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    上海市2019年中考数学真题与模拟题分专题训练专题17图形的变化之解答题(150道题)含解析

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    上海市2019年中考数学真题与模拟题分专题训练专题17图形的变化之解答题(150道题)含解析

    1、专题专题 17 图形的变化之解答题(图形的变化之解答题(1) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一解答题(共一解答题(共 50 小题)小题) 1 (2019上海)图 1 是某小型汽车的侧面示意图,其中矩形 ABCD 表示该车的后备箱,在打开后备箱的过 程中,箱盖 ADE 可以绕点 A 逆时针方向旋转,当旋转角为 60时,箱盖 ADE 落在 ADE的位置(如 图 2 所示) 已知 AD90 厘米,DE30 厘米,EC40 厘米 (1)求点 D到 BC 的距离; (2)求 E、E两点的距离 【答案】解: (1)过点 D作 DHBC,垂足为点 H,交 AD 于点 F,如图 3 所示 由题意,得:

    2、ADAD90 厘米,DAD60 四边形 ABCD 是矩形, ADBC, AFDBHD90 在 RtADF 中,DFADsinDAD90sin60453厘米 又CE40 厘米,DE30 厘米, FHDCDE+CE70 厘米, DHDF+FH(453 +70)厘米 答:点 D到 BC 的距离为(453 +70)厘米 (2)连接 AE,AE,EE,如图 4 所示 由题意,得:AEAE,EAE60, AEE是等边三角形, EEAE 四边形 ABCD 是矩形, ADE90 在 RtADE 中,AD90 厘米,DE30 厘米, AE= 2+ 2=3010厘米, EE3010厘米 答:E、E两点的距离是 3

    3、010厘米 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理,解题 的关键是: (1)通过解直角三角形求出 DF 的长度; (2)利用勾股定理求出 AE 的长度 2 (2019上海)已知:如图,AB、AC 是O 的两条弦,且 ABAC,D 是 AO 延长线上一点,联结 BD 并 延长交O 于点 E,联结 CD 并延长交O 于点 F (1)求证:BDCD; (2)如果 AB2AOAD,求证:四边形 ABDC 是菱形 【答案】证明: (1)如图 1,连接 BC,OB,OC, AB、AC 是O 的两条弦,且 ABAC, A 在 BC 的垂直平分线上, OBOAOC

    4、, O 在 BC 的垂直平分线上, AO 垂直平分 BC, BDCD; (2)如图 2,连接 OB, AB2AOAD, = , BAODAB, ABOADB, OBAADB, OAOB, OBAOAB, OABBDA, ABBD, ABAC,BDCD, ABACBDCD, 四边形 ABDC 是菱形 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定,圆心角、弧、弦之间的关系,线段垂直平分线的性质, 菱形的判定,垂径定理等知识点,能综合运用知识点进行推理是解此题的关键 3 (2019上海)如图 1,AD、BD 分别是ABC 的内角BAC、ABC 的平分线,过点 A 作 AEAD,交 BD 的延长线于点 E

    5、 (1)求证:E1 2C; (2)如图 2,如果 AEAB,且 BD:DE2:3,求 cosABC 的值; (3)如果ABC 是锐角,且ABC 与ADE 相似,求ABC 的度数,并直接写出 的值 【答案】 (1)证明:如图 1 中, AEAD, DAE90,E90ADE, AD 平分BAC, BAD= 1 2BAC,同理ABD= 1 2ABC, ADEBAD+DBA,BAC+ABC180C, ADE= 1 2(ABC+BAC)90 1 2C, E90(90 1 2C)= 1 2C (2)解:延长 AD 交 BC 于点 F ABAE, ABEE, BE 平分ABC, ABEEBC, ECBE,

    6、AEBC, AFBEAD90, = , BD:DE2:3, cosABC= = = 2 3 (3)ABC 与ADE 相似,DAE90, ABC 中必有一个内角为 90 ABC 是锐角, ABC90 当BACDAE90时, E= 1 2C, ABCE= 1 2C, ABC+C90, ABC30,此时 =23 当CDAE90时, = 1 2C45, EDA45, ABC 与ADE 相似, ABC45,此时 =22 综上所述,ABC30或 45, =23或 22 【点睛】本题属于相似形综合题,考查了相似三角形的判定和性质,平行线的判定和性质,锐角三角函 数等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考

    7、问题,属于中考压轴题 4 (2018上海)如图,已知ABC 中,ABBC5,tanABC= 3 4 (1)求边 AC 的长; (2)设边 BC 的垂直平分线与边 AB 的交点为 D,求 的值 【答案】解: (1)作 A 作 AEBC, 在 RtABE 中,tanABC= = 3 4,AB5, AE3,BE4, CEBCBE541, 在 RtAEC 中,根据勾股定理得:AC= 32+ 12= 10; (2)DF 垂直平分 BC, BDCD,BFCF= 5 2, tanDBF= = 3 4, DF= 15 8 , 在 RtBFD 中,根据勾股定理得:BD=(5 2) 2+ (15 8 )2= 25

    8、 8 , AD5 25 8 = 15 8 , 则 = 3 5 【点睛】此题考查了解直角三角形,线段垂直平分线的性质,以及等腰三角形的性质,熟练掌握勾股定 理是解本题的关键 5 (2019嘉定区二模)如图,在矩形 ABCD 中,点 E 是边 AB 的中点,EBC 沿直线 EC 翻折,使 B 点落 在矩形 ABCD 内部的点 P 处,联结 AP 并延长 AP 交 CD 于点 F,联结 BP 交 CE 于点 Q (1)求证:四边形 AECF 是平行四边形; (2)如果 PAPE,求证:APBEPC 【答案】证明: (1)由折叠得到 EC 垂直平分 BP, 设 EC 与 BP 交于 Q, BQEQ E

    9、 为 AB 的中点, AEEB, EQ 为ABP 的中位线, AFEC, AEFC, 四边形 AECF 为平行四边形; (2)AFEC, APBEQB90, 由翻折性质EPCEBC90,PECBEC, E 为直角APB 斜边 AB 的中点,且 APEP, AEP 为等边三角形,BAPAEP60, CEPCEB= 18060 2 =60, 在ABP 和EPC 中, = = = , ABPEPC(AAS) 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质,折叠的性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题 的关键 6 (2019宝山区二模)如图,在矩形 ABCD 中,E 是 AB 边的中点,沿 EC 对折矩

    10、形 ABCD,使 B 点落在 点 P 处,折痕为 EC,联结 AP 并延长 AP 交 CD 于 F 点, (1)求证:四边形 AECF 为平行四边形; (2)如果 PAPE,联结 BP,求证:APBEPC 【答案】证明: (1)由折叠得到 EC 垂直平分 BP, 设 EC 与 BP 交于 Q, BQEQ E 为 AB 的中点, AEEB, EQ 为ABP 的中位线, AFEC, AEFC, 四边形 AECF 为平行四边形; (2)AFEC, APBEQB90, 由翻折性质EPCEBC90,PECBEC E 为直角APB 斜边 AB 的中点,且 APEP, AEP 为等边三角形,BAPAEP60

    11、, = = 18060 2 = 60 在ABP 和EPC 中, = = = ABPEPC(AAS) 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质,折叠的性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题 的关键 7 (2019崇明区二模)如图,已知ABC 中,AB6,B30,tan = 3 2 (1)求边 AC 的长; (2)将ABC 沿直线 l 翻折后点 B 与点 A 重合,直线 l 分别与边 AB、BC 相交于点 D、E,求 的值 【答案】解: (1)过 A 作 AHBC,垂足为 H,如图 1 所示: AB6,B30,AHBC, AH3, tanACB= 3 2, CH2, AC= 2+ 2= 32+

    12、 22= 13; (2)由翻折得:BD= 1 2AB3,AEBE,BDE90, cosB= , 3 2 = 3 ,BE23, AE23, EH= 2 2= 3, ECCH+EH2+3, = 23 2:3 =43 6 【点睛】本题考查了翻折变换的性质、含 30角的直角三角形的性质、三角函数、勾股定理等知识;熟 练掌握翻折变换的性质是解决问题的关键 8 (2019青浦区二模)已知:如图,在菱形 ABCD 中,ABAC,点 E、F 分别在边 AB、BC 上,且 AE BF,CE 与 AF 相交于点 G (1)求证:FGCB; (2)延长 CE 与 DA 的延长线交于点 H,求证:BECHAFAC 【

    13、答案】证明: (1)四边形 ABCD 为菱形, ABBC, 而 ABAC, ABBCAC, ABC 为等边三角形, BBAC60, 在ABF 和CAE 中 = = = , ABFCAE(SAS) , BAFACE, FGCGAC+ACGGAC+BAFBAC60, FGCB; (2)如图, 四边形 ABCD 为菱形, BD,ADBC, BCEH, BCEDHC, = , ABFCAE, CEAF CACBCD, = , BECHAFAC 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质:判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共 角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用,寻找相似三角形的一般

    14、方法是通过作平行线构造 相似三角形;同时灵活运用相似三角形的性质进行几何计算也考查了菱形的性质 9 (2019浦东新区二模)已知:如图,在直角梯形 ABCD 中,ADBC,DCBC,ABAD,AMBD, 垂足为点 M,连接 CM 并延长,交线段 AB 于点 N 求证: (1)ABDBCM; (2)BCBNCNDM 【答案】证明: (1)ABAD, ABDADB, ADBC, ADBMBC, ABDMBC, ABAD,AMBD, BMDM, DCBC, BCD90, CMBMDM, MBCBCM, ABDBCM; (2)BNMCNB,NBMNCB, NBMNCB, BN:CNBM:BC, 而 B

    15、MDM, BN:CNDM:BC, BCBNCNDM 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质:在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公 共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用,寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构 造相似三角形灵活运用相似三角形的性质进行几何计算 10 (2019静安区二模)已知:如图 5,在矩形 ABCD 中,过 AC 的中点 M 作 EFAC,分别交 AD、BC 于 点 E、F (1)求证:四边形 AECF 是菱形; (2)如果 CD2BFBC,求BAF 的度数 【答案】 (1)证明:四边形 ABCD 为矩形, ADBC, 12, 点 M 为 AC 的

    16、中点, AMCM 在AME 与CMF 中 1 =2 = = AMECMF(ASA) , MEMF 四边形 AECF 为平行四边形, 又EFAC, 平行四边形 AECF 为菱形; (2)解:CD2BFBC, = , 又四边形 ABCD 为矩形, ABCD, = 又ABFCBA, ABFCBA, 23, 四边形 AECF 为菱形, 14,即134, 四边形 ABCD 为矩形, BAD1+3+490, 即130 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质:在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公 共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用,寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构 造相似

    17、三角形也考查了菱形的判定与性质和矩形的性质 11 (2019虹口区二模)如图,在ABCD 中,AC 与 BD 相交于点 O,过点 B 作 BEAC,联结 OE 交 BC 于点 F,点 F 为 BC 的中点 (1)求证:四边形 AOEB 是平行四边形; (2)如果OBCE,求证:BOOCABFC 【答案】证明: (1)BEAC, COFBFE = 点 F 为 BC 的中点, CFBF, OCBE 四边形 ABCD 是平行四边形, AOCO AOBE BEAC, 四边形 AOEB 是平行四边形 (2)四边形 AOEB 是平行四边形, BAOE OBCE, BAOOBC ACBBCO, COBCBA

    18、 = 四边形 ABCD 是平行四边形, AC2OC 点 F 为 BC 的中点, BC2FC = 即 BOOCABFC 【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质,关键是根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质 解答 12 (2019普陀区二模)已知:如图,在四边形 ABCD 中,ADBC,点 E 在 AD 的延长线上,ACE BCD,EC2EDEA (1)求证:四边形 ABCD 为梯形; (2)如果 = ,求证 AB 2EDBC 【答案】 (1)证明:EC2EDEA = 而EE ECAEDC EACECD 又ACEBCD ACEACDBCDACD 即ECDBCA EACBCA AEBC, AD

    19、BC, 故四边形 ABCD 是梯形 (2)证明:由(1)可知ECAEDC = 即得 = 而由已知 = 可得 = CDAB,即梯形 ABCD 是等腰梯形 BBCD 而BCDEDC BEDC 由(1)知BCAECD ABCEDC = 而 ABCD AB2EDBC 故 AB2EDBC 得证 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质,以及等腰梯形的判定与性质,通过比例式得出对应线 段相等也是证明线段相等的一种方法 13 (2019长宁区二模)如图,平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O,点 E 在边 CB 的延长线上, 且EAC90,AE2EBEC (1)求证:四边形 ABCD 是矩

    20、形; (2)延长 DB、AE 交于点 F,若 AFAC,求证:AEBF 【答案】证明: (1)AE2EBEC = 又AEBCEA AEBCEA EBAEAC 而EAC90 EBAEAC90 又EBA+CBA180 CBA90 而四边形 ABCD 是平行四边形 四边形 ABCD 是矩形 即得证 (2)AEBCEA = 即 = ,EABECA 四边形 ABCD 是矩形 OBOC OBCECA EBFOBCECAEAB 即EBFEAB 又FF EBFBAF = = 而 AFAC BFAE 即 AEBF 得证 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质及矩形的性质,利用三角形的相似进行边与角的转化是

    21、解决本题的关键 14 (2019张店区二模)如图,已知梯形 ABCD 中,ADBC,ABAC,E 是边 BC 上的点,且AED CAD,DE 交 AC 于点 F (1)求证:ABEDAF; (2)当 ACFCAEEC 时,求证:ADBE 【答案】证明: (1)ADBC, DACACB, ABAC, BACB, DAFB, AECAED+DECB+BAE,AEDCADACB, DECBAE, ADBC, DECADF, BAEADF, ABEDAF (2)ACFCAEEC,ACAB, ABFCAEEC, = , BFCE,BAEFEC, BAECEF, = , = , FCEF, FECFCE,

    22、 FCEB, BFEC, ABDE,ADBE, 四边形 ADEB 是平行四边形, ADBE 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质,平行四边形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找 相似三角形解决问题,属于中考常考题型 15 (2019普陀区二模)如图,已知点 D、E 分别在ABC 的边 AB 和 AC 上,DEBC, = 1 3,ADE 的面积等于 3 (1)求ABC 的面积; (2)如果 BC9,且 cotB= 2 3,求AED 的正切值 【答案】解: (1)DEBC, ADEABC, =( ) 2=1 9, SADE3, SABC27 (2)如图,作 AHBC 于 H SABC= 1

    23、2 BCAH27, AH6, cotB= = 2 3, BH4,CH945, DEBC, AEDC, tanAEDtanC= = 6 5 【点睛】 本题考查相似三角形的判定和性质, 解直角三角形等知识, 解题的关键是学会添加常用辅助线, 构造直角三角形解决问题 16 (2019闵行区二模)如图 1,点 P 为MAN 的内部一点过点 P 分别作 PBAM、PCAN,垂足分别 为点 B、C过点 B 作 BDCP,与 CP 的延长线相交于点 DBEAP,垂足为点 E (1)求证:BPDMAN; (2)如果 sin = 310 10 ,AB210,BEBD,求 BD 的长; (3)如图 2,设点 Q

    24、是线段 BP 的中点联结 QC、CE,QC 交 AP 于点 F如果MAN45,且 BE QC,求 的值 【答案】 (1)证明:PBAM,PCAN, PBAPCA90, BAC+PCA+BPC+PBA360, BAC+BPC180, BPD+BPC180, MANBPD; (2)解:BEAP,D90,BEBD, BPDBPE BPEBAC, 在 RtABP 中,由ABP90,BEAP, APBABE, BACABE, sinBACsinABE= = 310 10 , AB210, AE6, BE= 2 2=2, BDBE2; (3)解:过点 B 作 BGAC,垂足为点 G过点 Q 作 QHBD,

    25、 设 BD2a,PC2b, BPDMAN45, DPBD2a, CD2a+2b, 在 RtABG 和 RtBDP 中,BACBPD45, BGAG,DPBD, QHBD,点 Q 为 BP 的中点, PH= 1 2PDaQH= 1 2BDa, CHPH+PCa+2b, BDAC,CDAC,BGAC, BGDC2a+2b AC4a+2b, BEQC,BEAP, CFPBEP90,又ACP90, QCHPAC, ACPQCH, = ,即 2 = 4:2 :2 , 解得,ab, CH3a 由勾股定理得,CQ= 2+ 2= 10a, QHCPFC90,QCHPCF, QCHPFC, = ,即 3 = 1

    26、0 2 , 解得,FC= 310 5 a, QFQCFC= 210 5 a, BEQC,Q 是 PB 的中点, PEEF, PQF 与CEF 面积之比等于高之比, = = 2 3 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义,掌握相似三角形的判定定理和 性质定理是解题的关键 17 (2019闵行区二模)如图,已知四边形 ABCD 是菱形,对角线 AC、BD 相交于点 O,BD2AC过点 A 作 AECD,垂足为点 E,AE 与 BD 相交于点 F过点 C 作 CGAC,与 AE 的延长线相交于点 G求 证: (1)ACGDOA; (2)DFBD2DEAG 【答案】证明: (1

    27、)在菱形 ABCD 中,ADCD,ACBD,OBOD, DACDCA,AOD90, AECD,CGAC, DCA+GCE90,G+GCE90, GDCA, GDAC, BD2AC,BD2OD, ACOD, 在ACG 和DOA 中, = = = ACGDOA(AAS) ; (2)AECD,BDAC, DOCDEF90, 又CDOFDE, CDOFDE, = ,即得 ODDFDECD, ACGDOA, AGADCD, 又OD= 1 2BD, DFBD2DEAG 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定,相似三角形的性质和判定,菱形的性质,能综合运用定 理进行推理是解此题的关键 18 (2019崇明

    28、区二模)如图,在直角梯形 ABCD 中,ABC90,ADBC,对角线 AC、BD 相交于点 O过点 D 作 DEBC,交 AC 于点 F (1)联结 OE,若 = ,求证:OECD; (2)若 ADCD 且 BDCD,求证: = 【答案】证明: (1)ABD90,DEBC, ABDE, = , = , = , OECD; (2)ADBC,ABDE, 四边形 ABED 为平行四边形 又ABD90, 四边形 ABED 为矩形, ADBE,ADE90, 又BDCD, BDCBDE+CDE90,ADEADB+BDE90, CDEADB, ADCD, DACDCA, 在ADO 和CDF 中 = = =

    29、ADOCDF(ASA) , ODDF, ABDE, = = , ADBC, = = , = 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定,相似三角形的性质和判定,直角梯形的性质等知识点,能综合 运用知识点进行推理是解此题的关键 19 (2019黄浦区二模)如图,已知四边形 ABCD,ADBC,对角线 AC、BD 交于点 O,DOBO,过点 C 作 CEAC,交 BD 的延长线于点 E,交 AD 的延长线于点 F,且满足DCEACB (1)求证:四边形 ABCD 是矩形; (2)求证: = 【答案】解: (1)证明ADBC, = , DOBO, ADBC, 四边形 ABCD 是平行四边形, CEAC, A

    30、CD+DCE90, DCEACB, ACB+ACD90,即BCD90, 四边形 ABCD 是矩形; (2)四边形 ABCD 是矩形, ACBD,ADC90, ADBC, = , = = , ADCACF90, = = , = 【点睛】本题主要考查对矩形的性质,成比例的线段性质的理解和掌握,此题难度不大 20 (2019黄浦区二模)已知四边形 ABCD 中,ADBC,ABC2C,点 E 是射线 AD 上一点,点 F 是 射线 DC 上一点,且满足BEFA (1)如图 1,当点 E 在线段 AD 上时,若 ABAD,在线段 AB 上截取 AGAE,联结 GE求证:GE DF; (2)如图 2,当点

    31、 E 在线段 AD 的延长线上时,若 AB3,AD4,cosA= 1 3,设 AEx,DFy,求 y 关于 x 的函数关系式及其定义域; (3)记 BE 与 CD 交于点 M,在(2)的条件下,若EMF 与ABE 相似,求线段 AE 的长 【答案】解: (1)AGAE, = 180 2 ADBC, A+ABC180, ABC2C, = 180 2 , AGEC, ADBC, D+C180,又BGE+AGE180, BGED, BEF+FEDA+GBE, BEFA, FEDGBE, 又 ABAD,AGAE, BGED, GBEDEF(ASA) , GEDF; (2)在射线 AB 上截取 AHAE

    32、,联结 EH, HBEA+AEB,DEFBEF+AEB,又BEFA, HBEDEF ADBC, EDCC,A+ABC180 AHAE, = 180 2 , 又ABC2C, HC, HEDC, BHEEDF, = 过点 H 作 HPAE,垂足为点 P = 1 3,AEAHx, = 1 3 , = 22 3 , = 2 3 , = 23 3 , AB3,AD4,AEx,DFy, ;3 ;4 = 23 3 , = 23283 39 (4); (3)记 EH 与 BC 相交于点 N EMFABE,BEFA, AEBEMF,或AEBEFM, 若AEBEMF,又AEBEMF,矛盾, 此情况不存在, 若AE

    33、BEFM,BHEEDF, BEHEFM, AEBBEH, ADBC, AEBEBC, BEHEBC, BNENBHx3, ADBC, = , 3 = ;3 23 3 , = 23 + 3, 线段 AE 的长为23 + 3 【点睛】本题属于相似三角形综合题,考查了全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质等知 识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题 21 (2019黄浦区一模)如图,在ABC 中,点 D 在边 BC 上,CADB,点 E 在边 AB 上,联结 CE 交 AD 于点 H,点 F 在 CE 上,且满足 CFCECDBC (1)求证:ACFECA

    34、; (2)当 CE 平分ACB 时,求证: = 【答案】 (1)证明:ACDBCA,CADB, ACDBCA, = , AC2CDBC, CFCECDBC, AC2CFCE, = , ACFECA, ACFECA; (2)证明:CFCECDBC, = , DCFECB, CFDCBE, CFDB, CADB, CFDCAD, A,F,D,C 四点共圆, AFCADC, ACFECA, CAEAFC, CAEADC, 当 CE 平分ACB, ACEDCH, ACEDCH, =( ) 2=2 2, AC2CDBC, = 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,角平分线的定义,熟练掌握相似三角形的

    35、判定和性质是 解题的关键 22 (2019长宁区一模)已知锐角MBN 的余弦值为3 5,点 C 在射线 BN 上,BC25,点 A 在MBN 的内 部,且BAC90,BCAMBN过点 A 的直线 DE 分别交射线 BM、射线 BN 于点 D、E点 F 在线段 BE 上(点 F 不与点 B 重合) ,且EAFMBN (1)如图 1,当 AFBN 时,求 EF 的长; (2)如图 2,当点 E 在线段 BC 上时,设 BFx,BDy,求 y 关于 x 的函数解析式并写出函数定义域; (3)联结 DF,当ADF 与ACE 相似时,请直接写出 BD 的长 【答案】解: (1)在 RtABC 中,BAC

    36、90, cosBCAcosMBN= = 3 5 =, 25 = 3 5 AC15 AB= 2 2 =20 SABC= 1 2 ABAC= 1 2 BCAF, AF= 2015 25 =12, AFBC cosEAFcosMBN= 3 5 = AE20 EF= 2 2 =16 (2)如图,过点 A 作 AHBC 于点 H, 由(1)可知:AB20,AH12,AC15, BH= 2 2 =16, BFx, FH16x,CF25x, AF2AH2+FH2144+(16x)2x232x+400, EAFMBN,BCAMBN EAFBCA,且AFCAFC, FAEFCA = ,AEFFAC, AF2FC

    37、EF x232x+400(25x)EF, EF= 232+400 25 BEBF+EF= 4007 25 MBNACB,AEFFAC, BDECFA = 25; = 4007 25 15 y= 4007 15 (0 x 25 2 ) (3)如图,若ADFCEA, ADFCEA, ADFAEC, EAFMBN,EAF+DAF180, DAF+MBN180, 点 A,点 F,点 B,点 D 四点共圆, ADFABF, ADFAECABF, ABAE, BAC90, ABC+ACB90,且ABFAEC,ACBMBNEAF, AEC+EAF90,AEC+MBN90, BDE90AFC, SABC= 1

    38、 2 ABAC= 1 2 BCAF, AF= 2015 25 =12, BF= 2 2 =16, ABAE,AFC90, BE2BF32, cosMBN= = 3 5, BE= 96 5 , 如图,若ADFCAE, ADFCAE, ADFCAE,AFDAEC, ACDF DFBACB,且ACBMBN, MBNDFB, DFBD, EAFMBN,EAF+DAF180, DAF+MBN180, 点 A,点 F,点 B,点 D 四点共圆, ADFABF, CAEABF,且AECAEC, ABECAE = = = 20 15 = 4 3 设 CE3k,AE4k, (k0) BE= 16 3 k, BC

    39、BECE25 k= 75 7 AE= 300 7 ,CE= 225 7 ,BE= 400 7 ACBFAE,AFCAFE, AFCEFA, = = = 15 300 7 = 7 20, 设 AF7a,EF20a, CF= 49 20a, CEEFCF= 351 20 a= 225 7 , a= 1500 7117, EF= 30000 1177, ACDF, = , 15 = 225 7 30000 7117 , DF= 2000 117 , 综上所述:当 BD 为96 5 或2000 117 时,ADF 与ACE 相似 【点睛】本题是相似综合题,考查了相似三角形的判定和性质,勾股定理,锐角三

    40、角函数等知识,灵活 运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键 23 (2019虹口区一模)如图,在ABC 中,ABAC,D 是边 BC 的中点,DEAC,垂足为点 E (1)求证:DECDADCE; (2)设 F 为 DE 的中点,连接 AF、BE,求证:AFBCADBE 【答案】证明: (1)ABAC,D 是边 BC 的中点, ADBC, ADC90, ADE+CDE90 DEAC, CED90, CDE+DCE90, ADEDCE 又AEDDEC90, AEDDEC, = , DECDADCE; (2)ABAC, BDCD= 1 2BC F 为 DE 的中点, DE2DF DECDAD

    41、CE, 2DF1 2BCADCE, = 又BCEADF, BCEADF, = , AFBCADBE 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及余角,解题的关键是: (1)利用 相似三角形的判定定理证出AEDDEC; (2)利用相似三角形的判定定理证出BCEADF 24 (2019浦东新区一模)将大小两把含 30角的直角三角尺按如图 1 位置摆放,即大小直角三角尺的直 角顶点 C 重合,小三角尺的顶点 D、E 分别在大三角尺的直角边 AC、BC 上,此时小三角尺的斜边 DE 恰好经过大三角尺的重心 G已知ACDE30,AB12 (1)求小三角尺的直角边 CD 的长; (2)将

    42、小三角尺绕点 C 逆时针旋转,当点 D 第一次落在大三角尺的边 AB 上时(如图 2) ,求点 B、E 之间的距离; (3)在小三角尺绕点 C 旋转的过程中,当直线 DE 经过点 A 时,求BAE 的正弦值 【答案】解: (1)在 RtABC 中,ACABcos3063,BC6, 由重心的性质得: = 2 3,则 CD43, DE8; (2)连接 BE,过点 C 作 CHAB 交于点 H, BH= 1 2BC3,CHBCsin6033,AH9, HD= 2 2= 21,ADAHHD921, ACDECB, = , ADCBEC, = = 1 3 ,即:AD= 3BE, BE= 3 3 (921

    43、)33 7; (3)如图,当 DE 在 AC 下方时, ADCBEC, BECADCAEB+CEDDCE+DEC90+CED, 即:AEB90, 在 RtABE 中,AE2+BE2AB2, 设:BEx,则 AD= 3x, AB12,AEAD+DE= 3x+8, 即: (3x+8)2+x2122,解得:x42 23, 当 DE 在 AC 上方时, 求得:x42 +23; sinBAE= = 223 6 【点睛】本题是三角形相似综合题,核心是确定图象旋转后的位置,利用相似确定边角关系,此类题目 难度在于作图的准确性 25 (2019普陀区一模)如图,点 O 在线段 AB 上,AO2OB2a,BOP

    44、60,点 C 是射线 OP 上的 一个动点 (1)如图,当ACB90,OC2,求 a 的值; (2)如图,当 ACAB 时,求 OC 的长(用含 a 的代数式表示) ; (3)在第(2)题的条件下,过点 A 作 AQBC,并使QOCB,求 AQ:OQ 的值 【答案】解: (1)如图中,作 CHAB 于 H CHAB, AHCBHC90, ACB90, ACH+BCH90,ACH+A90, BCHA, ACHCBH, = , OC2,COH60, OCH30, OH= 1 2OC1,CH= 3, 3 ;1 = 2:1 3 , 整理得:2a2a40, 解得 a= 1+33 4 或1;33 4 (舍

    45、弃) 经检验 a= 1+33 4 是分式方程的解 a= 1+33 4 (2)如图中,设 OCx作 CHAB 于 H,则 OH= 2,CH= 3 2 x 在 RtACH 中,AC2AH2+CH2, (3a)2( 3 2 x)2+(2a+ 1 2x) 2, 整理得:x2+ax5a20, 解得 x(6 1)a 或(6 1)a(舍弃) , OC(6 1)a, (3)如图1 中,延长 QC 交 CB 的延长线于 K AOCAOQ+QOCABC+OCB,QOCABC, AOQKCO, AQBK, QK, QOAKCO, = , = , KK,KOBAOQKCO, KOBKCO, = , = = (6;1) = 6:1 5 【点睛】本题属于相似形综合题,考查了相似三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是学 会添加常用辅助线,构造相似三角形解决问题,学会利用参数构建方程解决问题,属于中考压轴题 26 (2019宝山区一模)如图,已知:梯形 ABCD 中,ABC90,DAB45,ABDC,DC3, AB5,点 P 在 AB 边上,以点 A 为圆心 AP 为半径作弧交边 DC 于点 E,射线 EP 于射线 CB 交于点 F (1)若 AP= 13,求 DE 的长; (2)联结 CP,若 CPEP,求 AP 的长; (3)线段 CF 上是否存在点 G,使得ADE 与FGE


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