1、 2021 年浙江省丽水市中考数学试卷年浙江省丽水市中考数学试卷 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1. 实数2的倒数是（ ） A. 2 B. 2 C. 1 2 D. 1 2 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用倒数的定义分析得出答案 【详解】解：实数-2 的倒数是 1 2 故选：D 【点睛】此题主要考查了实数的性质，正确掌握倒数的定义是解题关键 2. 计算： 2 4 aa结果是（ ） A. 8 a B. 6 a C. 8 a- D. 6 a 【答案】B 【解析】 【分析】根据乘方的意义消去负号，然后利用同底数幂的乘法计算
2、即可 【详解】解：原式 242 46 aaaa 故选 B 【点睛】此题考查的是幂的运算性质，掌握同底数幂的乘法法则是解题关键 3. 如图是由 5 个相同的小立方体搭成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中 【详解】解：从正面看下面一层是三个正方形，上面一层中间是一个正方形即： 故选：B 【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图 4. 一个布袋里装有3个红球和5个黄球， 它们除颜色外其余都相同从中任意摸出一个球是红球的概率是 （ ） A. 1 3 B. 1 5
3、C. 3 8 D. 5 8 【答案】C 【解析】 【分析】先求出所有球数的总和，再用红球的数量除以球的总数即为摸到红球的概率 【详解】解：任意摸一个球，共有 8种结果，任意摸出一个球是红球的有 3种结果，因而从中任意摸出一个 球是红球的概率是 3 8 故选：C 【点睛】本题考查了等可能事件的概率，关键注意所有可能的结果是可数的，并且每种结果出现的可能性 相同 5. 若31a，两边都除以3，得（ ） A. 1 3 a B. 1 3 a C. 3a D. 3a 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的性质即可解决问题 【详解】解：31a， 两边都除以3，得 1 3 a ， 故选：A 【点睛】本题
4、考查了解简单不等式，解不等式要依据不等式的基本性质： （1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变； （2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变； （3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变 6. 用配方法解方程 2 410 xx 时，配方结果正确的是（ ） A. 2 (2)5x B. 2 (2)3x C. 2 (2)5x D. 2 (2)3x 【答案】D 【解析】 【分析】先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完 全平方公式写成平方形式即可 【详解】解： 2 410 xx ， 2 41xx ， 2
5、4414xx ， 2 (2)3x， 故选：D 【点睛】本题考查利用配方法对一元二次方程求解，解题的关键是：熟练运用完全平方公式进行配方 7. 如图，AB是O的直径，弦CDOA于点 E，连结 ,OC OD若O的半径为,mAOD ，则 下列结论一定成立的是（ ） A. tanOEm B. 2sinCDm C. cosAEm D. 2 sin COD Sm 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂径定理、锐角三角函数的定义进行判断即可解答 【详解】解：AB是O的直径，弦CDOA于点 E， 1 2 DECD 在Rt EDO中，ODm，AOD tan= DE OE = tan2tan DECD OE ，故选
6、项 A 错误，不符合题意； 又sin DE OD sinDEOD 22sinCDDEm，故选项 B 正确，符合题意； 又cos OE OD coscosOEODm AODOm cosAEAO OEm m，故选项 C 错误，不符合题意； 2sinCDm，cosOEm 2 11 2sincossincos 22 COD SCD OEmmm ，故选项 D 错误，不符合题意； 故选 B 【点睛】本题考查了垂径定理，锐角三角函数的定义以及三角形面积公式的应用，解本题的关键是熟记垂 径定理和锐角三角函数的定义 8. 四盏灯笼的位置如图已知 A，B，C，D的坐标分别是 (1，b)，(1，b)，(2，b)，(
7、3.5，b)，平移 y 轴右 侧的一盏灯笼，使得 y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是（ ） A. 将 B向左平移 4.5个单位 B. 将 C向左平移 4个单位 C. 将 D向左平移 5.5 个单位 D. 将 C向左平移 3.5 个单位 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用利用关于 y轴对称点的性质得出答案 【详解】解：点 A (1，b) 关于 y 轴对称点为 B (1，b)， C (2，b)关于 y轴对称点(-2，b)， 需要将点 D (3.5，b) 向左平移 3.5+2=5.5个单位， 故选：C 【点睛】本题主要考查了关于 y 轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键 9. 一
8、杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变甲、乙、丙、 丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力 FFFF丁 乙甲丙 、， 将相同重量的水桶吊起同样的高度， 若 FFFF 甲丁丙乙 ，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（ ） A. 甲同学 B. 乙同学 C. 丙同学 D. 丁同学 【答案】B 【解析】 【分析】根据物理知识中的杠杆原理：动力动力臂=阻力阻力臂，力臂越大，用力越小，即可求解 【详解】解：由物理知识得，力臂越大，用力越小， 根据题意， FFFF 甲丁丙乙 ，且将相同重量的水桶吊起同样的高度， 乙同学对杆的压力的作用点到支点的距离最
9、远， 故选：B 【点睛】本题考查反比例函数的应用，属于数学与物理学科的结合题型，立意新颖，掌握物理中的杠杆原 理是解答的关键 10. 如图， 在RtABC纸片中， 90 ,4,3ACBACBC ， 点,D E分别在,AB AC上， 连结DE， 将ADE沿DE翻折，使点 A 的对应点点 F落在BC的延长线上，若FD平分EFB，则AD的长为（ ） A. 25 9 B. 25 8 C. 15 7 D. 20 7 【答案】D 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出 AB，再根据折叠性质得出DAE=DFE，AD=DF，然后根据角平分线的定 义证得BFD=DFE=DAE，进而证得BDF=90 ，证明 RtA
10、BCRtFBD，可求得 AD的长 【详解】解：90 ,4,3ACBACBC， 2222 43ABACBC =5， 由折叠性质得：DAE=DFE，AD=DF，则 BD=5AD， FD平分EFB， BFD=DFE=DAE， DAE+B=90 ， BDF+B=90 ，即BDF=90 ， RtABCRt FBD， BDBC DFAC 即 53 4 AD AD ， 解得：AD= 20 5 ， 故选：D 【点睛】本题考查折叠性质、角平分线的定义、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形的内角和定 理，熟练掌握折叠性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 小题，每小
11、题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11. 分解因式： 2 4m _ 【答案】(2)(2)mm 【解析】 【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可. 【详解】 2 4(2)(2)mmm， 故填(2)(2)mm 【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式. 12. 要使式子3x有意义，则 x可取的一个数是_ 【答案】如 4等（答案不唯一，3x） 【解析】 【分析】根据二次根式的开方数是非负数求解即可 【详解】解：式子3x有意义， x30， x3， x可取x3 的任意一个数， 故答案为：如 4 等（答案不唯一，3x 【点睛】本题考查二次根式、解一元一
12、次不等式，理解二次根式的开方数是非负数是解答的关键 13. 根据第七次全国人口普查，华东, , ,A B C D E F六省 60 岁及以上人口占比情况如图所示，这六省 60 岁及以上人口占比的中位数是_ 【答案】18.75% 【解析】 【分析】由图，将六省 60岁及以上人口占比由小到大排列好，共有 6 个数，所以中位数等于中间两个数之 和除以二 【详解】解：由图，将六省人口占比由小到大排列为：16.0,16.9,18.7,18.8,20.9,21.8， 由中位数的定义得：人口占比的中位数为18.7 18.8 18.75 2 ， 故答案为：18.75% 【点睛】本题考查了求解中位数，解题的关键
13、是：将数由小到大排列，根据数的个数分为两类当个数为 奇数时，中位数等于最中间的数；当个数为偶数个时，中位数等于中间两个数之和除以 2 14. 一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720，则原多边形的边数是_ 【答案】6 或 7 【解析】 【分析】求出新的多边形为 6边形，则可推断原来的多边形可以是 6边形，可以是 7边形 【详解】解：由多边形内角和，可得 （n-2） 180 =720 ， n=6， 新的多边形为 6边形， 过顶点剪去一个角， 原来的多边形可以是 6边形，也可以是 7边形， 故答案为 6 或 7 【点睛】本题考查多边形的内角和；熟练掌握多边形的内角和与多边形的边数之
14、间的关系是解题的关键 15. 小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图 1的七巧板，设计拼成图 2 的“奔跑者”形象来激励自己已知图 1正方形纸片的边长为 4，图 2中2FMEM，则“奔跑者”两脚之间 的跨度，即,ABCD之间的距离是_ 【答案】 13 3 【解析】 【分析】先根据图 1 求 EQ与 CD之间的距离，再求出 BQ，即可得到,ABCD之间的距离= EQ与 CD之 间的距离+BQ 【详解】解：过点 E作 EQBM，则/EQ CD 根据图 1图形 EQ与 CD之间的距离= 111 4+4=3 222 由勾股定理得： 22 24EF ，解得： 2 2EF ；
15、 2 2 1 24 2 AM ，解得： 2 2AM 2FMEM 11 = 33 EMFMAM EQBM，90B /EQ AB 224 2= 333 BQBM ,ABCD之间的距离= EQ 与 CD之间的距离+BQ 413 =3+= 33 故答案为 13 3 【点睛】本题考查了平行线间的距离、勾股定理、平行线所分得线段对应成比例相关知识点，能利用数形 结合法找到需要的数据是解答此题的关键 16. 数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题： 已知实数, a b同时满足 22 22,22aabbba，求代数式 ba ab 的值 结合他们的对话，请解答下列问题： （1）当ab时，a
16、的值是_ （2）当ab时，代数式 ba ab 的值是_ 【答案】 (1). 2或 1 (2). 7 【解析】 【分析】 （1）将ab代入 2 22aab解方程求出a，b的值，再代入 2 22bba进行验证即可； （2）当ab时，求出30 ab，再把 ba ab 通分变形，最后进行整体代入求值即可 【详解】解：已知 2 2 22 22 aab bba ，实数a，b同时满足， -得， 22 330abab ()(3)0ab ab 0ab或30 ab +得， 22 +=4abab （1）当ab时，将ab代入 2 22aab得， 2 20aa 解得， 1 1a ， 2 2a 1 1b ， 2 2b 把
17、=1ab代入 2 22bba得，3=3，成立； 把=2ab代入 2 22bba得，0=0，成立； 当ab时，a值是 1或-2 故答案为：1或-2； （2）当ab时，则30 ab，即=3ab 22 +=4abab 22 +=7ab 222 () =+2+9abaab b 1ab 22 7 =7 1 baab abab 故答案为：7 【点睛】此题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，完全平方公式以及求代数式的值和分式的运算等 知识，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答此题的关键 三、解答题（本题有三、解答题（本题有 8 小题，第小题，第 1719 题每题题每题 6 分，第分，第 20，21题每题题每题
18、 8 分，第分，第 22，23 题每题每 题题 10 分，第分，第 24 题题 12 分，共分，共 66 分，各小题都必须写出解答过程）分，各小题都必须写出解答过程） 17. 计算： 0 | 2021| ( 3)4 【答案】2020 【解析】 【分析】先计算绝对值、零指数幂和算术平方根，最后计算加减即可； 【详解】解： 0 | 2021| ( 3)4 2021 1 2 ， 2020 【点睛】本题主要考查实数的混合运算，解题的关键是掌握实数的混合运算顺序及相关运算法则 18. 解方程组： 2 6 xy xy 【答案】 12, 6. x y 【解析】 【分析】利用代入消元法解二元一次方程组即可 【
19、详解】解： 2 6 xy xy ， 把代入，得26yy， 解得6y 把6y 代入，得12x 原方程组的解是 12 6 x y 【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答的关键 19. 在创建“浙江省健康促进学校”的过程中， 某数学兴趣小组针对视力情况随机抽取本校部分学生进行调 查，并按照国家分类标准统计人数，绘制成如下两幅不完整的统计图表，请根据图信息解答下列问题： 抽取的学生视力情况统计表 类别 检查结 果 人数 A 正常 88 B 轻度近 视 _ C 中度近 视 59 D 重度近 视 _ （1）求所抽取的学生总人数； （2）该校共有学生约 1800 人，请估算该校
20、学生中，近视程度为中度和重度的总人数； （3）请结合上述统计数据，为该校做好近视防控，促进学生健康发展提出一条合理的建议 【答案】 （1）200人； （2）810 人； （3）答案不唯一，见解析 【解析】 【分析】 （1）根据检查结果正常的人数除以所占百分比即可求出抽查的总人数； （2）首先求出近视程度为中度和重度的人数所占样本问题的百分比，再依据样本估计总体求解即可； （3）可以从不同角度分析后提出建议即可 【详解】解： （1）88 44%200（人） 所抽取的学生总人数为 200人 （2）1800 (1 44% 11%)810（人） 该校学生中，近视程度为中度和重度的总人数有 810人 （
21、3）本题可有下面两个不同层次的回答， A 层次：没有结合图表数据直接提出建议，如：加强科学用眼知识的宣传 B 层次：利用图表中的数据提出合理化建议 如：该校学生近视程度为中度及以上占比为45%，说明该校学生近视程度较为严重，建议学校要加强电子 产品进校园及使用的管控 【点睛】本题考查了频率分布表及用样本估计总体的知识，本题渗透了统计图、样本估计总体的知识，解 题的关键是从统计图中整理出进一步解题的信息 20. 如图，在5 5的方格纸中，线段AB的端点均在格点上，请按要求画图 （1）如图 1，画出一条线段AC，使,ACABC在格点上； （2）如图 2，画出一条线段EF，使,EF AB互相平分，,
22、E F均在格点上； （3）如图 3，以,A B为顶点画出一个四边形，使其是中心对称图形，且顶点均在格点上 【答案】 （1）见解析； （2）见解析； （3）见解析 【解析】 【分析】 （1）根据“矩形对角线相等”画出图形即可； （2）根据“平行四边形对角线互相平分”，找出以 AB 对角线的平行四边形即可画出另一条对角线 EF； （3）画出平行四边形 ABPQ即可 【详解】解： （1）如图 1，线段 AC即为所作； （2）如图 2，线段 EF 即为所作； （3）四边形 ABPQ为所作； 【点睛】本题考查作图-复杂作图，矩形的性质以及平行四边形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运 用所学知识解决问
23、题 21. 李师傅将容量为 60 升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地行驶过程中，货车离目的 地的路程 s（千米）与行驶时间 t（小时）的关系如图所示（中途休息、加油的时间不计当油箱中剩余油 量为 10升时，货车会自动显示加油提醒设货车平均耗油量为 0.1 升/千米，请根据图象解答下列问题： （1）直接写出工厂离目的地的路程； （2）求 s关于 t的函数表达式； （3）当货车显示加油提醒后，问行驶时间 t在怎样的范围内货车应进站加油？ 【答案】 （1）工厂离目的地的路程为 880 千米； （2）80880(011)stt ； （3） 2515 42 t 【解析】 【分析】 （1）根
24、据图象直接得出结论即可； （2）根据图象，利用待定系数法求解函数表达式即可；再求出油量为 （3）分别求出余油量为 10 升和 0 升时行驶路程，根据函数表达式求出此时的 t值，即可求得 t的范围 【详解】解： （1）由图象，得0t 时，880s ， 答：工厂离目的地的路程为 880 千米 （2）设(0)sktb k，将0880ts，和4,560ts分别代入表达式， 得 880, 5604. b kb ，解得 80 880 k b ， s 关于 t的函数表达式为80880(011)stt （3）当油箱中剩余油量为 10 升时，880(60 10)0.1380s （千米） ， 38080880t，
25、解得 25 4 t （小时） 当油箱中剩余油量为 0升时，880 60 0.1280s （千米） ， 28080880t，解得 15 2 t （小时） 800,ks 随 t的增大而减小， t的取值范围是 2515 42 t 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答的关键是理解题意，能从函数图象上提取有效信息解决问题 22. 如图， 在ABC中，ACBC， 以BC为直径的半圆 O 交AB于点 D， 过点 D作半圆 O的切线， 交AC 于点 E （1）求证：2ACBADE ； （2）若3,3DEAE，求CD的长 【答案】 （1）见解析； （2） 4 3 3 【解析】 【分析】 （1）连结,OD CD，
26、利用圆的切线性质，间接证明：ADEODC，再根据条件中：ACBC 且ODOC，即能证明：2ACBADE ； （2）由（1）可以证明：AED为直角三角形，由勾股定求出AD的长，求出tan A，可得到A的度数， 从而说明ABC为等边三角形，再根据边之间的关系及弦长所对应的圆周角及圆心角之间的关系，求出 120COD，半径2 3OC ,最后根据弧长公式即可求解 【详解】解： （1）证明：如图，连结,OD CD DE与O相切， 90 ,90ODEODCEDC BC是圆的直径， 90 ,90BDCADC 90 ,ADEEDCADEODC ,22ACBCACBDCEOCD ,ODOCODCOCD 2ACB
27、ADE （2）由（1）可知，90 ,90ADEEDCADEDCEAED ， 3,3DEAE， 22 3( 3)2 3AD ，tan3,60AA， ,ACBCABC 是等边三角形 60 ,24 3BBCABAD, 2120 ,2 3CODBOC ， 1202 34 3 1803 l CD 【点睛】本题考查了圆的切线的性质、解直角三角形、勾股定理、圆心角和圆周角之间的关系、弧长公式 等知识点，解本题第二问的关键是：熟练掌握等边三角形判定与性质. 23. 如图，已知抛物线 2 :L yxbxc经过点(0, 5), (5,0)AB （1）求, b c的值； （2）连结AB，交抛物线 L 的对称轴于点
28、M 求点 M的坐标； 将抛物线 L向左平移 (0)m m 个单位得到抛物线 1 L过点 M作/ /MNy轴，交抛物线 1 L于点 NP 是抛 物线 1 L上一点，横坐标为1，过点 P 作/PEx轴，交抛物线 L于点 E，点 E 在抛物线 L对称轴的右侧若 10PEMN，求 m的值 【答案】 （1）4, 5； （2）(2, 3)；1或 165 2 【解析】 【分析】 （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）求出直线 AB的解析式，抛物线的对称轴方程，代入求解即可；根据抛物线的平移方式求出抛物 线 1 L的表达式，再分三种情况进行求解即可 【详解】解： （1）把点(0, 5), (5,0)AB的
29、坐标分别代入 2 yxbxc， 得 5, 2550. c bc 解得 4, 5. b c , b c 的值分别为4, 5 （2）设AB所在直线的函数表达式为()0ykxn k， 把(0, 5), (5,0)AB的坐标分别代入表达式，得 5, 50. n kn 解得 1, 5. k n AB所在直线的函数表达式为 5yx 由（1）得，抛物线 L的对称轴是直线2x， 当2x时，53yx 点 M 的坐标是(2, 3) 设抛物线 1 L的表达式是 2 (2)9yxm ， / /MNy轴， 点 N 的坐标是 2 2,9m 点 P的横坐标为1, 点 P的坐标是 2 1,6mm， 设PE交抛物线 1 L于另
30、一点 Q， 抛物线 1 L的对称轴是直线2,/ /xm PEx轴， 根据抛物线的轴对称性，点 Q的坐标是 2 52 ,6m mm （i）如图 1，当点 N 在点 M 下方，即06m时， 52( 1)62PQmm ， 22 396MNmm ， 由平移性质得,QEm， 6 26PEm mm 10PEMNQ， 2 6610mm， 解得 1 2m （舍去） ， 2 1m （ii）图 2，当点 N 在点 M 上方，点 Q 在点 P 右侧， 即63m时， 2 6,6PEm MNm， 10PEMNQ， 2 6610mm ， 解得 1 141 2 m （舍去） ， 2 141 2 m （舍去） （）如图 3，
31、当点 N在点 M上方，点 Q在点 P 左侧， 即3m时， 2 ,6PEm MNm， 10PEMNQ， 2 610mm， 解得 1 165 2 m （舍去） ， 2 165 2 m 综上所述，m的值是 1 或 165 2 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、抛物线的平移规律和一元二次方 程等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质是解题的关键 24. 如图， 在菱形ABCD中，ABC是锐角， E 是BC边上的动点， 将射线AE绕点 A 按逆时针方向旋转， 交直线CD于点 F （1）当AEBCEAFABC，?时， 求证：AEAF； 连结BDEF，若 2 5 EF BD ，求
32、ABCD 菱形 值； （2）当 1 2 EAFBAD 时，延长BC交射线AF于点 M，延长DC交射线AE于点 N，连结ACMN， 若42ABAC，则当CE为何值时，AMN是等腰三角形 【答案】 （1）见解析； 8 25 ； （2）当 4 3 CE 或 2 或 4 5 时，AMN是等腰三角形 【解析】 【分析】 （1）根据菱形的性质得到边相等，对角相等，根据已知条件证明出BAEDAF ，得到 ABEADF， 由=A EA F，CECF， 得到AC是EF的垂直平分线， 得到/EFBD，CEFCBD， 再根据已知条件证明出AEFBAC，算出面积之比； （2）等腰三角形的存在性问题，分为三种情况：当A
33、MAN时，ANCMAC，得到 CE= 4 3 ；当 NANM时，CENBEA，得到 CE=2；当=MA MN时，CENBEA，得到 CE= 4 5 【详解】 （1）证明：在菱形ABCD中， /ABADABCADCADBC，=?， AEBCAEAD， 90ABEBAEEAFDAF， ,EAFABCBAEDAF ， ABEADF（ASA） ， =AE AF 解：如图 1，连结AC 由知，ABEADFBEDFCECF，=， AEAFACEF，= 在菱形ABCD中，/ACBDEFBDCEFCBD， 2 5 ECEF BCBD =， 设=2ECa，则534ABBCa BEaAEa，= AEAFABBCE
34、AFABC，=?， AEFBAC， 22 6 25 = 41 5 AEF BAC SAEa SABa 骣骣 琪琪= 琪琪 桫桫 ， 1168 222525 AEFAEF BACABCD SS SS 菱形 =? （2）解：在菱形ABCD中， 11 22 BACBADEAFBAD，?行=?， BACEAFBAECAM， ?衆?， /CABCDBAEANANCCAM， ?衆?， 同理，AMCNAC， ACAM MACANC CNNA ， = AMN是等腰三角形有三种情况： 如图 2，当AMAN时，ANCMAC， 2CNAC， /ABCNCENBEA， 1 4 2 CECN AB BEAB ，=， 1
35、4 4 33 BCCEBC，= 如图 3，当NANM时， NMANAMBACBCA， 1 2 AMAC ANMABC ANAB ， =， 24CNACCENBEA，=， 1 2 2 CEBEBC 如图 4，当=MA MN时， MNAMANBACBCAAMNABC，?衆， 1 21 2 AMAB CNAC ANAC ，=， 1 4 CECN CENBEA BEAB ， =， 14 55 CEBC 综上所述，当 4 3 CE 或 2或 4 5 时，AMN是等腰三角形 【点睛】本题主要考查了菱形的基本性质、相似三角形的判定与性质、菱形中等腰三角形的存在性问题， 解决本题的关键在于画出三种情况的等腰三角形（利用两圆一中垂） ，通过证明三角形相似，利用相似比求 出所需线段的长
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