BC 于 N， tanB= = 4 3， 设 AH4x，BH3x， AB= 2+ 2=5x5， x1， AH4，BH3， 将ABP 沿直线 AP 翻折，点 B 恰好落在边 AD 的垂直平分线 MN 上， ABAB5，AMDM= 1 2AD4，AMN
14、HNM90， 四边形 AHNM 是正方形，MB= 2+ 2=3， HNMN4， BN7，BN1， BB= 2+ 2=52， BE= 1 2BB= 52 2 ， BEPBNB90，PBEBBN， BPEBBN， = ， 52 = 52 2 7 ， BP= 25 7 ； 如图 2，由知，MN4，MB3，BN7， NBNB， 点 N 在 BB的垂直平分线上， 将ABP 沿直线 AP 翻折，点 B 恰好落在边 AD 的垂直平分线上， 点 P 也在 BB的垂直平分线上， 点 P 与 N 重合， BPBN7， 综上所述，BP 的长为25 7 或 7 故答案为：25 7 或 7 【点睛】本题考查了翻折变换（
15、折叠问题） ，线段垂直平分线的性质，勾股定理，正确的作出图形是解题 的关键 11 （2019嘉定区一模）在ABC 中，ACB90，点 D、E 分别在边 BC、AC 上，AC3AE，CDE 45（如图） ，DCE 沿直线 DE 翻折，翻折后的点 C 落在ABC 内部的点 F，直线 AF 与边 BC 相交 于点 G，如果 BGAE，那么 tanB 3 7 【答案】解：如图， ACB90，CDE45， DEC45 AC3AE 设 AEkBG，AC3k， （k0） EC2k， 折叠 EFEC2k，FEDDEC45 FEC90，且ACB90 EFBC AEFACG = = 1 3 GC3EF6k， BC
16、BG+GC7k， tanB= = 3 7 故答案为：3 7 【点睛】本题考查了翻折变换，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，熟练运用折叠的性质是本题 的关键 12 （2019宝山区一模）如图，RtABC 中，ACB90，AC4，BC5，点 P 为 AC 上一点，将BCP 沿直线 BP 翻折，点 C 落在 C处，连接 AC，若 ACBC，那么 CP 的长为 5 2 【答案】解：过点 C作 CDBC 于点 D， ACBC，ACB90， CACACB90，且 CDBC， 四边形 CDCA 是矩形， CDAC，CDAC4， 折叠 BCBC5，CPCP， 在 RtBDC中，BD= 2 2=3 CDBC
17、BD2 AC2， 在 RtACP 中，CP2CA2+AP2， CP24+（4CP）2， CP= 5 2 故答案为：5 2 【点睛】本题是翻折变换，考查了矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全 等三角形是本题的关键 13 （2019普陀区一模）如图，ABC 中，ABAC8，cosB= 3 4，点 D 在边 BC 上，将ABD 沿直线 AD 翻折得到AED，点 B 的对应点为点 E，AE 与边 BC 相交于点 F，如果 BD2，那么 EF 32 15 【答案】解：如图所示，过 A 作 AHBC 于 H， ABAC8，cosB= 3 4， BH6CH，BC12， 由折叠可得，B
18、DDE2，EABCC，ABAE6， 又AFCDFE， AFCDFE， = = = 1 4， 设 EFx，则 CF4x，AF8x， DF= 1 4AF2 1 4x， BD+DF+CFBC， 2+2 1 4x+4x12， 解得 x= 32 15， EF= 32 15， 故答案为：32 15 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是利用 相似三角形的对应边成比例，列方程求解 14 （2019浦东新区一模）将矩形纸片 ABCD 沿直线 AP 折叠，使点 D 落在原矩形 ABCD 的边 BC 上的点 E 处，如果AED 的余弦值为3 5，那么 = 24 25
19、 【答案】解：如图所示，由折叠可得，AP 垂直平分 DE，ADPAEP90， AED 的余弦值为3 5， 可设 EF3a，AE5a，则 ADBC5a， RtAEP 中，EFAP， EF2AFPF，即 PF= 2 = 9 4a， RtADP 中，DP= 2 2= 15 4 a， PE= 15 4 a， 设 ABCDx，则 CPx 15 4 a，BE= 2 2= 252 2， 由BC90，BAECEP，可得ABEECP， = ，即 252;2 ;15 4 = 5 15 4 ， 解得 x= 24 5 a， AB= 24 5 a， = 24 5 5 = 24 25， 故答案为：24 25 【点睛】本题
20、主要考查了矩形的性质，折叠的性质以及相似三角形的判定与性质的运用，折叠是一种对 称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等 15 （2019和平区二模）如图，等边ABC 中，D 是边 BC 上的一点，且 BD：DC1：3，把ABC 折叠， 使点 A 落在边 BC 上的点 D 处，那么 的值为 5 7 【答案】解：BD：DC1：3， 设 BDa，则 CD3a， ABC 是等边三角形， ABBCAC4a，ABCACBBAC60， 由折叠的性质可知：MN 是线段 AD 的垂直平分线， AMDM，ANDN， BM+MD+BD5a，DN+NC+DC7a， MDNBA
21、CABC60， NDC+MDBBMD+MBD120， NDCBMD， ABCACB60， BMDCDN， （BM+MD+BD） ： （DN+NC+CD）AM：AN， 即 AM：AN5：7， 故答案为5 7 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及折叠的性质：折叠是一种对称变 换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等 16 （2019浦东新区二模）如图，已知在ABC 中，AB3，AC2，A45o，将这个三角形绕点 B 旋转， 使点 A 落在射线 AC 上的点 A1处，点 C 落在点 C1处，那么 AC1 22 【答案】解：如图，连接 AC
22、1， 由旋转知，ABCA1BC1， ABA1B3，ACA1C12，CABC1A1B45， CABCA1B45， ABA1为等腰直角三角形，AA1C1CA1B+C1A1B90， 在等腰直角三角形 ABA1中， AA1= 2AB32， 在 RtAA1C1中， AC1= 12+ 112=(32)2+ 22= 22， 故答案为：22 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，解题的关键是能够根据题意画 出图形 17 （2019松江区二模）如图，已知 RtABC 中，ACB90，AC8，BC6将ABC 绕点 B 旋转 得到DBE，点 A 的对应点 D 落在射线 BC 上直线 AC
23、交 DE 于点 F，那么 CF 的长为 3 【答案】解：如图，已知 RtABC 中，ACB90，AC8，BC6 AB= 62+ 82= 10，tanA= = 3 4， 将ABC 绕点 B 旋转得到DBE，点 A 的对应点 D 落在射线 BC 上，直线 AC 交 DE 于点 F， BDAB10，DA， CDBDBC1064， 在 RtFCD 中，DCF90， tanD= = 3 4，即 4 = 3 4， CF3 故答案为：3 【点睛】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，正确的画出图形是解题的关键 18 （2019长宁区二模）如图，在ABC 中，ABAC5，BC8，将ABC 绕着点 C 旋转，点
24、A、B 的 对应点分别是点 A、B，若点 B恰好在线段 AA的延长线上，则 AA的长等于 14 5 【答案】解：如图，过点 C 作 CFAA于点 F， 旋转 ACAC5，ABAB5，BCBC8 CFAA， AFAF 在 RtAFC 中，AC2AF2+CF2， 在 RtCFB中，BC2BF2+CF2， BC2AC2BF2AF2， 6425（8+AF）2AF2， AF= 7 5 AA= 14 5 故答案为：14 5 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用勾股定理列出方程组是本题的关 键 19（2019奉贤区二模） 如图， 矩形 ABCD， ADa， 将矩形 ABCD 绕着顶
25、点 B 顺时针旋转， 得到矩形 EBGF， 顶点 A、D、C 分别与点 E、F、G 对应（点 D 与点 F 不重合） 如果点 D、E、F 在同一条直线上，那么 线段 DF 的长是 2a （用含 a 的代数式表示） 【答案】解：如图，连接 BD， 将矩形 ABCD 绕着顶点 B 顺时针旋转，得到矩形 EBGF，且 D、E、F 在同一条直线上， DEBC90，BEABCD， DBBD， RtEDBRtCBD（HL） ， DEBCADa， EFADa， DFDE+EFa+a2a 故答案为：2a 【点睛】本题考查图形的旋转，三角形全等的判定和性质，解题的关键是掌握图形旋转的性质 20 （2019普陀区
26、二模）如图，AD 是ABC 的中线，点 E 在边 AB 上，且 DEAD，将BDE 绕着点 D 旋 转，使得点 B 与点 C 重合，点 E 落在点 F 处，连接 AF 交 BC 于点 G，如果 = 5 2，那么 的值等于 10 63 【答案】解：如图，连接 FC， 将BDE 绕着点 D 旋转，使得点 B 与点 C 重合，点 E 落在点 F 处， BDCD，EDFD， EDBFDC， EDBFDC（SAS） ， EDDF，EBDFCD，FCBE， FCAB， CFGBAG， = = = 2 7， FG= 2 9AF， DEAD，DEDF， AEAF， = 2 9 7 5 = 10 63 故答案为
27、：10 63 【点睛】本题考查图形旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握图形旋转的性质 21 （2019崇明区二模）如图，在ABC 中，已知 ABAC，BAC30，将ABC 绕着点 A 逆时针旋 转 30，记点 C 的对应点为点 D，AD、BC 的延长线相交于点 E如果线段 DE 的长为2，那么边 AB 的长为 6 + 2 【答案】解：如图，作 DFBE 于 F，CHAD 于 H， 将ABC 绕着点 A 逆时针旋转 30，记点 C 的对应点为点 D，AD、BC 的延长线相交于点 E， ADACAB，CADBAC30， ACBACDADC75， DCE30，E45， DE= 2，
28、DFEF1，CF= 3， CE= 3 +1， CHHE= 3+1 2 ，AH= (3+1)3 2 ， ADAH+HEDE= (3+1)3 2 + 3+1 2 2 = 6 + 2， AB= 6 + 2 故答案为：6 + 2 【点睛】本题考查图形的旋转，解直角三角形的知识，解题的关键是掌握图形旋转的性质 22 （2019黄浦区二模）如图，在ABC 中，ACB90，sin B= 3 5，将ABC 绕顶点 C 顺时针旋转，得 到A1B1C，点 A、B 分别与点 A1、B1对应，边 A1B1分别交边 AB、BC 于点 D、E，如果点 E 是边 A1B1 的中点，那么 1 = 3 5 【答案】解：ACB9
29、0，sin B= = 3 5， 设 AC3x，AB5x， BC= 2 2 =4x， 将ABC 绕顶点 C 顺时针旋转，得到A1B1C， CB1BC4x，A1B15x，ACBA1CB1， 点 E 是 A1B1的中点， CE= 1 2A1B12.5xB1E， BEBCCE1.5x， BB1，CEB1BED CEB1DEB 1 = 1 = 1.5 2.5 = 3 5 故答案为：3 5 【点睛】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，证CEB1DEB 是本题 的关键 23 （2019金山区一模）如图，在 RtABC 中，C90，AC8，BC6在边 AB 上取一点 O，使 BO BC
30、，以点 O 为旋转中心，把ABC 逆时针旋转 90，得到ABC（点 A、B、C 的对应点分别 是点 A、B、C） ，那么ABC 与ABC的重叠部分的面积是 5.76 【答案】解：在 RtABC 中，C90，AC8，BC6， AB10， BOBC6， 把ABC 逆时针旋转 90，得到ABC， OAOA4，AA， AOMC90， AOMACB， = ， OM3， AM1， AMOAMP， APMAON90， AONACB， =（ ） 2=1 4， SABC= 1 2 8624， SAON6， 同理，SAMP0.24， ABC 与ABC的重叠部分的面积是 60.245.76 故答案为：5.76 【点
31、睛】 本题考查了旋转的性质， 勾股定理， 相似三角形的判定和性质， 正确的画出图形是解题的关键 24 （2019青浦区一模）如图，在 RtABC 中，ACB90，AC1，tanCAB2，将ABC 绕点 A 旋 转后， 点 B 落在 AC 的延长线上的点 D， 点 C 落在点 E， DE 与直线 BC 相交于点 F， 那么 CF 5;1 2 【答案】解：如图，在 RtABC 中，ACB90，AC1，tanCAB2， BCACtanCAB2， AB= 2+ 2= 5， 将ABC 绕点 A 旋转后，点 B 落在 AC 的延长线上的点 D， ADAB= 5，DB， AC1， CD= 5 1， FCDA
32、CB90， tanDtanCAB= =2， CF= 51 2 ， 故答案为：5;1 2 【点睛】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，正确的画出图形是解题的关键 25（2019奉贤区一模） 如图， 在ABC 中， ABAC5， sinC= 3 5， 将ABC 绕点 A 逆时针旋转得到ADE， 点 B、C 分别与点 D、E 对应，AD 与边 BC 交于点 F如果 AEBC，那么 BF 的长是 25 8 【答案】解：如图，过 A 作 AHBC 于 H， AHBAHC90，BHCH， ABAC5，sinC= = 3 5， AH3， CHBH= 2 2=4， 将ABC 绕点 A 逆时针旋转得到ADE，
33、BAFCAE， AEBC， CAEC， BC， BAFB， AFBF， 设 AFBFx， FH4x， AF2AH2+FH2， x232+（4x）2， 解得：x= 25 8 ， BF= 25 8 ， 故答案为：25 8 ， 【点睛】 本题考查了旋转的性质， 等腰三角形的性质， 解直角三角形， 正确的作出辅助线是解题的关键 26 （2019杨浦区一模）RtABC 中，C90，AC3，BC2，将此三角形绕点 A 旋转，当点 B 落在 直线 BC 上的点 D 处时，点 C 落在点 E 处，此时点 E 到直线 BC 的距离为 24 13 【答案】解：如图，过 B 作 BGAD 于 G， 将ABC 绕点
34、A 旋转得到ADE， ADAB，DEBC，ADEABC， RtABC 中，C90，AC3，BC2， ABAD= 2+ 2= 13， BD2BC4，ABCACB， SABD= 1 2ADBD= 1 2ACBG， BG= 1213 13 ， 过 E 作 EHBD 交 BD 的延长线于 H， BAG180ABCADB，EDH180ADBADE， BAGEDH， AGBDHE90， ABGDEH， = ， 13 2 = 1213 13 ， EH= 24 13， 点 E 到直线 BC 的距离为：24 13 故答案为：24 13 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅
35、助线是解题的关 键 27 （2019莲湖区模拟）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 O 为对角线 AC、BD 的交点，点 E 为边 AB 的中点， BED 绕着点 B 旋转至BD1E1， 如果点 D、 E、 D1在同一直线上， 那么 EE1的长为 610 5 【答案】解：正方形 ABCD 的边长为 4， ABAD4， BD= 2AB42， 点 E 为边 AB 的中点， AE= 1 2AB2， EAD90， DE= 2+ 2=25， 过 B 作 BFDD1于 F， DAEEFB90， AEDBEF， ADEFEB， = ， 2 = 2 25， EF= 2 5， DF25 + 2 5 = 1
36、2 5， BED 绕着点 B 旋转至BD1E1， BD1BD，D1BDE1BE，BE1BE， DD12DF= 24 5，D1BDE1BE， 1 1 = ， 1 24 5 = 2 42， EE1= 610 5 ， 故答案为：610 5 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出图 形是解题的关键 28 （2019杨浦区三模）如图，矩形 ABCD 中，AB5，BC12，将矩形绕着点 D 顺时针旋转，当点 C 落 在对角线 BD 上的点 E 处时，点 A、B 分别落在点 G、F 处，那么 AG：BF：CE 12：13：5 【答案】解：作 GHAD 于 H
37、，CNDE 于 N，如图所示： 四边形 ABCD 是矩形， ADBC12，ABCD5，BCD90， 由旋转得：ADDGEF12，CDDE5，BEF90， BD= 2+ 2= 122+ 52=13， BEBDDE1358， BF= 2+ 2= 82+ 122=413， GDECDA90， CDBHDG，sinCDB= = 12 13， sinHDG= = 12 = 12 13， GH= 144 13 ，cosHDG= 5 13 = ， DH= 5 13 12= 60 13， AHADDH= 96 13， AG= 2+ 2= 4813 13 ， 同理：CNCDsinCDB5 12 13 = 60
38、13，DNCDcoosCDB5 5 13 = 25 13， ENDEDN5 25 13 = 40 13， CE= 2+ 2= 2013 13 ， AG：BF：CE12：13：5； 故答案为：12：13：5 【点睛】本题考查了旋转的性质、矩形的性质、三角函数、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和旋 转的性质是解题的关键 29 （2019浦东新区二模）定义：如果 P 是圆 O 所在平面内的一点，Q 是射线 OP 上一点，且线段 OP、 OQ 的比例中项等于圆 O 的半径，那么我们称点 P 与点 Q 为这个圆的一对反演点已知点 M、N 为圆 O 的一对反演点，且点 M、N 到圆心 O 的距离分别为
39、4 和 9，那么圆 O 上任意一点到点 M、N 的距离之比 = 2 3 【答案】解：由题意O 的半径 r24936， r0， r6， 当点 A 在 NO 的延长线上时，AM6+410，AN6+915， = 10 15 = 2 3， 当点 A是 ON 与O 的交点时，AM2，AN3， = 2 3， 当点 A是O 上异与 A，A两点时，易证OAMONA， = = 6 9 = 2 3， 综上所述， = 2 3 故答案为：2 3 【点睛】 本题考查相似三角形的判定和性质， 解题的关键是理解题意， 学会用分类讨论的思想思考问题， 属于中考常考题型 30 （2019徐汇区二模）如图，在 RtABC 中，A
40、CB90，AB6，cosB= 2 3，先将ACB 绕着顶点 C 顺时针旋转 90，然后再将旋转后的三角形进行放大或缩小得到ACB（点 A、C、B的对应点 分别是点 A、 C、 B） ， 连接 AA、 BB， 如果AAB 和AAB相似， 那么 AC 的长是 35 5 【答案】解：由题意当点 A在线段 BC 上且 AA平分BAC 时，AAB 和AAB相似，作 A HAB 于 H 在 RtABC 中，cosB= = 2 3，AB6， BC4，AC= 62 42=25， AAHAAC，AHAACA90，AAAA， AAHAAC（AAS） ， ACAH，ACAH25，设 ACAHx， 在 RtABH 中
41、， （4x）2x2+（625）2， x35 5， AC35 5， 故答案为 35 5 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键 是理解题意，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型 31（2019静安区一模） 如图4， ADBC， AC、 BD相交于点O， 且SAOD： SBOC1： 4 设 = ， = ， 那么 向量 = 1 3 + 1 3 （用向量 、 表示） 【答案】解：ADBC， ADOCBO， =（ ） 2=1 4， = 1 2， = 1 3， = ， = ， = + ， = 1 3 = 1 3 + 1 3 ， 故
42、答案为：1 3 + 1 3 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平面向量，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的 关键 32 （2019浦东新区一模）如图，已知ABC 和ADE 都是等边三角形，点 D 在边 BC 上，且 BD4，CD 2，那么 AF 14 3 【答案】解：ABC 和ADE 都是等边三角形，BD4，CD2， ABAC6，BCADF60， ADB+BADADB+CDF120， BADCDF， ABDDCF， = ，即 4 = 2 6， 解得 CF= 4 3， AFACCF6 4 3 = 14 3 ， 故答案为：14 3 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，在判定两
43、个三角形相似时，应注意利用图形中已有 的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用 33 （2019徐汇区一模）在梯形 ABCD 中，ABDC，B90，BC6，CD2，tanA= 3 4点 E 为 BC 上一点，过点 E 作 EFAD 交边 AB 于点 F将BEF 沿直线 EF 翻折得到GEF，当 EG 过点 D 时， BE 的长为 65 12 【答案】解：如图，EFAD， AEFB，GFEAMF， GFE 与BFE 关于 EF 对称， GFEBFE， GFEBFE， AAMF， AMF 是等腰三角形， AFFM， 作 DQAB 于点 Q， AQDDQB90 ABDC， CDQ90 B
44、90， 四边形 CDQB 是矩形， CDQB2，QDCB6， AQ1028， 在 RtADQ 中，由勾股定理得 AD= 64 + 36 =10， tanA= 3 4， tanEFB= = 3 4， 设 EB3x， FB4x，CE63x， AFMF104x， GM8x10， GBDQA90，GMDA， DGMDQA， = ， GD6x 15 2 ， DE= 15 2 3x， 在 RtCED 中，由勾股定理得 （15 2 3x）2（63x）24， 解得：3x= 65 12， 当 EG 过点 D 时 BE= 65 12 故答案为：65 12 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定
45、及性质的运用，矩形的性质的运用， 勾股定理的性质的运用，轴对称的性质的运用，正确的作出辅助线是解题的关键 34（2019松江区一模） 如图， 已知ABC， D、 E 分别是边 BA、 CA 延长线上的点， 且 DEBC 如果 = 3 5， CE 4，那么 AE 的长为 3 2 【答案】解：DEBC ADEABC = = 3 5 设 AE3k，AC5k（k0） ） ， CE3k+5k4 k= 1 2 AE3k= 3 2 故答案为：3 2 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键 35 （2019松江区一模）在比例尺为 1：50000 的地图上，量得甲、乙两地
46、的距离为 12 厘米，则甲、乙两 地的实际距离是 6 千米 【答案】解：设甲、乙两地的实际距离为 xcm， 根据题意得，12 = 1 50000， 解得：x600000cm6km， 故答案为：6 【点睛】本题考查了比例线段，熟练掌握图上距离 实际距离 =比例尺是解题的关键 36 （2019广饶县模拟）如图，已知ABC，AB6，AC5，D 是边 AB 的中点，E 是边 AC 上一点，ADE C，BAC 的平分线分别交 DE、BC 于点 F、G，那么 的值为 3 5 【答案】证明：AB6，D 是边 AB 的中点， AD3， AG 是BAC 的平分线， BAGEAF， ADEC， ADFACG； = = 3 5， 故答案为：3 5 【点睛】 本题考查的是相似三角形的判定和性质， 掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键 37（2019松江区一模） 已知线段 AB2cm， 点 C 在线段 AB 上， 且 AC2BCAB， 则 AC 的长 5 1 cm 【答案】解：AC2BCAB， 点 C 是线段 AB 的黄金分割点，ACBC， AC= 51 2 AB= 51 2 2= 5 1， 故答案为：5 1 【点睛】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金
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