1、 四川省乐山市四川省乐山市 2021 年中考数学试卷年中考数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30分分 1. 如果规定收入为正，那么支出为负，收入 2 元记作2，支出 5 元记作（ ） A. 5 元 B. 5元 C. 3元 D. 7元 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意，根据正负数的性质分析，即可得到答案 【详解】根据题意得：支出 5元记作5元 故选：B 【点睛】本题考查了正数和负数的知识；解题的关键是熟练掌握正负数的性质，从而完成求解 2. 在一次心理健康教育活动中， 张老师随机抽取了 40 名学生进行了心理健康测试，
2、 并将测试结果按“健康、 亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康”的频率是（ ） 类型 健康 亚健康 不健康 数据（人） 32 7 1 A 32 B. 7 C. 7 10 D. 4 5 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意，根据频率的定义计算，即可得到答案 【详解】根据题意，得测试结果为“健康”的频率是 324 405 故选：D 【点睛】本题考查了抽样调查的知识；解题的关键是熟练掌握频率的性质，从而完成求解 3. 某种商品m千克的售价为n元，那么这种商品 8 千克的售价为（ ） A. 8n m （元） B. 8 n m （元） C. 8m n （元） D. 8 m n （元）
3、【答案】A 【解析】 【分析】先求出 1千克售价，再计算 8千克售价即可； 【详解】m千克的售价为n元， 1 千克商品售价为 n m ， 8千克商品的售价为 8n m （元） ； 故答案选 A 【点睛】本题主要考查了列代数式，准确分析列式是解题的关键 4. 如图，已知直线 1 l、 2 l、 3 l两两相交，且 13 ll若50，则的度数为（ ） A. 120 B. 130 C. 140 D. 150 【答案】C 【解析】 【分析】由垂直的定义可得2=90；根据对顶角相等可得510 ，再根据三角形外角的性质即 可求得140 【详解】 13 ll， 2=90； 510 ， 125090140 故
4、选 C 【点睛】本题考查了垂直的定义、对顶角的性质、三角形外角的性质，熟练运用三角形外角的性质是解决 问题的关键 5. 如图，已知直线 1: 24lyx 与坐标轴分别交于A、B两点，那么过原点O且将AOB的面积平分的 直线 2 l的解析式为（ ） A. 1 2 yx B. y x C. 3 2 yx D. 2yx 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知解析式求出点 A、B 的坐标，根据过原点O且将AOB的面积平分列式计算即可； 【详解】如图所示， 当 0y 时，240 x， 解得：2x， 2,0A， 当0 x时，4y ， 0,4B， C 在直线 AB上， 设, 24C mm， 1 2 OBCC
5、 SOBx ， 1 2 OCAC SOAy ， 2 l且将AOB的面积平分， OBCOCA SS ， y CC OBxOA， 4224mm ， 解得1m， 1,2C， 设直线 2 l的解析式为ykx， 则2k ， 2yx； 故答案选 D 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，准确计算是解题的关键 6. 如图是由 4 个相同的小正方体成的物体，将它在水平面内顺时针旋转90后，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据该几何体它在水平面内顺时针旋转90后，旋转后几何体的主视图与该几何体旋转前从右面 看到的图形一样，由此即可解答 【详解】把该几何体它在水平面内顺时针
6、旋转90后，旋转后的主视图与该几何体旋转前从右面看到的图 形一样， 该几何体的从右面看到的图形为， 该几何体它在水平面内顺时针旋转90后，旋转后几何体的主视图为 故选 C 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，熟知把该几何体它在水平面内顺时针旋转90后，旋转后几何 体的主视图与该几何体旋转前从右面看到的图形一样是解决问题的关键 7. 七巧板起源于我国先秦时期，古算书周髀算经中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板， 如图 1 所示19 世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”） ，图 2 是由边长为 4 的正方形分割 制作的七巧板拼摆成的“叶问蹬”图则图中抬起的“腿”（即阴影部
7、分）的面积为（ ） A. 3 B. 7 2 C. 2 D. 5 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据由边长为 4 的正方形分割制作的七巧板，可得共 5 种图形，然后根据阴影部分的构成图形， 计算阴影部分面积即可 【详解】解：如下图所示，由边长为 4 的正方形分割制作的七巧板，共有以下几种图形： 腰长是2 2的等腰直角三角形， 腰长是2的等腰直角三角形， 腰长是 2的等腰直角三角形， 边长是 2的正方形， 边长分别是 2 和 2，顶角分别是45 和135的平行四边形， 根据图 2 可知，图中抬起的“腿”（即阴影部分）是由一个腰长是 2的等腰直角三角形，和一个边长分别是 2 和 2，顶角分别是4
8、5 和 135的平行四边形组成， 如下图示， 根据平行四边形的性质可知，顶角分别是45和135的平行四边形的高是DB，且 2DB ， 一个腰长是 2的等腰直角三角形的面积是： 1 221 2 ， 顶角分别是45和135的平行四边形的面积是： 222 ， 阴影部分的面积为：1 23， 故选：A 【点睛】本题考查了七巧板中的图形的构成和面积计算，熟悉七巧板中图形的分类是解题的关键 8. 如图，已知点P是菱形ABCD的对角线AC延长线上一点，过点P分别作AD、DC延长线的垂线，垂 足分别为点E、F若120ABC，2AB ，则PEPF的值为（ ） A. 3 2 B. 3 C. 2 D. 5 2 【答案
9、】B 【解析】 【分析】根据菱形的基性质，得到PAE=30 ，,利用勾股理求出 AC=2 3，则 AP=2 3 +PC，PE= 1 2 AP= 3+ 1 2 PC ，由PCF=DCA=30，得到 PF= 1 2 PC ，最后算出结果 【详解】解：四边形 ABCD 是菱形且ABC=120 ，AB=2， AB=BC=CD=DA=2，BAD=60 ，ACBD， CAE=30， ACBD，CAE=30 ，AD=2， AC= 22 2 2 -1 =2 3， AP=2 3+PC， 在直角AEP中， PAE=30 ，AP=2 3+PC， PE= 1 2 AP= 3+ 1 2 PC， 在直角PFC中， PCF
10、=30， PF= 1 2 PC， PEPF=3+ 1 2 PC- 1 2 PC= 3， 故选：B 【点睛】本题主要考查了菱形的基本性质、勾股定理的应用以及在直角三角形中，30 角所对的直角边等于 斜边的一半，关键会在直角三角形中应用 30 9. 如图，已知6OA，8OB，2BC ，P与OB、AB均相切，点P是线段AC与抛物线 2 yax 的交点，则a的值为（ ） A. 4 B. 9 2 C. 11 2 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】在 RtAOB 中，由勾股定理求得10BC ；再求得直线 AC 的解析式为6yx ；设P的半 径为 m，可得 P（m，-m+6） ；连接 PB、PO、PC
11、，根据 AOBAOPAPBBOP SSSS求得 m=1，即可得点 P 的坐标为（1，5） ；再由抛物线 2 yax过点 P，由此即可求得5a 【详解】在 RtAOB 中，6OA，8OB， 2222 6810BCOAOB ； 8OB，2BC ， OC=6， C（0，6） ； 6OA， A（6，0） ； 设直线 AC的解析式为y kxb ， 60 6 kb b ， 解得 1 6 k b ， 直线 AC的解析式为 6yx ； 设P的半径为 m， P与OB相切， 点 P的横坐标为 m， 点 P在直线直线 AC上， P（m，-m+6） ； 连接 PB、PO、PA， P与OB、AB均相切， OBP边 OB
12、 上的高为 m，AOB边 AB上的高为 m， P（m，-m+6） ； AOP边 OA 上高为-m+6， AOBAOPAPBBOP SSSS， 1111 6 866108 2222 mmm ， 解得 m=1， P（1，5） ； 抛物线 2 yax过点 P， 5a 故选 D 【点睛】本题考查了切线的性质定理、勾股定理、待定系数法求解析式，正确求出P的半径是解决问题 的关键 10. 如图，直线 1 l与反比例函数 3 (0)yx x 的图象相交于 A、B两点，线段AB的中点为点C，过点C作 x轴的垂线，垂足为点D直线 2 l过原点O和点C若直线 2 l上存在点( , )P m n，满足 APBADB
13、 ， 则mn的值为（ ） A. 35 B. 3或 3 2 C. 35或35 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得1,3A，3,1B，直线 2 l：y x ；根据一次函数性质，得mn；根据勾股定理， 得 2 22PCm ；连接PA，PB，FB，根据等腰三角形三线合一性质，得2,2C，OCAB； 根据勾股定理逆定理，得90ABD；结合圆的性质，得点A、B、D、P 共圆，直线 2 l和 AB交于点 F， 点 F 为圆心； 根据圆周角、 圆心角、 等腰三角形的性质， 得 2 2 FC ； 分P C P F F C或PCPFFC 两种情况，根据圆周角、二次根式的性质计算，即可得到答案 详
14、解】根据题意，得 3 ,3 3 A ， 3 3, 3 B ，即1,3A，3,1B 直线 2 l过原点O和点C 直线 2 l：y x ( , )P m n在直线 2 l上 mn 2 22PCm 连接PA，PB，FB PAPB，线段AB的中点为点C 2,2C，OCAB 过点C作x轴的垂线，垂足为点D 2,0D 22 2 10310AD ， 22 1 33 12 2AB ， 2 3212BD 222 ADABBD 90ABD 点A、B、D、P 共圆，直线 2 l和 AB 交于点 F，点 F 为圆心 2 cos 10 BD ADB AD ACBC， 1 2 FBFAAD 1 2 BFCAFB APBA
15、DB ，且 1 2 APBAFB APBADBBFC 2 coscos 1010 2 FCFC APBBFC FB 2 2 FC PCPFFC或PCPFFC 当PCPFFC时，APB和ADB位于直线AB两侧，即180APBADB PCPFFC不符合题意 102 22 PCPFFC ，且2m 2 222 2PCmm ， 102 2 2 22 m 35 22 m 235mnm 故选：A 【点睛】本题考查了圆、等腰三角形、反比例函数、一次函数、三角函数、勾股定理、二次根式的知识； 解题的关键是熟练掌握圆心角、圆周角、等腰三角形三线合一、三角函数、勾股定理的性质，从而完成求 解 二、填空题：本大题共二
16、、填空题：本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3分，共分，共 18 分分 11. 计算： 0 (2021)_ 【答案】1 【解析】 【分析】直接利用零指数幂的性质计算得出答案 【详解】解： 0 (2021)1 故答案为：1 【点睛】本题考查零指数幂，是基础考点，掌握相关知识是解题关键 12. 因式分解： 2 49a _ 【答案】(2 3)(23)aa 【解析】 【分析】此多项式可直接采用平方差公式进行分解 【详解】解： 222 49(2 )3aa (2 3)(23)aa 故答案为：(2 3)(23)aa 【点睛】本题考查了公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来
17、说，如果可 以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解 13. 如图是根据甲、乙两人 5次射击的成绩（环数）制作的折线统计图你认为谁的成绩较为稳？_ （填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【解析】 【分析】先分别求出甲乙的平均数，再求出甲乙的方差，由方差越小成绩越稳定做出判断即可 【详解】解：x甲=（7+6+9+6+7）5=7（环） ， x乙=（5+9+6+7+8）5=7（环） ， 2 s 甲=（77） 2+（67）2+（97）2+（67）2+（77）2 5=1.2， 2 s 乙=（57） 2+（97）2+（67）2+（77）2+（87）2 5=2， 1.22， 甲的成绩较为稳定， 故答
18、案为：甲 【点睛】本题考查平均数、方差、折线统计图，会求一组数据的平均数、方差，会根据方差判断一组数 据的稳定性是解答的关键 14. 如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点C处测得石碑顶A点的仰角为30，她朝石 碑前行 5米到达点D处，又测得石顶A点的仰角为60，那么石碑的高度AB的长_米 （结果保 留根号） 【答案】 5 3 2 【解析】 【分析】先根据已知条件得出ADC 是等腰三角形，再利用 AB=sin60AD计算即可 【详解】解：由题意可知：A=30，ADB=60 CAD=30 ADC是等腰三角形， DA=DC又 DC=5 米 故 AD=5米 在 RtADB 中，ADB=
19、60 AB=sin60AD= 35 3 5 22 米 故答案为： 5 3 2 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、解直角三角形，熟练记忆特殊角的锐角三角函数值是关键 15. 在Rt ABC中，90C 有一个锐角为60， 4AB 若点P在直线AB上 （不与点A、B重合） ， 且30PCB，则CP的长为_ 【答案】3或2 3或 2 【解析】 【分析】依据题意画出图形，分类讨论，解直角三角形即可 【详解】解：情形 1：60A ，则30B ， ， 30PCB， 60ACP， ACP是等边三角形， 1 2 2 CPACAB ； 情形 2：60B ，则30A ，2BC ，2 3AC ， 30PCB， CPA
20、B， 11 22 AC BCAB CP，解得 3CP ； 情形 3：60B ，则30A ，2BC ，2 3AC ， 30PCB， 2 3CPAC； 故答案为：3或2 3或 2 【点睛】本题考查解直角三角形，掌握分类讨论的思想是解题的关键 16. 如图，已知点(4,3)A，点B为直线 2y 上的一动点，点()0,Cn，2 3n ，ACBC于点C， 连接AB若直线AB与x正半轴所夹的锐角为，那么当sin的值最大时，n的值为_ 【答案】 1 2 【解析】 【分析】设直线 y2与 y 轴交于 G，过 A 作 AH直线 y2 于 H，AFy 轴于 F，根据平行线的性质 得到ABH，由三角函数的定义得到s
21、in 5 BA ，根据相似三角形的性质得到比例式 2 34 GBn n ， 于是得到 GB 1 4 （n+2） （3n） 1 4 （n 1 2 ）2 25 16 ，根据二次函数的性质即可得到结论 【详解】解：如图，设直线 y2与 y 轴交于 G，过 A 作 AH直线 y2于 H，AFy轴于 F， BHx 轴， ABH， 在 RtABH 中， 22 ABAHBH ,sin 5 BA ， 即sin 5 BA = 22 5 AHBH sin 随 BA的减小而增大， 当 BA 最小时 sin 有最大值；即 BH 最小时，sin 有最大值，即 BG最大时，sin 有最大值， BGCACBAFC90， G
22、BC+BCGBCG+ACF90， GBCACF， ACFCBG， BGCG CFAF ， (4,3)A，()0,Cn 即 2 34 BGn n ， BG 1 4 （n+2） （3n） 1 4 （n 1 2 ）2 25 16 ， 23n 当 n 1 2 时，BG最大值 25 16 故答案为： 1 2 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，平行线的性质，正确的作出辅助线证得 ACFCBG 是解题的关键 三、本大题共三、本大题共 3 个小题，每小题个小题，每小题 9分，共分，共 27 分分 17. 当x取何正整数时，代数式 3 2 x 与 21 3 x 的值的差大于 1 【答案】
23、1，2，3，4 【解析】 【分析】根据题意，列一元一次不等式并求解，即可得到x的取值范围；结合x为正整数，通过计算即可得 到答案 【详解】根据题意得： 321 1 23 xx+- -， 解得：5x x正整数， x为 1，2，3，4时，代数式 3 2 x 与 21 3 x 的值的差大于 1 【点睛】本题考查了解一元一次不等式；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的性质，从而完成求解 18. 如图，已知ABDC，AD ，AC与DB相交于点O，求证：OBCOCB 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质，通过证明ABODCO，得OBOC，结合等腰三角形的性质， 即可得到答案 【详解】
24、 AD AOBDOC ABDC ， ABODCO（AAS） ， OBOC， OBCOCB 【点睛】本题考查了全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、等腰三角形的 性质，从而完成求解 19. 已知 26 12(1)(2) ABx xxxx ，求A、B的值 【答案】A的值为 4，B的值为-2 【解析】 【分析】根据分式、整式加减运算，以及二元一次方程组的性质计算，即可得到答案 【详解】 (2)(1) 12(1)(2)(1)(2) ABA xB x xxxxxx ， (2)(1)26 (1)(2)(1)(2) A xB xx xxxx ， (2)(1)26A xB xx， 即(
25、)(2)26AB xABx 2 26 AB AB ， 解得： 4 2 A B A的值为 4，B的值为2 【点睛】本题考查了分式、整式、二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握分式加减运算、整式加 减运算、二元一次方程组的性质，从而完成求解 四、本大题共四、本大题共 3 个小题，每小题个小题，每小题 10分，共分，共 30 分分 20. 已知关于x的一元二次方程 2 0 xxm （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）二次函数 2 yxxm的部分图象如图所示，求一元二次方程 2 0 xxm的解 【答案】 （1） 1 4 m ； （2） 1 1x ， 2 2x 【解析】 【分析
26、】 （1）根据0时，一元二次方程有两个不相等的实数根求解 m的取值范围即可； （2）根据二次函数图象与 x轴的交点的横坐标就是当 y=0 时对应一元二次函数的解，故将 x=1代入方程中 求出 m值，再代入一元二次方程中解方程即可求解 【详解】解： （1）由题知1 40m ， 1 4 m （2）由图知 2 0 xxm的一个根为 1， 2 110m ，2m， 即一元二次方程为 2 20 xx， 解得 1 1x ， 2 2x ， 一元二次方程 2 0 xxm的解为 1 1x ， 2 2x 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式、解一元一次方程、解一元二次方程，会 解一元二次方程，熟
27、练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解答的关键 21. 某中学全校师生听取了“禁毒”宣传报告后，对禁毒人员肃然起敬学校德育处随后决定在全校 1000 名学生中开展“我为禁毒献爱心”的捐款活动张老师在周五随机调查了部分学生随身携带零花钱的情况， 并将收集的数据进行整理，绘制了如图所示的条形统计图 （1）求这组数据的平均数和众数； （2）经调查，当学生身上的零花钱多于 15元时，都到出零花钱的 20%，其余学生不参加捐款请你估计 周五这一天该校可能收到学生自愿捐款多少元？ （3）捐款最多的两人将和另一个学校选出的两人组成一个“禁毒”知识宣讲小组，若从 4人中随机指定两 人担任正、副组长，求这两
28、人来自不同学校的概率 【答案】 （1）平均数为 20.5；众数为 20； （2）3150元； （3） 2 3 【解析】 【分析】 （1）根据众数和平均数的定义求解； （2）由图可知零花钱多于 15 元的学生有 12人，可算出 12 人的零花钱平均数再计算这 12 人的捐款额，即 可计算 1000 人的捐款额； （3）设捐款最多的两名学生分别为 1 A、 2 A，另一个学校的两名学生分别为 1 B、 2 B，列表后利用概率公式 求解可得 【详解】解： （1）平均数： 5 1 1031542062530340 20.5 20 ， 众数：根据图可知有 6 人零花钱是 20，故众数为 20 故答案为：
29、20.5；20 （2）由图可知零花钱多于 15 元的学生有 12人，则这 12人的零花钱平均数为： 20625303402105 124 周五这一天该校收到捐款数约为： 10512 20%10003150 420 （元） （3）设捐款最多的两名学生分别为 1 A、 2 A，另一个学校的两名学生分别为 1 B、 2 B， 列表如下： 1 A 2 A 1 B 2 B 1 A 12 A A 11 AB 12 AB 2 A 21 A A 21 A B 22 A B 1 B 11 B A 21 A B 12 B B 2 B 21 B A 22 B A 21 B B 由表可知，均等机会共 12 种，两人来
30、自不同学校的结果有 8 种， 这两人来自不同学校的概率 82 123 P 【点睛】本题考查的是条形统计图读懂统计图，平均数和众数的定义，用样本估计总体，同时考查了概率 公式，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键 22. 如图，直线l分别交x轴，y轴于A、B两点，交反比例函数 (0) k yk x 的图象于P、Q两点若 2ABBP，且AOB的面积为 4 （1）求k的值； （2）当点P的横坐标为1时，求POQ的面积 【答案】 （1）-6； （2）8 【解析】 【分析】 （1）过P作PE垂直于x轴，垂足为E，证明ABOAPE根据相似三角形的性质可得 2AOOE， 4 9 ABO APE S S
31、，由此可得9 APE S，3 PEO S再由反比例函数比例系数 k 的几何意义即可 求得 k 值 （2）先求得( 1,6)P ， (0,4)B ，再利用待定系数法求得直线PB的解析式为24yx 与反比例函数的 解析式联立方程组，解方程组求得(3, 2)Q再根据 POPOQOBQ B SSS 即可求解 【详解】 （1）过P作PE垂直于x轴，垂足为E， PE/BO， ABOAPE 2ABBP，4 AOB S ， 2AOOE， 2 24 39 ABO APE S S ， 9 APE S，3 PED S 1 |3 2 k ，| 6k ，即6k （2）由（1）知 6 y x ，( 1,6)P 2ABPB
32、，2 PBO S，|4BO ，(0,4)B 设直线PB的解析式为y kxb ， 将点( 1,6)P 、 (0,4)B 代入y kxb ，得 6 4 kb b 解得 2 4 k b 直线PB的解析式为24yx 联立方程组 6 24 y x yx ，解得 1 3x ， 2 1x ， (3, 2)Q 1 | 2 POQQOBPOBQP SSSOBxx 1 448 2 【点睛】 本题是一次函数与反比例函数的综合题， 熟练运用反比例函数比例系数 k 的几何意义是解决问题的 关键 五、本大题共五、本大题共 2 个小题，每小题个小题，每小题 10分，共分，共 20 分分 23. 通过实验研究发现：初中生在数
33、学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴 趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散学生注意力指标y随时间x（分钟） 变化的函数图象如图所示，当010 x和1020 x时，图象是线段；当2045x时，图象是反比例 函数的一部分 （1）求点A对应的指标值； （2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要 17分钟，他能否经过适当安排，使学生在听这道综合 题的讲解时，注意力指标都不低于 36？请说明理由 【答案】 （1）20； （2）能，见解析 【解析】 【分析】 （1）先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再将 x=45 代入，即可得出 A对应的指标值 （2
34、） 先用待定系数法写出一次函数的解析式， 再根据注意力指标都不低于 36 得出 5 2036(010) 2 xx， 900 36(2045)x x 得出自变量的取值范围 32 25 5 x，即可得出结论 【详解】解： （1）令反比例函数为 (0) k yx x ，由图可知点(20,45)在 k y x 的图象上， 20 45900k ， 900 y x 将 x=45代入 将 x=45代入得： 点A对应的指标值为 900 20 45 （2）设直线AB的解析式为y kxb ，将(0,20)A、(10,45)B代入y kxb 中， 得 20 1045 b kb ，解得 20 5 2 b k 直线AB
35、的解析式为 5 20 2 yx 由题得 5 2036(010) 2 4536(1020) 900 36(2045) xx x x x ，解得 32 25 5 x 3293 2517 55 ， 张老师经过适当的安排，能使学生在听综合题的讲解时，注意力指标都不低于 36. 【点睛】本题考查一次函数的解析式、反比例函数的解析式、不等式组的解集、利用函数图像解决实际问 题是中考的常考题型。 24. 如图，已知点C是以AB为直径的圆上一点，D是AB延长线上一点，过点D作BD的垂线交AC的 延长线于点E，连结CD，且CDED （1）求证：CD是O的切线； （2）若tan2DCE，1BD ，求O的半径 【答
36、案】 （1）见解析； （2） 3 2 【解析】 【分析】 （1） 连接OC、BC， 根据已知条件证明90EOAC ，90ECDOCA即可得解； （2）由（1）可得DCBDAC，得到 2 DCDA DB，令AOr，根据正切的定义列式求解即可； 【详解】解： （1）证明：连结OC、BC OCOA，DCDE， OCAOAC，EDCE EDAD， 90ADE， 90EOAC ，90ECDOCA， 90DCBBCO， DCCO，即CD是O的切线 （2）由（1）知，DCBCAO，又CDBADC， DCBDAC， DCDB DADC ，即 2 DCDA DB 令AOr， 2 (21) 1DCr 即 21DC
37、r ，即 21DEr tan2DCE，即tan2 AD E DE ， 21 2 21 r r ， 解得 3 2 r 或 1 2 r （舍） ， O的半径为 3 2 【点睛】本题主要考查了圆的综合运用，结合相似三角形的判定与性质、正切的定义求解是解题的关键 六、本大题共六、本大题共 2 个小题，第个小题，第 25 题题 12 分，第分，第 26 题题 13 分，共分，共 25 分分 25. 在等腰ABC中，ABAC，点D是BC边上一点（不与点B、C重合） ，连结AD （1）如图 1，若60C，点D关于直线AB的对称点为点E，结AE，DE，则BDE_； （2）若60C，将线段AD绕点A顺时针旋转6
38、0得到线段AE，连结BE 在图 2中补全图形； 探究CD与BE的数量关系，并证明； （3）如图 3，若 ABAD k BCDE ，且ADEC，试探究BE、BD、AC之间满足的数量关系，并证 明 【答案】 （1）30 ； （2）见解析；CDBE；见解析； （3）()ACk BDBE，见解析 【解析】 【分析】 （1）先根据题意得出ABC 是等边三角形，再利用三角形的外角计算即可 （2）按要求补全图即可 先根据已知条件证明ABC 是等边三角形，再证明AEBADC，即可得出CDBE （3） 先证明 ACBC ADDE ， 再证明ACBADE， 得出BACEAD， 从而证明AEBADC， 得出BDBE
39、BC，从而证明()ACk BDBE 【详解】解： （1）ABAC，60C ABC是等边三角形 B=60 点D关于直线AB的对称点为点E ABDE， BDE30 故答案为：30； （2）补全图如图 2所示； CD与BE的数量关系为：CDBE； 证明：ABAC，60BAC ABC为正三角形， 又AD绕点A顺时针旋转60， ADAE，60EAD， 60BADDAC，60BADBAE， BAEDAC， AEBADC， CDBE （3）连接AE ABAD k BCDE ，ABAC， ACAD BCDE ACBC ADDE 又ADE C， ACBADE， BACEADABAC，AEAD， BADDACBA
40、DBAE， DACBAE， AEBADC，CDBE BDDCBC， BDBEBC 又 AC k BC ， ()ACk BDBE 【点睛】本题考查相似三角形的证明及性质、全等三角形的证明及性质、三角形的外角、轴对称，熟练进 行角的转换是解题的关键，相似三角形的证明是重点 26. 已知二次函数 2 yaxbxc的图象开口向上，且经过点 3 0, 2 A ， 1 2, 2 B （1）求b的值（用含a的代数式表示） ； （2）若二次函数 2 yaxbxc在13x时，y的最大值为 1，求a的值； （3）将线段AB向右平移 2 个单位得到线段A B 若线段A B 与抛物线 2 41yaxbxca 仅有一
41、个交点，求a的取值范围 【答案】 （1）21(0)baa ； （2） 5 6 ； （3） 13 44 a 【解析】 【分析】 （1）利用待定系数法将点 A、B的坐标代入即可 （2）根据抛物线图像分析得在13x范围内，y的最大值只可能在1x 或3x 处取得，进行分类讨论 若 12 yy时，若 12 yy， 12 yy，计算即可 （3）先利用待定系数法写出直线 AB的解析式，再写出平移后的解析式，若线段A B 与抛物线 2 41yaxbxca 仅有一个交点，即方程 2 17 (21)4 22 axaxax 在24x的范围内 仅有一个根，只需当2x对应的函数值小于或等于 0，且4x 对应的函数值大于
42、或等于即可 【详解】 （1）抛物线 2 yaxbxc过点 3 0, 2 A ， 1 2, 2 B ， 3 2 1 42 2 c abc ， 31 42 22 ab ， 21(0)baa （2）由（1）可得 2 3 (21) 2 yaxax， 在13x范围内，y的最大值只可能在1x 或3x 处取得 当1x 时， 1 1 2 ya ，当3x 时， 2 3 3 2 ya 若 12 yy时，即 13 3 22 aa 时，得 1 2 a ， 3 1 2 a ，得 5 6 a 若 12 yy，即 13 3 22 aa 时，得 1 2 a ，此时 12 01yy，舍去 12 yy，即 13 3 22 aa
43、时，得 1 0 2 a ， 1 1 2 a ， 1 2 a ，舍去 综上知，a的值为 5 6 （3）设直线AB的解析式为y mxn ， 直线AB过点 3 0, 2 A ， 1 2, 2 B ， 3 2 1 2 2 n mn ，1m ， 3 2 yx 将线段AB向右平移 2个单位得到线段A B ， A B 的解析式满足 3 (2) 2 yx ，即 7 2 yx 又抛物线的解析式为 2 41yaxbxca ， 2 1 (21)4 2 yaxaxa 又线段A B 与抛物线 2 41yaxbxca 在24x范围内仅有一个交点， 即方程 2 17 (21)4 22 axaxax 在24x的范围内仅有一个根， 整理得 2 2430axaxa在24x的范围内仅有一个根， 即抛物线 2 243yaxaxa在24x的范围内与x轴仅有一个交点 只需当2x对应的函数值小于或等于 0，且4x 对应的函数值大于或等于即可 即2x时，44430aaa ，得 3 4 a ， 当4x 时，168430aaa ，得 1 4 a ， 综上a的取值范围为 13 44 a 【点睛】本题考查一次函数解析式、二次函数解析式、二次函数的最值、图像与 x 轴的交点与方程的根的情 况、熟练掌握二次函数的图像知识是解题的关键。
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