1、1.2 二次函数的图象(3)二次函数 y=ax2+bx+c(a0)通过配方可以变形为 y=a（x+ ） 2+ ，所以它的图abc42象是一条抛物线，对称轴为直线 x=- ，顶点坐标为（- ， ） ab221.有下列函数：y=x 2;y=-x 2;y=(x-1) 2+2.其中，图象通过平移可以得到函数y=x2+2x-3 的有(B).A. B. C. D.2.已知二次函数 y=ax2-2x+2(a0)，那么它的图象一定不经过(C).A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.抛物线 y=(m-1)x2-mx-m2+1 的图象过原点，则 m 的值为(D).A.1 B.0 C.1 D.-
2、14.二次函数 y=x2+bx+c，若 b+c=0，则它的图象一定过点(D).A.(-1，-1) B.(1，-1) C.(-1，1) D.(1，1)5.请写出一个对称轴为直线 x=1，且图象开口向上的二次函数表达式： y=x 2-2x 6.将二次函数 y=12x2-2x+1 化成 y=ax+m2+n 的形式为 y= (x2) 21 7.已知抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A(0，5)，B(4，5)，则此抛物线的对称轴是 直线 x=2 8.已知 y 是 x 的二次函数，y 与 x 的部分对应值如下表所示：X -1 0 1 2 Y 0 3 4 3 该二次函数图象向左平移 3 个单位，图象经过原
3、点.9.已知二次函数 y=- x2-x+ 13(第 9 题)(1)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象(2)根据图象，写出当 y0 时，x 的取值范围(3)若将此函数图象沿 x 轴向右平移 3 个单位，请写出平移后图象所对应的二次函数的表达式【答案】(1)图略(2)x-3 或 x1.(3)y=- （x+1） 2+2，此图象沿 x 轴向右平移 3 个单位，平移后图象所对应的二次函1数表达式为 y=- （x-2） 2+2.10.已知抛物线 y=-x2+bx+c 经过点 B(-1，0)和点 C(2，3).(1)求此抛物线的函数表达式.(2)如果此抛物线沿 y 轴平移一次后过点(-2，1)，试
4、确定这次平移的方向和距离.【答案】(1)由题可得 ,解得 .32401cb2cb抛物线的函数表达式为 y=-x2+2x+3.(2)设沿 y 轴平移 m 个单位，则此抛物线的函数表达式为 y=-x2+2x+3+m.由题意可知 1=-4-4+3+m，解得 m=60，抛物线向上平移了 6 个单位.11.在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，下列说法中，正确的是(B).A.abc0，b 2-4ac0 B.abc0，b 2-4ac0C.abc0，b 2-4ac0 D.abc0，b 2-4ac0（第 11 题） （第 12 题） （第 14题）12.如图所示，抛物线 y=x2
5、-2x-3 与 y 轴交于点 C，点 D 的坐标为(0，-1)，在第四象限抛物线上有一点 P，若PCD 是以 CD 为底边的等腰三角形，则点 P 的横坐标为(A).A.1+ B.1- C. -1 D.1- 或 1+222213.小颖想用“描点法”画二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象 ，取自变量 x 的 5 个值，分别计算出对应的 y 值(如下表).由于粗心，小颖算错了其中的一个 y 值，请你指出这个算错的 y值所对应的 x= 2 X -2 -1 0 1 2 Y 11 2 -1 2 5 14.如图所示，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的顶点 A 的坐标为(3，0)，顶点 B 在 y
6、 轴正半轴上，顶点 D 在 x 轴负半轴上.若抛物线 y=-x2-5x+c 经过点 B，C，则菱形 ABCD 的面积为 20 .（第 15 题）15.如图所示，在平面直角坐标系中，矩形 ABCO 的边 OA，OC 分别在坐标轴上，OA=2，OC=1，以点 A 为顶点的抛物线经过点 C.(1)求抛物线的函数表达式.(2)将矩形 ABCO 绕点 A 旋转，得到矩形 ABCO，使点 C落在 x 轴上，抛物线是否经过点 C？请说明理由.【答案】(1)OA=2，抛物线的顶点 A 的坐标是(0，2)，C(-1，0).设抛物线的函数表达式为 y=ax2+2，把点 C(-1，0)代入，得 0=a+2，解得 a
7、=-2.抛物线的函数表达式为 y=-2x2+2.（第 15 题答图）(2)如答图所示，连结 AC，AC.根据旋转的性质得到 AC=AC，OACC，即点 C 与点 C关于 y 轴对称.又该抛物线的对称轴是 y 轴，点 C 在该抛物线上，抛物线经过点 C.16.如果二次函数的二次项系数为 1，那么此二次函数可表示为 y=x2+px+q，我们称p，q为此函数的特征数，如函数 y=x2+2x+3 的特征数是2，3 (1)若一个二次函数的特征数为-2，1 ，求此函数图象的顶点坐标(2)探究下列问题：若一个二次函数的特征数为4，-1 ，将此函数的图象先向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位，求得到的
8、图象对应的函数的特征数若一个二次函数的特征数为2，3 ，则此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为3，4？【答案】 (1)由题意得 y=x2-2x+1=（x-1） 2，此函数图象的顶点坐标为（1，0）.(2)由题意得 y=x2+4x-1=（x+2） 2-5，将此函数的图象先向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位后得 y=（x+2-1） 2-5+1=（x+1） 2-4=x2+2x-3.图象对应的函数的特征数为 2，-3.原函数的特征数为 2，3，该函数表达式为 y=x2+2x+3=（x+1） 2+2.平移后图象对应的函数的特征数为3，4，该函数表达式为 y=x2+3
9、x+4=（x+ ） 2+ .347原函数的图象应向左平移 个单位，再向下平移 个单位.214117.【绍兴】矩形 ABCD 的两条对称轴为坐标轴，点 A 的坐标为(2，1).一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点 A 重合，此时抛物线的函数表达式为y=x2，再次平移透明纸，使这个点与点 C 重合，则该抛物线的函数表达式变为(A).A.y=x2+8x+14 B.y=x2-8x+14 C.y=x2+4x+3 D.y=x2-4x+318.【杭州】设直线 x=1 是函数 y=ax2+bx+c(a，b，c 是实数，且 a0)的图象的对称轴，下列说法中，正确的是(C).A.若 m1，
10、则(m-1)a+b0 B.若 m1，则(m-1)a+b0C.若 m1，则(m+1)a+b0 D.若 m1，则(m+1)a+b0（第 19 题）19.【宁波】如图所示，已知抛物线 y=-x2+mx+3 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，点 B 的坐标为(3，0).(1)求 m 的值及抛物线的顶点坐标.(2)P 是抛物线对称轴 l 上的一个动点，当 PA+PC 的值最小时，求点 P 的坐标.【答案】(1)把点 B(3，0)代入抛物线 y=-x2+mx+3，得 0=-32+3m+3，解得 m=2.y=-x 2+2x+3=-(x-1)2+4.抛物线的顶点坐标为(1，4).（第 19
11、题答图）(2)如答图所示，连结 BC 交抛物线对称轴 l 于点 P，则此时 PA+PC 的值最小.抛物线 y=-x2+mx+3 与 y 轴的交点为 C（0，3）.设直线 BC 的表达式为 y=kx+b.点 B(3，0)，点 C(0，3)， ,解得 .bk3031bk直线 BC 的表达式为 y=-x+3.当 x=1 时，y=-1+3=2，当 PA+PC 的值最小时，点 P 的坐标为(1，2).（第 20 题）20.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线 C1：y=a（x- ） 2+h 分别与 x 轴、y 轴交于5点 A(1，0)和点 B(0，-2)，将线段 AB 绕点 A 逆时针旋转 90至 AP
12、.(1)求点 P 的坐标及抛物线 C1的函数表达式.(2)将抛物线 C1先向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位得到抛物线 C2，请判断点 P 是否在抛物线 C2上，并说明理由.【答案】（第 20 题答图）(1)点 A(1，0)和点 B(0，-2)，OA=1，OB=2.如答图所示，过点 P 作 PMx 轴于点 M，由题意得 AB=AP，BAP=90，OAB+PAM=ABO+OAB=90.ABO=PAM.在ABO 与PAM 中， ,ABOPAM.AM=OB，PM=OA.AP,B,OP(3，-1).点 A(1，0)，B(0，-2)在抛物线 C1:y=a（x- ） 2+h 上，5 ,解得 .抛物线的函数表达式 C1：y=- （x- ） 2+ .ha22501892a 589(2)将抛物线 C1先向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位得到抛物线 C2，抛物线 C2的表达式为 y=- （x- +2） 2+ +1=- （x- ） 2+ .587当 x=3 时，y=- （3- ） 2+ =-1，点 P 在抛物线 C2上.87
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