1、专题复习一 待定系数法求二次函数表达式二次函数表达式的三种形式：一般式 y=ax2+bx+c(a0); 顶点式 y=a(x-m)2+k(a0);交点式(分解式)y=a(x-x 1)(x-x2),求函数表达式时要根据已知条件合理选择表达式形式.1.一抛物线和抛物线 y=-2x2 的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(-1，3) ，则该抛物线的函数表达式为(B).A.y=-2(x-1)2+3 B.y=-2(x+1)2+3 C.y=-(2x+1)2+3 D.y=-(2x-1)2+32.如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象顶点为点 A(-2，-2)，且过点 B(0，2)
2、，则 y 关于 x 的函数表达式为 (D).A.y=x2+2 B.y=(x-2)2+2 C.y=(x-2)2-2 D.y=(x+2)2-2(第 2 题) (第 3 题) （第 4 题） (第 8题)3.如图所示为抛物线的图象，根据图象可知，抛物线的函数表达式可能为(A ).A.y=-x2+x+2 B.y=- x2- x+2 C.y=- x2- x+1 D.y=x2-x-2114.如图所示，二次函数 y=x2+bx+c 的图象过点 B(0，-2). 该二次函数的图象与反比例函数 y=-x8的图象交于点 A(m，4)，则这个二次函数的表达式为(A).A.y=x2-x-2 B.y=x2-x+2 C.
3、y=x2+x-2 D.y=x2+x+25.抛物线 y=ax2+bx+c(a0)经过 (1，2)和(-1 ，-6)两点，则 a+c= -2 6.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A(1，0) ，B(3，0)两点，与 y 轴交于点C(0，3)，则二次函数的表达式为 y=x2-4x+3 7.老师给出一个函数，四位同学各指出了这个函数的一个性质：函数的图象不经过第三象限；函数的图象经过第一象限；当 x2 时，y 随 x 的增大而减小；当 x2 时，y0已知这四位同学的叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数： y=（x-2）2（不唯一） 8.如图所示，将 RtAOB 绕点
4、 O 逆时针旋转 90，得到A1OB1，若点 A 的坐标为(2，1)，过点 A，O，A1 的抛物线的函数表达式为 y= x2- x 6579.根据下列条件求二次函数的表达式.(1)二次函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴的两个交点的横坐标是- , ,与 y 轴交点的纵坐标是-5，求13这个二次函数的表达式(2)二次函数图象的顶点在 x 轴上，且图象过点(2 ，-2)，(-1，-8) ，求此函数的表达式【答案】(1)设抛物线的函数表达式为 y=a（x+ ） （x- ）.把点（0，-5）代入，得2a （- ）=-5，解得 a= .抛物线的函数表达式为 y= （x+ ） （x- ）21332032
5、0123= x2- x-5.0(2)设抛物线的函数表达式为 y=a（x-k ） 2.把点（2，-2）,（-1，-8 ）代入，得,812ka解得 ,或 .抛物线的函数表达式为 y=- （x-5） 2 或 y=-2（x-1 ） 2.59k1a9（第 10 题）10.在平面直角坐标系中，抛物线 y=2x2+mx+n 经过点 A(0，-2)，B(3，4).(1)求抛物线的函数表达式及对称轴.(2)设点 B 关于原点的对称点为 C，点 D 是抛物线对称轴上一动点，且点 D 的纵坐标为 t，记抛物线在 A，B 两点之间的部分为图象 G(包含 A，B 两点). 若直线 CD 与图象 G 有公共点，结合函数图
6、象，求点 D 纵坐标 t 的取值范围.【答案】(1)把点 A(0，-2)，B(3，4)代入抛物线 y=2x2+mx+n，得 ,解得43182nm.抛物线的函数表达式为 y=2x2-4x-2，对称轴为直线 x=1.24nm（第 10 题答图）(2)如答图所示，作出抛物线在 A，B 两点之间的图象 G.由题意得 C(-3，-4)，二次函数y=2x2-4x-2 的最小值为-4，由函数图象得出点 D 纵坐标的最小值为-4.设直线 BC 的表达式为 y=kx+b，将点 B，C 的坐标代入得 ,解得 .直线 BC 的表达式 y=43bk03bk34x.当 x=1 时，y= ，t 的取值范围是-4t .34
7、311.已知二次函数 y=ax2+bx+c(a0) 的图象经过点 A(1，0)，B(0，-3) ，且对称轴为直线x=2，则这条抛物线的顶点坐标为( B).A.(2，3) B.(2，1) C.(-2，1) D.(2，-1)12.若一次函数 y=x+m2 与 y=2x+4 的图象交于 x 轴上同一点，则 m 的值为(D).A.2 B.2 C. D.2213.若所求的二次函数图象与抛物线 y=2x2-4x-1 有相同的顶点，且在对称轴的左侧 y 随 x 的增大而增大，在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而减小，则所求二次函数的表达式为(D ).A.y=-x2+2x-5 B.y=ax2-2ax+a-3(
8、a0)C.y=-2x2-4x-5 D.y=ax2-2ax+a-3(a0)14.如图所示，已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点(-1，0) ，(1，-2)，该图象与 x 轴的另一个交点为点 C，则 AC 长为 3 (第 14 题) (第 16 题)15.已知二次函数的图象经过原点及点(-2，-2)，且图象与 x 轴的另一个交点到原点的距离为 4，那么该二次函数的表达式为 y= x2+2x 或 y=- x2+ x 161316.如图所示，直线 y=x+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，AB BC，且点 C 在 x 轴上.若抛物线 y=ax2+bx+c 以点 C 为顶点，且经
9、过点 B，则这条抛物线的函数表达式为 y= x2-2x+2 1（第 17 题）17.如图所示，RtAOB 的直角边 OA 在 x 轴上，OA=2， AB=1，将 RtAOB 绕点 O 逆时针旋转 90得到 RtCOD，抛物线 y=- x2+bx+c 经过 B，D 两点.65(1)求二次函数的表达式.(2)连结 BD，点 P 是抛物线上一点，直线 OP 把BOD 的周长分成相等的两部分，求点 P的坐标.【答案】(1)Rt AOB 绕点 O 逆时针旋转 90得到 RtCOD，CD=AB=1，OC=OA=2.则点 B(2，1)，D(-1，2)，代入 y=- x2+bx+c，得 ,解得 .652651
10、30cb302cb二次函数的表达式为 y=- x2+ x+ .130（第 17 题答图）(2)如答图所示，OA=2 ，AB=1，B(2，1). 直线 OP 把BOD 的周长分成相等的两部分，且 OB=OD，DQ=BQ ，即点 Q 为 BD 的中点，D(-1，2).点 Q 坐标为（ ， ）.213设直线 OP 的表达式为 y=kx，将点 Q 坐标代入，得 k= ，解得 k=3.直线 OP 的表达式213为 y=3x.由 得 , .点 P 的坐标为(1，3)或(-4 ，-12).3102653xy1y42x（第 18 题）18.在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+2 过 B(-2，6)，
11、C(2，2) 两点.(1)试求抛物线的函数表达式.(2)记抛物线的顶点为 D，求 BCD 的面积.(3)若直线 y=- x 向上平移 b 个单位所得的直线与抛物线段 BDC(包括端点 B，C)部分有两21个交点，求 b 的取值范围.【答案】(1)由题意 ,解得 .抛物线的函数表达式为 y= x2-x+2.246ba1ba1(2)如答图所示，y= x2-x+2= (x-1)2+ .顶点 D 的坐标为（1， ） ，对称轴为直线133x=1.设直线 BC 的函数表达式为 y=kx+b.将 B（-2 ，6） ，C（2，2）代入，得 ,26bk解得 .直线 BC 的函数表达式为 y=-x+4，对称轴与
12、BC 的交点 H(1，3). S 41bkBDC=SBDH +SDHC = 3+ 1=3.2312(3)由 消去 y 得 x2-x+4-2b=0，当 =0 时，直线与抛物线相切，1-4(4-2b)21xyb=0，解得 b= .当直线 y=- x+b 经过点 C 时，b=3，当直线 y=- x+b 经过点 B 时，852121b=5.直线 y=- x 向上平移 b 个单位所得的直线与抛物线段 BDC(包括端点 B，C)部分有两个交点， b3.（第 19 题）19.【贵港】将如图所示的抛物线向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位后，得到的抛物线的函数表达式为(A).A.y=(x-1)2+1
13、B.y=(x+1)2+1 C.y=2(x-1)2+1 D.y=2(x+1)2+120.【广州】已知抛物线 y1=-x2+mx+n，直线 y2=kx+b，y 1 的对称轴与 y2 交于点 A(-1，5)，点 A 与 y1 的顶点 B 的距离是 4.(1)求 y1 的函数表达式.(2)若 y2 随着 x 的增大而增大，且 y1 与 y2 都经过 x 轴上的同一点，求 y2 的函数表达式.【答案】(1)抛物线 y1=-x2+mx+n，直线 y2=kx+b，y 1 的对称轴与 y2 交于点 A(-1，5)，点A 与 y1 的顶点 B 的距离是 4.B(-1，1) 或(-1，9). - =-1， =1
14、或m142mn9，解得 m=-2，n=0 或 8.y1=-x 2-2x 或 y1=-x2-2x+8.(2)当 y1=-x2-2x 时，抛物线与 x 轴的交点是(0，0)和(-2，0).y 1 的对称轴与 y2 交于点A(-1，5) ，y 1 与 y2 都经过 x 轴上的同一点(-2，0). 把(-1，5)，(-2 ，0)代入得 ,解05bk得.y 2=5x+10.当 y1=-x2-2x+8 时，令-x 2-2x+8=0，解得 x=-4 或 2.y 2 随着 x 的增105bk大而增大，且过点 A(-1，5)，y 1 与 y2 都经过 x 轴上的同一点(-4，0). 把(-1，5)，(-4 ，0
15、)代入得 ,解得 .y 2= x+ .综上可得 y2=5x+10 或 y2= x+ .045bk305k3035021.如图所示，直线 y=- x+2 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，已知二次函数的图象经21过点 B，C 和点 A(-1，0)(1)求 B，C 两点的坐标(2)求该二次函数的表达式(3)若抛物线的对称轴与 x 轴的交点为点 D，则在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由(4)点 E 是线段 BC 上的一个动点，过点 E 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点 F，当点 E 运动到什么位
16、置时，四边形 CDBF 的面积最大？求出四边形 CDBF 的最大面积及此时点 E 的坐标(第 21 题) 图 1 图 2（第 21 题答图）【答案】(1)令 x=0，可得 y=2;令 y=0，可得 x=4，B,C 两点的坐标分别为 B（4，0） ，C（0，2）.(2)设二次函数的表达式为 y=ax2+bx+c，将点 A，B ，C 的坐标代入表达式得,解得 .该二次函数的表达式为 y=- x2+ x+2.20416cba231cba13(3)存在.y=- x2+ x+2=- (x- )2+ ，抛物线的对称轴是直线31385x= .OD= .C（0，2） ，OC=2. 在 RtOCD 中，由勾股定
17、理得 CD= .PCD 是23 25以 CD 为腰的等腰三角形，CP 1=DP2=DP3=CD.如答图 1 所示，作 CH对称轴直线 x=于点 H，HP 1=HD=2，DP 1=4.P 1( ，4)，P 2( ， )，P 3( ，- ).5(4)如答图 2 所示，过点 C 作 CMEF 于点 M，设 E（a ，- a+2） ，F（a，- a2+ a+2） ，13EF=- a2+ a+2-（- a+2）=- a2+2a（0a 4）.S 四边形 CDBF=SBCD +SCEF +SBEF =3BDOC+ EFCM+ EFBN= + a（- a2+2a）+ （4-a） （- a2+2a）=-a 2+4a+ =-115115（a-2） 2+ ， 当 a=2 时，四边形 CDBF 的面积最大，最大面积为 ，此时点 E 坐标为3（2，1）.
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