1、专题专题 18 图形的变化之解答题（图形的变化之解答题（2） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一解答题（共一解答题（共 39 小题）小题） 1 （2019宝山区一模）已知：如图，在ABC 中，ABAC，点 E、F 在边 BC 上，EAFB求证： BFCEAB2 【答案】证明：AECB+BAEEAF+BAEBAF， 又ABAC， BC， ABFECA， AB：CEBF：AC， BFECABACAB2 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质注意证得ABFECA 是解此题的关键 2 （2019青浦区二模）如图，在ABC 中，C90，AB 的垂直平分线分别交边 BC、AB 于点 D、E， 联结
2、 AD （1）如果CAD：DAB1：2，求CAD 的度数； （2）如果 AC1，tanB= 1 2，求CAD 的正弦值 【答案】解： （1）CAD：DAB1：2 DAB2CAD 在 RtABC 中，CAD+DAB+DBA90 DE 垂直平分 AB 交边 BC、AB 于点 D、E DABDBA CAD+DAB+DBACAD+2CAD+2CAD90 解得，CAD18 （2）在 RtABC 中，AC1，tanB= = 1 2， BC2 由勾股定理得，AB= 2+ 2= 1 + 22= 5 DE 垂直平分 AB 交边 BC、AB 于点 D、E BEAE= 5 2 DAEDBE 在 RtADE 中 ta
3、nBtanDAE= = 1 2 DE= 5 4 由勾股定理得 AD= 2+ 2=( 5 4 )2+ ( 5 2 )2= 5 4 cosCAD= = 1 5 4 = 4 5 sinCAD= 1 2 =1 (4 5) 2 = 3 5 则CAD 的正弦值为3 5 【点睛】本题主要是应用三角函数定义来解直角三角形，关键要运用锐角三角函数的概念及比正弦和余 弦的基本关系进行解题 3 （2019青浦区二模）如图，一座古塔 AH 的高为 33 米，AH直线 l，某校九年级数学兴趣小组为了测得 该古塔塔刹AB的高， 在直线l上选取了点D， 在D处测得点A的仰角为26.6， 测得点B的仰角为22.8， 求该古塔
4、塔刹 AB 的高 （精确到 0.1 米） 【参考数据： sin26.60.45， cos26.60.89， tan26.60.5， sin22.80.39，cos22.8092，tan22.80.42】 【答案】解：AH直线 l， AHD90， 在 RtADH 中，tanADH= ， DH= 33 26.6 = 33 0.5， 在 RtBDH 中，tanBDH= ， DH= 33 22.8 = 33 0.42 ， 33 0.5 = 33; 0.42 ， 解得：AB5.3m， 答：该古塔塔刹 AB 的高为 5.3m 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确的解直角三角形是解题的关键
5、 4 （2019浦东新区二模）如图 1，一辆吊车工作时的吊臂 AB 最长为 20 米，吊臂与水平线的夹角ABC 最 大为 70，旋转中心点 B 离地面的距离 BD 为 2 米 （1）如图 2，求这辆吊车工作时点 A 离地面的最大距离 AH（参考数据：sin700.94，cos700.34， tan702.75） ； （2）一天，王师傅接到紧急通知，要求将这辆吊车立即开到 40 千米远的某工地，因此王师傅以每小时 比平时快 20 千米的速度匀速行驶，结果提前 20 分钟到达，求这次王师傅所开的吊车速度 【答案】解： （1）根据题意，得 AB20，ABC70，CHBD2， 在 RtACB 中，AC
6、B90， ACABsin70200.9418.8， AH20.8 答：这辆吊车工作时点 A 离地面的最大距离 AH 为 20.8 米； （2）设这次王师傅所开的吊车的速度为每小时 x 千米，由题意，得 40 ;20 40 = 1 3， 解得，x160，x240， 经检验：x160，x240 都是原方程的解，但 x240 符合题意，舍去， 答：这次王师傅所开的吊车的速度为每小时 60 千米 【点睛】本题是解直角三角形与分式方程应用的综合题，主要考查了解直角三角形，列分式方程解应用 题， （1）题的关键是解直角三角形求出 AC， （2）小题的关键是找出等量关系列出分式方程 5 （2019长宁区二模
7、）如图，在 RtABC 中，ACB90，AC4，BC3，点 D 是边 AC 的中点，CF BD，垂足为点 F，延长 CF 与边 AB 交于点 E求： （1）ACE 的正切值； （2）线段 AE 的长 【答案】解： （1）ACB90， ACE+BCE90， 又CFBD， CFB90， BCE+CBD90， ACECBD， AC4 且 D 是 AC 的中点， CD2， 又BC3，在 RtBCD 中，BCD90 tanBCD= = 2 3， tanACEtanCBD= 2 3； （2）过点 E 作 EHAC，垂足为点 H， 在 RtEHA 中，EHA90， tanA= ， BC3，AC4， 在 Rt
8、ABC 中，ACB90， tanA= = 3 4， = 3 4， 设 EH3k，AH4k， AE2EH2+AH2， AE5k， 在 RtCEH 中，CHE90， tanECA= = 2 3， CH= 9 2k， ACAH+CH= 17 2 k4， 解得：k= 8 17， AE= 40 17 【点睛】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：勾股定理，锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性 质是解本题的关键 6 （2019闵行区二模）如图，在ABC 中，ABAC，BC10，cos = 5 13，点 D 是边 BC 的中点， 点 E 在边 AC 上，且 = 2 3，AD 与 BE 相交于点 F求： （1）
9、边 AB 的长； （2） 的值 【答案】解： （1）ABAC，点 D 是边 BC 的中点， ADBC，BDDC= 1 2BC5， 在 RtABD 中，cosABC= = 5 13， AB13； （2）过点 E 作 EHBC，交 AD 与点 H， EHBC， = 2 3， = = 2 3， BDCD， = 2 3， EHBC， = = 2 3 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、解直角三角形、平行线分线段成比例定理，掌握等腰三角形 的三线合一、余弦的定义是解题的关键 7 （2019金山区二模）已知：如图，在 RtABC 中，ACB90，D 是边 AB 的中点，CECB，CD5， sin = 3
10、 5 求： （1）BC 的长 （2）tanE 的值 【答案】解： （1）在 RtABC 中，ACB90，D 是边 AB 的中点； CD= 1 2AB， CD5， AB10， sinABC= = 3 5， AC6 = 2 2= 102 62= 8； （2）作 EHBC，垂足为 H， EHCEHB90 D 是边 AB 的中点， BDCD= 1 2AB，DCBABC， ACB90， EHCACB， EHCACB， = = 由 BC8，CECB 得 CE8，CBECEB， 6 = 8 = 8 10 解得 EH= 24 5 ，CH= 32 5 ，BH8 32 5 = 8 5 tanCBE= =3，即 t
11、anE3 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练运用直角三角函以及三角形相似是解题的关键 8 （2019徐汇区二模）如图，已知O 的弦 AB 长为 8，延长 AB 至 C，且 BC= 1 2AB，tanC= 1 2求： （1）O 的半径； （2）点 C 到直线 AO 的距离 【答案】解： （1）过 O 作 ODAB 于 D，则ODC90， OD 过 O， ADBD， AB8， ADBD4， BC= 1 2AB， BC4， DC4+48， tanC= 1 2 = ， OD4， 在 RtODA 中，由勾股定理得：OA= 2+ 2= 42+ 42=42， 即O 的半径是 42； （2）过 C 作 CE
12、AO 于 E， 则 SAOC= 1 2 = 1 2 ， 即1 2 12 4 = 1 2 42 ， 解得：CE62， 即点 C 到直线 AO 的距离是 62 【点睛】本题考查了垂径定理，三角形的面积公式，勾股定理，解直角三角形等知识点，能求出 AD、 OD 的长度是解此题的关键 9 （2019包头模拟）如图，已知：RtABC 中，ACB90，点 E 为 AB 上一点，ACAE3，BC4， 过点 A 作 AB 的垂线交射线 EC 于点 D，延长 BC 交 AD 于点 F （1）求 CF 的长； （2）求D 的正切值 【答案】解： （1）ACB90， ACFACB90，B+BAC90， ADAB，
13、BAC+CAF90， BCAF， ABCFAC， = ，即 3 = 4 3， 解得 CF= 9 4； （2）如图，过点 C 作 CHAB 于点 H， AC3，BC4， AB5， 则 CH= = 12 5 ， AH= 2 2= 9 5，EHAEAH= 6 5， tanDtanECH= = 1 2 【点睛】本题主要考查解直角三角形与相似三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造与D 相等的角，并熟练掌握相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点 10 （2019黄浦区一模）如图，P 点是某海域内的一座灯塔的位置，船 A 停泊在灯塔 P 的南偏东 53方向 的50海里处， 船B位于船A的正西方向且
14、与灯塔P相距203海里（本题参考数据sin530.80， cos53 0.60，tan531.33 ） （1）试问船 B 在灯塔 P 的什么方向？ （2）求两船相距多少海里？（结果保留根号） 【答案】解： （1）过 P 作 PCAB 交 AB 于 C， 在 RtAPC 中，C90，APC53，AP50 海里， PCAPcos53500.6030 海里， 在 RtPBC 中，PB203，PC30， cosBPC= = 3 2 ， BPC30， 船 B 在灯塔 P 的南偏东 30的方向上； （2）ACAPsin53500.840 海里， BC= 1 2PB103， ABACBC（40103）海里，
15、 答：两船相距（40103）海里 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解方位角的定义，能利用三角函数值计 算有关线段，难度一般 11 （2019东阳市模拟）安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图如图所示已知集热管 AE 与支架 BF 所在直线相交于水箱横截面O 的圆心 O，O 的半径为 0.2 米，AO 与屋面 AB 的夹角为 32，与铅垂 线 OD 的夹角为 40，BFAB，垂足为 B，ODAD，垂足为 D，AB2 米 （1）求支架 BF 的长； （2）求屋面 AB 的坡度 （参考数据：tan18 1 3，tan32 31 50，tan40 21 25） 【答案】解： ：
16、 （1）OAC32，OBAD， tanOAB= =tan32， AB2m， 2 31 50， OB1.24m， O 的半径为 0.2m， BF1.04m； （2）AOD40，ODAD， OAD50， OAC32 CAD18， AB 的坡度为 tan18= 1 3， 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是求出角的度数，利用三角函数的知识 即可求解，难度一般 12 （2019松江区一模）如图，已知ABC 中，ACB90，D 是边 AB 的中点，P 是边 AC 上一动点， BP 与 CD 相交于点 E （1）如果 BC6，AC8，且 P 为 AC 的中点，求线段 BE 的长； （
17、2）联结 PD，如果 PDAB，且 CE2，ED3，求 cosA 的值； （3）联结 PD，如果 BP22CD2，且 CE2，ED3，求线段 PD 的长 【答案】解： （1）P 为 AC 的中点，AC8， CP4， ACB90，BC6， BP213， D 是边 AB 的中点，P 为 AC 的中点， 点 E 是ABC 的重心， BE= 2 3BP= 4 313； （2）如图 1，过点 B 作 BFCA 交 CD 的延长线于点 F， = = ， BDDA， FDDC，BFAC， CE2，ED3，则 CD5， EF8， = = 2 8 = 1 4， = 1 4， = 1 3， 设 CPk，则 PA3
18、k， PDAB，D 是边 AB 的中点， PAPB3k BC22k， AB26k， AC4k， cosA= 6 3 ； （3）ACB90，D 是边 AB 的中点， CDBD= 1 2AB， PB22CD2， BP22CDCDBDAB， PBDABP， PBDABP， BPDA， ADCA， DPEDCP， PDECDP， DPEDCP， PD2DEDC， DE3，DC5， PD= 15 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键 13 （2019松江区一模）如图，已知ABC 中，ABAC5，cosA= 3 5求底边 BC 的长 【答案】解：过点 B
19、 作 BDAC，垂足为点 D， 在 RtABD 中，cosA= ， cosA= 3 5，AB5， ADABcosA5 3 5 =3， BD= 2 2=4， ACAB5， DC2， BC= 2+ 2=25 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键 14 （2019靖江市一模）2018 年首届“进博会”期间，上海对周边道路进行限速行驶道路 AB 段为监测 区，C、D 为监测点（如图） 已知 C、D、B 在同一条直线上，且 ACBC，CD400 米，tanADC2， ABC35 （1）求道路 AB 段的长； （精确到 1 米） （2）如果 AB 段限速
20、为 60 千米/时，一辆车通过 AB 段的时间为 90 秒，请判断该车是否超速，并说明理 由 （参考数据：sin350.57358，cos350.8195，tan350.7） 【答案】解： （1）ACBC， C90， tanADC= =2， CD400， AC800， 在 RtABC 中，ABC35，AC800， AB= 35 = 800 0.57358 1395 米； （2）AB1395， 该车的速度= 1395 90 =55.8km/h60 千米/时， 故没有超速 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是掌握三角函数定义 15 （2019松江区一模）某数学社团成员想利用所学的知识测
21、量某广告牌的宽度（图中线段 MN 的长） ，直 线 MN 垂直于地面，垂足为点 P在地面 A 处测得点 M 的仰角为 58、点 N 的仰角为 45，在 B 处测 得点 M 的仰角为 31，AB5 米，且 A、B、P 三点在一直线上请根据以上数据求广告牌的宽 MN 的 长 （参考数据：sin580.85，cos580.53，tan581.60，sin310.52，cos310.86，tan31 0.60 ） 【答案】解：在 RtAPN 中，NAP45， PAPN， 在 RtAPM 中，tanMAP= ， 设 PAPNx， MAP58， MPAPtanMAP1.6x， 在 RtBPM 中，tanM
22、BP= ， MBP31，AB5， 0.6= 1.6 5+， x3， MNMPNP0.6x1.8（米） ， 答：广告牌的宽 MN 的长为 1.8 米 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据已知直角三角形得出 AP 的长是解 题关键 16 （2019濉溪县二模）如图 1 是小区常见的漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，就 会带动踏板连杆绕轴旋转，如图 2，从侧面看，立柱 DE 高 1.8 米，踏板静止时踏板连杆与 DE 上的线段 AB 重合，BE 长为 0.2 米，当踏板连杆绕着点 A 旋转到 AC 处时，测得CAB37，此时点 C 距离地面 的高度 CF 为 0
23、.45 米，求 AB 和 AD 的长（参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75） 【答案】解：过点 C 作 CGAB 于 G， 则四边形 CFEG 是矩形， EGCF0.45， 设 ADx， AE1.8x， ACABAEBE1.6x，AGAECF1.35x， 在 RtACG 中，AGC90，CAG37， cosCAG= = 1.35 1.6 =0.8， 解得：x0.35， AD0.35 米，AB1.25 米， 答：AB 和 AD 的长分别为 1.25 米，0.35 米 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键 17 （2019随县
24、模拟）如图是某品牌自行车的最新车型实物图和简化图，它在轻量化设计、刹车、车篮和 座位上都做了升级 A 为后胎中心， 经测量车轮半径 AD 为 30cm， 中轴轴心 C 到地面的距离 CF 为 30cm， 座位高度最低刻度为 155cm，此时车架中立管 BC 长为 54cm，且BCA71 （参考数据：sin71 0.95，cos710.33，tan712.88） （1）求车座 B 到地面的高度（结果精确到 1cm） ； （2）根据经验，当车座 B到地面的距离 BE为 90cm 时，身高 175cm 的人骑车比较舒适，此时车架中立 管 BC 拉长的长度 BB应是多少？（结果精确到 1cm） 【答案
25、】解： （1）设 AC 于 BE 交于 H， ADl，CFl，HEl， ADCFHE， AD30cm，CF30cm， ADCF， 四边形 ADFC 是平行四边形， ADF90， 四边形 ADFC 是矩形， HEAD30cm， BC 长为 54cm，且BCA71， BHBCsin7151.3cm， BEBH+EHBH+AD51.3+3081cm； 答：车座 B 到地面的高度是 81cm； （2）如图所示，BE96.8cm，设 BE与 AC 交于点 H，则有 BHBH， BHCBHC，得 = 即90;30 51 = 54 ， BC63cm 故 BBBCBC63549（cm） 车架中立管 BC 拉长
26、的长度 BB应是 9cm 【点睛】本题考查了相似三角形的应用、切线的性质解解直角三角形的应用，解题的难点在于从实际问 题中抽象出数学问题，难度较大 18 （2019徐汇区校级一模）如图，某小区 A 栋楼在 B 栋楼的南侧，两楼高度均为 90m，楼间距为 MN春 分日正午，太阳光线与水平面所成的角为 55.7，A 栋楼在 B 栋楼墙面上的影高为 DM；冬至日正午， 太阳光线与水平面所成的角为 30，A 栋楼在 B 栋楼墙面上的影高为 CM已知 CD44.5m （1）求楼间距 MN； （2）若 B 号楼共 30 层，每层高均为 3m，则点 C 位于第几层？（参考数据：tan300.58，sin55
27、.7 0.83，cos55.70.56，tan55.71.47） 【答案】解： （1）过点 P 作 PEMN，交 B 栋楼与点 E， 则四边形 PEMN 为矩形 EPMN 由题意知：EPD55.7 EPC30 在 RtECP 中，ECtanEPCEP tan30EP= 3 3 EP0.58EP， 在 RtEDP 中，EDtanEPDEP tan55.7EP1.47EP， CDEDEC， 1.47EP0.58EP44.5 EPMN50（m） 答：楼间距 MN 为 50m （2）EC0.58EP 0.585029（m） CM902961（m） 61320.321（层） 答：点 C 位于第 21 层
28、 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用 解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型， 把实际问题转化为数学问题 19 （2019浦东新区一模） “雪龙”号考察船在某海域进行科考活动，在点 A 处测得小岛 C 在它的东北方向 上， 它沿南偏东 37方向航行 2 海里到达点 B 处， 又测得小岛 C 在它的北偏东 23方向上 （如图所示） ， 求“雪龙”号考察船在点 B 处与小岛 C 之间的距离 （参考数据：sin220.37，cos220.93，tan220.40，2 1.4，3 1.7） 【答案】解：过点 A 作 AMBC，垂足为 M 由题意知：AB2 海里，NACCAE45， S
29、AB37，DBC23， SAB37，DBAS， DBA37，EAB90SAB53 ABCABD+DBC37+2360， CABEAB+CAE53+4598 C180CABABC180986022 在 RtAMB 中，AB2 海里，ABC60， BM1 海里，AM= 3海里 在 RtAMC 中，tanC= ， CM= 22 3 0.40 1.7 0.40 =4.25（海里） CBCM+BM4.25+15.25（海里） 答： “雪龙”号考察船在点 B 处与小岛 C 之间的距离为 5.25 海里 【点睛】 本题主要考查了解直角三角形的应用方向角问题 解决本题的关键是作垂线构造直角三角形， 利用直角三
30、角形的边角间关系求解 20 （2019宝山区一模）地铁 10 号线某站点出口横截面平面图如图所示，电梯 AB 的两端分别距顶部 9.9 米和 2.4 米，在距电梯起点 A 端 6 米的 P 处，用 1.5 米的测角仪测得电梯终端 B 处的仰角为 14，求电 梯 AB 的坡度与长度 参考数据：sin140.24，tan140.25，cos140.97 【答案】解：作 BCPA 交 PA 的延长线于点 C，作 QDPC 交 BC 于点 D， 由题意可得，BC9.92.47.5 米，QPDC1.5 米，BQD14， 则 BDBCDC7.51.56 米， tanBQD= ， tan14= 6 6+，
31、即 0.25= 6 6+， 解得，ED18， ACED18， BC7.5， tanBAC= = 7.5 18 = 5 12， 即电梯 AB 的坡度是 5：12， BC7.5，AC18，BCA90， AB=752+ 182=19.5， 即电梯 AB 的坡度是 5：12，长度是 19.5 米 【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意， 利用锐角三角函数和数形结合的思想解答 21 （2019青浦区一模）如图，在港口 A 的南偏东 37方向的海面上，有一巡逻艇 B，A、B 相距 20 海里， 这时在巡逻艇的正北方向及港口 A 的北偏东 67方向上，有一渔船
32、 C 发生故障得知这一情况后，巡逻 艇以 25 海里/小时的速度前往救援，问巡逻艇能否在 1 小时内到达渔船 C 处？ （参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75，sin67 12 13，cos67 5 13，tan67 12 5 ） 【答案】解：过点 A 作 AHBC，垂足为点 H 由题意，得ACH67，B37，AB20 在 RtABH 中， sinB= ，AHABsinB20sin3712， cosB= ，BHABcosB20cos3716， 在 RtACH 中， tanACH= = ， CH= = 12 67 5， BCBH+CH，BC16+521 21251
33、， 所以，巡逻艇能在 1 小时内到达渔船 C 处 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是将一般三角形的问题一般可以转化为解直 角三角形的问题，解决的方法就是作高线 22 （2019寿光市模拟）某学生为测量一棵大树 AH 及其树叶部分 AB 的高度，将测角仪放在 F 处测得大树 顶端 A 的仰角为 30，放在 G 处测得大树顶端 A 的仰角为 60，树叶部分下端 B 的仰角为 45，已知 点 F、G 与大树底部 H 共线，点 F、G 相距 15 米，测角仪高度为 1.5 米求该树的高度 AH 和树叶部分 的高度 AB 【答案】解：由题意可得， AEC30，ADC60，BDC45，
34、CHDGEF1.5 米，FGED15 米， ADCAED+EAD， EAD30， EADAED， EDAD， AD15 米， ADC60，ACD90， DAC30， DC= 15 2 米，AC= 153 2 米， AHAC+CH= 153 2 + 3 2 = 153+3 2 米， BDC45，BCD90， DBC45， BDCDBC， BCCD= 15 2 米， ABACBC= 153 2 15 2 = 15315 2 米， 即 AH= 153+3 2 米，AB= 15315 2 米 【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三 角函数和数形结合的思
35、想解答 23 （2019静安区一模）计算：2 260;60 260:445 【答案】解：原式= 2( 3 2) 21 2 (3)2+42 2 = 1 3+22 = 322 (3+22)(322) 322 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键 24 （2019射阳县一模） “滑块铰链”是一种用于连接窗扇和窗框，使窗户能够开启和关闭的连杆式活动链 接装置（如图 1） 图 2 是“滑块铰链”的平面示意图，滑轨 MN 安装在窗框上，悬臂 DE 安装在窗扇上， 支点 B、C、D 始终在一条直线上，已知托臂 AC20 厘米，托臂 BD40 厘米，支点 C，D 之间的距离 是
36、 10 厘米，张角CAB60 （1）求支点 D 到滑轨 MN 的距离（精确到 1 厘米） ； （2）将滑块 A 向左侧移动到 A， （在移动过程中，托臂长度不变，即 ACAC，BCBC）当张 角CAB45时， 求滑块 A 向左侧移动的距离 （精确到 1 厘米） （备用数据： 2 1.41， 3 1.73， 6 2.45，7 2.65） 【答案】解： （1）过 C 作 CGAB 于 G，过 D 作 DHAB 于 H， AC20，CAB60， AG= 1 2AC10，CG= 3AG103， BCBDCD30， CGAB，DHAB， CGDH， BCGBDH， = ， 30 40 = 103 ， D
37、H= 403 3 23（厘米） ； 支点 D 到滑轨 MN 的距离为 23 厘米； （2）过 C作 CSMN 于 S， ACAC20，CAS45， ASCS102， BS= 2 2=107， AB102 +107， BG= 2 2=106， AB10+106， AAABAB6（厘米） ， 滑块 A 向左侧移动的距离是 6 厘米 【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理、相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活 运用所学知识解决问题 25 （2019闵行区一模）如图，某公园内有一座古塔 AB，在塔的北面有一栋建筑物，某日上午 9 时太阳光 线与水平面的夹角为 32，此时塔在建筑物的墙上留
38、下了高 3 米的影子 CD中午 12 时太阳光线与地面 的夹角为 45，此时塔尖 A 在地面上的影子 E 与墙角 C 的距离为 15 米（B、E、C 在一条直线上） ，求 塔 AB 的高度 （结果精确到 0.01 米） 参考数据：sin320.5299，cos320.8480，tan320.6249，2 1.4142 【答案】解：过点 D 作 DHAB，垂足为点 H， 由题意，得 HBCD3，EC15，HDBC，ABCAHD90， ADH32， 设 ABx，则 AHx3， 在 RtABE 中，由AEB45，得 tanAEBtan45= EBABxHDBCBE+ECx+15， 在 RtAHD 中
39、，由AHD90，得 tanADH= ， 即得 tan32= 3 +15， 解得：x= 1532+3 132 32.99 塔高 AB 约为 32.99 米 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关 键 26 （2019嘉定区一模）计算：2|1sin60|+ 45 30245 【答案】解：2|1sin60|+ 45 30245 2（1 3 2 ）+ 1 322 2 23 + 1 32 23 + 3 + 2 2+2 【点睛】本题考查了特殊角三角函数值、实数的混合运算；熟记特殊角三角函数值是解题关键 27 （2019无锡一模）某小区开展了“行车安全，方
40、便居民”的活动，对地下车库作了改进如图，这小 区原地下车库的入口处有斜坡 AC 长为 13 米，它的坡度为 i1：2.4，ABBC，为了居民行车安全，现 将斜坡的坡角改为 13，即ADC13（此时点 B、C、D 在同一直线上） （1）求这个车库的高度 AB； （2）求斜坡改进后的起点 D 与原起点 C 的距离（结果精确到 0.1 米） （参考数据：sin130.225，cos130.974，tan130.231，cot134.331） 【答案】解： （1）由题意，得：ABC90，i1：2.4， 在 RtABC 中，i= = 5 12， 设 AB5x，则 BC12x， AB2+BC2AC2， A
41、C13x， AC13， x1， AB5， 答：这个车库的高度 AB 为 5 米； （2）由（1）得：BC12， 在 RtABD 中，cotADC= ， ADC13，AB5， DB5cot1321.655（m） ， DCDBBC21.655129.6559.7（米） ， 答：斜坡改进后的起点 D 与原起点 C 的距离为 9.7 米 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定 义是解题的关键 28 （2019虹口区一模）计算：2 230;30 260;445 【答案】解：原式= 2(3 2) 21 2 (3)242 2 = 23 4 1 2 322 =
42、 1 322 3+22 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键 29 （2019金山区一模）计算：cos245 30 260 +tan260cot45sin30 【答案】解：原式（ 2 2 ）2 3 2 3 2 +（3）21 1 2 = 1 2 1+3 1 2 2 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键 30 （2019长宁区一模）计算：3260+ 30 4530 【答案】解：原式= 3 （ 3 3 ）2+ 1 2 2 2 3 2 = 3 1 3 + 1 23 = 3 3 （2 + 3） = 2 23 3 【点睛】此题主要考查了特殊角
43、的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键 31 （2019崇明区一模）计算：cos245 30 230 +cot30sin60 【答案】解：原式（ 2 2 ）2 3 3 2 3 2 + 3 3 2 = 1 2 1 3 + 3 2 = 5 3 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键 32 （2019普陀区一模）如图，小山的一个横断面是梯形 BCDE，EBDC，其中斜坡 DE 的坡长为 13 米， 坡度 i1：2.4，小山上有一座铁塔 AB，在山坡的坡顶 E 处测得铁塔顶端 A 的仰角为 45，在与山坡的 坡底 D 相距 5 米的 F 处测得铁塔顶端 A 的仰角为 3
44、1（点 F、D、C 在一直线上） ，求铁塔 AB 的高度 （参考数值：sin310.52，cos310.86，tan310.6） 【答案】解：延长 AB 交 DC 于 G，过 E 作 EHCD 于 H， 则四边形 EHGB 是矩形， 斜坡 DE 的坡长为 13 米，坡度 i1：2.4， 设 EH5x，DH12x， EH2+DH2DE2， （5x）2+（12x）2132， x1， EH5，DH12， EBDC， ABEAGH90， AEB45， ABBE， HGAB， FG5+12+AB，AGAB+5， F31， tanFtan31= = +5 17+ =0.6， AB13 米， 答：铁塔 AB
45、 的高度是 13 米 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解直角三角形的应用坡度坡角问题，矩形 的性质，掌握的作出辅助线是解题的关键 33（2019长宁区一模） 如图， 小明站在江边某瞭望台DE的顶端D处， 测得江面上的渔船A的俯角为40 若 瞭望台 DE 垂直于江面， 它的高度为 3 米， CE2 米， CE 平行于江面 AB， 迎水坡 BC 的坡度 i1： 0.75， 坡长 BC10 米 （参考数据：sin400.64，cos400.77，tan400.84，cot401.19） （1）求瞭望台 DE 的顶端 D 到江面 AB 的距离； （2）求渔船 A 到迎水坡 BC 的底
46、端 B 的距离 （结果保留一位小数） 【答案】解： （1）延长 DE 交 AB 于点 F，过点 C 作 CGAB，垂足为点 G， 由题意可知 CEGF2，CGEF 在 RtBCG 中，BGC90， i= = 1 0.75 = 4 3， 设 CG4k，BG3k，则 BC= 2+ 2=5k10， k2， BG6，CGEF8， DE3，DFDE+EF3+811（米） ， 答：瞭望台 DE 的顶端 D 到江面 AB 的距离为 11 米； （2）由题意得A40， 在 RtADF 中，DFA90， cotA= ， 11 1.19， AF111.1913.09（m） ， ABAFBGGF5.095.1（米）
47、 ， 答：渔船 A 到迎水坡 BC 的底端 B 的距离为 5.1 米 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键 34 （2019黄浦区一模）计算：2cos245+ 60 45+30 tan45 【答案】解：原式2（ 2 2 ）2+ 3 1+ 3 2 1 2 1 2 + 23 2+3 1 1+ 23(23) (2+3)(23) 1 43 6 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键 35 （2019宝山区一模）计算：sin30tan30+cos60cot30 【答案】解：原式= 1 2 3 3 + 1 2 3 = 2 33 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键 36 （2019金山区一模）如图，已知某水库大坝的横断面是梯形 ABCD，坝顶宽 AD 是 6 米，坝高 24 米， 背水坡 AB 的坡度为 1：3，迎水坡 CD 的坡度
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