1、2019-2020 学年山东省青岛市市南区八年级（下）期末数学试卷学年山东省青岛市市南区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选 项选出来，每小题选对得项选出来，每小题选对得 3 分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分） 1 （3 分） 民族图案是数学文化中的一块瑰宝 下列图案中， 是轴对称图形但不是中心对称图形的是 （ ） A B C D 2 （3 分）据气象台预报，20
2、20 年 7 月某日青岛最高气温 27，最低气温 21，则当天气温 t（）的变 化范围是（ ） At21 Bt27 C21t27 D21t27 3 （3 分）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A （3x） （3+x）9x2 B Cx27x+12（x3） （x4） D4yz2y2z+z2y（2zyz）+z 4（3 分） 如图， AE 与 BF 交于点 O， 点 O 在 CG 上， 根据尺规作图的痕迹， 判断下列说法不正确的是 （ ） AAE、BF 是ABC 的内角平分线 BCG 也是ABC 的一条内角平分线 CAOBOCO D点 O 到ABC 三边的距离相等 5 （3 分）如图，已
3、知一次函数 ykx+b（k，b 为常数，且 k0）的图象与 x 轴交于点 A（3，0） ，若正比 例函数 ymx（m 为常数，且 m0）的图象与一次函数的图象相交于点 P，且点 P 的横坐标为 1，则关 于 x 的不等式（km）x+b0 的解集为（ ） Ax1 Bx1 Cx3 Dx3 6 （3 分）如图，已知ABC 中，ABC50，P 为ABC 内一点，过点 P 的直线 MN 分别交 AB、BC 于点 M、N若 M 在 PA 的中垂线上，N 在 PC 的中垂线上，则APC 的度数为（ ） A100 B105 C115 D无法确定 7 （3 分）已知关于 x 的不等式组恰好有 6 个整数解，则
4、a 的取值范围为（ ） A4a5 B4a5 C4a5 D4a5 8 （3 分）如图，ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E 是 AB 中点，且 AE+EO4，则ABCD 的周长 为（ ） A20 B16 C12 D8 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，满分共小题，满分共 18 分分.只要求填写最后结果，每小题填对得只要求填写最后结果，每小题填对得 3 分）分） 9 （3 分）化简分式： 10 （3 分）如果一个正多边形每一个内角都等于 144，那么这个正多边形的边数是 11 （3 分）解关于 x 的方程有增根，原方程无解，则常数 a 的值等于 12 （3 分）如图，
5、在PAB 中，PAPB，M，N，K 分别是 PA，PB，AB 上的点，且 AMBK，BNAK， 若MKN42，则P 的度数为 13 （3 分）小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时（机翼间无缝 隙） ，AOB 的度数是 14 （3 分）如图，AB 为等腰直角ABC 的斜边，E 为 AB 的中点，F 为 AC 延长线上的一个动点（F 与点 C 不重合） ，线段 FB 的垂直平分线交线段 CE 于点 O，D 为垂足，当 F 点运动时，给出下列四个结论，其 中一定正确的结论有 （请填写正确序号） 点 O 到ABF 三个顶点的距离相等； OFOB； ； SAECSBOF
6、 三、作图题（本题共三、作图题（本题共 4 分）分） 15 （4 分）用圆规，直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹 如图，OA、OB 表示两条道路，在 OB 上有一车站（用点 P 表示） 现在要在两条道路形成的AOB 的内 部建一个报亭，要求报亭到两条道路的距离相等且在过点 P 与 AO 平行的道路上请在图中作出报亭的 位置 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，满分小题，满分 74 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推算步骤）分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推算步骤） 16 （14 分）解答下列各题 （1）将下列各式因式分解 6ab3c+4a2b2 3a+12a2
7、12a3 （2）化简： （1+） （3）解不等式组，并写出它的非负整数解 17 （6 分）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标为 A（3，4） ，B（4，2） ，C（2，1） ， ABC 绕原点逆时针旋转 90，得到A1B1C1，将A1B1C1向右平移 6 个单位，再向上平移 2 个单位 得到A2B2C2 （1）画出A1B1C1； （2）P（a，b）是ABC 的边 AC 上一点，ABC 经旋转、平移后点 P 的对应点分别为 P1、P2，请写出 点 P1、P2的坐标 18 （6 分）某超市预测某品牌饮料有销售前景，用 1200 元购进一批该饮料，试销售后果然供不应求，又用 5400
8、元购进这种饮料，第二批饮料的数量是第一批的 3 倍，但单价比第一批贵 2 元 （1）第一批饮料进货单价为多少元？ （2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于 3000 元，则销售单价至少为多少 元？ 19 （7 分）已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E，F 在 AC 上，且 AECF （1）求证：四边形 BEDF 是平行四边形 （2）当 AB3，AC4，AD5 时，求平行四边形 ABCD 的面积 20 （7 分）如图，将一张长方形纸板按图中实线裁剪成九块，其中有两块是边长都为 m 的大正方形，两块 是边长都为 n 的小正方形，五块是长为 m，宽为 n 的全等小长方
9、形，且 mn（以上长度单位：cm） （1）观察图形，可以发现代数式 2m2+5mn+2n2可以因式分解为 （2）若每块小长方形的周长是 20cm，且每块大正方形与每块小正方形的面积差为 40cm2，求这张长方 形纸板的面积 21 （7 分）如图，在ABC 中，AB7，BC14，M 为 AC 的中点，OMAC 交ABC 的平分线于 O，OE AB 交 BA 的延长线于 E，OFBC垂足为 F （1）求证：AECF （2）求线段 BE 的长 22 （9 分）学校通过调查发现很多同学非常喜欢羽毛球这项体育活动，决定开展羽毛球选修课，购进 10 副 某一品牌羽毛球拍，每副球拍配 x（x2）个羽毛球，供
10、应同学们积极参加体育活动学校附近有甲、 乙两家体育文化用品商场，都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为 30 元，每个 羽毛球的标价为 3 元，目前两家商场都有优惠活动： 甲商场：所有商品均打九折（按标价的 90%）销售； 乙商场：买一副羽毛球拍送 2 个羽毛球 设在甲商场购买羽毛球拍和羽毛球的费用为 y1（元） ， 在乙商场购买羽毛球拍和羽毛球的费用为 y2（元） 请解答下列问题： （1）分别写出 y1，y2与 x 之间的关系式 （2）若只能在一家超市购买，当 x 取何值时，在甲商场购买更划算 （3）若可以同时在两家商场分别购买部分商品，每副球拍配 30 个羽毛球，则购买费
11、用最少为多少元？ 23 （9 分）回答下列各题 （1）观察下列算式，并完成填空： 112； 1+3422； 1+3+5932； 1+3+5+71642； 1+3+5+（2n1） （n 是正整数） （2）如图是某市一广场用正六边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正六边形地 板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖从里向外第一层包括 6 块正方形和 6 块正三角形地板砖；第 二层包括 6 块正方形和 18 块正三角形地板砖；以此递推 第 3 层中分别含有 块正方形和 块正三角形地板砖 第 n 层中含有 块正三角形地板砖（用含 n 的代数式表示） （3） 【应用】该市打算在一个新建广场
12、中央，采用如图样式的图案铺设地面，现有 1 块正六边形、150 块正方形和 3000 正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，最多能铺多少层？请说明理由 24 （9 分）已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，AB6cm，BC8cm，ABC60，两条对角线 AC 与 BD 相交于点 O点 P 在射线 BC 上，从点 B 出发以 1cm/s 的速度向右匀速运动，连接 PO 并延长，与 AD 相交于点 Q设点 P 运动的时间为 t （1）求证：AQPC （2）当点 P 在线段 BC 上运动，四边形 OPCD 的形状在发生相应的变化，写出四边形 OPCD 的面积 S 关于 t 表达式 （3）当点 P 在
13、线段 BC 上运动，t 为何值时，四边形 OPCD 的面积等于平行四边形 ABCD 面积的 （4）连接 PD，随着点 P 在射线 BC 上运动，是否存在某一时刻 t，使BPD 成为等腰三角形？若存在， 直接写出 t 的值；若不存在，请说明理由 2019-2020 学年山东省青岛市市南区八年级（下）期末数学试卷学年山东省青岛市市南区八年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选 项选出来，每小题
14、选对得项选出来，每小题选对得 3 分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分） 1 （3 分） 民族图案是数学文化中的一块瑰宝 下列图案中， 是轴对称图形但不是中心对称图形的是 （ ） A B C D 【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项正确； C既不是轴对称，也不是中心对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误 故选：B 2 （3 分）据气象台预报，2020 年 7 月某日青岛最高气温 27，最低气温 21，则当天气温 t（）的变 化范围是（
15、 ） At21 Bt27 C21t27 D21t27 【解答】解：由某日青岛最高气温是 27，最低气温是 21，得 21t27 故选：D 3 （3 分）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A （3x） （3+x）9x2 B Cx27x+12（x3） （x4） D4yz2y2z+z2y（2zyz）+z 【解答】解：A从左边到右边的变形，属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B等式的右边不是整式积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C从左边到右边的变形，属于因式分解，故本选项符合题意； D从左边到右边的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意； 故选：C 4（3
16、 分） 如图， AE 与 BF 交于点 O， 点 O 在 CG 上， 根据尺规作图的痕迹， 判断下列说法不正确的是 （ ） AAE、BF 是ABC 的内角平分线 BCG 也是ABC 的一条内角平分线 CAOBOCO D点 O 到ABC 三边的距离相等 【解答】解：A、由尺规作图的痕迹可知：AE、BF 是ABC 的内角平分线，所以选项 A 正确； B、根据三角形三条角平分线交于一点，且点 O 在 CG 上，所以 CG 也是ABC 的一条内角平分线，所 以选项 B 正确； C、三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，所以选项 C 不正确； D、因为角平分线的点到角两边的距离相等得：点 O 到A
17、BC 三边的距离相等，所以选项 D 正确； 本题选择说法不正确的，故选：C 5 （3 分）如图，已知一次函数 ykx+b（k，b 为常数，且 k0）的图象与 x 轴交于点 A（3，0） ，若正比 例函数 ymx（m 为常数，且 m0）的图象与一次函数的图象相交于点 P，且点 P 的横坐标为 1，则关 于 x 的不等式（km）x+b0 的解集为（ ） Ax1 Bx1 Cx3 Dx3 【解答】解：当 x1 时，kx+bmx， 所以关于 x 的不等式（km）x+b0 的解集为 x1 故选：B 6 （3 分）如图，已知ABC 中，ABC50，P 为ABC 内一点，过点 P 的直线 MN 分别交 AB、
18、BC 于点 M、N若 M 在 PA 的中垂线上，N 在 PC 的中垂线上，则APC 的度数为（ ） A100 B105 C115 D无法确定 【解答】解：ABC50， BAC+ACB130， 若 M 在 PA 的中垂线上，N 在 PC 的中垂线上， AMPM，PNCN， MAPAPM，CPNPCN， APC180APMCPN180PACACP， MAP+PCNPAC+ACP13065， APC115， 故选：C 7 （3 分）已知关于 x 的不等式组恰好有 6 个整数解，则 a 的取值范围为（ ） A4a5 B4a5 C4a5 D4a5 【解答】解：， 解得：x1， 解得：xa， 1xa, 不
19、等式组的整数解有 6 个， 不等式组的整数解为1、0、1、2、3、4， 则 4a5， 故选：D 8 （3 分）如图，ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E 是 AB 中点，且 AE+EO4，则ABCD 的周长 为（ ） A20 B16 C12 D8 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， OAOC， AEEB， OEBC， AE+EO4， 2AE+2EO8， AB+BC8， 平行四边形 ABCD 的周长2816， 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，满分共小题，满分共 18 分分.只要求填写最后结果，每小题填对得只要求填写最后结果，每小题填对得 3 分
20、）分） 9 （3 分）化简分式： 【解答】解：原式 故答案是： 10 （3 分）如果一个正多边形每一个内角都等于 144，那么这个正多边形的边数是 10 【解答】解：设正多边形的边数为 n， 由题意得，144， 解得 n10 故答案为：10 11 （3 分）解关于 x 的方程有增根，原方程无解，则常数 a 的值等于 2 【解答】解：由 x50 得 x5， 分式方程的增根为 x5， 把分式方程两边同时乘以（x5）得： x3a3(x5)， 把 x5 代入得： 53a(55)， a2 故答案为：2 12 （3 分）如图，在PAB 中，PAPB，M，N，K 分别是 PA，PB，AB 上的点，且 AMB
21、K，BNAK， 若MKN42，则P 的度数为 96 【解答】解：PAPB， AB， 在AMK 和BKN 中， ， AMKBKN， AMKBKN， MKBMKN+NKBA+AMK， AMKN42， P180AB96， 故答案为 96 13 （3 分）小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时（机翼间无缝 隙） ，AOB 的度数是 45 【解答】解：在折叠过程中角一直是轴对称的折叠， AOB22.5245； 故答案为 45 14 （3 分）如图，AB 为等腰直角ABC 的斜边，E 为 AB 的中点，F 为 AC 延长线上的一个动点（F 与点 C 不重合） ，线段 FB
22、的垂直平分线交线段 CE 于点 O，D 为垂足，当 F 点运动时，给出下列四个结论，其 中一定正确的结论有 （请填写正确序号） 点 O 到ABF 三个顶点的距离相等； OFOB； ； SAECSBOF 【解答】解：如图，连接 AO， CACB，AEEB， CEAB， OAOB， OD 垂直平分线段 BF， OFOB， OAOFOB， 点 O 到ABF 三个顶点的距离相等，故正确； 设 BC 交 OF 于 J， 在ACO 与BCO 中， , ACOBCO（SSS） ， CAOCBO， OAOF， CAOCFJ， CFJOBJ， CJFOJB， JOBJCF90， OFOB，故正确； ，AC+CF
23、AF， 显然 AF 不一定等于 AB、故错误； ABC 为等腰直角三角形，E 为 AB 中点， ，CEAB， ACE 面积为AECEBE2， OFOB，OFOB， BOF 面积为OFOBOB2， 在 RtOBE 中，OB 为斜边，BE 为直角边， OBBE， ， SAECSBOF，故正确 故答案为： 三、作图题（本题共三、作图题（本题共 4 分）分） 15 （4 分）用圆规，直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹 如图，OA、OB 表示两条道路，在 OB 上有一车站（用点 P 表示） 现在要在两条道路形成的AOB 的内 部建一个报亭，要求报亭到两条道路的距离相等且在过点 P 与 AO 平行的道路
24、上请在图中作出报亭的 位置 【解答】解：如图，点 T 即为所求 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，满分小题，满分 74 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推算步骤）分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推算步骤） 16 （14 分）解答下列各题 （1）将下列各式因式分解 6ab3c+4a2b2 3a+12a212a3 （2）化简： （1+） （3）解不等式组，并写出它的非负整数解 【解答】解： （1）6ab3c+4a2b2 2ab2（3bc+2a） ； 3a+12a212a3 3a（14a+4a2） 3a（2a1）2； （2） （m3） ； （3）， 解不等式，得 x
25、， 解不等式，得 x3， 原不等式组的解集是x3， 故该不等式组的非负整数解是 0，1，2 17 （6 分）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标为 A（3，4） ，B（4，2） ，C（2，1） ， ABC 绕原点逆时针旋转 90，得到A1B1C1，将A1B1C1向右平移 6 个单位，再向上平移 2 个单位 得到A2B2C2 （1）画出A1B1C1； （2）P（a，b）是ABC 的边 AC 上一点，ABC 经旋转、平移后点 P 的对应点分别为 P1、P2，请写出 点 P1、P2的坐标 【解答】解： （1）如图所示：A1B1C1，A2B2C2，即为所求； （2）A（3，4） ，A1（4
26、，3） ，B（4，2） ，B1（2，4） ， P（a，b） ，则 P1（b，a） ， A1（4，3） ，B1（2，4） ，A2（2，1） ，B2（4，2） ， P2（b+6，a+2） 18 （6 分）某超市预测某品牌饮料有销售前景，用 1200 元购进一批该饮料，试销售后果然供不应求，又用 5400 元购进这种饮料，第二批饮料的数量是第一批的 3 倍，但单价比第一批贵 2 元 （1）第一批饮料进货单价为多少元？ （2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于 3000 元，则销售单价至少为多少 元？ 【解答】解： （1）设第一批饮料进货单价为 x 元，则第二批饮料进货单价为（x
27、+2）元 依题意，得： 解得：x4 经检验，x4 是原方程的解，且符合题意 答：第一批饮料进货单价为 4 元 （2）第一批饮料进货数量为 12004300（瓶） ， 第二批饮料进货数量为 5400（4+2）900（瓶） 设销售单价为 y 元， 依题意，得： （300+900）y（1200+5400）3000 解得：y8 答：销售单价至少为 8 元 19 （7 分）已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E，F 在 AC 上，且 AECF （1）求证：四边形 BEDF 是平行四边形 （2）当 AB3，AC4，AD5 时，求平行四边形 ABCD 的面积 【解答】 （1）证明：连接 BD 交 A
28、C 于点 O，如图所示： 四边形 ABCD 为平行四边形， OAOC，OBOD， AECF， OAOEOCCF， OEOF， 又OBOD， 四边形 BEDF 为平行四边形 （2）解：四边形 ABCD 是平行四边形， BCAD5，ABCD3， AC2+CD242+3252， 又AD252， AC2+CD2AD2， ACD 为直角三角形，ACD90， ， S平行四边形ABCD2SACD2612 20 （7 分）如图，将一张长方形纸板按图中实线裁剪成九块，其中有两块是边长都为 m 的大正方形，两块 是边长都为 n 的小正方形，五块是长为 m，宽为 n 的全等小长方形，且 mn（以上长度单位：cm）
29、（1）观察图形，可以发现代数式 2m2+5mn+2n2可以因式分解为 （2）若每块小长方形的周长是 20cm，且每块大正方形与每块小正方形的面积差为 40cm2，求这张长方 形纸板的面积 【解答】解： （1）由图可得， 2m2+5mn+2n2（2m+n） （m+2n） ； （2）每块小长方形的周长是 20cm，且每块大正方形与每块小正方形的面积差为 40cm2， 2（m+n）20，m2n240， m+n10， （m+n） （mn）40， mn4， ， 解得， 2m+n17，m+2n13， 面积为： （2m+n） （m+2n）1713221（cm2） 21 （7 分）如图，在ABC 中，AB7，
30、BC14，M 为 AC 的中点，OMAC 交ABC 的平分线于 O，OE AB 交 BA 的延长线于 E，OFBC垂足为 F （1）求证：AECF （2）求线段 BE 的长 【解答】 （1）证明：连接 OA, OB 平分ABC， 又OEAB，OFBC， OEOF OMAC，M 为 AC 中点， OM 垂直平分 AC， OAOC， 在 RtAEO 与 RtCFO 中， , RtAEORtCFO（HL） ， AECF； （2）解：在 RtBEO 与 RtBFO 中， ， BEOBFO（HL） ， BEBF， AB7，BC14， 设 AECFx， x+714x， ， 22 （9 分）学校通过调查发现
31、很多同学非常喜欢羽毛球这项体育活动，决定开展羽毛球选修课，购进 10 副 某一品牌羽毛球拍，每副球拍配 x（x2）个羽毛球，供应同学们积极参加体育活动学校附近有甲、 乙两家体育文化用品商场，都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为 30 元，每个 羽毛球的标价为 3 元，目前两家商场都有优惠活动： 甲商场：所有商品均打九折（按标价的 90%）销售； 乙商场：买一副羽毛球拍送 2 个羽毛球 设在甲商场购买羽毛球拍和羽毛球的费用为 y1（元） ， 在乙商场购买羽毛球拍和羽毛球的费用为 y2（元） 请解答下列问题： （1）分别写出 y1，y2与 x 之间的关系式 （2）若只能在一家超
32、市购买，当 x 取何值时，在甲商场购买更划算 （3）若可以同时在两家商场分别购买部分商品，每副球拍配 30 个羽毛球，则购买费用最少为多少元？ 【解答】解： （1）由题意得：y1（1030+310 x）0.927x+270 y21030+3（10 x20）30 x+240 （2）当 y1y2时，27x+27030 x+240，得 x10 当 x10 时，在甲超市划算 （3）设在乙超市买 a 副拍，送 2a 只羽毛球，则在甲超市买（10a）副拍，买（3002a）个羽毛球， 设总费用 w 元，则： w30a+27（10a）+2.7（3002a） 30a+27027a+2.73005.4a 2.4a
33、+1080， 2.40， w 随 a 的增大而减小， 当 a10 时，w 最小， w24+10801056（元） 购买费用最少为 1056 元 23 （9 分）回答下列各题 （1）观察下列算式，并完成填空： 112； 1+3422； 1+3+5932； 1+3+5+71642； 1+3+5+（2n1） n2 （n 是正整数） （2）如图是某市一广场用正六边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正六边形地 板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖从里向外第一层包括 6 块正方形和 6 块正三角形地板砖；第 二层包括 6 块正方形和 18 块正三角形地板砖；以此递推 第 3 层中分别含有
34、 6 块正方形和 30 块正三角形地板砖 第 n 层中含有 6（2n1） 块正三角形地板砖（用含 n 的代数式表示） （3） 【应用】该市打算在一个新建广场中央，采用如图样式的图案铺设地面，现有 1 块正六边形、150 块正方形和 3000 正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，最多能铺多少层？请说明理由 【解答】解： （1）观察算式规律，1+3+5+（2n1）n2， 故答案为：n2； （2）第一层包括 6 块正方形和 6 块正三角形地板砖， 第二层包括 6 块正方形和 6+1218 块正三角形地板砖， 第三层包括 6 块正方形和 18+1230 块正三角形地板砖 故答案为：6，30； 第一层
35、6616（211）块正三角形地板砖， 第二层 18636（221）块正三角形地板砖， 第三层 30656（231）块正三角形地板砖， 第 n 层 6（2n1）块正三角形地板砖 故答案为：6（2n1） ； （3）铺设这样的图案，最多能铺 22 层 理由如下： 150625（层） ， 150 块正方形地板砖可以铺设这样的图案 25 层； 铺设 n 层需要正三角形地板砖的数量为：61+3+5+（2n1）6n2， 6n23000，n2500， 3000 块正三角形地板砖最多可以铺设这样的图案 22 层， 铺设这样的图案最多能铺 22 层 24 （9 分）已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，AB6c
36、m，BC8cm，ABC60，两条对角线 AC 与 BD 相交于点 O点 P 在射线 BC 上，从点 B 出发以 1cm/s 的速度向右匀速运动，连接 PO 并延长，与 AD 相交于点 Q设点 P 运动的时间为 t （1）求证：AQPC （2）当点 P 在线段 BC 上运动，四边形 OPCD 的形状在发生相应的变化，写出四边形 OPCD 的面积 S 关于 t 表达式 （3）当点 P 在线段 BC 上运动，t 为何值时，四边形 OPCD 的面积等于平行四边形 ABCD 面积的 （4）连接 PD，随着点 P 在射线 BC 上运动，是否存在某一时刻 t，使BPD 成为等腰三角形？若存在， 直接写出 t
37、 的值；若不存在，请说明理由 【解答】 （1）证明：如图 1，四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，OAOC， OAQOCP， 又AOQCOP， AOQCOP（ASA） ， AQPC （2）过点 A 作 AHBC 于点 H，过点 O 作 OEBC 于点 E，则AHB90， AB6，ABC60， AHABsin6063， OEAH， COECAH， ， OEAH3， 由 S四边形OPCDSBCDSBPO，得 Stt+12， 点 P 在线段 BC 上且存在四边形 OPCD， 0t8， St+12（0t8） （3）由题意，t+1283， 解得，t4， 当 t4 时，四边形 OPCD 的面积等于平行四边形 ABCD 面积的 （4）存在 作 DFBC 于点 F，则DFC90， 由（2）得，平行四边形 ABCD 的边 BC 上的高为 3， DF3； CDAB， DCFABC60， CDAB6， CFCDcos6063， BF8+311， BD2BF2+DF2112+（3）2148， BD2， BODOBD 当 PBPD 时，如图 3，则BOP90， CBD， BP， 由 1t，得 t； 当 BPBD2时，如图 4， 由 1t2，得 t2； 当 PDBD 时，如图 5，则 PFBF， BP11222， 由 1t22，得 t22， 综上所述，t 的值为或或 22
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