1、2021 年河南省郑州市中考数学模拟试卷年河南省郑州市中考数学模拟试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的 1 （3 分）2021 的绝对值是（ ） A2021 B C2021 D 2 （3 分）如下摆放的几何体中，主视图与左视图不同的是（ ） A B C D 3 （3 分）小颖、小明和小亮三名同学准备调查郑州市市区老年人的健康状况，他们各自设计了如下的调查 方案： 小颖：我准备在公园里调查 100 名老年人的健康状况 小明：我准备在医院里调查 100 名老年人的健康状况
2、 小亮：我准备利用派出所的户籍网随机抽出 100 名老年人，调查他们的健康状况 小颖、小明和小亮三人中，能较好地获得市区老年人健康状况的方案是（ ） A小颖 B小明 C小亮 D小明和小亮 4 （3 分）一个等腰直角三角板和一把直尺按如图所示方式放置若260，则1 的度数为（ ） A60 B75 C45 D105 5 （3 分）2020 年 10 月份，社会消费品零售总额 38576 亿元，同比增长 4.3%，增速比上月加快 1.0 个百分 点将数据“38576 亿”用科学记数法表示为（ ） A3.85761012 B38.5761011 C0.385761013 D3.85761013 6 （
3、3 分）若 A（2，y1） ，B（1，y2） ，C（2，y3）为二次函数x2+2x+2 的图象上的三点，则 y1，y2， y3的大小关系 是（ ） Ay1y2y3 By1y3y2 Cy2y1y3 Dy3y1y2 7 （3 分）定义新运算“a*b” ：对于任意实数 a，b，都有 a*ba2+b22ab2，其中等式右边是通常的加 法、减法、乘法运算，例如：5*652+6225621若方程 x*kxk（k 为实数）是关于 x 的方 程，则方程的根的情况为（ ） A只有一个实数根 B有两个相等的实数根 C有两个不相等的实数根 D没有实数根 8 （3 分）绿水青山就是金山银山某工程队承接了 100 万平
4、方米的荒山绿化工程，由于情况有变设原 计划每天绿化的面积为 x 万平方米， 列方程为20， 根据方程可知省略的部分是 （ ） A实际工作时每天的工作效率比原计划提高了 10%，结果提前 20 天完成了这一任务 B实际工作时每天的工作效率比原计划提高了 10%，结果延误 20 天完成了这一任务 C实际工作时每天的工作效率比原计划降低了 10%，结果延误 20 天完成了这一任务 D实际工作时每天的工作效率比原计划降低了 10%，结果提前 20 天完成了这一任务 9 （3 分） 如图， 在 RtABC 中， ACB90， tanBAC， 边 AC 在 x 轴上， 点 A 的坐标为 （2， 0） ，
5、矩形 CDEF 的顶点 F 与点 O 重合，顶点 D 在边 BC 上，且点 D 的坐标为（2，1） ，将矩形 CDEF 沿 x 轴 向左平移，当点 D 落在 AB 边上时，点 E 的坐标为（ ） A （） B （） C （） D （5，1） 10 （3 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，O 与 x 轴交于 A，B 两点，C 为O 上一点，且点 C 的坐 标为（1，） 现按以下步骤作图：以点 O 为圆心，适当的长为半径作弧，分别交 OC，OA 于点 D， E；分别以点 D，E 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在COA 内交于点 F，作射线 OF，交 O 于点 G；以点 C 为圆心，C 的
6、长为半径作弧，交弧 BC 于点 H，连接 OH，HG，则HOG 的面积 为（ ） A1 B2 C2 D3 二、填空题（每小题共二、填空题（每小题共 3 分，共分，共 15 分）分） 11 （3 分）请写出一个大于且小于 3 的无理数 12（3 分） 已知不等式组的解集在数轴上表示如图， 写出满足条件的一个 m 的值 13 （3 分）乐乐和聪聪在玩一个正六边形的转盘游戏，如图是一个正六边形转盘，转盘被分成六个面积相 等的等边三角形区域，固定指针，转动转盘两次，任其自由停止（指针指向分界线时，不计，重转） 若 两次指针所指数字之和小于 8，则乐乐获胜；若两次指针所指数字之和大于或等于 8，则聪聪获
7、胜那么 在这次游戏中，聪聪获胜的概率为 14 （3 分）如图，在扇形 CBA 中，ACB90，连接 AB，以 BC 为直径作半圆，交 AB 于点 D若阴影 部分的面积为（1） ，则阴影部分的周长为 15 （3 分）如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，P 是 AB 边上一动点（不与点 A，B 重合） ，连接 PD，过 点 B 作 BMPD 交 DP 的延长线于点 M，连接 AM，过点 A 作 ANAM 交 PD 于点 N，连接 BN，CN， 则BNC 面积的最小值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 75 分）分） 16 （8 分）先化简，再求值：，其中 x
8、 17 （9 分）2021 年伊始，伴随着气温的降低和新型冠状病毒的变异，疫情防控的压力越来越大某中学针 对此情况， 决定加强学生们对新型冠状病毒的认识， 组织八、 九年级全体学生参加了一次防疫知识测试 现 从八年级和九年级中各随机抽取 20 名学生的测试成绩（单位：分）进行整理、分析，过程如下： 【收集数据】 八年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77 九年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41 【整理数据】整理以上数据，得到
9、测试成绩的频数分布表 成绩年级 40 x 49 50 x 59 60 x 69 70 x 79 80 x 89 90 x 100 八年级 0 1 0 a 7 1 九年级 1 0 0 7 10 2 【分析数据】根据以上数据，得到以下统计量 平均数 众数 中位数 八年级 78 b 78 九年级 78 81 c （1）填空：a ，b ，c （2）结合如表中的统计量，你认为哪个年级的学生防疫知识掌握得较好？请说明理由 （3） 该校八、 九年级共有 1200 名学生， 请你估计八、 九年级防疫知识测试成绩不低于 80 分的学生人数 18 （9 分）黄河中下游分界碑，矗立在河南省荥阳市广武镇桃花峪的三皇山
10、上（东经 11327，北纬 34 58） 界碑四面玲珑旋梯联接，外部呈 H 体形（意示“黄河”汉语拼音首个字母） ，基座高 2m，四面 台阶玉栏护侍，碑身南北闻隙弋矢一线界碑伟岸雄姿，高耸入云，堪称全国之最某校数学社团的同 学们使用卷尺和自制的测角仪测量界碑的高度，如图所示，他们在地面一条水平步道上架设测角仪，先 在点 M 处测得界碑最高点 A 的仰角为 30，然后前进 15.7m 到达点 N 处，测得点 A 的仰角为 45，测 角仪的高度为 1.5m求界碑 AD 的高度 （结果精确到 0.1m参考数据：1.41，1.73） 19 （8 分）每年农历秋分是中国农民丰收节，小明准备和爸爸妈妈一起
11、去郊区葡萄园采摘葡萄，享受丰收 的快乐出发之前，小明在网络上查找了相关资讯，发现甲葡萄园给出的公开信息是：每个家庭 40 元的 门票，采摘价格每千克 30 元；乙葡萄园给出的公开信息是：不要门票，不超过 3 千克的，采摘按一定的 价格收费，超过 3 千克的，超过部分在原价的基础上打折优惠小明为了弄明白情况，询问了去过乙葡 萄园的小颖和小亮小颖说，我们摘了 2 千克，付费 100 元；小亮说，我们摘了 6 千克，付费 225 元 （1）设小明一家准备采摘葡萄 x 千克，去甲葡萄园需要付费 y1元，去乙葡萄园需要付费 y2元，请分别 求出 y1与 y2关于 x 的函数关系式； （2）小明家离甲葡萄
12、园较近，想去甲葡萄园采摘葡萄，请你分析计算当小明家采摘葡萄的质量 x 满足什 么范围时，去甲葡萄园采摘更合算 20 （10 分）复习巩固 切线：直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切，我们把这条直线叫做圆的切线，这个点叫做 切点 割线：直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交，我们把这条直线叫做圆的割线 切线长：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长 阅读材料 几何原本是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五 大公设， 被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书 其中第三卷命题 362 圆幂定理 （切 割线定理）内
13、容如下： 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证” ，请补充 完整，并写出证明过程 已知：如图，A 是O 外一点， 求证： 证明： 21 （10 分）如图，已知直线 BC 的解析式为 yx+3，与 x 轴，y 轴交于点 B，C抛物线 yax2+bx+3 过 A（1，0） ，B，C 三点，D 点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与 x 轴交于点 E，连接 BD，CD （1）求二次函数及直线 CD 的解析式； （2）点 P 是线段 CD 上一点（不与点 C，D 重合）
14、，当BCP 的面积为时，求点 P 的坐标 （3）点 F 是抛物线上一点，过点 F 作 FGCD 交直线 CD 于点 G，当CFGEDB 时，请直接写出 点 F 的坐标 22 （10 分）小明在学习中遇到这样一个问题 如图，已知线段 AC2cm，AB6cm，点 P 是线段 AB 上由点 A 向点 B 移动的一动点（不与点 A，B 重 合） ，连接 CP，过点 B 作 BDAC 交射线 CP 于点 D当 BD2AP 时，求 AP 长度的取值范围 小明尝试结合学习函数的经验解决此问题请将下面的探究过程补充完整： （1）设 APxcm，BDycm，用含 x 的代数式表示 y： ，其中自变量 x 的取值
15、范 围为 （2）x，y 的几组对应值如表所示 x/cm 1 2 3 4 5 6 y/cm 10 4 2 1 0.4 0 请你根据表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中，通过描点、连线，画出 y 与 x 的函数图象 （3）结合画出的函数图象，解决问题：当 BD2AP 时，AP 的取值范围为 23 （11 分）如图 1，在 RtABC 中，BAC90，ACB60，AC2，点 A1，B1为边 AC，BC 的中 点，连接 A1B1，将A1B1C 绕点 C 逆时针旋转 （0360） （1）如图 1，当 0时， ，BB1，AA1所在直线相交所成的较小夹角的度数为 （2） 将A1B1C 绕点 C 逆时针旋转
16、至图 2 所示位置时，（1） 中结论是否仍然成立？若成立， 请给出证明； 若不成立，请说明理由 （3）当A1B1C 绕点 C 逆时针旋转至 A1，B1，B 三点共线时，请直接写出线段 BB1的长 2021 年河南省郑州市中考数学模拟试卷年河南省郑州市中考数学模拟试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的 1 （3 分）2021 的绝对值是（ ） A2021 B C2021 D 【解答】解：负数的绝对值等于它的相反数， 2021 的绝对值
17、为 2021 故选：C 2 （3 分）如下摆放的几何体中，主视图与左视图不同的是（ ） A B C D 【解答】解：A、主视图和左视图都是等腰三角形，故选项不符合题意； B、主视图和左视图是长方形，故本选项不合题意； C、主视图是一行两个矩形，左视图是一个矩形，故本选项符合题意； D、主视图和左视图是正方形，故本选项不合题意； 故选：C 3 （3 分）小颖、小明和小亮三名同学准备调查郑州市市区老年人的健康状况，他们各自设计了如下的调查 方案： 小颖：我准备在公园里调查 100 名老年人的健康状况 小明：我准备在医院里调查 100 名老年人的健康状况 小亮：我准备利用派出所的户籍网随机抽出 10
18、0 名老年人，调查他们的健康状况 小颖、小明和小亮三人中，能较好地获得市区老年人健康状况的方案是（ ） A小颖 B小明 C小亮 D小明和小亮 【解答】解：为确保抽取的样本的广泛性、代表性和可靠性可知， 小亮的做法较好， 故选：C 4 （3 分）一个等腰直角三角板和一把直尺按如图所示方式放置若260，则1 的度数为（ ） A60 B75 C45 D105 【解答】解：如图所示， ABCD，260， 3260， 445， 11803475， 故选：B 5 （3 分）2020 年 10 月份，社会消费品零售总额 38576 亿元，同比增长 4.3%，增速比上月加快 1.0 个百分 点将数据“3857
19、6 亿”用科学记数法表示为（ ） A3.85761012 B38.5761011 C0.385761013 D3.85761013 【解答】解：38576 亿3.85761012， 故选：A 6 （3 分）若 A（2，y1） ，B（1，y2） ，C（2，y3）为二次函数x2+2x+2 的图象上的三点，则 y1，y2， y3的大小关系 是（ ） Ay1y2y3 By1y3y2 Cy2y1y3 Dy3y1y2 【解答】解：对称轴为直线 x1， 且 a10， A 到对称轴直线 x1 的距离为 1， B 到对称轴直线 x1 的距离为 0， C 到对称轴直线 x1 的距离为 3， 013， 根据抛物线开
20、口向上，离对称轴越近，函数值越小， y2y1y3 故选：C 7 （3 分）定义新运算“a*b” ：对于任意实数 a，b，都有 a*ba2+b22ab2，其中等式右边是通常的加 法、减法、乘法运算，例如：5*652+6225621若方程 x*kxk（k 为实数）是关于 x 的方 程，则方程的根的情况为（ ） A只有一个实数根 B有两个相等的实数根 C有两个不相等的实数根 D没有实数根 【解答】解：x*kx2+k22xk2， 关于 x 的方程 x*kxk（k 为实数）化为 x2+k22xk2xk， 整理为 x23kx+k220， （3k）24（k22）k2+80， 方程有两个不相等的实数根 故选：
21、C 8 （3 分）绿水青山就是金山银山某工程队承接了 100 万平方米的荒山绿化工程，由于情况有变设原 计划每天绿化的面积为 x 万平方米， 列方程为20， 根据方程可知省略的部分是 （ ） A实际工作时每天的工作效率比原计划提高了 10%，结果提前 20 天完成了这一任务 B实际工作时每天的工作效率比原计划提高了 10%，结果延误 20 天完成了这一任务 C实际工作时每天的工作效率比原计划降低了 10%，结果延误 20 天完成了这一任务 D实际工作时每天的工作效率比原计划降低了 10%，结果提前 20 天完成了这一任务 【解答】 解： 设原计划每天绿化的面积为 x 万平方米， 则 （1+10
22、%） x 为提高工作效率后的工作效率， 为原工作时间，为提高工作效率后所需工作时间， 所列方程为20， 提高工作效率后比原计划提前 20 天完成这一任务 省略的部分是：实际工作时每天的工作效率比原计划提高了 10%，结果提前 20 天完成了这一任务 故选：A 9 （3 分） 如图， 在 RtABC 中， ACB90， tanBAC， 边 AC 在 x 轴上， 点 A 的坐标为 （2， 0） ， 矩形 CDEF 的顶点 F 与点 O 重合，顶点 D 在边 BC 上，且点 D 的坐标为（2，1） ，将矩形 CDEF 沿 x 轴 向左平移，当点 D 落在 AB 边上时，点 E 的坐标为（ ） A （
23、） B （） C （） D （5，1） 【解答】解：点 A 的坐标为（2，0） ，点 D 的坐标为（2，1） ， AO2，CD1，OC2， AC4， tanBAC， BC5， 点 B（2，5） ， 设直线 AB 解析式为 ykx+b， 由题意可得：， 解得：， 直线 AB 解析式为 yx+， 当 y1 时，x， 平移后点 E 坐标为（，1） ， 故选：B 10 （3 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，O 与 x 轴交于 A，B 两点，C 为O 上一点，且点 C 的坐 标为（1，） 现按以下步骤作图：以点 O 为圆心，适当的长为半径作弧，分别交 OC，OA 于点 D， E；分别以点 D，E
24、 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在COA 内交于点 F，作射线 OF，交 O 于点 G；以点 C 为圆心，C 的长为半径作弧，交弧 BC 于点 H，连接 OH，HG，则HOG 的面积 为（ ） A1 B2 C2 D3 【解答】解：作 CMOA 于 M，连接 CH，如图， 点 C 的坐标为（1，） ， OM1，CM， OC2， sinCOM， COM60， 由作法得 OF 平分COA， COGAOG30， 由作法得 CHCO， OCH 为等边三角形， COH60， HOG60+3090， SHOG222 故选：C 二、填空题（每小题共二、填空题（每小题共 3 分，共分，共 15 分）分） 1
25、1 （3 分）请写出一个大于且小于 3 的无理数 （答案不唯一） 【解答】解：只要大于且小于 3 的无理数都可以，如：， 故答案为：（答案不唯一） 12 （3 分）已知不等式组的解集在数轴上表示如图，写出满足条件的一个 m 的值 1（答案不 唯一） 【解答】解：， 由得，x2m+1， 由得，x2， 由数轴上不等式的解集可知 x2， 2m+12，即 m， m 可以等于1 故答案为：1（答案不唯一） 13 （3 分）乐乐和聪聪在玩一个正六边形的转盘游戏，如图是一个正六边形转盘，转盘被分成六个面积相 等的等边三角形区域，固定指针，转动转盘两次，任其自由停止（指针指向分界线时，不计，重转） 若 两次指
26、针所指数字之和小于 8，则乐乐获胜；若两次指针所指数字之和大于或等于 8，则聪聪获胜那么 在这次游戏中，聪聪获胜的概率为 【解答】解：用列表法表示所有可能出现的结果如下： 共有 36 种等可能出现的结果情况，其中“两次指针所指数字之和大于或等于 8”有 15 种， 所有两次指针所指数字之和大于或等于 8 的概率为， 即聪聪获胜的概率为， 故答案为： 14 （3 分）如图，在扇形 CBA 中，ACB90，连接 AB，以 BC 为直径作半圆，交 AB 于点 D若阴影 部分的面积为（1） ，则阴影部分的周长为 2+2+2 【解答】解：设 BC 的中点为 O，连接 OD，连接 CD， 以 BC 为直径
27、作半圆，交 AB 于点 D CDAB， ACBC，ACB90， ADBD，CDAB， CDBD， ， ADBD，COBO， ODAC， BOD90， 设 ACBCm，则 ABm，CDADBDm， 阴影部分的面积为（1） ， S阴影部分S扇形ACBSADCm2（m）21 m2m21， m21， m2， ACBC2，AB2，OCOB1， 的长为：，的长为：， 阴影部分的周长为：+2+2+22+2+2 故答案为：2+2+2 15 （3 分）如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，P 是 AB 边上一动点（不与点 A，B 重合） ，连接 PD，过 点 B 作 BMPD 交 DP 的延长线于点 M，
28、连接 AM，过点 A 作 ANAM 交 PD 于点 N，连接 BN，CN， 则BNC 面积的最小值为 124 【解答】解：四边形 ABCD 为正方形， ADAB，BADBAN+NAD90， MAB+BAN90， MABNAD， BMP+BPM+MBPPAD+PDA+APD180， MPBAPD，BMPDAP90， MBPADP， 在AMB 和AND 中， ， AMBAND（ASA） SAMBSAND， SAND+SBNC 正方形ABCD448， 当 SAMB面积最大时，SBNC面积最小， BMD90， 点 M 在以 BD 中点为圆心，BD 长为半径的圆上， 当ABM 面积最大时，OMAB，如图
29、， 点 O 为 BD 中点，OMAD， OKAD2， BDBC4， OMBD2， MKOMOK22， SAMBABMK44， SBNC8SAMB8（44）124 故答案为：124 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 75 分）分） 16 （8 分）先化简，再求值：，其中 x 【解答】解：原式（） ， 当 x1 时，原式 17 （9 分）2021 年伊始，伴随着气温的降低和新型冠状病毒的变异，疫情防控的压力越来越大某中学针 对此情况， 决定加强学生们对新型冠状病毒的认识， 组织八、 九年级全体学生参加了一次防疫知识测试 现 从八年级和九年级中各随机抽取 20 名学生的
30、测试成绩（单位：分）进行整理、分析，过程如下： 【收集数据】 八年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77 九年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41 【整理数据】整理以上数据，得到测试成绩的频数分布表 成绩年级 40 x 49 50 x 59 60 x 69 70 x 79 80 x 89 90 x 100 八年级 0 1 0 a 7 1 九年级 1 0 0 7 10 2 【分析数据】根据以上数据，得到以下统计量 平均数 众数
31、中位数 八年级 78 b 78 九年级 78 81 c （1）填空：a 11 ，b 75 ，c 80.5 （2）结合如表中的统计量，你认为哪个年级的学生防疫知识掌握得较好？请说明理由 （3） 该校八、 九年级共有 1200 名学生， 请你估计八、 九年级防疫知识测试成绩不低于 80 分的学生人数 【解答】解： （1）八年级 20 名学生的测试成绩为：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75， 79，81，71，75，80，86，59，83，77， a11，b75， 九年级 20 名学生的测试成绩为：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，
32、71，81，72， 77，82，80，70，41， c（80+81）280.5 故答案为：11，75，80.5； （2）九年级学生掌握防疫知识较好，理由： 九年级的 80.5 分以上人数所占百分比大于大年级，故九年级学生掌握疫情防疫知识较好； （3）1200600（名） 故八、九年级防疫知识测试成绩不低于 80 分的学生人数大约有 600 名 18 （9 分）黄河中下游分界碑，矗立在河南省荥阳市广武镇桃花峪的三皇山上（东经 11327，北纬 34 58） 界碑四面玲珑旋梯联接，外部呈 H 体形（意示“黄河”汉语拼音首个字母） ，基座高 2m，四面 台阶玉栏护侍，碑身南北闻隙弋矢一线界碑伟岸雄姿
33、，高耸入云，堪称全国之最某校数学社团的同 学们使用卷尺和自制的测角仪测量界碑的高度，如图所示，他们在地面一条水平步道上架设测角仪，先 在点 M 处测得界碑最高点 A 的仰角为 30，然后前进 15.7m 到达点 N 处，测得点 A 的仰角为 45，测 角仪的高度为 1.5m求界碑 AD 的高度 （结果精确到 0.1m参考数据：1.41，1.73） 【解答】解：根据题意画出图形： 根据题意可知：GDNCMB1.5m，GNDC15.7m， ANG45， MNBC15.7m， GMGN+MNAG+15.7， AMG30， GMAG， AG+15.7AG， 解得 AG21.43（m） ， ADAG+G
34、D21.43+1.522.9（m） ， 答：界碑 AD 的高度为 22.9m 19 （8 分）每年农历秋分是中国农民丰收节，小明准备和爸爸妈妈一起去郊区葡萄园采摘葡萄，享受丰收 的快乐出发之前，小明在网络上查找了相关资讯，发现甲葡萄园给出的公开信息是：每个家庭 40 元的 门票，采摘价格每千克 30 元；乙葡萄园给出的公开信息是：不要门票，不超过 3 千克的，采摘按一定的 价格收费，超过 3 千克的，超过部分在原价的基础上打折优惠小明为了弄明白情况，询问了去过乙葡 萄园的小颖和小亮小颖说，我们摘了 2 千克，付费 100 元；小亮说，我们摘了 6 千克，付费 225 元 （1）设小明一家准备采
35、摘葡萄 x 千克，去甲葡萄园需要付费 y1元，去乙葡萄园需要付费 y2元，请分别 求出 y1与 y2关于 x 的函数关系式； （2）小明家离甲葡萄园较近，想去甲葡萄园采摘葡萄，请你分析计算当小明家采摘葡萄的质量 x 满足什 么范围时，去甲葡萄园采摘更合算 【解答】解： （1）由题意 y130 x+40， 当 0 x3 时，100250（元） ， y250 x（0 x3） ； 当 x3 时， （225503）（63）25（元） ， y2503+25（x3）25x+75（x3） ， y2； （2）当 0 x3 时，30 x+4050 x， 解得：x2， 当 2x3 时，去甲葡萄园采摘更合算； 当
36、x3 时，30 x+4025x+75， 解得：x7， 当 3x7 时，去甲葡萄园采摘更合算 综上，当 2x7 时，去甲葡萄园采摘更合算 20 （10 分）复习巩固 切线：直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切，我们把这条直线叫做圆的切线，这个点叫做 切点 割线：直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交，我们把这条直线叫做圆的割线 切线长：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长 阅读材料 几何原本是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五 大公设， 被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书 其中第三卷命题 362 圆
37、幂定理 （切 割线定理）内容如下： 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证” ，请补充 完整，并写出证明过程 已知：如图，A 是O 外一点， AB 是O 的切线，直线 ACD 为O 的割线 求证： AB2ACAD 证明： 【解答】解： （已知：如图，A 是O 外一点， ）AB 是O 的切线，直线 ACD 为O 的割线 求证：AB2ACAD 故答案为：AB 是O 的切线，直线 ACD 为O 的割线，AB2ACAD， 证明：连接 BD，连接 BO 并延长交O 于点
38、E，连接 CE， AB 是O 的切线，则ABC+CBE90， BE 是圆的直径，故BCE90E+CBE， ABCE， 而ECDB， ABCBDC， BACDAB， ABCADB， ， AB2ACAD 21 （10 分）如图，已知直线 BC 的解析式为 yx+3，与 x 轴，y 轴交于点 B，C抛物线 yax2+bx+3 过 A（1，0） ，B，C 三点，D 点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与 x 轴交于点 E，连接 BD，CD （1）求二次函数及直线 CD 的解析式； （2）点 P 是线段 CD 上一点（不与点 C，D 重合） ，当BCP 的面积为时，求点 P 的坐标 （3）点 F 是抛物线上
39、一点，过点 F 作 FGCD 交直线 CD 于点 G，当CFGEDB 时，请直接写出 点 F 的坐标 【解答】解： （1）对于 yx+3，令 yx+30，解得 x3，令 x0，则 y3， 故点 B、C 的坐标分别为（0，3） 、 （3，0） ， 由题意把点 A（1，0） 、B（3，0）代入 yax2+bx+3 得：，解得， 此抛物线解析式为：yx2+2x+3； （2）由抛物线的表达式知，点 D 的坐标为（1，4） ， 由点 C、D 的坐标得，直线 CD 的表达式为 yx+3， 过点 P 作 PHy 轴交 BC 于点 H， 设点 P 的坐标为（m，m+3） ，则点 H（m，m+3） ，则 PH2
40、m， 则BCP 的面积PH（xBxC）2m（30）， 解得 m（负值已舍去） ， 故点 P 的坐标为（，） ； （3）当点 F 在对称轴右侧时， G 在线段 CD 上，如图 2， 延长 FG 交 y 轴于点 S，过点 F 作 FRy 轴于点 R， yx2+2x+3（x1）2+4， D（1，4） ， B（3，0） ，对称轴与 x 轴交于点 E， DE4，BE2， CFGBDE，CGFBED90， FCGDBE， ， FG2CG， 在 yx2+2x+3 中，当 x0 时，y3， C（0，3） ， 过点 D 作 DHy 轴于点 H， 又D（1，4） ， DH1，CH1， SCD45，CSG90SCD
41、45， CGS 和FRS 均为等腰直角三角形， 设 CGa，则 FG2a， GSCGa，CSa，FS3a， FRRMa，OROC+CSRS3+aa3a， F（a，3a） ， 将点 F 的坐标代入 yx2+2x+3， 得：a10（舍去） ，a2， F（，） G 在射线 CD 上，如图 3， 设 FG 交 y 轴于点 S，过点 F 作 FSy 轴于点 S， CFGBDE，CGFBED90， FCGDBE， ， FG2CG， 由知HCD45 GCS45，FSR90GCS45， CGS 和FRS 均为等腰直角三角形， 设 CGa，则 SGa，FG2a，CSa， FSFGSGa， FRRSa，ORRS+
42、CSCOa3， F（a，3a） ， 将点 F 的坐标代入 yx2+2x+3， 得：a10（舍去） ，a25， F（5，12） 当点 F 在对称轴左侧时，如图 4， CFGBDE45， FCG45而抛物线左侧任意一点 K，都有KCG45， 点 F 不存在 综上：F（，）或（5，12） 22 （10 分）小明在学习中遇到这样一个问题 如图，已知线段 AC2cm，AB6cm，点 P 是线段 AB 上由点 A 向点 B 移动的一动点（不与点 A，B 重 合） ，连接 CP，过点 B 作 BDAC 交射线 CP 于点 D当 BD2AP 时，求 AP 长度的取值范围 小明尝试结合学习函数的经验解决此问题请
43、将下面的探究过程补充完整： （1）设 APxcm，BDycm，用含 x 的代数式表示 y： y2 ，其中自变量 x 的取值范围为 0 x6 （2）x，y 的几组对应值如表所示 x/cm 1 2 3 4 5 6 y/cm 10 4 2 1 0.4 0 请你根据表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中，通过描点、连线，画出 y 与 x 的函数图象 （3）结合画出的函数图象，解决问题：当 BD2AP 时，AP 的取值范围为 2x6 【解答】解： （1）BDAC， ， AC2cm，AB6cm，APxcm，BDycm， ， y2， x0，AB6cm，P 是线段 AB 上由点 A 向点 B 移动的一动点（不
44、与点 A，B 重合） ， 0 x6， 故答案为：y2，0 x6； （2）根据已知数据画出图象如图： （3）当 BD2AP 时，即 y2x 时，画出 y2x 的函数图象， 由图象得：当 BD2AP 时，AP 的取值范围为 2x6 故答案为：2x6 23 （11 分）如图 1，在 RtABC 中，BAC90，ACB60，AC2，点 A1，B1为边 AC，BC 的中 点，连接 A1B1，将A1B1C 绕点 C 逆时针旋转 （0360） （1）如图 1，当 0时， 2 ，BB1，AA1所在直线相交所成的较小夹角的度数为 60 （2） 将A1B1C 绕点 C 逆时针旋转至图 2 所示位置时，（1） 中结
45、论是否仍然成立？若成立， 请给出证明； 若不成立，请说明理由 （3）当A1B1C 绕点 C 逆时针旋转至 A1，B1，B 三点共线时，请直接写出线段 BB1的长 【解答】解： （1）在 RtABC 中，AC2， ACB60， ABC30， BC2AC4， 点 A1为边 AC 的中点， AA1A1CAC1， 点 A1，B1为边 AC，BC 的中点， A1B1是ABC 的中位线， A1B1AB， B1A1CBAC90，A1B1CABC30， 在 RtA1B1C 中，B1C2A1C2， BB1BCB1C422， 2， ACB60， BB1，AA1所在直线相交所成的较小夹角为ACB60， 故答案为 2
46、，60； （2） （1） 中结论仍然成立， 证明： 延长 AA1， BB1相交于点 D， 如图 2， 由旋转知，ACA1BCB1， A1C1，B1C2， AC2，BC4， ，2， ， ACA1BCB1， 2，CAA1CBB1， ABD+BADABC+CBB1+BACCAA1ABC+BAC30+90120， D180（ABD+BAD）60； （3）在图 1 中，在 RtA1B1A1C， 当点 B1在 BA1的延长线上时，如图 3， A1，B1，B 三点共线， BA1CBA1C90， 在 RtA1BC 中，A1B， BB1A1B+A1B1+； 当点 B1在线段 A1B 上时，如图 4， 同的方法得，A1B， BB1A1BA1B1， 即线段 BB1的长为+或
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