1、 2020-2021 学年河南省郑州市中原区学年河南省郑州市中原区九年级（下）第一次月考数学试卷九年级（下）第一次月考数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，共小题，共 30 分）分） 1 （3 分）的相反数是（ ） A2020 B C2020 D 2 （3 分）下列几何体是由 4 个相同的小正方体搭成的，其中主视图、左视图、俯视图都相同的是（ ） A B C D 3 （3 分）下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ） A调查电视台节目的收视率 B调查嫦娥四号登月探测器的零部件质量 C调查炮弹的杀伤力的情况 D调查市民对皮影表演艺术的喜爱程度 4（3 分） 将一副三角板
2、（A30， E45） 按如图所示方式摆放， 使得 BAEF， 则AOF 等于 （ ） A75 B90 C105 D115 5 （3 分）广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星” ，它距离太阳系 约 4.2 光年光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1 光年约为 9 500 000 000 000 千米，则 “比邻星”距离太阳系约为（ ） A41013千米 B41012千米 C9.51013千米 D9.51012千米 6 （3 分）点（x1，y1） 、 （x2，y2） 、 （x3，y3）在反比例 y上，且 x10 x2x3，则有（ ） Ay1y2y3 By2
3、y3y1 Cy1y3y2 Dy3y2y1 7 （3 分）定义新运算“a*b”对于任意实数 a，b，都有 a*b（a+b） （ab）1，其中等式右边是通常的 加法、减法、乘法运算，例如：4*3（4+3）（43）1716若 x*kx（k 为实数）是关于 x 的方程，则它的根的情况为（ ） A有一个实数根 B有两个相等的实数根 C有两个不相等的实数根 D没有实数根 8 （3 分） 九章算术内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈，倚 木于垣， 上与垣齐 引木却行一尺， 其木至地 问木长几何？” 其内容可以表述为： “有一面墙， 高一丈 将 一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端
4、与墙的上端对齐，下端落在地面上如果使木杆下端从此时的位置 向远离墙的方向移动 1 尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上问木杆长多少尺？” （说明：1 丈10 尺） 设木杆长 x 尺，依题意，下列方程正确的是（ ） Ax2（x1）2+102 B （x+1）2x2+102 Cx2（x1）2+12 D （x+1）2x2+12 9 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 OABC 的顶点 O 与原点重合，点 A 在 x 轴的正半轴上， ACOC按以下步骤作图：以点 O 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边 OA，OC 于点 E，F； 分别以点 E、F 为圆心，大于EF 的长为半径作弧，两弧在A
5、OC 内交于点 P；作射线 OP，交边 AC 于点 D若 CD3，AD5，则点 B 的坐标为（ ） A （10，） B （，） C （12，） D （，） 10 （3 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，平行四边形 ABCO 的一边 CO 在 x 轴上，A，B 在第二象限， C 在 A 左侧，AOC60，AC5，AO2，直线 ED 的解析式为 yx+5，现将平行四边形沿 x 轴向右平移，当直线 ED 恰好平分平行四边形 ABCO 的面积时，此时的平移距离为（ ） A+ B4+2 C8 D5+ 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 小题，共小题，共 15 分）分） 11 （3 分）计
6、算：2+（2）0 12 （3 分）不等式组的解集是 13 （3 分）现有四张正面分别标有数字1，1，2，3 的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们 背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后 两次抽取的数字分别记为 m，n则点 P（m，n）在第二象限的概率为 14 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，连接 DE，将ADE 沿 DE 翻折，恰好使点 A 落在 BC 边的中点 F 处，在 DF 上取点 O，以 O 为圆心，OF 长为半径作半圆与 CD 相切于点 G若 AD4，则 图中阴影部分的面积为 15 （3 分）如图
7、，在ABC 中，A45，AB17，CD 为 AB 边上的高，CD12，点 P 为边 BC 上的一 个动点，M、N 分别为边 AB，AC 上的动点，则MNP 周长的最小值是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 75 分）分） 16 （8 分）先化简，再求值：（x+1） ，其中 x 为整数，且满足 0 x 17 （9 分）红树林学校在七年级新生中举行了全员参加的“防溺水”安全知识竞赛，试卷题目共 10 题，每 题 10 分现分别从三个班中各随机取 10 名同学的成绩（单位：分） ，收集数据如下： 1 班：90，70，80，80，80，80，80，90，80，100； 2
8、 班：70，80，80，80，60，90，90，90，100，90； 3 班：90，60，70，80，80，80，80，90，100，100 整理数据： 分数 人数 班级 60 70 80 90 100 1 班 0 1 6 2 1 2 班 1 1 3 a 1 3 班 1 1 4 2 2 分析数据： 平均数 中位数 众数 1 班 83 80 80 2 班 83 c d 3 班 b 80 80 根据以上信息回答下列问题： （1）请直接写出表格中 a，b，c，d 的值； （2）比较这三组样本数据的平均数、中位数和众数，你认为哪个班的成绩比较好？请说明理由； （3）为了让学生重视安全知识的学习，学校将
9、给竞赛成绩满分的同学颁发奖状，该校七年级新生共 570 人，试估计需要准备多少张奖状？ 18 （9 分）风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图 1） ， 图 2 是从图 1 引出的平面图假设你站在 A 处测得塔杆顶端 C 的仰角是 55，沿 HA 方向水平前进 43 米到达山底 G 处，在山顶 B 处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端 D（D、C、H 在同 一直线上）的仰角是 45已知叶片的长度为 35 米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计） ，山高 BG 为 10 米，BGHG，CHAH，求塔杆 CH 的高 （参考数据：tan551.4，ta
10、n350.7，sin550.8， sin350.6） 19 （9 分）甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度 y（米）与登山时间 x（分）之间的函 数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）甲登山上升的速度是每分钟 米，乙在 A 地时距地面高度 b 为 米 （2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的 3 倍， 请求出乙登山全程中，距地面的高度 y（米）与登山时间 x（分） 之间的函数关系式 （3）当 0t11 时，直接写出经过多长时间，甲、乙两人距地面 的高度之差为 50 米？ 20 （9 分）如图，D 是ABC 的 BC 边上一点，连接 AD，作ABD
11、的外接圆，将ADC 沿直线 AD 折叠， 点 C 的对应点 E 落在圆 O 上 （1）求证：AEAB； （2）填空： 当CAD 时，四边形 OBED 是菱形 当CAB90，cosADB，BE2 时，BC 21 （10 分）已知二次函数 yx2+mx+n（m，n 为常数） （1）若 m2，n4，求二次函数的最小值； （2）若 n3，该二次函数的图象与直线 y1 只有一个公共点，求 m 的值； （3）若 nm2，且 3m+40，当 x 满足 mxm+2 时，y 有最小值 13，求此二次函数的解析式 22 （10 分）小兴在数学学习中遇到这样一个问题： 如图 1，已知ABC 中，AB5cm，BC7c
12、m，BC 边上的高 AD4cm，ABC 的角平分线交 AD 于 F， 点 E 是 BC 边上的动点， 点 G 是 BE 的中点， 连接 EF， 当GEF 是等腰三角形时， 求出线段 BE 的长度 小兴发现通过常规推理计算很难解决这个问题，于是他根据学习函数的经验，对 EF，FG 和 BE 的长度 之间的关系进行探究： （1）设 BE 的长度为 x，通过画图，测量，计算，分析，得到了 BE，FG，EF 长度的几组对应值，如表： BE/cm 0 1 2 3 4 5 FG/cm 3.35 2.97 2.55 2.17 1.84 1.60 EF/cm 3.35 2.50 1.80 1.50 1.80
13、a 操作中发现，EF 的最小值为 ，当 BE 的长是 5 时，EF 的长 a （2）将线段 BE 的长度作为自变量 x，EF 和 GF 分别是 x 的函数，记为 yEF和 yGF，并在平面直角坐标 系中画出了函数 yEF的图象，如图 2 所示，请在同一平面直角坐标系中根据小兴描出的点，画出函数 yGF 的图象 （3）想要彻底解决这个问题，仍需要在坐标系中绘制出一条函数图象，它是： ，请你画出它 的函数图象，结合图象直接写出，当GEF 是等腰三角形时，线段 BE 长的近似值为（保留一位小数） 23 （11 分）在ABC 中，ACB90，ACBC，点 D 是直线 AB 上的一动点（不与点 A，B
14、重合）连 接 CD，在 CD 的右侧以 CD 为斜边作等腰直角三角形 CDE，点 H 是 BD 的中点，连接 EH 【问题发现】 （1）如图（1） ，当点 D 是 AB 的中点时，线段 EH 与 AD 的数量关系是 EH 与 AD 的位置关系是 【猜想论证】 （2）如图（2） ，当点 D 在边 AB 上且不是 AB 的中点时， （1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就 图（2）中的情况给出证明；若不成立，请说明理由 【拓展应用】 （3）若 ACBC2，其他条件不变，连接 AE、BE当BCE 是等边三角形时，请直接写出ADE 的面积 2020-2021 学年河南省郑州市中原区九年级（下）第一次
15、月考数学试卷学年河南省郑州市中原区九年级（下）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，共小题，共 30 分）分） 1 （3 分）的相反数是（ ） A2020 B C2020 D 【解答】解：的相反数是； 故选：B 2 （3 分）下列几何体是由 4 个相同的小正方体搭成的，其中主视图、左视图、俯视图都相同的是（ ） A B C D 【解答】解：A主视图、左视图、俯视图均为底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，故 本选项符合题意； B 主视图与左视图均为底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形；而俯视图的底层左边是
16、一个 小正方形，上层是两个小正方形，故本选项不合题意； C主视图是“L”型，俯视图是一行三个小正方形，而左视图是一列两个小正方形，故本选项不合题意 D主视图为底层两个小正方形，上层的右边是一个小正方形；左视图为底层是两个小正方形，上层的 左边是一个小正方形；俯视图的底层左边是一个小正方形，上层是两个小正方形，故本选项不合题意； 故选：A 3 （3 分）下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ） A调查电视台节目的收视率 B调查嫦娥四号登月探测器的零部件质量 C调查炮弹的杀伤力的情况 D调查市民对皮影表演艺术的喜爱程度 【解答】解：A、调查电视台节目的收视率，适合抽样调查，故选项错误； B、调查嫦娥
17、四号登月探测器的零部件质量，是精确度要求高的调查，适于全面调查，故选项正确； C、调查炮弹的杀伤力的情况，适合抽样调查，故选项错误； D、调查市民对皮影表演艺术的喜爱程度，适合抽样调查，故选项错误 故选：B 4（3 分） 将一副三角板 （A30， E45） 按如图所示方式摆放， 使得 BAEF， 则AOF 等于 （ ） A75 B90 C105 D115 【解答】解：BAEF，A30， FCAA30 FE45， AOFFCA+F30+4575 故选：A 5 （3 分）广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星” ，它距离太阳系 约 4.2 光年光年是天文学中一种计量天
18、体时空距离的长度单位，1 光年约为 9 500 000 000 000 千米，则 “比邻星”距离太阳系约为（ ） A41013千米 B41012千米 C9.51013千米 D9.51012千米 【解答】解：依题意得：4.2 光年4.29.5101241013 故选：A 6 （3 分）点（x1，y1） 、 （x2，y2） 、 （x3，y3）在反比例 y上，且 x10 x2x3，则有（ ） Ay1y2y3 By2y3y1 Cy1y3y2 Dy3y2y1 【解答】解：k0， 函数图象在二，四象限，由 x10 x2x3可知，横坐标为 x1的点在第二象限，横坐标为 x2，x3的点 在第四象限 第四象限内
19、点的纵坐标总小于第二象限内点的纵坐标， y1最大，在第二象限内，y 随 x 的增大而增大， y2y3y1 故选：B 7 （3 分）定义新运算“a*b”对于任意实数 a，b，都有 a*b（a+b） （ab）1，其中等式右边是通常的 加法、减法、乘法运算，例如：4*3（4+3）（43）1716若 x*kx（k 为实数）是关于 x 的方程，则它的根的情况为（ ） A有一个实数根 B有两个相等的实数根 C有两个不相等的实数根 D没有实数根 【解答】解：x*kx（k 为实数）是关于 x 的方程， （x+k） （xk）1x， 整理得 x2xk210 （1）24（k21） 4k2+50， 方程有两个不相等的
20、实数根 故选：C 8 （3 分） 九章算术内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈，倚 木于垣， 上与垣齐 引木却行一尺， 其木至地 问木长几何？” 其内容可以表述为： “有一面墙， 高一丈 将 一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上如果使木杆下端从此时的位置 向远离墙的方向移动 1 尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上问木杆长多少尺？” （说明：1 丈10 尺） 设木杆长 x 尺，依题意，下列方程正确的是（ ） Ax2（x1）2+102 B （x+1）2x2+102 Cx2（x1）2+12 D （x+1）2x2+12 【解答】解：如图，设木
21、杆 AB 长为 x 尺，则木杆底端 B 离墙的距离即 BC 的长有（x1）尺， 在 RtABC 中， AC2+BC2AB2， 102+（x1）2x2， 故选：A 9 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 OABC 的顶点 O 与原点重合，点 A 在 x 轴的正半轴上， ACOC按以下步骤作图：以点 O 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边 OA，OC 于点 E，F； 分别以点 E、F 为圆心，大于EF 的长为半径作弧，两弧在AOC 内交于点 P；作射线 OP，交边 AC 于点 D若 CD3，AD5，则点 B 的坐标为（ ） A （10，） B （，） C （12，） D （，） 【解
22、答】解：过 D 作 DQOA 交 OA 于点 Q，过 B 作 BHOA 于 H，如图所示， 由题意知：OD 是COA 的角平分线， CODQOD， ACOC，DQOA， 在COD 和QOD 中， CODQOD） （AAS） ， DCDQ3， OCOQ， AD5， AQ4， 设 OCOQa， 在 RtAOC 中，有 a2+（3+5）2（a+4）2， 解得：a6， OAOQ+QA6+410， 四边形 OACB 是平行四边形， OCAB， COABAH，OCAB， ABHOAC， ， AH， BH， OHOA+AH10+， B（，） 故选：D 10 （3 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，平行
23、四边形 ABCO 的一边 CO 在 x 轴上，A，B 在第二象限， C 在 A 左侧，AOC60，AC5，AO2，直线 ED 的解析式为 yx+5，现将平行四边形沿 x 轴向右平移，当直线 ED 恰好平分平行四边形 ABCO 的面积时，此时的平移距离为（ ） A+ B4+2 C8 D5+ 【解答】解：作 AMOC 于 M， AOC60，AC5，AO2， OMAO，AMAO3， CM4， OC4+， A（，3） ，C（4，0） ， AC 的中点为（2，） ， 平行四边形沿 x轴向右平移， 当直线 ED 恰好平分平行四边形ABCO 的面积时， 则 ED 必经过 AC 的中点， 把 y代入 yx+5
24、 得，x+5，解得 x， （2）+， 平移距离为+， 故选：A 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 小题，共小题，共 15 分）分） 11 （3 分）计算：2+（2）0 2 【解答】解：原式32+12， 故答案为：2 12 （3 分）不等式组的解集是 2x 【解答】解：解不等式 4（x+1）7x+10，得：x2， 解不等式 x5，得：x， 不等式组的解集为2x， 故答案为：2x 13 （3 分）现有四张正面分别标有数字1，1，2，3 的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们 背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后 两次抽取的数
25、字分别记为 m，n则点 P（m，n）在第二象限的概率为 【解答】解：画树状图为： 共有 16 种等可能的结果数，其中点 P（m，n）在第二象限的结果数为 3， 所以点 P（m，n）在第二象限的概率 故答案为： 14 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，连接 DE，将ADE 沿 DE 翻折，恰好使点 A 落在 BC 边的中点 F 处，在 DF 上取点 O，以 O 为圆心，OF 长为半径作半圆与 CD 相切于点 G若 AD4，则 图中阴影部分的面积为 【解答】解：连接 OG，QG， 将ADE 沿 DE 翻折，恰好使点 A 落在 BC 边的中点 F 处， ADDF4，BFCF2
26、， 矩形 ABCD 中，DCF90， FDC30， DFC60， O 与 CD 相切于点 G， OGCD， BCCD， OGBC， DOGDFC， ， 设 OGOFx，则， 解得：x，即O 的半径是 连接 OQ，作 OHFQ， DFC60，OFOQ， OFQ 为等边三角形；同理OGQ 为等边三角形； GOQFOQ60，OHOQ， QH， CQ 四边形 OHCG 为矩形， OHCG， S阴影SCGQ 故答案为： 15 （3 分）如图，在ABC 中，A45，AB17，CD 为 AB 边上的高，CD12，点 P 为边 BC 上的一 个动点，M、N 分别为边 AB，AC 上的动点，则MNP 周长的最小
27、值是 【解答】解：作点 P 关于直线 AB,AC 的对称点 Q,R,连接 QM,RN,QR,如图: 则 PMQM,PNRN, .PMN 的周长为:PM+MN+PNQM+MN+RN, 当点 Q,M,N,R 四点共线时,MNP 的周长最小,即为 QR 的长, 连接 AQ,AP,AR, :点 P 关于直线 AB,AC 的对称点为点 Q,R, BAQBAP,CARCAP,AQAPAR, QAP2BAP,RAP2CAP, BAC45, BAP+CAP45, 2BAP+2CAP90, QARQAP+RAP2BAP+2CAP90, 在 RtQAR 中，QAR90,AQAR, AQ+ARQR, 2AQQR,
28、QRAQAP, 求 QR 的最小值时，只需求出 AP 的最小值, 点 P 在 BC 上运动, 当 APBC 时，AP 的值最小,此时 QR 的值最小，即MNP 的周长最小, 在 RtDAC 中,ADC90,DAC45， DCA90一DAC904545DAC ADCD12, AB17, BDABAD17125， 在 RtDBC 中,BDC90， BC13, 当 APBC 时, SABCBCAPABCD, AP, QRAP, NMP 的周长的最小值为 故答案为：。 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 75 分）分） 16 （8 分）先化简，再求值：（x+1） ，其中 x
29、 为整数，且满足 0 x 【解答】解：原 ， x 为整数，且满足 0 x， x 为 1 或 2， 但是当 x1 时，分式无意义， 所以只有 x2， 当 x2 时，原式 17 （9 分）红树林学校在七年级新生中举行了全员参加的“防溺水”安全知识竞赛，试卷题目共 10 题，每 题 10 分现分别从三个班中各随机取 10 名同学的成绩（单位：分） ，收集数据如下： 1 班：90，70，80，80，80，80，80，90，80，100； 2 班：70，80，80，80，60，90，90，90，100，90； 3 班：90，60，70，80，80，80，80，90，100，100 整理数据： 分数 人数
30、 班级 60 70 80 90 100 1 班 0 1 6 2 1 2 班 1 1 3 a 1 3 班 1 1 4 2 2 分析数据： 平均数 中位数 众数 1 班 83 80 80 2 班 83 c d 3 班 b 80 80 根据以上信息回答下列问题： （1）请直接写出表格中 a，b，c，d 的值； （2）比较这三组样本数据的平均数、中位数和众数，你认为哪个班的成绩比较好？请说明理由； （3）为了让学生重视安全知识的学习，学校将给竞赛成绩满分的同学颁发奖状，该校七年级新生共 570 人，试估计需要准备多少张奖状？ 【解答】解： （1）由题意知 a4， b（90+60+70+80+80+80
31、+80+90+100+100）83， 2 班成绩重新排列为 60，70，80，80，80，90，90，90，90，100， c85，d90； （2）从平均数上看三个班都一样； 从中位数看，1 班和 3 班一样是 80，2 班最高是 85； 从众数上看，1 班和 3 班都是 80，2 班是 90； 综上所述，2 班成绩比较好； （3）57076（张） ， 答：估计需要准备 76 张奖状 18 （9 分）风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图 1） ， 图 2 是从图 1 引出的平面图假设你站在 A 处测得塔杆顶端 C 的仰角是 55，沿 HA 方向水平前进
32、 43 米到达山底 G 处，在山顶 B 处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端 D（D、C、H 在同 一直线上）的仰角是 45已知叶片的长度为 35 米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计） ，山高 BG 为 10 米，BGHG，CHAH，求塔杆 CH 的高 （参考数据：tan551.4，tan350.7，sin550.8， sin350.6） 【解答】解：如图，作 BEDH 于点 E， 则 GHBE、BGEH10， 设 AHx，则 BEGHGA+AH43+x， 在 RtACH 中，CHAHtanCAHtan55x， CECHEHtan55x10， DBE45， BEDECE+DC，即
33、43+xtan55x10+35， 解得：x45， CHtan55x1.44563， 答：塔杆 CH 的高为 63 米 19 （9 分）甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度 y（米）与登山时间 x（分）之间的函 数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）甲登山上升的速度是每分钟 10 米，乙在 A 地时距地面高度 b 为 30 米 （2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的 3 倍， 请求出乙登山全程中，距地面的高度 y（米）与登山时间 x（分） 之间的函数关系式 （3）当 0t11 时，直接写出经过多长时间，甲、乙两人距地面 的高度之差为 50 米？ 【
34、解答】解： （1） （300100）2010（米/分钟） ， b151230 故答案为：10；30； （2）当 0 x2 时，y15x； 当 x2 时，y30+103（x2）30 x30 当 y30 x30300 时，x11 乙登山全程中， 距地面的高度 y （米） 与登山时间 x （分） 之间的函数关系式为 y； （3）甲登山全程中，距地面的高度 y（米）与登山时间 x（分）之间的函数关系式为 y10 x+100（0 x 11） 当 10 x+100（30 x30）50 时，解得：x4； 当 30 x30（10 x+100）50 时，解得：x9； 当 300（10 x+100）50 时，解得
35、：x15（舍去） 答：登山 4 分钟或 9 分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为 50 米 20 （9 分）如图，D 是ABC 的 BC 边上一点，连接 AD，作ABD 的外接圆，将ADC 沿直线 AD 折叠， 点 C 的对应点 E 落在圆 O 上 （1）求证：AEAB； （2）填空： 当CAD 30 时，四边形 OBED 是菱形 当CAB90，cosADB，BE2 时，BC 3 【解答】 （1）证明：由折叠知，ACAE，CAED， ABCAED， CABC， ABAC， AEAB； （2）解：如图， 四边形 AOED 是菱形， DEOAAD， 连接 OD， OAOD， ADOAOD， AOD
36、是等边三角形， ADO60， 同理：ODE60， ADEADO+ODE120， 由折叠知，CDDE，ADCADE， ADC120， ADDE， CDAD， CADC（180ADC）30， 故答案为：30 如图，过点 A 作 AFBE 于 F， 由（1）知，AEAB， EFBE1， ADBAEB，cosADB， cosAEB， 在 RtAFE 中，cosAEB， AE3EF3， 由（1）知，AEAB， AB3， 由（1）知，ABAC， CAB90， BCAB3， 故答案为：3 21 （10 分）已知二次函数 yx2+mx+n（m，n 为常数） （1）若 m2，n4，求二次函数的最小值； （2）若
37、 n3，该二次函数的图象与直线 y1 只有一个公共点，求 m 的值； （3）若 nm2，且 3m+40，当 x 满足 mxm+2 时，y 有最小值 13，求此二次函数的解析式 【解答】解： （1）当 m2，n4 时，yx22x4（x1）25 当 x1 时，y 最小值5； （2）当 n3 时，yx2+mx+3， 令 y1，则 x2+mx+31， 由题意知，x2+mx+31 有两个相等的实数根， 则m280， m； （3）由 3m+40，可知 m， mxm+2， 抛物线 yx2+mx+m2的对称轴为 x， m， ， 对称轴为 x， 在 mxm+2 时，y 随 x 的增大而减小， 当 xm+2，y
38、有最小值为 13， （m+2）2+m（m+2）+m213， 即 m2+2m30， 解得 m1 或 m3，而 m， m3， 此时，yx23x+9 22 （10 分）小兴在数学学习中遇到这样一个问题： 如图 1，已知ABC 中，AB5cm，BC7cm，BC 边上的高 AD4cm，ABC 的角平分线交 AD 于 F， 点 E 是 BC 边上的动点， 点 G 是 BE 的中点， 连接 EF， 当GEF 是等腰三角形时， 求出线段 BE 的长度 小兴发现通过常规推理计算很难解决这个问题，于是他根据学习函数的经验，对 EF，FG 和 BE 的长度 之间的关系进行探究： （1）设 BE 的长度为 x，通过画
39、图，测量，计算，分析，得到了 BE，FG，EF 长度的几组对应值，如表： BE/cm 0 1 2 3 4 5 FG/cm 3.35 2.97 2.55 2.17 1.84 1.60 EF/cm 3.35 2.50 1.80 1.50 1.80 a 操作中发现，EF 的最小值为 1.50 ，当 BE 的长是 5 时，EF 的长 a 2.50 （2）将线段 BE 的长度作为自变量 x，EF 和 GF 分别是 x 的函数，记为 yEF和 yGF，并在平面直角坐标 系中画出了函数 yEF的图象，如图 2 所示，请在同一平面直角坐标系中根据小兴描出的点，画出函数 yGF 的图象 （3）想要彻底解决这个问
40、题，仍需要在坐标系中绘制出一条函数图象，它是： yGE ，请你画出它的 函数图象，结合图象直接写出，当GEF 是等腰三角形时，线段 BE 长的近似值为（保留一位小数） 【解答】解： （1）根据表格中的信息可知，EF 的最小值为 1.50， 根据对称性可知，当 BE5 时，EF 的值与 BE1 时 EF 的值相等，即 EF2.50 故答案为：1.50，2.50； （2）函数图象如图所示： （3）直线 yGE如图所示， 观察图象可知，当GEF 是等腰三角形时，线段 BE 长的近似值为 2.9、3.7、5.3 或 4.1 故答案为：yGE 23 （11 分）在ABC 中，ACB90，ACBC，点 D
41、 是直线 AB 上的一动点（不与点 A，B 重合）连 接 CD，在 CD 的右侧以 CD 为斜边作等腰直角三角形 CDE，点 H 是 BD 的中点，连接 EH 【问题发现】 （1）如图（1） ，当点 D 是 AB 的中点时，线段 EH 与 AD 的数量关系是 EHAD， EH 与 AD 的 位置关系是 EHAB 【猜想论证】 （2）如图（2） ，当点 D 在边 AB 上且不是 AB 的中点时， （1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就 图（2）中的情况给出证明；若不成立，请说明理由 【拓展应用】 （3）若 ACBC2，其他条件不变，连接 AE、BE当BCE 是等边三角形时，请直接写出ADE
42、的面积 【解答】解： （1）如图 1 中， CACB，ACB90，ADBD， CDAB，CDADDB， AB45，DCBACD45， DCE45， 点 E 在线段 CB 上， DEBC， EDBB45， DHHB， EHDB，EHDBAD， 故答案为 EHAD，EHAD （2）结论仍然成立： 理由：如图 2 中，延长 DE 到 F，使得 EFDE，连接 CF，BF DEEFCEDF， CDCF， CDFCFD45， ECFECD45， ACBDCF90， ACDBCF， CACB， ACDBCF（SAS） ， ADBF，ACBF45， ABC45， ABF90， BFAB， DEEF，DHHB
43、， EHBF，EHBF， EHAD，EHAD （3）如图 31 中，当BCE 是等边三角形时，过点 E 作 EHBD 于 H ACB90，ECB60， ACE30， ACCBCEEBDE2， CAECEA75， CAB45， EAH30， DEC90，CEB60， DEB150， EDBEBD15， EAHADE+AED， ADEAED15， ADAE，设 EHx，则 ADAE2x，AHx， EH2+DH2DE2， x2+（2x+x）28， x1， AD22， SADEADEH（22） （1）42 如图 32 中，当BCE 是等边三角形时，过点 E 作 EHBD 于 H 同法可求：EH+1，AD2+2， SADEADEH（2） （+1）4+2， 综上所述，满足条件的ADE 的面积为 42或 4+2
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