1、2021 年四川省成都市中考数学试卷年四川省成都市中考数学试卷 A 卷（共卷（共 100 分）第卷（选择题，共分）第卷（选择题，共 30 分）一、选择题（本大题共分）一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，分， 每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1 （3 分）7 的倒数是（ ） A B C7 D7 2 （3 分）如图所示的几何体是由 6 个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ） A B C D 3 （3 分）2021 年 5 月 15 日 7 时 1
2、8 分，天问一号探测器成功着陆距离地球逾 3 亿千米的神秘火星，在火 星上首次留下中国人的印迹，这是我国航天事业发展的又一具有里程碑意义的进展将数据 3 亿用科学 记数法表示为（ ） A3105 B3106 C3107 D3108 4 （3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 M（4，2）关于 x 轴对称的点的坐标是（ ） A （4，2） B （4，2） C （4，2） D （4，2） 5 （3 分）下列计算正确的是（ ） A3mn2mn1 B （m2n3）2m4n6 C （m）3mm4 D （m+n）2m2+n2 6 （3 分）如图，四边形 ABCD 是菱形，点 E，F 分别在 BC，DC
3、 边上，添加以下条件不能判定ABE ADF 的是（ ） ABEDF BBAEDAF CAEAD DAEBAFD 7 （3 分）菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，常被视为数学界的诺贝尔奖，每四年颁发一次，最近一届 获奖者获奖时的年龄（单位：岁）分别为：30，40，34，36，则这组数据的中位数是（ ） A34 B35 C36 D40 8 （3 分）分式方程+1 的解为（ ） Ax2 Bx2 Cx1 Dx1 9 （3 分） 九章算术卷八方程第十题原文为： “今有甲、乙二人持钱不知其数甲得乙半而钱五十，乙得 甲太半而亦钱五十问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱如果甲得到乙 所有
4、钱的一半，那么甲共有钱 50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱 50问：甲、乙两人各带 了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为 x，y，则可列方程组为（ ） A B C D 10 （3 分）如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 6，以顶点 A 为圆心，AB 的长为半径画圆，则图中阴影部 分的面积为（ ） A4 B6 C8 D12 第卷（非选择题，共第卷（非选择题，共 70 分）二、填空题（本大题共分）二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 16 分，答案写在答题卡分，答案写在答题卡 上）上） 11 （4 分）因式分解：x24 12 （4 分）如图，数字代
5、表所在正方形的面积，则 A 所代表的正方形的面积为 13 （4 分）在平面直角坐标系 xOy 中，若抛物线 yx2+2x+k 与 x 轴只有一个交点，则 k 14 （4 分）如图，在 RtABC 中，C90，ACBC，按以下步骤作图：以点 A 为圆心，以任意长 为半径作弧，分别交 AC，AB 于点 M，N；分别以 M，N 为圆心，以大于MN 的长为半径作弧，两弧 在BAC 内交于点 O；作射线 AO，交 BC 于点 D若点 D 到 AB 的距离为 1，则 BC 的长 为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 个小题，共个小题，共 54 分，解答过程写在答题卡上）分，解答过程写在答题卡上
6、） 15 （12 分） （1）计算：+（1+）02cos45+|1| （2）解不等式组： 16 （6 分）先化简，再求值： （1+），其中 a3 17 （8 分）为有效推进儿童青少年近视防控工作，教育部办公厅等十五部门联合制定儿童青少年近视防 控光明行动工作方案（20212025 年） ，共提出八项主要任务，其中第三项任务为强化户外活动和体育 锻炼我市各校积极落实方案精神，某学校决定开设以下四种球类的户外体育选修课程：篮球、足球、 排球、乒乓球为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你选择哪种球类课程”的调查（要 求必须选择且只能选择其中一门课程） ，并根据调查结果绘制成不完整的统计图表
7、 课程 人数 篮球 m 足球 21 排球 30 乒乓球 n 根据图表信息，解答下列问题： （1）分别求出表中 m，n 的值； （2）求扇形统计图中“足球”对应的扇形圆心角的度数； （3）该校共有 2000 名学生，请你估计其中选择“乒乓球”课程的学生人数 18 （8 分）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措某校 学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度如图，已知测倾器的高度为 1.6 米，在 测点 A 处安置测倾器，测得点 M 的仰角MBC33，在与点 A 相距 3.5 米的测点 D 处安置测倾器， 测得点 M 的仰角MEC45（点 A，D
8、 与 N 在一条直线上） ，求电池板离地面的高度 MN 的长 （结果 精确到 1 米；参考数据 sin330.54，cos330.84，tan330.65） 19 （10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 yx+的图象与反比例函数 y（x0）的 图象相交于点 A（a，3） ，与 x 轴相交于点 B （1）求反比例函数的表达式； （2）过点 A 的直线交反比例函数的图象于另一点 C，交 x 轴正半轴于点 D，当ABD 是以 BD 为底的等 腰三角形时，求直线 AD 的函数表达式及点 C 的坐标 20 （10 分）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，连接 AC，BC，D 为
9、 AB 延长线上一点，连接 CD， 且BCDA （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若O 的半径为，ABC 的面积为 2，求 CD 的长； （3）在（2）的条件下，E 为O 上一点，连接 CE 交线段 OA 于点 F，若，求 BF 的长 B 卷（共卷（共 50 分）一、填空题（本大题共分）一、填空题（本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 20 分，答案写在答题卡上）分，答案写在答题卡上） 21 （4 分）在正比例函数 ykx 中，y 的值随着 x 值的增大而增大，则点 P（3，k）在第 象限 22 （4 分）若 m，n 是一元二次方程 x2+2x10 的两个实数根，
10、则 m2+4m+2n 的值是 23 （4 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 yx+与O 相交于 A，B 两点，且点 A 在 x 轴上，则弦 AB 的长为 24 （4 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB4，AD8，点 E，F 分别在边 AD，BC 上，且 AE3，按以下步 骤操作： 第一步，沿直线 EF 翻折，点 A 的对应点 A恰好落在对角线 AC 上，点 B 的对应点为 B，则线段 BF 的长为 ； 第二步，分别在 EF，AB上取点 M，N，沿直线 MN 继续翻折，使点 F 与点 E 重合，则线段 MN 的 长为 25 （4 分）我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定
11、义：从任意顶点出发，沿顺时针或逆时 针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角形的顺序旋转和或逆序 旋转和如图 1，ar+cq+bp 是该三角形的顺序旋转和，ap+bq+cr 是该三角形的逆序旋转和已知某三角 形的特征值如图 2，若从 1，2，3 中任取一个数作为 x，从 1，2，3，4 中任取一个数作为 y，则对任意 正整数 z，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于 4 的概率是 二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共 3 个小题，共个小题，共 30 分，答过程写在答题卡上）分，答过程写在答题卡上） 26 （8 分）为改善城市人居环境， 成都市生活垃圾管理
12、条例 （以下简称条例 ）于 2021 年 3 月 1 日起 正式施行某区域原来每天需要处理生活垃圾 920 吨，刚好被 12 个 A 型和 10 个 B 型预处置点位进行初 筛、压缩等处理已知一个 A 型点位比一个 B 型点位每天多处理 7 吨生活垃圾 （1）求每个 B 型点位每天处理生活垃圾的吨数； （2）由于条例的施行，垃圾分类要求提高，在每个点位每天将少处理 8 吨生活垃圾，同时由于市民 环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少 10 吨若该区域计划增设 A 型、B 型点位共 5 个，试问至少需要增设几个 A 型点位才能当日处理完所有生活垃圾？ 27 （10 分）在 RtABC
13、 中，ACB90，AB5，BC3，将 ABC 绕点 B 顺时针旋转得到ABC， 其中点 A，C 的对应点分别为点 A，C （1）如图 1，当点 A落在 AC 的延长线上时，求 AA的长； （2）如图 2，当点 C落在 AB 的延长线上时，连接 CC，交 AB 于点 M，求 BM 的长； （3）如图 3，连接 AA，CC，直线 CC交 AA于点 D，点 E 为 AC 的中点，连接 DE在旋转过程 中，DE 是否存在最小值？若存在，求出 DE 的最小值；若不存在，请说明理由 28 （12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 ya（xh）2+k 与 x 轴相交于 O，A 两点，顶点 P
14、的坐标为（2，1） 点 B 为抛物线上一动点，连接 AP，AB，过点 B 的直线与抛物线交于另一点 C （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点 B 的横坐标与纵坐标相等，ABCOAP，且点 C 位于 x 轴上方，求点 C 的坐标； （3）若点 B 的横坐标为 t，ABC90，请用含 t 的代数式表示点 C 的横坐标，并求出当 t0 时，点 C 的横坐标的取值范围 2021 年四川省成都市中考数学试卷年四川省成都市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 A 卷（共卷（共 100 分）第卷（选择题，共分）第卷（选择题，共 30 分）一、选择题（本大题共分）一、选择题（本大题共 10
15、个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，分， 每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1 （3 分）7 的倒数是（ ） A B C7 D7 【解答】解：7（）1， 7 的倒数是： 故选：A 2 （3 分）如图所示的几何体是由 6 个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ） A B C D 【解答】解：从上面看，底层的最右边是一个小正方形，上层是四个小正方形，右齐 故选：C 3 （3 分）2021 年 5 月 15 日 7 时 18 分，天问一号探测器成功着陆距离地球逾 3 亿千米的神秘
16、火星，在火 星上首次留下中国人的印迹，这是我国航天事业发展的又一具有里程碑意义的进展将数据 3 亿用科学 记数法表示为（ ） A3105 B3106 C3107 D3108 【解答】解：3 亿3000000003108 故选：D 4 （3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 M（4，2）关于 x 轴对称的点的坐标是（ ） A （4，2） B （4，2） C （4，2） D （4，2） 【解答】解：点 M（4，2）关于 x 轴对称的点的坐标是（4，2） 故选：C 5 （3 分）下列计算正确的是（ ） A3mn2mn1 B （m2n3）2m4n6 C （m）3mm4 D （m+n）2m2+n2
17、【解答】解：A.3mn2mnmn，故本选项不合题意； B （m2n3）2m4n6，故本选项符合题意； C （m）3mm4，故本选项不合题意； D （m+n）2m2+2mn+n2，故本选项不合题意； 故选：B 6 （3 分）如图，四边形 ABCD 是菱形，点 E，F 分别在 BC，DC 边上，添加以下条件不能判定ABE ADF 的是（ ） ABEDF BBAEDAF CAEAD DAEBAFD 【解答】解：由四边形 ABCD 是菱形可得：ABAD，BD， A、添加 BEDF，可用 SAS 证明ABEADF，故不符合题意； B、添加BAEDAF，可用 ASA 证明ABEADF，故不符合题意； C、
18、添加 AEAD，不能证明ABEADF，故符合题意； D、添加AEBAFD，可用 AAS 证明ABEADF，故不符合题意； 故选：C 7 （3 分）菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，常被视为数学界的诺贝尔奖，每四年颁发一次，最近一届 获奖者获奖时的年龄（单位：岁）分别为：30，40，34，36，则这组数据的中位数是（ ） A34 B35 C36 D40 【解答】解：把已知数据按照由小到大的顺序重新排序后为 30，34，36，40， 中位数为（34+36）235 故选：B 8 （3 分）分式方程+1 的解为（ ） Ax2 Bx2 Cx1 Dx1 【解答】解：分式方程整理得：1， 去分母得：2x1x
19、3， 解得：x2， 检验：当 x2 时，x30， 分式方程的解为 x2 故选：A 9 （3 分） 九章算术卷八方程第十题原文为： “今有甲、乙二人持钱不知其数甲得乙半而钱五十，乙得 甲太半而亦钱五十问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱如果甲得到乙 所有钱的一半，那么甲共有钱 50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱 50问：甲、乙两人各带 了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为 x，y，则可列方程组为（ ） A B C D 【解答】解：设甲需持钱 x，乙持钱 y， 根据题意，得：， 故选：A 10 （3 分）如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 6，以顶点 A 为圆心
20、，AB 的长为半径画圆，则图中阴影部 分的面积为（ ） A4 B6 C8 D12 【解答】解：正六边形的外角和为 360， 每一个外角的度数为 360660， 正六边形的每个内角为 18060120， 正六边形的边长为 6， S阴影12， 故选：D 第卷（非选择题，共第卷（非选择题，共 70 分）二、填空题（本大题共分）二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 16 分，答案写在答题卡分，答案写在答题卡 上）上） 11 （4 分）因式分解：x24 （x+2） （x2） 【解答】解：x24（x+2） （x2） 故答案为： （x+2） （x2） 12 （4 分）如图
21、，数字代表所在正方形的面积，则 A 所代表的正方形的面积为 100 【解答】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方36，一直角边的平方64， 则斜边的平方36+64100 故答案为 100 13 （4 分）在平面直角坐标系 xOy 中，若抛物线 yx2+2x+k 与 x 轴只有一个交点，则 k 1 【解答】解：由题意得：b24ac44k0， 解得 k1， 故答案为 1 14 （4 分）如图，在 RtABC 中，C90，ACBC，按以下步骤作图：以点 A 为圆心，以任意长 为半径作弧，分别交 AC，AB 于点 M，N；分别以 M，N 为圆心，以大于MN 的长为半径作弧，两弧 在BAC 内
22、交于点 O； 作射线 AO， 交 BC 于点 D 若点 D 到 AB 的距离为 1， 则 BC 的长为 1+ 【解答】解：过点 D 作 DHAB，则 DH1， 由题目作图知，AD 是CAB 的平分线， 则 CDDH1， ABC 为等腰直角三角形，故B45， 则DHB 为等腰直角三角形，故 BDHD， 则 BCCD+BD1+, 故答案为：1+ 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 个小题，共个小题，共 54 分，解答过程写在答题卡上）分，解答过程写在答题卡上） 15 （12 分） （1）计算：+（1+）02cos45+|1| （2）解不等式组： 【解答】解： （1）原式2+12+1 2+
23、1+1 2； （2）由得：x2.5， 由得：x4， 则不等式组的解集为 2.5x4 16 （6 分）先化简，再求值： （1+），其中 a3 【解答】解：原式 ， 当 a3 时，原式 17 （8 分）为有效推进儿童青少年近视防控工作，教育部办公厅等十五部门联合制定儿童青少年近视防 控光明行动工作方案（20212025 年） ，共提出八项主要任务，其中第三项任务为强化户外活动和体育 锻炼我市各校积极落实方案精神，某学校决定开设以下四种球类的户外体育选修课程：篮球、足球、 排球、乒乓球为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你选择哪种球类课程”的调查（要 求必须选择且只能选择其中一门课程） ，
24、并根据调查结果绘制成不完整的统计图表 课程 人数 篮球 m 足球 21 排球 30 乒乓球 n 根据图表信息，解答下列问题： （1）分别求出表中 m，n 的值； （2）求扇形统计图中“足球”对应的扇形圆心角的度数； （3）该校共有 2000 名学生，请你估计其中选择“乒乓球”课程的学生人数 【解答】解： （1）30120（人） ， 即参加这次调查的学生有 120 人， 选择篮球的学生 m12030%36， 选择乒乓球的学生 n12036213033； （2）36063， 即扇形统计图中“足球”项目所对应扇形的圆心角度数是 63； （3）2000550（人） ， 答：估计其中选择“乒乓球”课程的
25、学生有 550 人 18 （8 分）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措某校 学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度如图，已知测倾器的高度为 1.6 米，在 测点 A 处安置测倾器，测得点 M 的仰角MBC33，在与点 A 相距 3.5 米的测点 D 处安置测倾器， 测得点 M 的仰角MEC45（点 A，D 与 N 在一条直线上） ，求电池板离地面的高度 MN 的长 （结果 精确到 1 米；参考数据 sin330.54，cos330.84，tan330.65） 【解答】解：延长 BC 交 MN 于点 H，ADBE3.5， 设 MHx 米，
26、 MEC45，故 EHx 米， 在 RtMHB 中，tanMBH0.65，解得 x6.5， 则 MN1.6+6.58.18（米） ， 电池板离地面的高度 MN 的长约为 8 米 19 （10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 yx+的图象与反比例函数 y（x0）的 图象相交于点 A（a，3） ，与 x 轴相交于点 B （1）求反比例函数的表达式； （2）过点 A 的直线交反比例函数的图象于另一点 C，交 x 轴正半轴于点 D，当ABD 是以 BD 为底的等 腰三角形时，求直线 AD 的函数表达式及点 C 的坐标 【解答】 （1）一次函数 yx+的图象经过点 A（a，3） ， a
27、+3， 解得：a2， A（2，3） ， 将 A（2，3）代入 y（x0） ， 得：3， k6， 反比例函数的表达式为 y； （2）如图，过点 A 作 AEx 轴于点 E， 在 yx+中，令 y0，得x+0， 解得：x2， B（2，0） ， E（2，0） ， BE2（2）4， ABD 是以 BD 为底边的等腰三角形， ABAD， AEBD， DEBE4， D（6，0） ， 设直线 AD 的函数表达式为 ymx+n， A（2，3） ，D（6，0） ， ， 解得：， 直线 AD 的函数表达式为 yx+， 联立方程组：， 解得：（舍去） ， 点 C 的坐标为（4，） 20 （10 分）如图，AB 为O
28、 的直径，C 为O 上一点，连接 AC，BC，D 为 AB 延长线上一点，连接 CD， 且BCDA （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若O 的半径为，ABC 的面积为 2，求 CD 的长； （3）在（2）的条件下，E 为O 上一点，连接 CE 交线段 OA 于点 F，若，求 BF 的长 【解答】 （1）证明：连接 OC,如图： AB 为O 的直径， ACB90，A+ABC90， OBOC, ABCBCO, 又BCDA， BCD+BCO90，即DCO90， OCCD, CD 是O 的切线； （2）过 C 作 CMAB 于 M,过 B 作 BNCD 于 N,如图： O 的半径为， AB2，
29、ABC 的面积为 2, ABCM2，即2CM2， CM2， RtBCM 中，BCM90CBA, RtABC 中，A90CBA, BCMA, tanBCMtanA,即, , 解得 BM1，(BM+1 已舍去） ， BCDA,BCMA, BCDBCM, 而BMCBNC90，BCBC, BCMBCN(AAS), CNCM2，BNBM1， DNBDMC90,DD, DBNDCM, , 即， 解得 DN22， CDDN+CN2； 方法二：过 C 作 CMAB 于 M,连接 OC,如图： O 的半径为， AB2， ABC 的面积为 2, ABCM2，即2CM2， CM2， RtMOC 中，OM1， DMC
30、CMO90，CDM90DCMOCM, DCMCOM, ,即， CD2； （3）过 C 作 CMAB 于 M,过 E 作 EHAB 于 H,连接 OE,如图： CMAB，EHAB， , ， ， 由（2）知 CM2，BM1， HE1，MF2HF, RtOEH 中，OH2， AHOAOH2， 设 HFx,则 MF2x, 由 AB2可得：BM+MF+HF+AH2， (1)+2x+x+(2)2, 解得：x1, HF1,MF2, BFBM+MF(1)+2+1 B 卷（共卷（共 50 分）一、填空题（本大题共分）一、填空题（本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 20 分，答案写在答题
31、卡上）分，答案写在答题卡上） 21 （4 分）在正比例函数 ykx 中，y 的值随着 x 值的增大而增大，则点 P（3，k）在第 一 象限 【解答】解：在正比例函数 ykx 中，y 的值随着 x 值的增大而增大， k0， 点 P（3，k）在第一象限 故答案为：一 22 （4 分）若 m，n 是一元二次方程 x2+2x10 的两个实数根，则 m2+4m+2n 的值是 3 【解答】解：m 是一元二次方程 x2+2x10 的根， m2+2m10， m2+2m1， m、n 是一元二次方程 x2+2x10 的两个根， m+n2， m2+4m+2nm2+2m+2m+2n1+2（2）3 故答案为：3 23
32、（4 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 yx+与O 相交于 A，B 两点，且点 A 在 x 轴上，则弦 AB 的长为 2 【解答】解：设直线 AB 交 y 轴于 C，过 O 作 ODAB 于 D，如图： 在 yx+中，令 x0 得 y, C(0,),OC, 在 yx+中令 y0 得x+0, 解得 x2, A(2,0),OA2, RtAOC 中，tanCAO, CAO30， RtAOD 中，ADOAcos302， ODAB， ADBD， AB2， 故答案为：2 24 （4 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB4，AD8，点 E，F 分别在边 AD，BC 上，且 AE3，按以下步 骤操
33、作： 第一步，沿直线 EF 翻折，点 A 的对应点 A恰好落在对角线 AC 上，点 B 的对应点为 B，则线段 BF 的长为 1 ； 第二步，分别在 EF，AB上取点 M，N，沿直线 MN 继续翻折，使点 F 与点 E 重合，则线段 MN 的 长为 【解答】解：如图，过点 F 作 FTAD 于 T,则四边形 ABFT 是矩形，连接 FN,EN,设 AC 交 EF 于 J 四边形 ABFT 是矩形， ABFT4,BFAT, 四边形 ABCD 是矩形， ABCD4,ADBC8,BD90 AC4, TFE+AEJ90,DAC+AEJ90, TFEDAC, FTED90, FTEADC, , , TE
34、2,EF2, BFATAEET321, 设 ANx, NM 垂直平分线段 EF, NFNE, 12+(4x)232+x2, x1, FN, MN, 故答案为：1， 25 （4 分）我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶点出发，沿顺时针或逆时 针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角形的顺序旋转和或逆序 旋转和如图 1，ar+cq+bp 是该三角形的顺序旋转和，ap+bq+cr 是该三角形的逆序旋转和已知某三角 形的特征值如图 2，若从 1，2，3 中任取一个数作为 x，从 1，2，3，4 中任取一个数作为 y，则对任意 正整数 z，此三角形的
35、顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于 4 的概率是 【解答】解：该三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差为（4x+2z+3y）（3x+2y+4z）x+y2z， 画树状图为： 共有 12 种等可能的结果，其中此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于 4 的结果数为 9， 所以三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于 4 的概率 故答案为 二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共 3 个小题，共个小题，共 30 分，答过程写在答题卡上）分，答过程写在答题卡上） 26 （8 分）为改善城市人居环境， 成都市生活垃圾管理条例 （以下简称条例 ）于 2021 年 3 月 1 日起 正式施行某区域原来每天需要处
36、理生活垃圾 920 吨，刚好被 12 个 A 型和 10 个 B 型预处置点位进行初 筛、压缩等处理已知一个 A 型点位比一个 B 型点位每天多处理 7 吨生活垃圾 （1）求每个 B 型点位每天处理生活垃圾的吨数； （2）由于条例的施行，垃圾分类要求提高，在每个点位每天将少处理 8 吨生活垃圾，同时由于市民 环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少 10 吨若该区域计划增设 A 型、B 型点位共 5 个，试问至少需要增设几个 A 型点位才能当日处理完所有生活垃圾？ 【解答】解： （1）设每个 B 型点位每天处理生活垃圾 x 吨，则每个 A 型点位每天处理生活垃圾（x+7） 吨，根据题
37、意可得： 12（x+7）+10 x920， 解得：x38， 答：每个 B 型点位每天处理生活垃圾 38 吨； （2）设需要增设 y 个 A 型点位才能当日处理完所有生活垃圾， 由（1）可知： 条例施行前，每个 A 型点位每天处理生活垃圾 45 吨，则条例施行后，每个 A 型 点位每天处理生活垃圾 45837（吨） ， 条例施行前，每个 B 型点位每天处理生活垃圾 38 吨，则条例施行后，每个 B 型点位每天处理 生活垃圾 38830（吨） ， 根据题意可得：37（12+y）+30（10+5y）92010， 解得 y， y 是正整数， 符合条件的 y 的最小值为 3， 答：至少需要增设 3 个
38、A 型点位才能当日处理完所有生活垃圾 27 （10 分）在 RtABC 中，ACB90，AB5，BC3，将 ABC 绕点 B 顺时针旋转得到ABC， 其中点 A，C 的对应点分别为点 A，C （1）如图 1，当点 A落在 AC 的延长线上时，求 AA的长； （2）如图 2，当点 C落在 AB 的延长线上时，连接 CC，交 AB 于点 M，求 BM 的长； （3）如图 3，连接 AA，CC，直线 CC交 AA于点 D，点 E 为 AC 的中点，连接 DE在旋转过程 中，DE 是否存在最小值？若存在，求出 DE 的最小值；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）ACB90,AB5，BC3， AC
39、4， ACB90，ABC 绕点 B 顺时针旋转得到ABC，点 A落在 AC 的延长线上, ACB90，ABAB5， RtABC 中，AC4， AAAC+AC8； （2）过 C 作 CEAB 交 AB 于 E,过 C 作 CDAB 于 D,如图： ABC 绕点 B 顺时针旋转得到ABC， ABCABC,BCBC3， CEAB, ABCCEB, CEBABC, CEBC3， RtABC 中，SABCACBCABCD,AC4，BC3，AB5， CD， RtCED 中，DE， 同理 BD， BEDE+BD，CEBC+BE3+， CEAB, , ， BM； （3）DE 存在最小值 1，理由如下： 过 A
40、 作 APAC交 CD 延长线于 P,连接 AC，如图： ABC 绕点 B 顺时针旋转得到ABC， BCBC,ACBACB90，ACAC, BCCBCC, 而ACP180ACBBCC90BCC, ACDACBBCC90BCC, ACPACD, APAC， PACD, PACP, APAC, APAC, 在APD 和ACD 中， , APDACD(AAS), ADAD,即 D 是 AA中点， 点 E 为 AC 的中点， DE 是AAC 的中位线， DEAC, 要使 DE 最小，只需 AC 最小，此时 A、C、B 共线，AC 的最小值为 ABBCABBC2， DE 最小为AC1 28 （12 分）
41、如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 ya（xh）2+k 与 x 轴相交于 O，A 两点，顶点 P 的坐标为（2，1） 点 B 为抛物线上一动点，连接 AP，AB，过点 B 的直线与抛物线交于另一点 C （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点 B 的横坐标与纵坐标相等，ABCOAP，且点 C 位于 x 轴上方，求点 C 的坐标； （3）若点 B 的横坐标为 t，ABC90，请用含 t 的代数式表示点 C 的横坐标，并求出当 t0 时，点 C 的横坐标的取值范围 【解答】解： （1）抛物线 ya（xh）2+k，顶点 P 的坐标为（2，1） ， h2,k1,即抛物线 ya（xh）2+k 为
42、 ya(x2)21, 抛物线 ya（xh）2+k 经过 O，即 ya(x2)21 的图象过（0,0） ， 0a(02)21,解得 a, 抛物线表达为 y(x2)21x2x； （2）在 yx2x 中，令 yx 得 xx2x, 解得 x0 或 x8, B(0,0)或 B(8，8), 当 B(0，0)时，过 B 作 BCAP 交抛物线于 C，此时ABCOAP，如图： 在 yx2x 中，令 y0,得x2x0， 解得 x0 或 x4, A(4,0), 设直线 AP 解析式为 ykx+b,将 A(4,0)、P(2，1)代入得： ,解得, 直线 AP 解析式为 yx2, BCAP, 设直线 BC 解析式为
43、yx+b,将 B(0，0)代入得 b0, 直线 BC 解析式为 yx, 由得（此时为点 O，舍去）或, C(6,3)； 当 B(8，8)时，过 P 作 PQx 轴于 Q,过 B 作 BHx 轴于 H，作 H 关于 AB 的对称点 M，作直线 BM 交 抛物线于 C,连接 AM,如图： P(2，1),A(4，0), PQ1，AQ2， RtAPQ 中，tanOAP, B(8,8),A(4,0), AH4,BH8, RtABH 中，tanABH, OAPABH, H 关于 AB 的对称点 M, ABHABM, ABMOAP,即 C 是满足条件的点， 设 M(x,y), H 关于 AB 的对称点 M,
44、 AMAH4，BMBH8， , 两式相减变形可得 x82y,代入即可解得(此时为 H，舍去）或, M(,), 设直线 BM 解析式为 ycx+d,将 M(,),B(8，8)代入得； ,解得, 直线 BM 解析式为 yx+2, 解得或（此时为 B,舍去） ， C(1,), 综上所述，C 坐标为（6,3）或（1，） ； （3）设 BC 交 y 轴于 M，过 B 作 BHx 轴于 H，过 M 作 MNBH 于 N,如图： 点 B 的横坐标为 t， B(t,t2t）,又 A(4，0)， AH|t4|,BH|t2t|,OH|t|MN, ABC90, MBN90ABHBAH, 且NAHB90， ABHBMN, ,即 BN4, NHt2t+4, M(0,t2t+4）, 设直线 BM 解析式为 yex+t2t+4, 将 B(t,t2t）代入得t2tet+t2t+4, e, 直线 BC 解析式为 yx+t2t+4， 由得, 解得 x1t(B 的横坐标）,x2t+4, 点 C 的横坐标为t+4； 当 t0 时， xCt+4 ()2+()2+4 （)2+12, 时，xC最小值是 12，此时 t4, 当 t0 时，点 C 的横坐标的取值范围是 xC12
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