1、第 1 页，共 18 页 2021 年河南省新乡市高考数学三模试卷（理科）年河南省新乡市高考数学三模试卷（理科） 一、单选题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 若复数 = 1: ( )，且| = 2，则 = ( ) A. 1 B. 3 C. 2 D. 2 2. 已知集合 = *|2 3 10 0+， = *| +，则集合 的元素个数是( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 5 3. 若 = 1，log3 = 2，则tan( ) = ( ) A. 19 89 B. 19 91 C. 1 89 D. 1 91 4. 为庆祝建党 100 周年，某校组织了一场以“不忘初心，牢记使命”
2、为主题的演讲比赛，该校高一年级 某班准备从 7名男生，5名女生中任选 2人参加该校组织的演讲比赛，则参赛的 2人中至少有 1 名女生 的概率是( ) A. 7 22 B. 9 22 C. 15 22 D. 17 22 5. 若函数() = 3 3 ，则“ 1”是“() 0”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 在三棱锥 中，D为 BC的中点， 底面 ABC， ， = 4， = 2，若 PD 与底面 ABC所成角为45，则三棱锥 的体积为( ) A. 5 B. 45 3 C. 45 D. 55 4 7. 若正整数 N除以正整数 m
3、 得到的余数为 n，则记为 ( )，例如30 6( 8)，如图所示的 程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理.执行该程序框图，则输出的 = ( ) 第 2 页，共 18 页 A. 109 B. 121 C. 107 D. 124 8. 已知函数() = 4(2 6) + 1的定义域是,0,-，值域为,1,5-，则 m的最大值是( ) A. 2 3 B. 3 C. 6 D. 5 6 9. 某冷饮店的日销售额(单位：元)与当天的最高气温(单位：，20 40)的关系式为 = 19 10 2 1 30 3，则该冷饮店的日销售额的最大值约为( ) A. 907 元 B. 910 元 C. 915元 D
4、. 920 元 10. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的半径是( ) A. 5 B. 2 C. 6 D. 22 11. 已知抛物线 M：2= 2( 0)的焦点为 F，过点 F且斜率为 5 12的直线 l 与抛物线 M 交于 A，B 两点(点 A在第二象限)，则 | | = ( ) A. 5 13 B. 4 13 C. 5 9 D. 4 9 12. 已知函数() = |2+ |( 0).当 (1,4)时， 关于 x的方程() | 1| = 0恰有两个不同的实 根，则 m 的取值范围是( ) A. (0,2- B. (1,3- C. (0,3- D. (1,4- 二、单空题（本大题共
5、4 小题，共 20.0 分） 第 3 页，共 18 页 13. 已知向量 = (1,)， = (,4)，则当| | = 2时，| | = _ 14. 设 x，y 满足约束条件 1 0 2 + 9 ，则 = + 的最大值是_ 15. 在 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，.下列各组条件中使得 有两解的是_ .(填 入所有符合的条件的序号) = 23， = 4， = 1 4； = 23， = 8， = 13 4 ； = 15， = 4， = 3； = 23， = 4， = 6 16. 已知双曲线 C： 2 2 2 2 = 1( 0, 0)虚轴的一个顶点为 D， 直线 = 2与 C交于
6、A， B两点， 若 的垂心在 C的一条渐近线上，则 C 的离心率为_ 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 如图， 在四棱锥 中， 平面 ABCD， 四边形 ABCD是平行四边形， = 45，M，N分别是棱 BC，PC的中点，且 = = (1)证明：平面 平面 PAD (2)求平面 AMN与平面 PAB所成二面角的正弦值 18. 某奶茶店推出一款新品奶茶，每杯成本为 4元，售价为 6 元.如果当天卖不完，剩下的奶茶只能倒掉.奶 茶店记录了 60 天这款新品奶茶的日需求量，整理得如表： 第 4 页，共 18 页 日需求量杯 数 20 25 30 35 40 45 50 天数
7、 5 5 10 15 10 10 5 以这 60天记录中各需求量的频率作为各需求量发生的概率 (1)若奶茶店一天准备了 35 杯这款新品奶茶，用表示当天销售这款新品奶茶的利润(单位：元)，求的 分布列和数学期望； (2)假设奶茶店每天准备的这款新品奶茶杯数都是5的倍数， 有顾客建议店主每天准备40这款新品奶茶， 你认为店主应该接受这个建议吗？请说明理由 19. 已知等比数列*+的第 2 项和第 5项分别为 2和 16，数列*2 + 3+的前 n项和为 (1)求，； (2)求数列* (+ 2)+的前 n项和 20. 已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1( 0)的长轴长为 4，离心率为 3
8、2 (1)求椭圆 C 的方程； (2)直线 l与椭圆 C 交于 A，B两点，O 为坐标原点， + = 2 ，若| | = 1，求 面积的 最大值 第 5 页，共 18 页 21. 已知函数() = + (1)讨论()的单调性； (2)当 = 1时，证明：() 0， 0，且 + = ，证明： 2 :2 + 2 :1 3 2 答案和解析答案和解析 1.【答案】D 【解析】解： = 1: = (1;) (1:)(1;) = : 12:12 = 2 + 2 ， | = ( 2) 2+ ( 2) 2 = 2 2 | = 2，即 = 2 故选：D 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的运算公式求解
9、本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题 2.【答案】A 【解析】解： = *| 2 5+， = *| +， = *0,1，2，3，4，5+， 集合 的元素个数是 6 故选：A 可求出集合 A，然后进行交集的运算求出 ，然后即可得出集合 的元素个数 本题考查了集合的描述法和列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属 于基础题 第 7 页，共 18 页 3.【答案】D 【解析】解：因为若 = 1，log3 = 2， 所以 = 10， = 9， 则tan( ) = ; 1:tantan = 1 91 故选：D 由已知先求，然后结合两角差的正切公式即可求解
10、 本题主要考查了两角差的正切公式，属于基础题 4.【答案】C 【解析】解：由题意可知从 12 名学生中任选 2人的情况有12 2 = 66种， 故所求概率 = 1 7 2 66 = 15 22， 故选：C 求出任选 2 人的情况，再求出没有女生的概率，从而求出满足条件的概率 本题考查了概率求值问题，考查古典概型，是基础题 5.【答案】A 【解析】解：当 0， 当 0时，() = 3 3 为增函数，且(1) = 0， 1 () 0，但() 0 1或 1是() 0的充分不必要条件， 故选：A 分两种情况判断函数的单调性，和函数值的大小，再结合充分必要条件的定义判断即可 本题考查充要性，以及单调性，
11、属于基础题 6.【答案】B 【解析】解：如图， 底面 ABC，PD与底面 ABC所成角为45， 第 8 页，共 18 页 = 45， 又 ， = 4， = 2， = 4 + 16 = 25， = = 5， 故 ;= 1 3 1 2 2 4 5 = 45 3 故选：B 由已知可得 = 45，求解三角形得 PA，再由棱锥体积公式求三棱锥 的体积 本题考查三棱锥体积的求法，考查运算求解能力，是基础题 7.【答案】B 【解析】解：由已知中的程序框图可知： = 103，103 3( 4)； = 106，106 2( 4)； = 109，109 1( 4)，109 4( 7)； = 112，112 0(
12、4)； = 115，115 3( 4)； = 118，118 2( 4)； = 121，121 1( 4)，121 2( 7)， 故输出 = 121 故选：B 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 n的值，模拟程序的运行过程， 分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础 题 8.【答案】A 【解析】解： ,0,-， 2 6 , 6 ,2 6 -， ()的值域为,1,5-， 2 2 6 7 6 ，解得 3 2 3 ， 第 9 页，共 18 页 的最大值为2 3 故选：A 结合题意
13、及三角函数的性质可得 2 2 6 7 6 ，解出该不等式，即可求得 m的最大值 本题考查参数最大值的求法，涉及了三角函数的性质及不等式的求解，属于基础题 9.【答案】C 【解析】解：令() = 19 10 2 1 30 3，(20 40)， 则() = 19 5 2 10 = (19 5 10)，令() = 0，解得 = 38 当20 0，此时函数()单调递增；当38 40时，() 1，故 = 1不是方程 () | 1| = 0的实根， 当 1时， 由() | 1、 = 0， 得 = |( 1) + :1 ;1 + + 2|， 方程() | 1| = 0恰有不同的实根等价于直线 = 与函数 =
14、 |( 1) + :1 ;1 + + 2|的图象有两个不同的交点， 0， + 2 = ( + 1)2+ 1 2 + 1，则函数 = |( 1) + :1 ;1 + + 2|的大致函数图象如图所示， (1,4)， 2 + 1 + + 2 4 2 + 1 + + 2 1 0 ，解得0 ，所以 ， 又 3 2 ， 又 sin 6， 又 ， 所以 B有两角，三角形有两角 故答案为： 由已知结合正弦定理及三角形的大边对大角分别检验各选项即可判断 本题主要考查了正弦定理，三角形的大边对大角在三角形角的个数判断中的应用，属于基础题 16.【答案】 2或 2 【解析】解：不妨设(0,)，设 的垂心为(,)，则
15、 = ， 当 G 在 C的渐近线 = 上时， = ，设 B在 A 的上方，则(2,3)，(2,3)， 则 = (2,(3 1)， = (,(3 + 1)， 是 的垂心， = 22+ 22= 0，即2= 2， 从而 = 2； 当 G 在双曲线 C 的渐近线 = 上时，同理可得 = 2 故答案为：2或 2 不妨设(0,)， 设 的垂心为(,)， 则 = ， 分 G 在两条不同渐近线上， 求出 A， B 的坐标， 得到 与 ，再由数量积为 0得到 a与 b的关系，即可求得双曲线的离心率 第 13 页，共 18 页 本题考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题 17.【答案】(1)证明：因为
16、= ，M 为 BC 中点，所以 ， 因为四边形 ABCD是平行四边形，所以/，所以 ， 因为 平面 ABCD， 平面 ABCD，所以 ， 又因为 = ，PA、 平面 PAD，所以 平面 PAD， 又因为 平面 AMN，所以平面 平面 PAD (2)解：由(1)知 AM、AD、AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设 = 2，则 (0,0,0),(0,0,2),(2,2,0),(2,0,0),( 2 2 , 2 2 ,1)，(2,2,0) 因为 = 45，所以 ，由(1)知 ， 平面 PAB， 所以 = = (2,2,0)为平面 PAB 的法向量， 设平面 AMN的法向量为 = (,
17、y，)， 因为 = (2,0，0)， = ( 2 2 , 2 2 ,1)， 所以 = 2 = 0 = 2 2 + 2 2 + = 0，令 = 1， = (0,2,1)， 设平面 AMN与平面 PAB所成二面角的大小为， | = | | | | | = 2 32 = 1 3 ， = 1 cos2 = 1 1 3 = 6 3 ， 所以平面 AMN 与平面 PAB 所成二面角的正弦值为 6 3 【解析】(1)只须证明平面 AMN内直线 AM 垂直于平面 PAD 即可；(2)用向量数量积计算二面角的余弦值， 进而求解 本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题 18.【答案】解
18、：(1)若奶茶店一天准备 35杯这款新品奶茶，则可取20，10，40，70， ( = 20) = 1 12， ( = 10) = 1 12， ( = 40) = 1 6， ( = 70) = 2 3， 的分布列为： 第 14 页，共 18 页 20 10 40 70 P 1 12 1 12 1 6 2 3 () = 20 1 12 + 10 1 12 + 40 1 6 + 70 2 3 = 52.5(元) (2)若奶茶店一天准备 40杯这款新品奶茶，用表示当天销售这款新品奶茶的利润(单位：元)， 则可取40，10，20，50，80， ( = 40) = 1 12， ( = 10) = 1 12
19、， ( = 20) = 1 6， ( = 50) = 1 4， ( = 80) = 5 12， () = 40 1 12 10 1 12 + 20 1 6 + 50 1 4 + 80 5 12 = 45(元)， () ()， 店主不应该接受这个建议 【解析】(1)若奶茶店一天准备 35 杯这款新品奶茶，则可取20，10，40，70，分别求出相应的概率，由 此能求出的分布列和() (2)若奶茶店一天准备 40杯这款新品奶茶， 用表示当天销售这款新品奶茶的利润(单位： 元)， 则可取40， 10，20，50，80，分别求出相应的概率，从而求出()，由() 0，函数()在 (0,+)上单调递增 0，
20、函数()在 (0,)上单调递减，在(,+)上单调递增 (2)证明：当 = 1时，要证明：() ，即证明 + 1 0，解得0 ；令() 0，解得 函数()在(0,)上单调递增，在(,+)上单调递减 = 时，函数()取得极大值即最大值，() = 1 + 1 令() = 2， () = (;2) 3 ， 令() 0，解得0 0，解得2 252 4 1 2.5 1 0 () ()， 即 + 1 2，也即() 【解析】(1)() = + ， (0,+).通过对 a 分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可 (2)当 = 1时，要证明：() ，即证明 + 1 2，令() = + 1，() = 2，利用导数研
21、究函 数的单调性，只要证明() ()即可 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能 力与计算能力，属于难题 第 17 页，共 18 页 22.【答案】解：(1)直线1的参数方程为 = 3 + = (为参数)，转换为普通方程为 = ( + 3). 直线2的参数方程为 = 3 = 3 (为参数)，转换为普通方程为 = 1 3 (3 ) 直线1与2的交点为 P 所以 = ( + 3) = 1 3 (3 ) ，转换为普通方程为 2 3 + 2= 1( 0) (2)曲线1与曲线 C 相交于 M，N两点，曲线的方程为 = + 1， 点 Q 的直角坐标为(
22、1,0)在曲线1上， 故 = 1 2 2 = 2 2 (为参数)代入曲线 C的方程为 2 3 + 2= 1( 0)， 得到22 2 2 = 0， 所以1+ 2= 2 2 ，12= 1， 故 1 | + 1 | = (1:2)2;412 |12| = 32 2 【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； (2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果 本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的 应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题 23.【答案】解：(1)由题意可得，() = | + 2
23、| | 1| = 3, 1 ， 当 1时，3 + 1，解得1 0， 0， 所以(:1) 2 :2 + (:2)2 :1 2，即 2 :2 + 2 :1 2:2:2 6 = (:)2 6 = 3 2，当且仅当 = 4 3, = 5 3时，等号成立， 第 18 页，共 18 页 故 2 :2 + 2 :1 3 2 【解析】(1)先将函数()化为分段函数的形式，再分类讨论分别解不等式即可； (2)由(1)可知， + = 3， 结合(:1) 2 :2 + (:2)2 :1 2， 可得 2 :2 + 2 :1 2:2:2 6 = (:)2 6 = 3 2， 进而得证 本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，考查运算求解能力及推理论证能力，属于中档题
浙公网安备33030202001339号