1、四川省广元市四川省广元市 2021 中考数学试题中考数学试题 一、选择题 （每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的每小题一、选择题 （每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1. 计算32 的最后结果是（ ） A. 1 B. 1 C. 5 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先计算绝对值，再将减法转化为加法运算即可得到最后结果 【详解】解：原式3 25 ， 故选：C 【点睛】本题考查了绝对值化简和有理数的加减法运算，解决本题的关键是牢记绝对值定义与有理数运算 法则，本题较基础，考查了学生对概念的理解与应用 2. 下列图形均表示医疗或救援的
2、标识，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称及中心对称图形的定义逐一判断即可得答案 【详解】A.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意， B.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意， C.是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意， D.既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故该选项不符合题意， 故选：C. 【点睛】本题考查轴对称图形及中心对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对 称轴折叠后能完全重合；中心对称图形的关键是寻找对称中心，图形绕对称中心旋转 180后，两部
3、分能够 完全重合；熟练掌握定义是解题关键 3. 下列运算正确的是（ ） A. 2 2 11 24 aa B. 2 339aaa C. 2 3161aa D. 22 22ababab 【答案】B 【解析】 【分析】分别根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式法则、多项式乘以多项式法则进行计算 即可判断求解 【详解】解：A. 2 2 11 24 aaa ，原选项计算错误，不合题意； B. 2 339aaa，原选项计算正确，符合题意； C. 2 3162aa，原选项计算错误，不合题意； D. 2222 2222ababaababbaabb，原选项计算错误，不合题意 故选：B 【点睛】本题考查了
4、整式的乘法运算，乘法公式等知识，熟知乘法公式和整式的乘法法则是解题关键 4. 一组数据：1，2，2，3，若添加一个数据 3，则不发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可 【详解】解：A、原来数据的平均数是 1223 4 2，添加数字 3 后平均数为1 223311 55 ，所 以平均数发生了变化，故 A 不符合题意； B、原来数据的中位数是 2，添加数字 3后中位数仍为 2，故 B 与要求相符； C、原来数据的众数是 2，添加数字 3 后众数为 2 和 3，故 C与要求不符；
5、D、原来数据的方差= 2222 11 (12)(22)(22)(32) 42 ， 添加数字 3 后的方差= 22222 1111111111114 (1)(2)(2)(3) +(3) 5555555 ，故方差发生了变化， 故选项 D 不符合题意 故选：B 【点睛】本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键 5. 下列命题中，真命题是（ ） A. 1 1 2 2 x x B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 顺次连接矩形各边中点的四边形是正方形 D. 已知抛物线 2 45yxx，当15x 时， 0y 【答案】D 【解析】 【分析】根据零次幂、菱形的判定、正
6、方形的判定及二次函数的图象与性质可直接进行排除选项 【详解】解：A、 1 2 2x x ，错误，故不符合题意； B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，错误，故不符合题意； C、顺次连接矩形各边中点的四边形是菱形，错误，故不符合题意； D、 由抛物线 2 45yxx可得与 x 轴的交点坐标为 1,0 , 5,0， 开口向上， 然后可得当15x 时， 0y ，正确，故符合题意； 故选 D 【点睛】本题主要考查零次幂、菱形的判定、正方形的判定及二次函数的图象与性质，熟练掌握零次幂、 菱形的判定、正方形的判定及二次函数的图象与性质是解题的关键 6. 观察下列作图痕迹，所作线段CD为ABC的角平分线的
7、是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线画法逐一进行判断即可 【详解】A：所作线段为 AB边上的高，选项错误； B：做图痕迹为 AB边上的中垂线，CD 为 AB 边上的中线，选项错误； C：CD 为ACB的角平分线，满足题意。 D：所作线段为 AB边上的高，选项错误 故选：. 【点睛】本题考查点到直线距离的画法，角平分线的画法，中垂线的画法，能够区别彼此之间的不同是解 题切入点 7. 如图，从一块直径是 2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥那 么这个圆锥的底面圆的半径是（ ） A. 4 B. 2 4 C. 1 2 D. 1 【
8、答案】B 【解析】 【分析】先计算BC的长度，然后围成的圆锥底面周长等同于BC的长度，根据公式计算即可 【详解】解：如下图： 连接 BC，AO， 90BAC， BC是直径，且 BC=2， 又AB AC， 45ABCACB ，,AOBC 又sin45 OA AB ， 1 1 2 OABC ， 2 12 sin452 OA AB ， BC的长度为： 902 2= 1802 ， 围成的底面圆周长为 2 2 ， 设圆锥的底面圆的半径为r， 则： 2 2 2 r， 212 = 224 r 故选：B 【点睛】本题考查扇形弧长的计算，圆锥底面半径的计算，解直角三角形等相关知识点，根据条件计算出 扇形的半径是
9、解题的关键 8. 将二次函数 2 yx2x3 的图象在 x轴上方的部分沿 x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示当直 线yxb与新函数的图象恰有 3个公共点时，b 的值为（ ） A. 21 4 或3 B. 13 4 或3 C. 21 4 或3 D. 13 4 或3 【答案】A 【解析】 【分析】由二次函数解析式 2 yx2x3 ，可求与 x轴的两个交点 A、B，直线y xb 表示的图像可 看做是直线y x 的图像平移 b个单位长度得到， 再结合所给函数图像可知， 当平移直线y x 经过 B点时， 恰与所给图像有三个交点，故将 B 点坐标代入即可求解；当平移直线y x 经过 C点时，恰与所给图像有
10、三 个交点，即直线yxb与函数 2 yx2x3 关于 x 轴对称的函数 2 23yxx图像只有一个交点， 即联立解析式得到的方程的判别式等于 0，即可求解 【详解】解：由 2 yx2x3 知，当 0y 时，即 2 230 xx 解得： 12 1,3xx 1,0 ,3,0AB 作函数y x 的图像并平移至过点 B 时，恰与所给图像有三个交点，此时有： 03 b 3b 平移图像至过点 C 时，恰与所给图像有三个交点，即当13x 时，只有一个交点 当13x 的函数图像由 2 yx2x3 的图像关于 x轴对称得到 当 13x 时对应的解析式为 2 23yxx 即 2 23 y x b y xx ，整理
11、得： 2 330 xxb 2 34 132140bb 21 4 b 综上所述3b或 21 4 故答案是：A 【点睛】本题主要考察二次函数翻折变化、交点个数问题、函数图像平移的性质、二次函数与一元二次方 程的关系等知识，属于函数综合题，中等难度解题的关键是数形结合思想的运用，从而找到满足题意的 条件 9. 如图， 在边长为 2的正方形ABCD中，AE是以BC为直径的半圆的切线， 则图中阴影部分的面积为 （ ） A. 3 2 B. 2 C. 1 D. 5 2 【答案】D 【解析】 【分析】 取 BC 的中点 O， 设 AE与O的相切的切点为 F， 连接 OF、 OE、 OA， 由题意可得 OB=O
12、C=OA=1， OFA=OFE=90，由切线长定理可得 AB=AF=2，CE=CF，然后根据割补法进行求解阴影部分的面积即 可 【详解】解：取 BC的中点 O，设 AE与O的相切的切点为 F，连接 OF、OE、OA，如图所示： 四边形 ABCD是正方形，且边长为 2， BC=AB=2，ABC=BCD=90， AE是以BC为直径的半圆的切线， OB=OC=OF=1，OFA=OFE=90， AB=AF=2，CE=CF， OA=OA， RtABORtAFO（HL） ， 同理可证OCEOFE， ,AOBAOFCOEFOE ， 90AOBCOEAOBBAO， COEBAO， ABOOCE， OCCE A
13、BOB ， 1 2 CE ， 15 222 222 ABOOCEABCE SSSSSS 阴影半圆半圆四边形 ； 故选 D 【点睛】本题主要考查切线的性质定理、切线长定理、正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌 握切线的性质定理、切线长定理、正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键 10. 如图， 在ABC中，90ACB，4ACBC ， 点 D是BC边的中点， 点 P 是AC边上一个动点， 连接PD，以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ，连接CQ则CQ的最小值是（ ） A. 3 2 B. 1 C. 2 D. 3 2 【答案】B 【解析】 【分析】以 CD 为边作等边三角形 CD
14、E，连接 EQ，由题意易得PDC=QDE，PD=QD，进而可得 PCDQED，则有PCD=QED=90，然后可得点 Q 是在 QE 所在直线上运动，所以 CQ 的最小值 为 CQQE时，最后问题可求解 【详解】解：以 CD为边作等边三角形 CDE，连接 EQ，如图所示： PDQ是等边三角形， 60 ,CEDPDQCDEPDQD CDED ， CDQ是公共角， PDC=QDE， PCDQED（SAS） ， 90ACB，4ACBC，点 D是BC边的中点， PCD=QED=90， 1 2 2 CDDECEBC， 点 Q是在 QE所在直线上运动， 当 CQQE 时，CQ取的最小值， 9030QECCE
15、D， 1 1 2 CQCE； 故选 B 【点睛】本题主要考查等边三角形性质、含 30直角三角形的性质及最短路径问题，熟练掌握等边三角 形的性质、含 30直角三角形的性质及最短路径问题是解题的关键 二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上每小题二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11. 16的算术平方根是 _ 【答案】2 【解析】 【详解】 16=4，4的算术平方根是 2， 16的算术平方根是 2. 【点睛】这里需注意：16的算术平方根和16的算术平方根是完全不一样的；因此求一个式子的平方根、 立方根和算术平方根时，通常需先将
16、式子化简，然后再去求，避免出错. 12. 中国杂交水稻之父、中国工程院院士、共和国勋章获得者袁隆平于 2021年 5月 22 日因病去世，享年 91 岁，袁隆平去世是中国乃至全世界的重大损失袁隆平一生致力于水稻杂交技术研究，为提高我国水稻 亩产量做出了巨大贡献截至 2012 年，“种三产四”丰产工程项目累计示范推广面积达 2000多万亩，增产 20 多亿公斤将 20 亿这个数据用科学记数法表示为_ 【答案】 9 2 10 【解析】 【分析】科学记数法要求，小数点在第一个不为零的整数后面，其他数为小数，小数点移动位数等于幂的 指数，向左移动，指数为正，向右移动，指数为负 【详解】 89 20 1
17、0 =2 10 故答案为： 9 2 10 【点睛】本题考查科学记数法，根据相关原则进行计算是解题关键点 13. 如图，实数5 ，15，m在数轴上所对应的点分别为 A，B，C，点 B关于原点 O的对称点为 D若 m 为整数，则 m的值为_ 【答案】-3 【解析】 【分析】先求出 D 点表示的数，再得到 m 的取值范围，最后在范围内找整数解即可 【详解】解：点 B 关于原点 O 的对称点为 D，点 B 表示的数为15， 点 D 表示的数为15， A 点表示5，C 点位于 A、D 两点之间， 155m ， m 为整数， 3m； 故答案为：3 【点睛】本题考查了数轴上点的特征，涉及到相反数的性质、对无
18、理数进行估值、确定不等式组的整数解 等问题，解决本题的关键是牢记相关概念和性质，本题蕴含了数形结合的思想方法 14. 如图，在4 4的正方形网格图中，已知点 A、B、C、D、O均在格点上，其中 A、B、D 又在 O上， 点 E 是线段CD与O的交点则BAE的正切值为_ 【答案】 1 2 【解析】 【分析】由题意易得 BD=4，BC=2，DBC=90，BAE=BDC，然后根据三角函数可进行求解 【详解】解：由题意得：BD=4，BC=2，DBC=90， BAE=BDC， 1 tantan 2 BC BAEBDC BD ， 故答案为 1 2 【点睛】本题主要考查三角函数及圆周角定理，熟练掌握三角函数
19、及圆周角定理是解题的关键 15. 如图，点2,2A 在反比例函数 k y x 的图象上，点 M在 x轴的正半轴上，点 N 在 y 轴的负半轴上， 且5OMON点,P x y是线段MN上一动点，过点 A和 P 分别作 x 轴的垂线，垂足为点 D和 E，连 接OA、OP当 OADOPE SS时，x 的取值范围是_ 【答案】14x 【解析】 【分析】先求出反比例函数的解析式，再求出线段 MN 的解析式，最后联立两个解析式求出 B 和 C 两个点 的坐标，再根据 k的几何意义，确定 P 点位置，即可得到相应的 x 的取值范围 【详解】解：点2,2A 224k ， 所以反比例函数的解析式为： 4 y x
20、 ， 因为5OMON， 5,0 ,0, 5MN, 设线段 MN 解析式为：05ypxqx， 50 5 pq q ， 1 5 p q ， 线段 MN 解析式为：5 05yxx， 联立以上两个解析式得： 5 4 yx y x ， 解得： 1 4 x y 或 4 1 x y ，经检验，符合题意； 由图可知，两个函数的图像交点分别为点 B 和点 C， 1, 4B，4, 1C， OADOPE SS， P点应位于 B 和 C两点之间， 14x， 故答案为：14x 【点睛】本题涉及到了动点问题，考查了反比例函数的图像与性质、k 的几何意义、待定系数法等内容，解 决本题的关键是牢记反比例函数的图像与性质， 理
21、解 k的几何意义， 以及能联立两个函数的解析式求交点坐 标等，本题蕴含了数形结合的思想方法等 16. 如图，在正方形ABCD中，点 O 是对角线BD的中点，点 P 在线段OD上，连接AP并延长交CD于 点 E，过点 P作PFAP交BC于点 F，连接AF、EF，AF交BD于 G，现有以下结论：APPF； DEBFEF； 2PBPDBF ； AEF S为定值； APGPEFG SS 四边形 以上结论正确的有 _（填入正确的序号即可） 【答案】 【解析】 【分析】由题意易得APF=ABC=ADE=C=90，AD=AB，ABD=45，对于：易知点 A、B、F、 P 四点共圆，然后可得AFP=ABD=4
22、5，则问题可判定；对于：把AED 绕点 A 顺时针旋转 90得 到ABH，则有 DE=BH，DAE=BAH，然后易得AEFAHF，则有 HF=EF，则可判定；对于： 连接 AC，在 BP上截取 BM=DP，连接 AM，易得 OB=OD，OP=OM，然后易证AOPABF，进而问题 可求解；对于：过点 A 作 ANEF 于点 N，则由题意可得 AN=AB，若AEF 的面积为定值，则 EF 为定 值， 进而问题可求解； 对于由可得 2 2 AP AF ， 进而可得APGAFE， 然后可得相似比为 2 2 AP AF ， 最后根据相似三角形的面积比与相似比的关系可求解 【详解】解：四边形ABCD是正方
23、形，PFAP， APF=ABC=ADE=C=90，AD=AB，ABD=45， 180ABCAPF， 由四边形内角和可得180BAPBFP， 点 A、B、F、P四点共圆， AFP=ABD=45， APF是等腰直角三角形， APPF，故正确； 把AED 绕点 A 顺时针旋转 90得到ABH，如图所示： DE=BH，DAE=BAH，HAE=90，AH=AE， 45HAFEAF， AF=AF， AEFAHF（SAS） ， HF=EF， HFBHBF， DEBFEF，故正确； 连接 AC，在 BP上截取 BM=DP，连接 AM，如图所示： 点 O是对角线BD的中点， OB=OD，BDAC， OP=OM，
24、AOB 是等腰直角三角形， 2ABAO ， 由可得点 A、B、F、P四点共圆， APOAFB， 90ABFAOP， AOPABF， 2 2 OPOAAP BFABAF ， 2 2 OPBF， 2BPDPBPBMPMOP， 2PBPDBF ，故正确； 过点 A 作 ANEF于点 N，如图所示： 由可得AFB=AFN， ABF=ANF=90，AF=AF， ABFANF（AAS） ， AN=AB， 若AEF的面积为定值，则 EF为定值， 点 P在线段OD上， EF的长不可能为定值，故错误； 由可得 2 2 AP AF ， AFB=AFN=APG，FAE=PAG， APGAFE， 2 2 GPAP E
25、FAF ， 2 21 22 AGP AEF S S ， 1 2 AGPAEF SS， APGPEFG SS 四边形 ，故正确； 综上所述：以上结论正确的有； 故答案为 【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握 正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键 三、解答题（三、解答题（96 分）要求写出必要的解答步骤或证明过程分）要求写出必要的解答步骤或证明过程 17. 解方程： 31 4 23 xx 【答案】7x 【解析】 【分析】根据整式方程的计算过程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1，就可以得到结果
26、 【详解】解：去分母得：332124xx， 去括号得：392224xx ， 移项并合并同类项得：535x ， 系数化为 1 得：7x ， 故答案为：7x 【点睛】本题考查整式方程的计算，注意每个步骤的要求是解题的关键 18. 先化简，再求值： 2 111 xyxyxxy 其中2x ，1y 【答案】 2 2x xy ，4 2 4 【解析】 【分析】先算括号内的，再进行分式的除法运算进行化简，然后再代值求解即可 【详解】解：原式= 2 2xyxyx xxy xyxyxy ， 把2x ，1y 代入得：原式= 2 22 4 24 21 【点睛】本题主要考查分式的化简求值及二次根式的运算，熟练掌握分式的
27、化简求值及二次根式的运算是 解题的关键 19. 如图，在平行四边形ABCD中，E 为DC边的中点，连接AE，若AE的延长线和BC的延长线相交于 点 F （1）求证：BCCF； （2）连接AC和BE相交于点为 G，若GEC的面积为 2，求平行四边形ABCD的面积 【答案】 （1）证明见解析； （2）24 【解析】 【分析】 （1）根据 E 是边 DC 的中点，可以得到DECE，再根据四边形 ABCD是平行四边形，可以得到 ADEECF，再根据AEDCEF，即可得到ADEECF，则答案可证； （2） 先证明CEGABG， 根据相似三角形的性质得出8 ABG S， 1 2 AGAB GCCE ， 进
28、而得出4 BGC S， 由 ABCABGBCG SSS得12 ABC S ，则答案可解 【详解】 （1）证明：四边形 ABCD是平行四边形， /BADC，ADBC， ADEECF， 点 E为 DC的中点， DECE， 在ADE和ECF中 ADEECF DECE AEDCEF ADEECF ASA， ADCF， BCCF； （2）四边形 ABCD是平行四边形，点 E为 DC的中点， /AB DC，2ABEC， GECABG，GCEGAB， CEGABG， GEC的面积为 2， 22 11 24 ABG CEG SAB SCE ，即44 28 ABGCEG SS ， CEGABG 1 2 AGAB
29、 GCCE ， 11 84 22 BGCABG SS ， 8412 ABCABGBCG SSS ， 22 1224 ABCDABC SS 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，解答本题的 关键是明确题意，利用数形结合的思想解答 20. 为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置一批篮球和足球甲、乙两家商场以相同的价格出 售同种品牌的篮球和足球，已知篮球价格为 200元/个，足球价格为 150 元/个 （1）若学校计划用不超过 3550元的总费用购买这款篮球和足球共 20 个，且购买篮球的数量多于购买足球 数量的 2 3 学校有哪几种购买方案？ （
30、2）若甲、乙两商场各自推出不同的优惠方案：甲商场累计购物超过 500元后，超出 500 元的部分按 90% 收费；乙商场累计购物超过 2000元后，超出 2000元的部分按 80%收费若学校按（1）中的方案购买，学 校到哪家商场购买花费少？ 【答案】 （1）有三种方案，为：购买 9 个篮球，11 个足球；10个篮球，10 个足球；11个篮球，9个 足球； （2）学校购买 9个篮球，11 个足球到甲商场购买花费少；购买 10 个篮球，10 个足球和 11个篮球，9 个足球到乙商场购买花费少 【解析】 【分析】 （1）设学校购买篮球 x 个，购买足球（20-x）个，根据“学校计划用不超过 3550
31、元的总费用购买” 和“购买篮球的数量多于购买足球数量的 2 3 ”列出不等式组，求解即可； （2）设学校购买篮球 x 个，购买足球（20-x）个，分别计算出在甲，乙两商场的费用列出不等式求解即可 【详解】解： （1）设学校购买篮球 x 个，购买足球（20-x）个，根据题意得， 200150(20)3550 2 (20) 3 xx xx 解得，811x x是整数， x=9，10或 11 20-x=12，10 或 9 故有三种方案，为：购买 9个篮球，11个足球；10个篮球，10个足球；11 个篮球，9个足球； （2）设学校购买篮球 x个，购买足球（20-x）个， 在甲商场花费：200150(20
32、)500 90%500(452750)xxx元； 在乙商场花费：200150(20)2000 80%2000(402800)xxx元； 要使学校到甲商场花费最少，则有： 452750 402800 xx 解得，10 x 811x，且 x是整数， x=9, 即：学校购买 9 个篮球，11 个足球到甲商场购买花费少；购买 10 个篮球，10个足球和 11个篮球，9个足球 到乙商场购买花费少 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式和一元一次不等式组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根 据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出不等式，再求解 21. “此生无悔入华夏，来世再做中国人！”自疫情暴发以来，
33、我国科研团队经过不懈努力，成功地研发出 了多种“新冠”疫苗，并在全国范围内免费接种截止 2021 年 5 月 18日 16：20，全球接种“新冠”疫苗 的比例为 18.29%；中国累计接种 4.2 亿剂，占全国人口的 29.32%以下是某地甲、乙两家医院 5 月份某天 各年龄段接种疫苗人数的频数分布表和接种总人数的扇形统计图： 甲医院 乙医院 年龄段 频数 频率 频数 频率 1829 周岁 900 0.15 400 0.1 3039 周岁 a 0.25 1000 0.25 4049 周岁 2100 b c 0.225 5059 周岁 1200 0.2 1200 0.3 60 周岁以上 300
34、0.05 500 0.125 （1）根据上面图表信息，回答下列问题： 填空：a_，b_，c_； 在甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，4049周岁年龄段人数在扇形统计图中所占圆心角为 _； （2）若 A、B、C 三人都于当天随机到这两家医院接种疫苗，求这三人在同一家医院接种的概率 【答案】 （1）1500，0.35，6=900；108； （2） 1 4 【解析】 【分析】 （1）分别用甲、乙两医院 18-29周岁的年龄段的频数除以频率即可求出接种总人数，然后根据频 数与频率的关系求出相应的值；甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，4049 周岁年龄段人数与接 种总人数的百分比乘以 360即可
35、得到在扇形统计图中所占圆心角； （2）画出树状图，得出所有等可能的结果数与三人在同一家医院接种的结果数，运用概率公式求解即可 【详解】解： （1）9000.15=6000（人） ，4000.1=4000（人） a=6000-900-2100-1200-300=1500 b=1-0.15-0.25-0.2-0.05=0.35 c=4000-400-1000-1200-500=900 故答案为：1500，0.35，6=900； 360 2100+900 =108 6000+4000 故答案为：108； （2）画树状图为： 所有等可能的结果共有 8 种情况，而同在一所医院接种的有 2种结果数， 三人
36、在同一家医院接种的概率 21 84 P 【点睛】此题考查了条形统计图，扇形统计图以及概率的计算，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要 的信息是解决问题的关键当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举 22. 如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度 D 点处时，无人机测得操控 者 A 的俯角为75，测得小区楼房BC顶端点 C 处的俯角为45已知操控者 A和小区楼房BC之间的距 离为 45米，小区楼房BC的高度为15 3米 （1）求此时无人机的高度； （2） 在 （1） 条件下， 若无人机保持现有高度沿平行于AB的方向， 并以 5米/秒的速度继续向前匀速飞行 问： 经
37、过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点 A，B，C，D都在同一平面内参考数据： tan7523 ，tan1523计算结果保留根号） 【答案】 （1）15 330米； （2）6 36秒 【解析】 【分析】 （1）通过作辅助线构造直角三角形，解直角三角形即可求出 DE 的值，进而得到 DH的值； （2）先利用特殊角的三角函数值求出BAC的度数，接着求出GFA的度数，作辅助线构造直角三角形求 出 DG和 GF，进而得到 DF 的值，最后除以无人机速度即可 【详解】解：如图 1，过 D点作 DHAB，垂足为点 H，过 C 点作 CEDH，垂足为点 E， 可知四边形 EHBC为矩形， EH=
38、CB，CE=HB， 无人机测得小区楼房BC顶端点 C处的俯角为45，测得操控者 A 的俯角为75，DMAB， ECD=45，DAB=75， CDE=ECD=45， CE=DE， 设 CE=DE=HB=x， AH=45-x，DH=DE+EH=x+15 3， 在 RtDAH中，DH=tan75 AH=2345x， 即15 32345xx， 解得：x=30， DH= 15 3 30 此时无人机的高度为15 330米； （2）如图 2 所示，当无人机飞行到图中 F点处时，操控者开始看不见无人机，此时 AF刚好经过点 C， 过 A 点作 AGDF，垂足为点 G，此时，由（1）知，AG=15 3 30 （
39、米） ， 30 15 3 =15 tan7523 AG DG ； 15 33 tan= 453 BC CAB AB ， =30CAB DFAB， DFA=CAB=30， 30 345 tan30 GA GF , =30 330DF GFDG, 因为无人机速度为 5 米/秒， 所以所需时间 30 330 =6 36 5 （秒） ； 所以经过6 36秒时，无人机刚好离开了操控者的视线 【点睛】本题综合考查了解直角三角形的应用，涉及到了等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质、特 殊角的三角函数值、解直角三角形等知识， 解决本题的关键是读懂题意， 能从题意与图形中找出隐含条件， 能构造直角三角形求解等
40、，本题蕴含了数形结合的思想方法等 23. 如图，直线 2ykx 与双曲线 1.5 y x 相交于点 A、B，已知点 A的横坐标为 1， （1）求直线2ykx的解析式及点 B 的坐标； （2）以线段AB为斜边在直线AB的上方作等腰直角三角形ABC求经过点 C 的双曲线的解析式 【答案】 （1）y=-0.5x+2；点 B 坐标为（3，0.5） ； （2）过点 C 的双曲线解析式为 5 y x 【解析】 【分析】 （1）把点 A横坐标代入反比例函数解析式，可求出点 A 坐标，代入2ykx可求出直线解析式， 联立反比例函数与一次函数解析式即可得点 B坐标； （2）设点 C坐标为（m，n） ，过点 C
41、的双曲线解析式为 k y x ，根据点 A、B坐标可求出 AB的长，根据等 腰直角三角形的性质可得 AC=BC= 2 2 AB，根据两点间距离个数求出 m、n的值即可得点 C 坐标，代入反 比例函数解析式求出 k值即可得答案 【详解】 （1）点 A在双曲线 1.5 y x 上，点 A 的横坐标为 1， 当 x=1 时，y=1.5， 点 A坐标为（1，1.5） ， 直线2ykx与双曲线 1.5 y x 相交于点 A、B， k+2=1.5， 解得：k=-0.5， 直线2ykx的解析式为 y=-0.5x+2， 联立反比例函数与一次函数解析式得 0.52 1.5 yx y x ， 解得： 1 1 3
42、0.5 x y ， 2 2 1 1.5 x y （舍去） ， 点 B坐标为（3，0.5） （2）设点 C坐标为（m，n） ，过点 C的双曲线解析式为 k y x ， A（1，1.5） ，B（3，0.5） ， AB= 22 (3 1)(1.50.5) = 5， ABC等腰直角三角形， AC=BC= 2 2 AB= 10 2 ， 22 2231 13 22 mnmn ， 整理得：23nm， 222 310 (1)(23)() 22 mm ， 解得： 53 22 m 或， 232nm 或 0（舍去） ， 点 C坐标为（2.5，2） ， 把点 C坐标代入双曲线解析式得：2 2.5 k ， 解得：5k
43、， 过点 C 的双曲线解析式为 5 y x 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合，熟练掌握反比例函数图象上的点的坐标特征是解题关键 24. 如图， 在 RtABC中，90ACB，AD是BAC的平分线， 以AD为直径的O交AB边于点 E， 连接CE，过点 D 作/DFCE，交AB于点 F （1）求证：DF是O的切线； （2）若5BD， 3 sin 5 B，求线段DF的长 【答案】 （1）证明见详解； （2） 3 5 2 【解析】 【分析】 （1）先根据圆周角定理、角平分线定义、平行线性质证明EAD=FDE，再根据 AD为O直径， 得到ADE+DAE=90，进而得到 ADFD，问题得证； （2
44、）先求出 DE=3，证明AEDACD，得到 DE=DC=3，BC=BD+CD=8，解 RtABC中求出 AC=6， 进而得到 AE=6，求出3 5AD ,证明ADEAFD，得到 DEAE FDAD ，即可求出 3 5 2 FD 【详解】解： （1）证明：连接 DE， DC DC CAD=CED， AD是BAC 的平分线， CAD=EAD， CED=EAD， /DFCE， CED=FDE， EAD=FDE， AD为O直径， AED=ACD=90， ADE+DAE=90， ADE+FDE=90， 即 ADFD， 又AD为O直径， DF是O的切线； （2）AED=90， BED=90， s 3 5i
45、3 5 nDEBDB , AED=ACD，DAE=DAC，AD=AD， AEDACD， DE=DC=3， BC=BD+CD=8， 在 RtABC中， 3 sin 5 B， 设 AC=3x，AB=5x， 22 2 538xx， x0， x=2， AB=5x=10，AC=3x=6， AEDACD， AE=AC=6， 在 RtADE中， 22 3 5ADAEDE , EAD=DAF，AED=ADF=90， ADEAFD， DEAE FDAD ， 即 36 3 5FD , 3 5 2 FD 【点睛】本题为圆的综合题，考查了切线的判定，圆的性质，三角函数，相似三角形的判定与性质等知识， 根据题意添加辅助
46、线，熟知圆的性质，利用三角函数解直角三角形是解题关键 25. 如图 1，在ABC中，90ACB，ACBC，点 D是AB边上一点（含端点 A、B） ，过点 B 作BE 垂直于射线CD，垂足为 E，点 F 在射线CD上，且EFBE，连接AF、BF （1）求证：ABFCBE； （2） 如图 2， 连接AE， 点 P、 M、 N分别为线段AC、AE、EF的中点， 连接PM、MN、PN 求P M N 的度数及 MN PM 的值； （3）在（2）的条件下，若 2BC ，直接写出PMN面积的最大值 【答案】 （1）证明见解析； （2）135PMN；= 2 MN PM ； （3） 1 4 【解析】 【分析】
47、（1）根据两边对应成比例，夹角相等判定即可 （2）PMN的值可以根据中位线性质，进行角转换，通过三角形内角和定理求解即可， MN PM 的比值转换 为 AF CE 的比值即可求得. （3）过点P作PQ垂直于NM的延长线于点Q， 1 2 PMN SMN PQ ，将相关线段关系转化为 CE，可得 关系 2 1 8 PMN SCE ，观察图象，当 2CEBC 时，可得最大值 【详解】 （1）证明：90ACB，ACBC 2ABBC , 45ABCBAC BE垂直于射线CD, 90 ,BEF 又EFBE 2FBEB , 45FBEEFB +ABCABEABEFBE 即：ABFCBE 又2 ABBF CBBE
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