1、2021 年广东省中考数学仿真模拟试卷（年广东省中考数学仿真模拟试卷（A 卷）卷） 一、选择题（本大题一、选择题（本大题 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的. 1 （3 分）下列实数中，最小的数是（ ） A2 B C0 D1 2 （3 分）目前，我国“新冠”疫苗接种正在有序推进国家卫生健康委员会公布的数据显示，截至 2021 年 4 月 20 日，全国各地累计报告接种新冠病毒疫苗已超过 19500 万剂次，将数据“19500 万”用科学记 数法可表示为（ ） A195106 B19
2、.5107 C1.95108 D1.95109 3 （3 分）北京市民全面参与垃圾分类，共享环保低碳生活生活垃圾应按照厨余垃圾、可回收物、有害垃 圾、其他垃圾的分类，分别投入相应标识的收集容器下面图标标识，可以看作轴对称图形的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 4 （3 分）下列计算正确的是（ ） A （xy）3xy3 Bx5x5x C3x25x315x5 D5x2y3+2x2y310 x4y9 5 （3 分）某小组 5 名同学在一周内参加体育锻炼的时间如下表所示，关于“锻炼时间”的这组数据，以下 说法正确的是（ ） 锻炼时间（小时） 2 3 4 5 人数（人） 1 1 2 1
3、A中位数是 4，平均数是 3.5 B众数是 4，平均数是 3.5 C中位数是 4，众数是 4 D众数是 5，平均数是 3.6 6 （3 分）如图，在ABC 中，ABAC8，AD 是角平分线，BE 是中线，则 DE 的长为（ ） A3 B4 C5 D6 7 （3 分）明代大数学家程大位著算法统宗一书中，记载了这样一道数学题： “八万三千短竹竿，将来 要把笔头安，管三套五为期定，问君多少能完成？”用现代的话说就是：有 83000 根短竹，每根短竹可 制成毛笔的笔管 3 个或笔套 5 个，怎样安排笔管和笔套的短竹的数量，使制成的 1 个笔管与 1 个笔套正 好配套？设用于制作笔管的短竹数为 x 根，
4、用于制作笔套的短竹数为 y 根，则可列方程为（ ） A B C D 8 （3 分）已知 P（a，2）和 Q（1，b）关于 y 轴对称，则（a+b）2021的值为（ ） A1 B1 C32021 D32021 9 （3 分）如图，O 是ABC 的外接圆，BC2，BAC30，则劣弧的长等于（ ） A B C D 10 （3 分）二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 为常数，且 a0）中的 x 与 y 的部分对应值如表： x 1 0 1 3 y 1 3 5 3 下列结论：该抛物线的开口向下；该抛物线的顶点坐标为（1，5） ；当 x2 时，y 随 x 的增大而减 少；3 是方程 ax2+（b1）x
5、+c0 的一个根其中正确的个数为（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 二、填空题（本大题二、填空题（本大题 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分）分） 11 （4 分）因式分解 2x2y8y 12 （4 分）如果一个正多边形的中心角为 45，那么这个正多边形的边数是 13 （4 分）若（a2）2+|b+1|0，则（ab）3 14 （4 分）如图，从热气球 C 处测得地面 A、B 两点的俯角分别为 30、45，如果此时热气球 C 处的高 度 CD 为 100 米，点 A、D、B 在同一直线上，则 AB 两点的距离是 15 （4 分）如图，在ABC 中，按以下步骤作图
6、：以点 C 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 AC，BC 于点 D，E；以点 B 为圆心，CE 长为半径在CBA 内画弧，交 BC 于点 F；以点 F 为圆心，ED 长 为半径画弧，两弧交于点 G；作射线 BG 交 AC 于点 P若C45，A60则ABP 的度数 为 16 （4 分）如图，将矩形 ABCD 绕点 C 沿顺时针方向旋转 90到矩形 ABCD的位置时，若 ABCD2， ADBC4，则阴影部分的面积为 （结果保留 和根号） 17 （4 分）如图，在矩形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，P 为 BC 边上的任意一点，把PBE 沿 PE 折叠，得 到PFE，连接 CF若 AB10，B
7、C12，则 CF 的最小值为 三、解答题（一） （本大题三、解答题（一） （本大题 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 18 （6 分）计算：|12cos30|+（） 1（5）0 19 （6 分）如图， 四边形 ABCD 是平行四边形，E，F 是对角线 BD 上的两点， 且 BEDF 求证：AFCE 20 （6 分）为庆祝中国共产党建党 100 周年，我区某校组织全校 2100 名学生进行了党史知识竞赛，参赛学 生均获奖为了解本次竞赛获奖的分布情况，从中随机抽取了部分学生的获奖结果进行统计分析，获奖 结果分为四个等级：A 级为特等奖，B 级为一等奖，C 级为二等奖，
8、D 级为三等奖，将统计结果绘制成 了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次被抽取的部分人数是 名，扇形统计图中表示 B 级的扇形圆心角的度数是 ； （2）根据抽样结果，请估计该校获得特等奖的人数为 名； （3）某班有 4 名获特等奖的学生小利、小芳、小明、小亮，班主任要从中随机选择两名同学进行经验分 享，利用列表法或画树状图，求小利被选中的概率 四、解答题（二） （本大题四、解答题（二） （本大题 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 21 （8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2（k+2）x+2k0 （1）若 x1 是这个方程
9、的一个根，求 k 的值和它的另一根； （2）求证：无论 k 取任何实数，方程总有实数根 （3）若等腰三角形的一边长为 5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长 22 （8 分）2020 年初，新冠肺炎疫情爆发，市场上防疫口罩热销，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的 防疫口罩共 20 万只，且所有口罩当月全部售出，其中成本、售价如下表： 型号 价格（元/只） 甲 乙 项目 成本 12 4 售价 18 6 （1）若该公司三月份的销售收入为 300 万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？ （2）如果公司四月份投入成本不超过 216 万元，应怎样安排甲、乙两种型号防疫口
10、罩的产量，可使该月 公司所获利润最大？并求出最大利润 23 （8 分）如图，ABCD 中，ABC 的平分线 BO 交边 AD 于点 O，OD4，以点 O 为圆心，OD 长为半 径作O，分别交边 DA、DC 于点 M、N点 E 在边 BC 上，OE 交O 于点 G，G 为的中点 （1）求证：四边形 ABEO 为菱形； （2）已知 cosABC，连接 AE，当 AE 与O 相切时，求 AB 的长 五、解答题（三） （本大题五、解答题（三） （本大题 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 24 （10 分）如图，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 与坐标原点重合，
11、顶点 A、C 分别在 x 轴和 y 轴 上，点 B 的坐标为（2，3） ，反比例函数 y的图象经过 BC 的中点 D，且与 AB 交于点 E，连接 DE （1）求 k 的值及点 E 的坐标； （2）若点 F 是 OC 边上一点，且FBCDEB，求直线 FB 的解析式； （3）若点 P 在 y 轴上，且OPD 的面积与四边形 BDOE 的面积相等，求点 P 的坐标 25 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 l1：yx2+4 与 x 轴负半轴交于点 A，以点 A 为顶点作 抛物线 l2：yx2+bx+c，交 l1于点 B （1）求 b，c 的值； （2）过 l1上 A，B 之间一点 C
12、作 x 轴的垂线交 l2于点 D当线段 CD 取最大值时，求点 C 的坐标和 CD 的长； （3）在（2）的条件下，是否存在 l1上一点 P 与 l2上一点 Q，使得以 C，D，P，Q 为顶点的四边形为平 行四边形？若存在，直接写出 P，Q 的横坐标；若不存在，说明理由 2021 年广东省中考数学仿真模拟试卷（年广东省中考数学仿真模拟试卷（A 卷）卷） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题一、选择题（本大题 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的. 1 （3 分）下
13、列实数中，最小的数是（ ） A2 B C0 D1 【解答】解：201， 最小的数是2， 故选：A 2 （3 分）目前，我国“新冠”疫苗接种正在有序推进国家卫生健康委员会公布的数据显示，截至 2021 年 4 月 20 日，全国各地累计报告接种新冠病毒疫苗已超过 19500 万剂次，将数据“19500 万”用科学记 数法可表示为（ ） A195106 B19.5107 C1.95108 D1.95109 【解答】解：19500 万1950000001.95108， 故选：C 3 （3 分）北京市民全面参与垃圾分类，共享环保低碳生活生活垃圾应按照厨余垃圾、可回收物、有害垃 圾、其他垃圾的分类，分别
14、投入相应标识的收集容器下面图标标识，可以看作轴对称图形的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【解答】解：厨余垃圾、有害垃圾的图标标识可以看作轴对称图形， 故选：B 4 （3 分）下列计算正确的是（ ） A （xy）3xy3 Bx5x5x C3x25x315x5 D5x2y3+2x2y310 x4y9 【解答】解：A、原式x3y3，错误； B、原式1，错误； C、原式15x5，正确； D、原式7x2y3，错误， 故选：C 5 （3 分）某小组 5 名同学在一周内参加体育锻炼的时间如下表所示，关于“锻炼时间”的这组数据，以下 说法正确的是（ ） 锻炼时间（小时） 2 3 4 5 人数
15、（人） 1 1 2 1 A中位数是 4，平均数是 3.5 B众数是 4，平均数是 3.5 C中位数是 4，众数是 4 D众数是 5，平均数是 3.6 【解答】解：这组数据中 4 出现的次数最多，众数为 4； 按从小到大的顺序排序为 2，3，4，4，5，第三个数为 4，所以中位数为 4； 平均数为（2+3+4+4+5）53.6 故选：C 6 （3 分）如图，在ABC 中，ABAC8，AD 是角平分线，BE 是中线，则 DE 的长为（ ） A3 B4 C5 D6 【解答】解：ABAC8，AD 是角平分线， ADBC， ADC90， BE 是中线， AECE， DEAC84， 故选：B 7 （3 分
16、）明代大数学家程大位著算法统宗一书中，记载了这样一道数学题： “八万三千短竹竿，将来 要把笔头安，管三套五为期定，问君多少能完成？”用现代的话说就是：有 83000 根短竹，每根短竹可 制成毛笔的笔管 3 个或笔套 5 个，怎样安排笔管和笔套的短竹的数量，使制成的 1 个笔管与 1 个笔套正 好配套？设用于制作笔管的短竹数为 x 根，用于制作笔套的短竹数为 y 根，则可列方程为（ ） A B C D 【解答】解：依题意，得： 故选：B 8 （3 分）已知 P（a，2）和 Q（1，b）关于 y 轴对称，则（a+b）2021的值为（ ） A1 B1 C32021 D32021 【解答】解：点 P（
17、a，2）与点 Q（1，b）关于 y 轴对称， a1，b2， a+b1+21， （a+b）2021120211 故选：A 9 （3 分）如图，O 是ABC 的外接圆，BC2，BAC30，则劣弧的长等于（ ） A B C D 【解答】解：如图，连接 OB、OC， BAC30， BOC2BAC60， 又 OBOC， OBC 是等边三角形， BCOBOC2， 劣弧的长为： 故选：A 10 （3 分）二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 为常数，且 a0）中的 x 与 y 的部分对应值如表： x 1 0 1 3 y 1 3 5 3 下列结论：该抛物线的开口向下；该抛物线的顶点坐标为（1，5） ；当
18、x2 时，y 随 x 的增大而减 少；3 是方程 ax2+（b1）x+c0 的一个根其中正确的个数为（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【解答】解：将（0，3） ， （1，5） ， （1，1）代入 yax2+bx+c 可得： ， 解得， yx2+3x+3（x）2+， 抛物线开口向下，顶点坐标为（，） ，对称轴为直线 x，x2 时 y 随 x 增大而减小， 正确，错误，正确， a1，b3，c3， ax2+（b1）x+cx2+2x+3， 把 x3 代入x2+2x+3 得9+630， 正确， 正确的有 故选：B 二、填空题（本大题二、填空题（本大题 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，
19、共分，共 28 分）分） 11 （4 分）因式分解 2x2y8y 2y（x+2） （x2） 【解答】解：2x2y8y 2y（x24） 2y（x+2） （x2） 故答案为：2y（x+2） （x2） 12 （4 分）如果一个正多边形的中心角为 45，那么这个正多边形的边数是 8 【解答】解：这个多边形的边数是 360458， 故答案为：8 13 （4 分）若（a2）2+|b+1|0，则（ab）3 27 【解答】解：（a2）2+|b+1|0， a20，b+10， 解得 a2，b1， （ab）32（1）33327 故答案为 27 14 （4 分）如图，从热气球 C 处测得地面 A、B 两点的俯角分别为
20、 30、45，如果此时热气球 C 处的高 度 CD 为 100 米，点 A、D、B 在同一直线上，则 AB 两点的距离是 100（+1）米 【解答】解：从热气球 C 处测得地面 A、B 两点的俯角分别为 30、45， BCD904545，ACD903060， CDAB，CD100m， BCD 是等腰直角三角形， BDCD100m， 在 RtACD 中， CD100m，ACD60， ADCDtan60100100m， ABAD+BD100+100100（+1）m 故答案为：100（+1）米 15 （4 分）如图，在ABC 中，按以下步骤作图：以点 C 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 AC，BC
21、 于点 D，E；以点 B 为圆心，CE 长为半径在CBA 内画弧，交 BC 于点 F；以点 F 为圆心，ED 长 为半径画弧，两弧交于点 G；作射线 BG 交 AC 于点 P若C45，A60则ABP 的度数 为 30 【解答】解：C45，A60， ABC180CA75， 由作法得PBCC45， ABPABCPBC754530 故答案为 30 16 （4 分）如图，将矩形 ABCD 绕点 C 沿顺时针方向旋转 90到矩形 ABCD的位置时，若 ABCD2， ADBC4，则阴影部分的面积为 2 （结果保留 和根号） 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， ADCBCD90， RtEDC 中，CEC
22、B4，CD2， ED2，CED30， ECD60， S阴影222 故答案为：2 17 （4 分）如图，在矩形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，P 为 BC 边上的任意一点，把PBE 沿 PE 折叠，得 到PFE，连接 CF若 AB10，BC12，则 CF 的最小值为 8 【解答】解：如图所示，点 F 在以 E 为圆心 EA 为半径的圆上运动，当 E、F、C 共线时时，此时 CF 的 值最小， 根据折叠的性质，EBPEFP， EFPF，EBEF， E 是 AB 边的中点，AB10， AEEF5， ADBC12， CE13， CFCEEF1358 故答案为：8 三、解答题（一） （本大题三、解
23、答题（一） （本大题 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 18 （6 分）计算：|12cos30|+（） 1（5）0 【解答】解：原式21+2（2）1 1+2+21 3 19 （6 分）如图， 四边形 ABCD 是平行四边形，E，F 是对角线 BD 上的两点， 且 BEDF 求证：AFCE 【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD，ADBC，ADBC， ABECDF， 在ABF 和CDE 中， ， ABFCDE（SAS） ， AFBCED， AFCE 20 （6 分）为庆祝中国共产党建党 100 周年，我区某校组织全校 2100 名学生进行
24、了党史知识竞赛，参赛学 生均获奖为了解本次竞赛获奖的分布情况，从中随机抽取了部分学生的获奖结果进行统计分析，获奖 结果分为四个等级：A 级为特等奖，B 级为一等奖，C 级为二等奖，D 级为三等奖，将统计结果绘制成 了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次被抽取的部分人数是 60 名，扇形统计图中表示 B 级的扇形圆心角的度数是 108 ； （2）根据抽样结果，请估计该校获得特等奖的人数为 105 名； （3）某班有 4 名获特等奖的学生小利、小芳、小明、小亮，班主任要从中随机选择两名同学进行经验分 享，利用列表法或画树状图，求小利被选中的概率 【解答】解：
25、（1）本次抽样测试的人数为：2440%60（名） ， 扇形统计图中表示 B 级的扇形圆心角的度数是 360108， 故答案为：60，108； （2）估计该校获得特等奖的人数为：2100105（名） ， 故答案为：105； （3）把小利、小芳、小明、小亮分别记为 A、B、C、D， 画树状图如图： 共有 12 种等可能的结果，小利被选中的结果有 6 种， 小利被选中的概率为： 四、解答题（二） （本大题四、解答题（二） （本大题 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 21 （8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2（k+2）x+2k0 （1）若 x1 是这个方程的一个根
26、，求 k 的值和它的另一根； （2）求证：无论 k 取任何实数，方程总有实数根 （3）若等腰三角形的一边长为 5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长 【解答】解： （1）把 x1 代入 x2（k+2）x+2k0，得 1k2+2k0， 解得 k1 设方程的另一根为 t，则 t2k2 即 k 的值为 1，方程的另一根为 2； （2）（k2）20， 对于任意实数 k，原方程一定有实数根； （3）由 x2（k+2）x+2k0 得： （x2） （xk）0 此方程的两根为 x1k，x22 若 x1x2，则 x15，此等腰三角形的三边分别为 5，5，2，周长为 12 若 x1x22，等腰
27、三角形的三边分别为 2，2，5，不存在此三角形， 所以，这个等腰三角形的周长为 12 22 （8 分）2020 年初，新冠肺炎疫情爆发，市场上防疫口罩热销，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的 防疫口罩共 20 万只，且所有口罩当月全部售出，其中成本、售价如下表： 型号 价格（元/只） 项目 甲 乙 成本 12 4 售价 18 6 （1）若该公司三月份的销售收入为 300 万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？ （2）如果公司四月份投入成本不超过 216 万元，应怎样安排甲、乙两种型号防疫口罩的产量，可使该月 公司所获利润最大？并求出最大利润 【解答】解： （1）设生产甲、乙两种型
28、号的防疫口罩分别是 x 万只和 y 万只， 由题意可得：， 解得：， 答：生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是 15 万只和 5 万只； （2）设四月份生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是 a 万只和（20a）万只，利润为 w 万元， 由题意可得：12a+4（20a）216， a17， w（1812）a+（64） （20a）4a+40 是一次函数，w 随 a 的增大而增大， a17 时，w 有最大利润108（万元） ， 答：安排生产甲种型号的防疫口罩 17 万只，乙种型号的防疫口罩 3 万只，最大利润为 108 万元 23 （8 分）如图，ABCD 中，ABC 的平分线 BO 交边 AD 于点 O
29、，OD4，以点 O 为圆心，OD 长为半 径作O，分别交边 DA、DC 于点 M、N点 E 在边 BC 上，OE 交O 于点 G，G 为的中点 （1）求证：四边形 ABEO 为菱形； （2）已知 cosABC，连接 AE，当 AE 与O 相切时，求 AB 的长 【解答】解： （1）证明：G 为的中点， MOGMDN 四边形 ABCD 是平行四边形 AOBE，MDN+A180， MOG+A180， ABOE， 四边形 ABEO 是平行四边形 BO 平分ABE， ABOOBE， 又OBEAOB， ABOAOB， ABAO， 四边形 ABEO 为菱形； （2）如图，过点 O 作 OPBA，交 BA
30、的延长线于点 P，过点 O 作 OQBC 于点 Q，设 AE 交 OB 于点 F， 则PAOABC， 设 ABAOOEx，则 cosABC， cosPAO， ， PAx， OPOQx 当 AE 与O 相切时，由菱形的对角线互相垂直，可知 F 为切点， 在 RtOBQ 中，由勾股定理得：+82， 解得：x2（舍负） AB 的长为 2 五、解答题（三） （本大题五、解答题（三） （本大题 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 24 （10 分）如图，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 与坐标原点重合，顶点 A、C 分别在 x 轴和 y 轴 上，点 B 的坐标为（
31、2，3） ，反比例函数 y的图象经过 BC 的中点 D，且与 AB 交于点 E，连接 DE （1）求 k 的值及点 E 的坐标； （2）若点 F 是 OC 边上一点，且FBCDEB，求直线 FB 的解析式； （3）若点 P 在 y 轴上，且OPD 的面积与四边形 BDOE 的面积相等，求点 P 的坐标 【解答】解： （1）在矩形 OABC 中，B 点坐标为（2，3） ， BC 边中点 D 的坐标为（1，3） 又反比例函数 y的图象经过点 D（1，3） ， 3， k3 E 点在 AB 上， E 点的横坐标为 2 又y经过点 E， E 点的纵坐标为， E 点的坐标为（2，） （2）由（1）可知：B
32、D1，BE，CB2 FBCDEB， ，即， CF， OF3， 点 F 的坐标为（0，） 设直线 FB 的解析式为 yax+b（a0） ， 将 F（0，） ，B（2，3）代入 yax+b 得：， 解得：， 直线 FB 的解析式为 yx+ （3）S四边形BDOES矩形OABCSOCDSOAE 23312 6 3 点 P 在 y 轴上，且OPD 的面积与四边形 BDOE 的面积相等， OPCD3，即OP3， OP6， P 点的坐标为（0，6）或（0，6） 25 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 l1：yx2+4 与 x 轴负半轴交于点 A，以点 A 为顶点作 抛物线 l2：yx2+bx+
33、c，交 l1于点 B （1）求 b，c 的值； （2）过 l1上 A，B 之间一点 C 作 x 轴的垂线交 l2于点 D当线段 CD 取最大值时，求点 C 的坐标和 CD 的长； （3）在（2）的条件下，是否存在 l1上一点 P 与 l2上一点 Q，使得以 C，D，P，Q 为顶点的四边形为平 行四边形？若存在，直接写出 P，Q 的横坐标；若不存在，说明理由 【解答】解： （1）抛物线 l1：yx2+4 与 x 轴负半轴交于点 A， 0 x2+4， x12，x22， 点 A（2，0） ， 以点 A 为顶点作抛物线 l2：yx2+bx+c， yx2+bx+c（x+2）2x2x bc； （2）设点
34、C（m，m2+4） ，则点 D（m，m2m） ， CDm2+4（m2m）（m）2+5， 当 m时，CD 有最大值为 5， 点 C（，） ； （3）当 CD 为边时， 以 C，D，P，Q 为顶点的四边形为平行四边形， CDPQ5， 设点 P（n，n2+4） ，则点 Q（n，n2n） ， n2n（n2+4）5， n， 点 P，Q 的横坐标都为； 当 CD 为对角线时， 点 C（，） ，CD5， 点 D（，） ， 设点 P（a，a2+4） ，则点 Q（d，d2d） ， 以 C，D，P，Q 为顶点的四边形为平行四边形， CD 与 PQ 互相平分， a+d+，a2+4d2d， a，d， 点 P 的横坐标为，点 Q 的横坐标为， 此时点 C，点 D，点 P，点 Q 共线， 故当 CD 为对角线时，不成立， 综上所述：点 P，Q 的横坐标都为
浙公网安备33030202001339号