1、 2021 年湖南省衡阳市中考数学试卷年湖南省衡阳市中考数学试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 36 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 ）一项是符合题目要求的 ） 1. 8的相反数是（ ） A. 8 B. 8 C. 1 8 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义即可直接选择 【详解】8 的相反数为-8 故选 A 【点睛】本题考查求一个数的相反数掌握相反数的定义是解答本题的关键 2. 2021年 2 月 25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面
2、胜利现标准下，98990000 农村贫 困人口全部脱贫数 98990000用科学记数法表示为（ ） A. 6 98.99 10 B. 7 9.899 10 C. 4 9899 10 D. 8 0.09899 10 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为10na 的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同 【详解】解：98990000=9.899 107 故选：B 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为10na的形式，其中 1|a|10，n为 整数，表示时关键要正确确定
3、 a 的值以及 n 的值 3. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫 做轴对称图形，这条直线叫做对称轴 【详解】A、不是轴对称图形，故 A不符合题意； B、不是轴对称图形，故 B不符合题意； C、不是轴对称图形，故 C不符合题意； D、是轴对称图形，故 D符合题意 故选 D. 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可 重合 4. 下列运算结果为 6 a的是（ ） A. 23 aa
4、 B. 122 aa C. 2 3 a D. 2 3 1 2 a 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂乘方法则逐项计算即可 【详解】A选项， 232 35 aaaa ，不符合题意； B选项， 12210122 =aaaa ，不符合题意； C选项， 2 33 26 =aaa ，符合题意； D 选项， 2 2 2 336 11 = 1 224 aaa ，不符合题意 故选：C 【点睛】本题考查同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方和积的乘方法则同底数幂相乘，底数不变， 指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，等于把积 的每一个因式
5、的积的乘方，再把所得的幂相乘 5. 下列计算正确的是（ ） A. 164 B. 0 21 C. 257 D. 3 93 【答案】B 【解析】 【分析】利用算术平方根，零指数幂，同类二次根式，立方根逐项判断即可选择 【详解】164，故 A选项错误，不符合题意； 0 ( 2)1，故 B选项正确，符合题意； 2和5不是同类二次根式不能合并，故 C选项错误，不符合题意； 3 9不能化简，故 D选项错误，不符合题意； 故选 B 【点睛】本题考查算术平方根，零指数幂，同类二次根式，立方根掌握各知识点和运算法则是解答本题 的关键 6. 为了向建党一百周年献礼， 我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛 某参赛
6、小组 6名同学的成绩 （单 位：分）分别为：85，82，86，82，83，92关于这组数据，下列说法错误的是（ ） A. 众数是 82 B. 中位数是 84 C. 方差是 84 D. 平均数是 85 【答案】C 【解析】 【分析】根据该组数据结合众数、中位数的定义和平均数、方差的计算公式，求出众数、中位数、平均数 和方差即可选择 【详解】根据该组数据可知 82 出现了 2 次最多，故众数为 82，选项 A 正确，不符合题意； 根据中位数的定义可知该组数据的中位数为 8385 84 2 ，选项 B正确，不符合题意； 根据平均数的计算公式可求出 858286828392 85 6 x ，选项 D
7、正确，不符合题意； 根据方差的计算公式可求出 222222 2 (85 85)(8285)(8685)(8285)(83 85)(9285) 12 6 s ，选项 C错误，符合题 意 故选 C 【点睛】本题考查求众数、中位数、平均数和方差掌握众数、中位数的定义，平均数、方差的计算公式 是解答本题的关键 7. 如图是由 6 个相同的正方体堆成的物体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合题意，根据视图的性质分析，即可得到答案 【详解】由 6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图如下： 故选：A 【点睛】本题考查了视图的知识；解题的关键是熟练掌握左视图的性质，
8、从而完成求解 8. 如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图 自动扶梯AB的倾斜角为37，大厅两层之间的距离BC为 6 米，则自动扶梯AB的长约为（sin370.6,cos370.8,tan370.75） （ ） A. 7.5 米 B. 8米 C. 9米 D. 10 米 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意，根据三角函数的性质计算，即可得到答案 【详解】根据题意，得：sin370.6 BC AB 6BC 米 6 10 0.60.6 BC AB 米 故选：D 【点睛】本题考查了三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数的性质，从而完成求解 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 正六边形的外角和
9、大于正五边形的外角和 B. 正六边形的每一个内角为120 C. 有一个角是60的三角形是等边三角形 D. 对角线相等的四边形是矩形 【答案】B 【解析】 【分析】根据多边形外角和、正多边形内角和、等边三角形、矩形的性质，对各个选项逐个分析，即可得 到答案 【详解】正六边形的外角和，和正五边形的外角和相等，均为360 选项 A 不符合题意； 正六边形的内角和为：62180720 每一个内角为 720 120 6 ，即选项 B正确； 三个角均为60的三角形是等边三角形 选项 C 不符合题意； 对角线相等的平行四边形是矩形 选项 D 不正确； 故选：B 【点睛】本题考查了多边形外角和、正多边形内角和
10、、等边三角形、矩形的知识；解题的关键是熟练掌握 多边形外角和、正多边形内角和、等边三角形、矩形的性质，从而完成求解 10. 不等式组 10 26 x x 的解集在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元一次不等式组的解题要求对两个不等式进行求解得到解集即可对照数轴进行选择 【详解】解不等式 x+10，得 x-1， 解不等式-26x，得3x， 所以这个不等式组的解集为-3-x ，在数轴上表示如选项 A 所示， 故选：A 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解，正确求解不等式组的解集并在数轴上表示是解决本题的 关键 11. 下列说法正确的是（ ） A
11、. 为了解我国中学生课外阅读情况，应采取全面调查方式 B. 某彩票的中奖机会是 1%，买 100张一定会中奖 C. 从装有 3个红球和 4 个黑球的袋子里摸出 1 个球是红球的概率是 3 4 D. 某校有 3200 名学生，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目，随机抽取了 200 名学生，其中有 85名学 生表示最喜欢的项目是跳绳，估计该校最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的有 1360人 【答案】D 【解析】 【分析】根据普查的特点，得出了解我国中学生课外阅读情况应采取抽样调查；由于中奖的概率是等可能 的，则买 100 张可能会中奖，可能不会中奖；共有 7 个小球，其中 3 个红球，抽到红球的概率
12、为 3 7 ；根据 计算公式列出算式 85 3200 200 ，即可求出答案 【详解】解：A、根据普查的特点，普查适合人数较少，调查范围较小的情况，而了解我国中学生课外阅读 情况，人数较多，范围较广，应采取抽样调查，选项说法错误，不符合题意； B、由于中奖的概率是等可能的，则买 100 张可能会中奖，可能不会中奖，选项说法错误，不符合题意； C、共有 7 个小球，其中 3 个红球，抽到红球的概率为 3 7 ，选项说法错误，不符合题意； D、根据计算公式该项人数等于该项所占百分比乘以总人数，列出算式 85 3200 200 ，求出结果为 1360 人， 选项说法正确，符合题意 故选：D 【点睛】
13、 本题主要考查了普查与抽样调查的区别、 概率发生的可能性、求随机事件的概率与求某项的人数， 关键在于熟悉普查的适用范围是调查对象的个体数很少，没有破坏性，要求结果准确，同时会根据等可能 事件的概率公式求解，进行判断 12. 如图，矩形纸片 ,4,8ABCD ABBC ，点 M、N分别在矩形的边AD、BC上，将矩形纸片沿直线 MN折叠， 使点 C落在矩形的边AD上， 记为点 P， 点 D落在 G处， 连接PC， 交MN于点 Q， 连接CM 下 列结论：四边形CMPN是菱形；点 P 与点 A 重合时，5MN ；PQM的面积 S的取值范围是 45S其中所有正确结论的序号是（ ） A B. C. D.
14、 【答案】C 【解析】 【分析】 根据矩形的性质与折叠的性质， 证明出PMNPNM，PMPN， 通过等量代换， 得到 PM=CN， 则由一组邻边相等的平行四边形是菱形得到结论正确；用勾股定理5CN ， 1 2 5 2 CQAC，由菱形的 性 质 对 角 线 互 相 垂 直 ， 再 用 勾 股 定 理 求 出22 5MNQN； 当MN过 点 D 时 ， 最 小 面 积 11 444 44 CMPS SS 菱形 ，当 P点与 A点重合时，S 最大为 1 5 45 4 S ，得出答案 【详解】解：如图 1， PMCNP， PMNMNC ， 折叠，MNCPNM ，NC=NP PMNPNM， PMPN，
15、 PM=CN， MPCN， 四边形CNPM为平行四边形， CNNP， 平行四边形CNPM为菱形， 故正确，符合题意； 当点 P 与 A重合时，如图 2所示 设BNx，则8ANMCx ， 在RtABN中， 222 ABBNAN， 即 222 4(8)xx， 解得：3x ， 5CN ， 22 4 5ACABBC ， 1 2 5 2 CQAC， 又四边形CNPM为菱形， ACMN，且2MNQN， 22 5QNCNCQ 22 5MNQN， 故错误，不符合题意 当MN过点 D时，如图 3所示： 此时，CN最短，四边形CMPN的面积最小，则 S最小为 11 444 44 CMPS SS 菱形 ， 当 P
16、点与 A 点重合时，CN最长，四边形CMPN的面积最大，则 S最大为 1 5 45 4 S ， 45S，故正确，符合题意 故答案为： 【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、折叠问题、勾股定理的综合应用，熟练掌握菱形的判定定理 与性质定理、勾股定理是解决本题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分 ）分 ） 13. 要使二次根式3x有意义，则x的取值范围是_ 【答案】x3 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数进行求解 【详解】由题意知，30 x ， 解得，x3， 故答案为：x3 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件
17、，二次根式中的被开方数是非负数 14. 计算： 11 + a aa =_ 【答案】1 【解析】 【详解】根据同分母的分式加减法则进行计算即可 解：原式= 1 1a a =1 故答案为 1 本题考查的是分式的加减法，即同分母分式加减法法则：同分母的分式想加减，分母不变，把分子相加减 15. 因式分解： 2 39aab_ 【答案】33a ab 【解析】 【分析】利用提取公因式法因式分解即可 【详解】解： 2 3933aaba ab 故答案: 33a ab 【点睛】本题考查提取公因式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是关键 16. 底面半径为 3，母线长为 4的圆锥的侧面积为_ （结果保留） 【答案
18、】12 【解析】 【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，根据扇形的面积公式求解即可 【详解】圆锥的侧面积= 11 23412 22 lR 故答案为：12 【点睛】本题考查圆锥的侧面积 1 = 2 SlR 扇形 ，其中 l为扇形的弧长，即底面圆的周长，R 为半径，即圆锥 的母线长 17. “绿水青山就是金山银山”某地为美化环境，计划种植树木 6000棵由于志愿者的加入，实际每天植树 的棵树比原计划增加了 25%，结果提前 3天完成任务则实际每天植树_棵 【答案】500 【解析】 【分析】设原计划每天植树x棵，则实际每天植树1 25% x，根据工作时间工作总量工作效率，结 合实际比原计划提前 3天完成，
19、准确列出关于x的分式方程进行求解即可 【详解】解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树1 25% x， 60006000 3 1.25xx ， 400 x， 经检验，400 x是原方程的解， 实际每天植树400 1.25500棵， 故答案是：500 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，准确列出分式方程 18. 如图 1，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点 O，P、Q两点同时从 O 点出发，以 1厘米/秒的速度 在菱形的对角线及边上运动点 P的运动路线为OADO，点 Q 的运动路线为OCBO设运 动的时间为 x秒，P、Q间的距离为 y 厘米，y 与 x 的函数关系的
20、图象大致如图 2 所示，当点 P在AD段 上运动且 P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为_厘米 【答案】2 33 【解析】 【分析】 四边形ABCD是菱形， 由图象可得 AC和 BD的长， 从而求出 OC、 OB 和ACB 当点 P 在AD 段上运动且 P、 Q 两点间的距离最短时， 此时PQ连线过 O 点且垂直于BC 根据三角函数和已知线段长度， 求出 P、Q两点的运动路程之和 【详解】由图可知，2 3,2ACBD（厘米） ， 四边形ABCD为菱形 11 3,1 22 OCACOBBD（厘米） 30ACB P 在AD上时，Q在BC上，PQ距离最短时，PQ连线过 O 点且垂直于
21、 BC 此时，P、Q 两点运动路程之和2()SOCCQ 33 cos3 22 CQOCACB（厘米） 3 232 33 2 S （厘米） 故答案为(2 33) 【点睛】本题主要考查菱形的性质和三角函数解题的关键在于从图象中找到菱形对角线的长度 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，个小题，1920 题每题题每题 6 分，分，2124 题每题题每题 8 分，分，25题题 10 分，分，26 题题 12 分，满分分，满分 66分解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤 ）分解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤 ） 19. 计算： 2 2224xyxyxyx xy 【答案】 2 3x
22、 【解析】 【分析】利用完全平方公式,平方差公式,单项式乘以多项式的法则，计算合并同类项即可 【详解】解： 2 2224xyxyxyx xy 22222 4x444xyyxyxxy 2 3x . 【点睛】本题考查了完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式，合并同类项，熟练掌握公式，准确 合并计算是解题的关键 20. 如图，点 A、B、D、E 在同一条直线上，,/, /ABDE AC DF BC EF 求证：ABCDEF 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据/,/AC DF BC EF，可以得到,AFDEABCDEF ，然后根据题目中的条件，利 用 ASA证明ABCDEF 即可 【详解】证明
23、：点 A，B，C，D，E在一条直线上 /,/AC DF BC EF ,AFDEABCDEF 在ABC与DEF中 CABFDE ABDE ABCDEF ()ABCDEF ASA 【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即 AAS、ASA、SAS、 SSS，直角三角形可用 HL定理，但 AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目 21. “垃圾分类工作就是新时尚”，为了改善生态环境，有效利用垃圾剩余价值，2020 年起，我市将生活垃 圾分为四类：厨余垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾某学习研究小组在对我市垃圾分类实施情况 的调查中，绘制了生活
24、垃圾分类扇形统计图，如图所示 （1）图中其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是 度； （2）据统计，生活垃圾中可回收物每吨可创造经济总价值约为 0.2 万元若我市某天生活垃圾清运总量为 500吨，请估计该天可回收物所创造的经济总价值是多少万元？ （3）为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，某校开展了相关知识竞赛，要求每班派 2名学生参赛甲 班经选拔后， 决定从 2 名男生和 2名女生中随机抽取 2名学生参加比赛， 求所抽取的学生中恰好一男一女的 概率 【答案】 （1）64.8； （2）20 万元； （3） 2 3 【解析】 【分析】 （1）根据统计图中的数据用 360 乘以其他垃圾所占百分比，可以计
25、算其他垃圾所对应的扇形圆心 角的度数； （2）根据统计图中的数据，可以计算出该市 500吨垃圾中约有多少吨可回收物 （3）列表后利用概率公式求解可得 【详解】解： （1）360(155%20%7%)64.8 故答案为 64.8 （2）500 20% 0.220（万元） 答：该天可回收物所创造的经济总价值是 20 万元 （3）用列表法如图： 男 1 男 2 女 1 女 2 男 1 男 1 男 2 男 1 女 1 男 1 女 2 男 2 男 1 男 2 男 2 女 1 男 2 女 2 女 1 女 1 男 1 女 1 男 2 女 1 女 2 女 2 女 2 男 1 女 2 男 2 女 2 女 1 共
26、 12 种机会均等的结果，其中恰好为一男一女结果数为 8， 所以，恰好选到一男一女的概率是 82 123 答：抽取的学生中恰好一男一女的概率为 2 3 【点睛】本题考查的是扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问 题的关键；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小，同时考查了概率公式 22. 如图，点 E 为正方形ABCD外一点，90AEB ，将RtABE绕 A 点逆时针方向旋转90得到 ,ADF DF的延长线交BE于 H点 （1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由； （2）已知7,13BHBC，求DH的长 【答案】 （1）正方形，理由见解析； （2）17
27、【解析】 【分析】 （1）由旋转的性质可得AEBAFD90，AEAF，DAFEAB，由正方形的判定可证 四边形 BEFE 是正方形； （2）连接BD，利用勾股定理可求 22 13 2BDCDCB ，再利用勾股定理可求 DH的长 【详解】解： （1）四边形AFHE是正方形，理由如下： 根据旋转：90AEBAFDAEAFDAFEAB， 四边形ABCD是正方形 DAB=90 FAEDAB=90 90AEBAFHFAE 四边形AFHE是矩形， 又AEAF 矩形AFHE是正方形 （2）连接BD 13BCCD， 在Rt BCD中， 22 13 2BDCDCB 四边形AFHE是正方形 90EHD 在RtDH
28、B中， 22 DHBDBH ，又7BH ， 17DH 故答案是 17 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定 和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键 23. 如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成小文购买时，售货员演示通过调节扣 加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽 略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为cmx，单层部分的长度为 cmy 经测量，得到下表中数据 双层部分长度 cmx 2 8 14 20 单层部分长度cmy 148 136
29、124 112 （1）根据表中数据规律，求出 y 与 x 的函数关系式； （2）按小文的身高和习惯，背带的长度调为130cm时为最佳背带长请计算此时双层部分的长度； （3）设背带长度为cmL，求 L的取值范围 【答案】 （1）2152yx ； （2）22cm； （3）76152L 【解析】 【分析】 （1）根据观察 y与 x是一次函数的关系，利用待定系数法求解析式； （2）背带的长度为单层部分与双层部分长度的和，可求出背带的长度与双层部分长度的函数关系式 152Lx ，令130L，即可求出此时对应的双层部分长度的值； （3）根据0y和0 x，求出 x取值范围，再根据152Lx 求出L的取值范围
30、 【详解】解： （1）根据观察 y与 x是一次函数的关系，所以设(0)ykxb k 依题意，得 2148 8136 kb kb 解得， 2 152 k b ； y与 x的函数关系式：2152yx （2）设背带长度是cmL 则( 2152)152Lxxx 当130L时，152130 x 解得，22x； （3）0y，21520 x 解得，76x 又0 x 076x 76152152x 即76152L 【点睛】本题主要考查一次函数的相关知识利用待定系数法求解一次函数的解析式 24. 如图，AB是O的直径， D为O上一点， E为BD的中点， 点 C在BA的延长线上， 且 CDAB （1）求证：CD是O
31、的切线； （2）若2,30DEBDE，求CD的长 【答案】 （1）见解析； （2）2 3 【解析】 【分析】 （1）先证明BODB ，通过等量代换再证明90CDAODA即可证明 （2）先证明OBE是等边三角形，再证明60DOC，解直角三角形即可计算出结果 【详解】解： （1）连接OD， ODOB， BODB ， 又BCDA ，ODBCDA 又90ODBODA，90CDAODA 即90ODC， 所以，CD是O的切线 （2）连接BE、OE E是BD的中点， 2,BEDEOEBD 260BOEBDE ， OBE是等边三角形 从而2,60OBBEBOE ,OBOD OEBD， 60BOEDOE， 所以
32、60DOC 在,60 ,2Rt ODCDOCODOB， 32 3CDOD 【点睛】本题考查切线的证明、圆周角定理、等边三角形的证明及性质、锐角三角函数，熟练应用圆的性 质及定理是解题的关键 25. 如图，OAB的顶点坐标分别为 0,0 ,3,4 ,6,0OAB，动点 P、Q 同时从点 O 出发，分别沿 x 轴 正方向和 y 轴正方向运动，速度分别为每秒 3个单位和每秒 2 个单位，点 P到达点 B 时点 P、Q同时停止运 动过点 Q作/MN OB分别交AO、AB于点 M、N，连接PM、PN设运动时间为 t（秒） （1）求点 M 的坐标（用含 t的式子表示） ； （2）求四边形MNBP面积的最大
33、值或最小值； （3）是否存在这样的直线 l，总能平分四边形MNBP的面积？如果存在，请求出直线 l的解析式；如果不 存在，请说明理由； （4）连接AP，当OAPBPN时，求点 N到OA的距离 【答案】 （1） 3 ,2 2 Mtt ； （2）四边形MNBP面积不存在最小值，存在最大值，最大值为6.（3）存在， 4 4 3 yx； （4）10 3 或 24 . 5 【解析】 【分析】 （1）做适当的辅助线，过 M 点作MGx轴于 G 点过 A点作ADx轴于 D点，利用三角形相 似的判定定理证明两个三角形相似，根据对应边成比例，从而可得答案； （2）根据坐标先求解,OM OA OP OB长度，再证
34、明,MOPAOB 再利用相似三角形的性质证明 /,MP AB 证明四边形MNBP为平行四边形， 再列面积函数关系式， 利用二次函数的性质求解最大值即可； （3）先判断存在，通过观察图形知，当直线 l过MNBP的对角线交点时，总能平分其面积；再利用平行 四边形的性质求解对角线的中点坐标，从而可得答案； （4）当0t2时，证明AOPPBN，利用三角形相似，对应边成比例，求解时间, t 再利用等面积 法求解点N到直线OA的距离即可当0t 时，利用等面积法直接求解即可，当2t 不合题意，舍去 【详解】解： （1）过 M点作MGx轴于 G 点过 A点作ADx轴于 D 点 则90 ,/,MGOMG AD
35、90 ,/,QOBMN OB 18090 ,OQMQOB 四边形QOGM为矩形， 则2 ,MGOQt 0,0 ,3,4 ,6,0OAB，,ADOB 3,0D， 3,4,ODAD /,MQ AD MOGAOD， OGMG ODAD ，即 2 34 OGt 3 2 OGt 3 ,2 2 Mtt （2） 3 2 ,3,4 , 2 OQt QMtOG A 2222 5 ,345, 2 OMOQQMt OA 3 ,6 0 ,OPt B， 6,OB 5 13 2 , 526 t OMtOP t OAOB ,MOPAOB ,MOPAOB ,MPOABO /,MP AB /,MN OB 四边形MNBP为平行四
36、边形 2 (63 )26(1)6 MNBP SBP OQttt ， 0t2, （当0t 或2t 时，四边形不存在） 而6a ， 当 1t 时，S取最大值 6 四边形MNBP面积不存在最小值，存在最大值，最大值为6. （3）存在理由如下： 连接,BM 交PN于,H 由（2）得：四边形PBNM为平行四边形， 过H 任意直线都平分MNBP的面积，,MHBH 3 ,2,6,0 , 2 MttB 所以由中点坐标公式可得： 3 3, 4 Htt ，即 l过点 H， 3 3, 4 xt yt 3 3, 4 xy 4 :4 3 l yx （4）如图，当0t2时， 3,4 ,6,0 ,5,ABAO 22 3 6
37、405,AB 5,ABAO ,AOBABO ,OAPBPN AOPPBN AOOP PBBN ，即 53 63BN t t ， /,MN OB ,AMNAOBANMABO ,AMNANM ,AMAN 5 , 2 OMBNt 53 , 63 5 2 t t t 12 11 ,0 18 tt， 经检验； 1 11 18 t 是原方程的根， 2 0t 是增根，舍去， 此时： 25 63, 6 MNPBt 11 2, 9 OQt 如图，过N作NKAO于,K 1 12, 2 ABCOBNAON SOBADSS 1111 6512, 292 NK 10 . 3 NK 当0t 时，0 ,OAPBPN 此时N
38、到OA的距离是B到OA的距离， 设这个距离为, h 由等面积法可得： 11 , 22 OA hOB AD 56 4,h 24 . 5 h 当2t 时，不合题意，舍去 综上：N到OA的距离为：10 3 或 24 . 5 【点睛】本题考查了平面图形中动点的综合性问题，涉及动点的轨迹，相似三角形的判定与性质，等腰三 角形的定义与性质，矩形的判定与性质，图形与坐标，列二次函数的关系式，二次函数的性质，解题的关 键是：灵活应用基础知识；注意知识的系统化 26. 在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”例如 1,1 , 2021,2021都是“雁点” （1）求函数 4 y x
39、 图象上的“雁点”坐标； （2）若抛物线 2 5yaxxc上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与 x轴交于 M、N两点（点 M在点 N 的左侧） 当1a 时 求 c 的取值范围； 求EMN的度数； （3） 如图， 抛物线 2 yx2x3 与 x 轴交于 A、 B 两点 （点 A 在点 B的左侧） ， P 是抛物线 2 yx2x3 上一点，连接BP，以点 P为直角顶点，构造等腰RtBPC，是否存在点 P，使点 C恰好为“雁点”？若 存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）(2,2)和( 2, 2)； （2）04c；45 ； （3）存在，P 点坐标为 3 15 , 24 或 1
40、0 3 1, 22 或 10 3 1, 22 【解析】 【分析】 （1）根据“雁点”的定义可得y=x，再联立 4 y x 求出 “雁点”坐标即可； （2）根据 2 5yaxxc和 y=x可得 2 40axxc，再利用根的判别式得到 4 c a ，再求出 a 的取值 范围；将点 c代入解析式求出点 E 的坐标，令 y=0，求出 M的坐标，过 E 点向 x轴作垂线，垂足为 H点， 如图所示，根据 EH=MH得出EMH为等腰直角三角形，EMN的度数即可求解； （3）存在，根据图 1，图 2，图 3进行分类讨论，设 C（m，m） ，P（x，y） ，根据三角形全等得出边相等的 关系，再逐步求解，代入解析
41、式得出点 P的坐标 【详解】解： （1）联立 4 y x yx ， 解得 2 2 x y 或 2 2 x y 即：函数 4 y x 上的雁点坐标为(2,2)和( 2, 2) （2） 联立 2 5 yx yaxxc 得 2 40axxc 这样的雁点 E 只有一个，即该一元二次方程有两个相等的实根， 2 440ac 4 c a 1a 04c 将 4 c a 代入，得 2 4 40 EE axx a 解得 2 k x a ， 22 ,E aa 对于 2 4 5yxx a ，令0y 有 2 4 50axx a 解得 41 , NM xx aa 4 ,0M a 过 E 点向 x轴作垂线，垂足为 H点，
42、EH= 2 a ，MH= 242 () aaa 2 EHMH a EMH为等腰直角三角形，45EMN （3）存在，理由如下： 如图所示：过 P作直线 l垂直于 x轴于点 k，过 C作 CHPK于点 H 设 C（m，m） ，P（x，y） CPB为等腰三角形， PC=PB，CPB=90 ， KPB+HPC=90 ， HPC+HCP=90 ， KPB=HCP， H=PKB=90 ， CHPPKB， CH=PK，HP=KB， 即 3 mxy myx 3 2 3 2 x ym 当 3 2 x 时， 2 3315 ()23 224 y 3 15 () 24 P， 如图 2 所示，同理可得：KCPJPB K
43、P=JB，KC=JP 设 P（x，y） ，C（m，m） KP=x-m，KC=y-m，JB=y，JP=3-x， 即 3 xmy ymx 解得 3 2 3 2 xm y 令 2 3 -23 2 xx 解得 12 2+ 10210 22 xx ， 210 3 (, ) 22 P 或 210 3 (, ) 22 P 如图 3 所示， RCPTPB RC=TP，RP=TB 设 P（x，y） ，C（m，m） 即 3ymx xmy 解得 3 2 3 2 xm y 令 2 3 -23 2 xx 解得 12 2102- 10 ,= 22 xx 此时 P与第种情况重合 综上所述，符合题意 P 的坐标为 3 15 () 24 ，或 2+ 10 3 () 22 ，或 210 3 () 22 ， 【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数解析式，图形与坐标，等腰三角形的判定与性质，二次函数的 综合运用，理解题意和正确作图逐步求解是解题的关键
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