1、 2021 年江苏省连云港市中考数学试卷年江苏省连云港市中考数学试卷 一、选择题（本大题共有一、选择题（本大题共有 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 3相反数是（ ） A. 1 3 B. 3 C. 1 3 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的两个数称为相反数 【详解】解：3的相反数是 3 故选：D 【点睛】本题考查了相反数的意义
2、只有符号不同的两个数为相反数，0的相反数是 0 2. 下列运算正确的是（ ） A. 325abab B. 22 523ab C. 2 77aaa D. 2 2 11 2xxx 【答案】D 【解析】 【分析】根据同类项与合并同类项、全完平方差公式的展开即可得出答案 【详解】解：A，3a与2b不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意； B， 2 5a与 2 2b不是同类项，不能合并得到常数值，故选项错误，不符合题意； C，合并同类项后 2 787aaaa，故选项错误，不符合题意； D，完全平方公式： 2 2 2 11221xxxxx ，故选项正确，符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了代数式
3、运算，同类项合并及完全平方差公式，解题的关键是：掌握相关的运算法则 3. 2021年 5 月 18日上午，江苏省人民政府召开新闻发布会，公布了全省最新人口数据，其中连云港市的常 住人口约为 4600000 人把“4600000”用科学记数法表示为（ ） A. 7 0.46 10 B. 7 4.6 10 C. 6 4.6 10 D. 5 46 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据公式10na（110a，n为正整数）表示出来即可 【详解】解：4600000= 6 4.6 10 故选：C 【点睛】本题主要考查了科学记数法，关键是根据公式10na（110a，n为正整数）将所给数据表示 出来 4.
4、正五边形的内角和是（ ） A. 360 B. 540 C. 720 D. 900 【答案】B 【解析】 【分析】n 边形的内角和是2 180n ，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和 【详解】 （72）180=900 故选 D 【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，是 需要熟记的内容 5. 如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点 D、C分别落在点 1 D、 1 C的位置， 1 ED的延长线交BC于 点 G，若64EFG，则EGB等于（ ） A. 128 B. 130 C. 132 D. 136 【答案】A 【解析】 【分析】由矩形得
5、到 AD/BC，DEF=EFG，再由与折叠的性质得到DEF=GEF=EFG，用三角形的 外角性质求出答案即可 【详解】解：四边形 ABCD 是矩形， AD/BC， 矩形纸片ABCD沿EF折叠， DEF=GEF， 又AD/BC， DEF=EFG， DEF=GEF=EFG=64， EGB是EFG 的外角， EGB=GEF+EFG=128 故选：A 【点睛】本题考查了矩形的性质与折叠的性质，关键在于折叠得出角相等，再由平行得到内错角相等，由 三角形外角的性质求解 6. 关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征 甲：函数图像经过点( 1,1)； 乙：函数图像经过第四象限；
6、丙：当0 x时，y随 x的增大而增大 则这个函数表达式可能是（ ） A. y x B. 1 y x C. 2 yx= D. 1 y x 【答案】D 【解析】 【分析】根据所给函数的性质逐一判断即可 【详解】 解： A.对于y x ， 当 x=-1 时， y=1， 故函数图像经过点( 1,1)； 函数图象经过二、 四象限； 当0 x 时，y 随 x 的增大而减小故选项 A 不符合题意； B.对于 1 y x ，当 x=-1 时，y=-1，故函数图像不经过点( 1,1)；函数图象分布在一、三象限；当0 x时，y 随 x的增大而减小故选项 B 不符合题意； C.对于 2 yx=，当 x=-1 时，y
7、=1，故函数图像经过点( 1,1) ；函数图象分布在一、二象限；当0 x时，y 随 x的增大而增大故选项 C 不符合题意； D.对于 1 y x ，当 x=-1 时，y=1，故函数图像经过点( 1,1)；函数图象经过二、四象限；当0 x时，y 随 x的增大而增大故选项 D 符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查的是一次函数、二次函数以及反比例函数的性质，熟知相关函数的性质是解答此题的关 键 7. 如图，ABC中，BDAB，BD、AC相交于点 D， 4 7 ADAC，2AB ，150ABC，则 DBC的面积是（ ） A. 3 3 14 B. 9 3 14 C. 3 3 7 D. 6 3 7 【答
8、案】A 【解析】 【分析】过点 C作CEAB的延长线于点E，由等高三角形的面积性质得到:3:7 DBCABC SS，再证明 ADBACEV: V，解得 4 7 AB AE ，分别求得 AE、CE 长，最后根据ACE的面积公式解题 【详解】解：过点 C作CEAB的延长线于点E， DBC与ADB是等高三角形， 43 :4:3 77 ADBDBC SSAD DCACAC :3:7 DBCABC SS BDAB ADBACEV: V 2 2 4 16 7 49 ADB ACE AC SAD SACAC 4 7 AB AE 2AB 7 2 AE 73 2 22 BE 150 ,ABCQ 18015030
9、CBE 3 tan30 2 CEBE 设4 ,3 ADBDBC Sx Sx 49 4 ACE Sx 49173 4222 x 3 14 x 3 3 3 14 x， 故选：A 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、正切等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键 8. 如图，正方形ABCD内接于O，线段MN在对角线BD上运动，若 O的面积为2，1MN ，则 AMN周长的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用将军饮马之造桥选址的数学方法进行计算 【详解】如图所示， （1）N为BD上一动点，A点关于线段BD的对称点为点C，连接CN，则=CN AN，
10、过A点作CN的 平行线AG，过C点作BD的平行线CG，两平行线相交于点G，AG与BD相交于点 M /,/,CN MG NM CG 四边形CNMG是平行四边形 MG CN MG AN 则=1 AMN CANAMNMMGAM （2）找一点N， 连接CN，则=CNAN，过G点作CN的平行线MG，连接AM则 = 1 AM N CANAMN MANAMCGANAMNMANAM 此时1 1ANAMANAM AMN AM N CC （1）中 AMN周长取到最小值 四边形CNMG是平行四边形 CNMNMA 四边形ABCD是正方形 COOA ，ACBD 又CNMNMA，NOCMOA，COOA CNOAOM AA
11、S ON OM 又ACBD AN AM ANM是等腰三角形 2 2Sr，则圆的半径2r ， 111 1 222 OMMN 2 2 222 19 +2 24 AMrOM 3 2 AM 3 =2+1=4 2 AMN C 故选：B 【点睛】本题难度较大，需要具备一定的几何分析方法关键是要找到AMN周长取最小值时MN、的 位置 二、填空题（本大题共有二、填空题（本大题共有 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分不需要写出解答过程，请把答案直分不需要写出解答过程，请把答案直 接填写在答题卡相应位置上）接填写在答题卡相应位置上） 9. 一组数据 2，1，3，1，2，4的中位数是_ 【答案
12、】2 【解析】 【分析】先排序，再进行计算； 【详解】解：从小到大排序为：1，1，2，2，3，4， 数字有 6 个， 中位数为： 22 2 2 ， 故答案是 2 【点睛】本题主要考查了中位数求解，准确计算是解题的关键 10. 计算 2 5_ 【答案】5 【解析】 【分析】直接运用二次根式的性质解答即可 【详解】解： 2 55 故填 5 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，掌握 2 0 0 a a a a a 成为解答本题的关键 11. 分解因式： 2 961xx _ 【答案】 （3x1）2 【解析】 【分析】原式利用完全平方公式分解即可 【详解】解：原式（3x1）2， 故答案为： （3x1）
13、2 【点睛】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键 12. 已知方程 2 30 xxk有两个相等的实数根，则k=_ 【答案】 9 4 【解析】 【分析】 【详解】试题分析： 2 30 xxk有两个相等的实数根， =0， 9-4k=0， k= 9 4 故答案为 9 4 考点：根的判别式 13. 如图，OA、OB是O的半径， 点 C在O上， 30AOB，40OBC， 则O A C_ 【答案】25 【解析】 【分析】连接 OC，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到BOC=100，求出AOC，根据等腰 三角形的性质计算 【详解】解：连接 OC， OC=OB， OCB=O
14、BC=40， BOC=180 -40 2=100 ， AOC=100 +30 =130 ， OC=OA， OAC=OCA=25， 故答案为：25 【点睛】 本题考查的是圆的基本性质、 等腰三角形的性质， 三角形内角和定理， 掌握三角形内角和等于 180 是解题的关键 14. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点 O，OE AD，垂足为 E，8AC ，6BD，则OE 的长为_ 【答案】 12 5 【解析】 【分析】直接利用菱形的性质得出 AO，DO 的长，再利用勾股定理得出菱形的边长，进而利用等面积法得 出答案 【详解】解：菱形 ABCD的对角线 AC、BD 相交于点 O，且 AC=8，
15、DB=6， AO=4，DO=3，AOD=90 ， AD=5， 在Rt ADO 中，由等面积法得： 11 22 AO DOAD OE=gg , 3412 55 AO DO OE AD = g 故答案为：12 5 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的高的求法（等面积法） ，熟记性质与定理 是解题关键 15. 某快餐店销售 A、B 两种快餐，每份利润分别为 12 元、8 元，每天卖出份数分别为 40份、80 份该店 为了增加利润，准备降低每份 A种快餐的利润，同时提高每份 B 种快餐的利润售卖时发现，在一定范围 内，每份 A种快餐利润每降 1元可多卖 2份，每份 B 种快餐利润
16、每提高 1 元就少卖 2份如果这两种快餐 每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是_元 【答案】1264 【解析】 【分析】根据题意，总利润=A快餐的总利润B快餐的总利润，而每种快餐的利润=单件利润对应总数 量，分别对两份快餐前后利润和数量分析，代入求解即可 【详解】解：设A种快餐的总利润为 1 W，B种快餐的总利润为 2 W，两种快餐的总利润为W，设A快餐的 份数为x份，则 B种快餐的份数为120 x份 据题意： 2 1 401 12122032 222 xx Wxxxx 2 2 801201 = 8120722400 22 x Wxxx 2 2 12 1042400=52126
17、4WWWxxx 10 当52x的时候，W取到最大值 1264，故最大利润为 1264 元 故答案为：1264 【点睛】 本题考查的是二次函数的应用，正确理解题意、通过具体问题找到变化前后的关系是解题关键点 16. 如图，BE是ABC的中线， 点 F在BE上， 延长AF交BC于点 D 若3B FF E ， 则 BD DC _ 【答案】 3 2 【解析】 【分析】连接 ED，由BE是ABC的中线，得到 BEBCE SS A ， AEDEDC SS，由 3BFFE，得到 3,3 ABFBFD AFEFED SS SS ，设= , AEFEFD Sx Sy，由面积的等量关系解得 5 3 xy，最后根据
18、等高三角形的性质 解得 ABD ADC SBD SDC ，据此解题即可 【详解】解：连接 ED BE是ABC的中线， ABEBCE SS， AEDEDC SS 3BFFE 3,3 ABFBFD AFEFED SS SS 设= , AEFEFD Sx Sy， 33 ABFBFD SxSy， 4 ,4 ,4 ABEBECBED Sx Sx Sy 44 EDCBECBED SSSxy ADEEDC SS 44xyxy 5 3 xy ABD与ADC是等高三角形， 5 3+3 333383 3 = 516 44532 53 33 ABD ADC yy SBDxyxyy SDCxyxyxy yyy ， 故
19、答案为： 3 2 【点睛】本题考查三角形的中线、三角形的面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关 键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 11 小题，共小题，共 102 分请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的分请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的 文字说明、证明过程或演算步骤）文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 23 862 【答案】4 【解析】 【分析】由 3 8=2，-6 =6，计算出结果 【详解】解：原式2 6 44 故答案为：4 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，关键是开三次方与绝对值的计算 18. 解不等式组： 311 442 xx x
20、x 【答案】x2 【解析】 【分析】按照解一元一次不等式组的一般步骤进行解答即可 【详解】解：解不等式 3x1x+1，得：x1， 解不等式 x+44x2，得：x2， 不等式组的解集为 x2 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟悉“解一元一次不等式的方法和确定不等式组解集的方法” 是解答本题的关键. 19. 解方程： 2 14 1 11 x xx 【答案】无解 【解析】 分析】将分式去分母，然后再解方程即可 【详解】解：去分母得：() 2 2 141xx+-=- 整理得22x，解得1x ， 经检验，1x 是分式方程增根， 故此方程无解 【点睛】本题考查的是解分式方程，要注意验根，熟悉相关运算
21、法则是解题的关键 20. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗某食品厂为了解市民对去年销量较好的 A、B、C、D四种粽子的 喜爱情况，在端午节前对某小区居民进行抽样调查（每人只选一种粽子） ，并将调查情况绘制成如下两幅尚 不完整的统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）扇形统计图中，D 种粽子所在扇形的圆心角是_； （3）这个小区有 2500人，请你估计爱吃 B 种粽子的人数为_ 【答案】 （1）见解析； （2）108； （3）500 【解析】 【分析】 （1）由 A种粽子数量 240 除以占比 40%可得粽子总数为 600 个，继而解得 B种粽子的数量即可解 题； （
22、2）将 D种粽子数量除以总数再乘以 360即可解题； （3）用 B 种粽子的人数除以总数再乘以 2500 即可解题 【详解】解： （1）由条形图知，A种粽子有 240 个，由扇形图知 A种粽子占总数的 40%， 可知粽子总数有： 240 =600 40% （个） B 种粽子有600240 60 180120（个） ； （2） 180 360 =108 600 ， 故答案为：108； （3） 120 2500=500 600 （人） ， 故答案为：500 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、求扇形的圆心角、用样本估计总体等知识，是重要考点，难 度较易，掌握相关知识是解题关键 21. 为了参加
23、全市中学生“党史知识竞赛”，某校准备从甲、乙 2 名女生和丙、丁 2名男生中任选 2人代表 学校参加比赛 （1）如果已经确定女生甲参加，再从其余候选人中随机选取 1 人，则女生乙被选中的概率是_； （2）求所选代表恰好为 1名女生和 1 名男生的概率 【答案】 （1） 1 3 ； （2） 2 3 【解析】 【分析】 （1）由一共有 3种等可能性的结果，其中恰好选中女生乙的有 1种，即可求得答案； （2）先求出全部情况的总数，再求出符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率 【详解】解： （1）已确定女生甲参加比赛，再从其余 3 名同学中随机选取 1 名有 3 种结果，其中恰好选 中女生乙的
24、只有 1 种， 恰好选中乙的概率为 1 3 ； 故答案为： 1 3 ； （2）分别用字母 A，B 表示女生，C，D表示男生 画树状如下： 4 人任选 2人共有 12 种等可能结果，其中 1名女生和 1名男生有 8种， P（1 女 1男） 82 123 答：所选代表恰好为 1名女生和 1名男生的概率是 2 3 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与古典概率的求解方法列表法或画树状图法可以不 重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况 数之比 22. 如图，点 C 是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形 （1）求证：四边形ACED是平行
25、四边形； （2）如果ABAE，求证：四边形ACED是矩形 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）由平行四边形的性质以及点 C 是 BE的中点，得到 ADCE，AD=CE，从而证明四边形 ACED 是平行四边形； （2）由平行四边形的性质证得 DC=AE，从而证明平行四边形 ACED是矩形 【详解】证明： （1）四边形 ABCD是平行四边形， ADBC，且 AD=BC 点 C是 BE的中点， BC=CE， AD=CE， ADCE， 四边形 ACED是平行四边形； （2）四边形 ABCD是平行四边形， AB=DC， AB=AE， DC=AE， 四边形 ACED是平行四边
26、形， 四边形 ACED是矩形 【点睛】本题考查了平行四边形和矩形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键 23. 为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液已知 2瓶 A 型消毒液和 3 瓶 B型消毒液共需 41元，5 瓶 A 型消毒液和 2 瓶 B型消毒液共需 53 元 （1）这两种消毒液的单价各是多少元？ （2）学校准备购进这两种消毒液共 90瓶，且 B 型消毒液的数量不少于 A型消毒液数量的 1 3 ，请设计出最 省钱的购买方案，并求出最少费用 【答案】 （1）A种消毒液的单价是 7元，B型消毒液的单价是 9元； （2）购进A种消毒液 67 瓶，购进B种 23 瓶，最少费用为 676 元
27、【解析】 【分析】 （1）根据题中条件列出二元一次方程组，求解即可； （2）利用由（1）求出的两种消毒液的单价，表示出购买的费用的表达式，根据购买两种消毒液瓶数之间 的关系，求出引进表示瓶数的未知量的范围，即可确定方案 【详解】解： （1）设A种消毒液的单价是x元，B型消毒液的单价是y元 由题意得： 2341 5253 xy xy ，解之得， 7 9 x y ， 答：A种消毒液的单价是 7元，B型消毒液的单价是 9元 （2）设购进A种消毒液a瓶，则购进B种90a瓶，购买费用为W元 则79 902810Waaa， W随着a增大而减小，a最大时，W有最小值 又 1 90 3 aa，67.5a 由于
28、a是整数，a最大值为 67， 即当67a时，最省钱，最少费用为8102 67676 元 此时，90 6723 最省钱的购买方案是购进A种消毒液 67瓶，购进B种 23 瓶 【点睛】本题考查了二元一次不等式组的求解及利用一次函数的增减性来解决生活中的优化决策问题，解 题的关键是：仔细审题，找到题中的等量关系，建立等式进行求解 24. 如图，Rt ABC中，90ABC，以点 C为圆心，CB为半径作 C，D为C上一点，连接AD、 CD，ABAD，AC平分BAD （1）求证：AD是C的切线； （2）延长AD、BC相交于点 E，若2 EDCABC SS，求tan BAC的值 【答案】 （1）见解析； （
29、2） 2 2 【解析】 【分析】 （1）利用 SAS 证明BACDAC，可得90ADCABC，即可得证； （2）由已知条件可得EDCEBA，可得出 :1: 2DC BA ，进而得出 :1: 2CB BA 即可求得 tan BAC； 【详解】 （1）AC平分BAD， BACDAC ABAD，ACAC， BACDAC 90ADCABC CDAD， AD是C的切线 （2）由（1）可知，90EDCABC， 又EE ， EDCEBA 2 EDCABC SS，且BACDAC， :1:2 EDCEBA SS， :1: 2DC BA DCCB， :1: 2CB BA 90ABC 2 tan 2 CB BAC
30、BA 【点睛】此题考查了切线的判定与性质，正切的性质，以及相似三角形的性质判定，熟练掌握基础知识是 解本题的关键 25. 我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地 小明的爸爸周末去前三岛钓鱼， 将鱼竿AB摆成如图 1 所示 已 知4.8mAB ， 鱼竿尾端A离岸边0.4m， 即0 . 4 mAD 海面与地面AD平行且相距1.2m， 即1 . 2 mDH （1） 如图 1， 在无鱼上钩时， 海面上方的鱼线BC与海面HC的夹角37BCH， 海面下方的鱼线CO与 海面HC垂直，鱼竿AB与地面AD的夹角22BAD求点 O 到岸边DH的距离； （2）如图 2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角53BAD，此时鱼线
31、被拉直，鱼线5.46mBO，点 O 恰好位于海面求点 O到岸边DH的距离 （参考数据： 3 sin37cos53 5 ， 4 cos37sin53 5 ， 3 tan37 4 ， 3 sin22 8 ， 15 cos22 16 ， 2 tan22 5 ） 【答案】 （1）8.1m； （2）4.58m 【解析】 【分析】 （1）过点B作BFCH，垂足为F，延长AD交BF于点E，构建RtABE和RtBFC，在 RtABE中，根据三角函数的定义与三角函数值求出 BE,AE;再用BEEF求出 BF，在RtBFC中，根 据三角函数的定义与三角函数值求出 FC，用CFAEADCH+-=; （2） 过点B作
32、BNOH， 垂足为N， 延长AD交BN于点M， 构建Rt ABM和Rt BNO， 在R t A B M 中，根据 53和 AB的长求出 BM和 AM，利用 BM+MN 求出 BN，在Rt BNO中利用勾股定理求出 ON， 最后用 HN+ON求出 OH 【详解】 （1）过点B作BFCH，垂足为F，延长AD交BF于点E， 则AEBF，垂足为E 由cos AE BAE AB ，cos22 4.8 AE ， 15 164.8 AE ，即4.5AE ， 4.5 0.44.1DEAEAD， 由sin BE BAE AB ，sin22 4.8 BE ， 3 84.8 BE ，即1.8BE ， 1.8 1.2
33、3BFBEEF 又tan BF BCF CF ， 3 tan37 CF ， 33 4 CF ，即4CF ， 44.18.1CHCFHFCFDE， 即C到岸边的距离为8.1m （2）过点B作BNOH，垂足为N，延长AD交BN于点M， 则AMBN，垂足为M 由cos AM BAM AB ，cos53 4.8 AM ， 3 54.8 AM ， 即2.88AM，2.88 0.42.48DMAMAD 由sin BM BAM AB ，sin53 4.8 BM ， 4 54.8 BM ， 即3.84BM，3.84 1.25.04BNBMMN 2222 5.465.044.412.1ONOBBN ， 4.58
34、OHONHNONDM， 即点O到岸边的距离为4.58m 【点睛】本题以钓鱼为背景，考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，解题关键在于构造合适 的直角三角形，运用三角函数的运算，根据一边和一角的已知量，求其他边；再根据特殊的几何位置关系 求线段长度 26. 如图，抛物线 22 3(69)ymxmxm与 x 轴交于点 A、B，与 y轴交于点 C，已知(3,0)B （1）求 m的值和直线BC对应的函数表达式； （2）P为抛物线上一点，若 PBCABC SS ，请直接写出点 P的坐标； （3）Q为抛物线上一点，若45ACQ，求点 Q的坐标 【答案】 （1）1m ，3yx； （2）2,1P， 3
35、17717 , 22 P ， 317717 , 22 P ； （3） 75 , 24 Q 【解析】 【分析】 （1）求出 A，B的坐标，用待定系数法计算即可； （2）做点 A关于 BC的平行线 1 AP，联立直线 1 AP与抛物线的表达式可求出 1 P的坐标，设出直线 1 AP与 y 轴的交点为 G， 将直线 BC向下平移， 平移的距离为 GC 的长度， 可得到直线 23 P P， 联立方程组即可求出 P； （3）取点Q，连接CQ，过点A作ADCQ于点D，过点D作DFx轴于点F，过点C作CEDF 于点E，得直线CD对应的表达式为 1 3 2 yx，即可求出结果； 【详解】 （1）将3,0B代入
36、 22 369ymxmxm ， 化简得 2 0mm，则0m（舍）或1m ， 1m ， 得： 2 43yxx ，则0, 3C 设直线BC对应的函数表达式为y kxb ， 将3,0B、0, 3C代入可得 03 3 kb b ，解得1k ， 则直线BC对应的函数表达式为3yx （2）如图，过点 A 作 1 APBC，设直线 1 AP与 y轴的交点为 G，将直线 BC向下平移 GC个单位，得到直 线 23 P P， 由（1）得直线 BC 的解析式为3yx，()1,0A， 直线 AG的表达式为 1yx ， 联立 2 1 43 yx yxx ， 解得： 1 0 x y （舍） ，或 2 1 x y ， 1
37、 2,1P， 由直线 AG的表达式可得1,0G ， 2GC ，2CH ， 直线 23 P P的表达式为5yx ， 联立 2 5 43 yx yxx ， 解得： 1 1 317 2 717 x y ， 2 2 317 2 717 x y ， 3 317717 , 22 P ， 2 317717 , 22 P ， 2,1P， 317717 , 22 P， 317717 , 22 P （3）如图，取点Q，连接CQ，过点A作ADCQ于点D， 过点D作DFx轴于点F，过点C作CEDF于点E， 45ACQ， AD=CD， 又 90ADC， 90ADFCDE， 90CDEDCE， DCEADF， 又90EA
38、FD ， CDEDAF，则AFDE，CEDF 设DEAFa， 1OA，OFCE， 1CEDFa 由3OC ，则3 DFa，即13 aa，解之得，1a 所以2, 2D，又0, 3C， 可得直线CD对应的表达式为 1 3 2 yx， 设 1 ,3 2 Q mm ，代入 2 43yxx ， 得 2 1 343 2 mmm， 2 1 4 2 mmm， 2 7 0 2 mm， 又0m，则 7 2 m 所以 75 , 24 Q 【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，结合一元二次方程求解是解题的关键 27. 在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动 （1）ABC是边长为3的等边三角形， E是边AC上的一点
39、， 且1AE ， 小亮以BE为边作等边三角形BEF， 如图 1，求CF的长； （2）ABC是边长为 3的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小亮以BE为边作等边三角形BEF， 如图 2，在点 E 从点 C到点 A 的运动过程中，求点 F 所经过的路径长； （3）ABC是边长为 3 的等边三角形， M 是高CD上的一个动点， 小亮以BM为边作等边三角形BMN， 如图 3，在点 M从点 C 到点 D 的运动过程中，求点 N所经过的路径长； （4）正方形ABCD的边长为 3，E 是边CB上的一个动点，在点 E 从点 C 到点 B 的运动过程中，小亮以 B 为顶点作正方形BFGH，其中点 F、G都在直
40、线AE上，如图 4，当点 E 到达点 B时，点 F、G、H与点 B 重合则点 H 所经过的路径长为_，点 G所经过的路径长为_ 【答案】 （1）1； （2）3； （3） 3 3 2 ； （4） 3 4 ； 3 2 4 【解析】 【分析】 （1）由ABC、BEF是等边三角形，BABC，BEBF， ABECBF，可证 ABECBF即可； （2）连接CF，ABC、BEF是等边三角形，可证ABECBF，可得BCFABC，又点E在 C处时，CFAC，点E在 A处时，点F与C重合可得点F运动的路径的长3AC； （3）取BC中点H，连接HN，由ABC、BMN是等边三角形，可证DBMHBN，可得 NHBC又点
41、M在C处时， 3 3 2 HNCD，点M在D处时，点N与H重合可求点N所经过 的路径的长 3 3 2 CD； （4）连接 CG ,AC ，OB，由CGA=90 ，点 G在以 AC 中点为圆心，AC为直径的BC上运动，由四边形 ABCD 为正方形，BC为边长，设 OC=x，由勾股定理 222 COBOBC即，可求 3 2 2 x ，点 G 所经过的 路径长为BC长= 3 2 4 ，点 H所经过的路径长为 BN的长 3 4 【详解】解:（1）ABC、BEF是等边三角形， BABC，BEBF，60ABCEBF ABECBECBFCBE， ABECBF， ABECBF， 1CFAE； （2）连接CF，
42、 ABC、BEF是等边三角形， BABC，BEBF，60ABCEBF ABECBECBFCBE， ABECBF， ABECBF， CFAE，60BCFBAE， 60ABC， BCFABC， /CFAB， 又点E在C处时，CFAC，点E在 A 处时，点F与C重合 点F运动的路径的长3AC； （3）取BC中点H，连接HN， 1 2 BHBC， 1 2 BHAB， CDAB， 1 2 BDAB， BHBD， ABC、BMN是等边三角形， BMBN，60ABCMBN， DBMMBHHBNMBH， DBMHBN， DBMHBN， HNDM，90BHNBDM， NHBC， 又点M在C处时， 3 3 2 H
43、NCD，点M在D处时，点N与H重合， 点N所经过的路径的长 3 3 2 CD； （4）连接 CG ,AC ，OB， CGA=90 ， 点 G在以 AC中点为圆心，AC 为直径的BC上运动， 四边形 ABCD为正方形，BC为边长， COB=90 ，设 OC=x， 由勾股定理 222 COBOBC即 222 3xx， 3 2 2 x ， 点 G 所经过的路径长为BC长= 13 23 2 2 424 ， 点 H 在以 BC中点为圆心，BC长为直径的弧 BN上运动， 点 H 所经过的路径长为 BN的长度， 点 G运动圆周的四分之一， 点 H也运动圆周的四分一， 点 H 所经过的路径长为 BN的长= 133 2 424 ， 故答案为 3 4 ； 3 2 4 【点睛 本题考查等边三角形的性质， 三角形全等判定与性质， 勾股定理， 90 圆周角所对弦是直径， 圆的弧长公式， 掌握等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，90 圆周角所对弦是直径，圆的弧长公式是解 题关键
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