1、2021 年湖南省岳阳市城区二十八校联考中考数学二模试卷年湖南省岳阳市城区二十八校联考中考数学二模试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，满分分，满分 24 分，在每个小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项）分，在每个小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项） 1 （3 分）在实数 0.1，0，3 中，最小的数是（ ） A3 B C0 D0.1 2 （3 分）下列医护图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 3 （3 分）式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax0 Bx1 Cx1 Dx1 4 （3 分）下列运算正确的是（ ） A5a2a3 B
2、（ab）3a3b3 Ca3a4a12 D （a2）3a6 5 （3 分）下列命题是真命题的是（ ） A平行四边形的对角线相等 B相似三角形对应周长的比等于相似比的平方 C圆内接四边形的对角互补 D三角形的内心是三边的垂直平分线的交点 6 （3 分）对于一组统计数据 3，3，6，5，8，下列说法错误的是（ ） A众数是 3 B平均数是 5 C中位数是 5 D方差是 1.6 7 （3 分）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当237时，1 的度数为（ ） A37 B43 C53 D54 8 （3 分）若定义一种新运算：ab，例如：31312；545+463则函 数 y（x+2）（x1）的
3、图象大致是（ ） A B C D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，满分分，满分 32 分，只要求填写最后结果）分，只要求填写最后结果） 9 （4 分）六边形的内角和是 10 （4 分）因式分解：x32x2+x 11 （4 分）来自国务院联防联控机制的最新消息显示，截至 2021 年 3 月 22 日 24 时，我国接种新冠疫苗 8050 万剂次，接种人数稳步增长那么数据 8050 万用科学记数法可以表示为 12 （4 分） 13 （4 分）方程（x+1）24 的根是 14 （4 分）数学文化我国南宋著名数学家秦九韶的著作数书九章里记载有这样一道题目： “问有沙田一 块，有三斜，其
4、中小斜五丈，中斜十二丈，大斜十三丈，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角 形沙田，三条边长分别为 5 丈，12 丈，13 丈，问这块沙田面积有多大？（题中的“丈”是我国市制长度 单位，1 丈10 尺 ）则该沙田的面积为 平方丈 15 （4 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB3，点 E 在边 BC 上，将ABC 沿直线 AE 折叠，点 B 恰好落在 对角线 AC 上的点 F 处，若EACECA，则 AC 的长为 16 （4 分）如图，已知点 C 是以 AB 为直径的O 上一点，CHAB 于点 H，过点 B 作O 的切线交直线 AC 于点 D，点 E 为 CH 的中点，连接 AE 并延长交
5、BD 于点 F，连接 CF给出下列结论：FDFB； CF 是O 的切线；若 FBFE2，则O 的半径为 2；若DAF22.5，O 的半径为 3， 则弧 BC 的长3其中正确的有 （写出所有正确结论的序号） 三、解答题（共三、解答题（共 8 个小题，满分个小题，满分 64 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （6 分）计算：|1|+2cos45+（） 1 18 （6 分）如图，在ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，AD 上，且 DFBE 求证：四边形 AECF 是平行四边形 19 （8 分）如图，直线 ymx+n 与双曲
6、线 y相交于 A（1，3） 、B（3，b）两点，与 y 轴相交于点 C （1）求直线 AB 与双曲线的解析式； （2）若点 D 与点 C 关于 x 轴对称，求ABD 的面积 20 （8 分）岳阳市区某中学为了创建“书香校园” ，今年春季购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的 价格比文学类图书平均每本的价格多 5 元，已知学校用 20000 元购买的科普类图书的本数与用 15000 元 购买的文学类图书的本数相等 （1）求学校购买的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元？ （2）学校计划在五月份再添置 600 本这两类图书，且费用不超过 10000 元，问最多可以购买科普类图书 多少本
7、？ 21 （8 分）随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注某校学生会为了了解垃圾分类知识的 普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解” “了解” “了解较少” “不了解”四类，并将 调查结果绘制成两幅统计图 （1）本次被调查的学生有多少名？补全条形统计图 （2）估计该校 4000 名学生中“非常了解”与“了解”的人数和是多少 （3）被调查的“非常了解”的学生中有 2 名男生，其余为女生，从中随机抽取 2 人在全校做垃圾分类知 识交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率 22 （8 分）如图是某户外看台的截面图，长 15m 的看台 AB 与水平地面 AP
8、的夹角为 35，与 AP 平行的平 台 BC 长为 2m，点 F 是遮阳棚 DE 上端 E 正下方在地面上的一点，测得 AF2.3m，在挡风墙 CD 的点 D 处测得点 E 的仰角为 26，求遮阳棚 DE 的长（计算结果精确到十分位） （参考数据：sin350.57， cos350.82，sin260.44，cos260.90） 23 （10 分）已知四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 边上的点，DE 与 CF 交于点 G （1）如图 1，若四边形 ABCD 是矩形，且 DECF求证：； （2）如图 2，若四边形 ABCD 是平行四边形试探究：当B 与EGC 满足什么关系时，使得
9、 成立？并证明你的结论； （3）如图 3，若 BABC6，DADC8，BAD90，DECF请直接写出的值 24 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0） ，B（4，0）两点， 与 y 轴交于点 C（0，2） （1）求抛物线的函数表达式； （2） 如图 1， 点 D 为第四象限抛物线上一点， 连接 AD， BC 交于点 E， 连接 BD， 记BDE 的面积为 S1， ABE 的面积为 S2，求的最大值； （3）如图 2，连接 AC，BC，过点 O 作直线 lBC，点 P，Q 分别为直线 l 和抛物线上的点试探究： 在第一象限是否存在这
10、样的点 P，Q，使PQBCAB？若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由 2021 年湖南省岳阳市城区二十八校联考中考数学二模试卷年湖南省岳阳市城区二十八校联考中考数学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，满分分，满分 24 分，在每个小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项）分，在每个小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项） 1 （3 分）在实数 0.1，0，3 中，最小的数是（ ） A3 B C0 D0.1 【解答】解：实数 0.1，0，3 按照从小到大排列是：300.1， 最小的数是3， 故选：A 2 （
11、3 分）下列医护图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意 故选：A 3 （3 分）式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax0 Bx1 Cx1 Dx1 【解答】解：由题意知 2x20， 解得 x1， 故选：C 4 （3 分）下列运算正确的是（ ） A5a2a3 B （ab）3a3b3 Ca3a4a12 D （a2）3a6 【
12、解答】解：A、原式3a，故 A 不符合题意 B、原式a3b3，故 B 符合题意 C、原式a7，故 C 不符合题意 D、原式a6，故 D 不符合题意 故选：B 5 （3 分）下列命题是真命题的是（ ） A平行四边形的对角线相等 B相似三角形对应周长的比等于相似比的平方 C圆内接四边形的对角互补 D三角形的内心是三边的垂直平分线的交点 【解答】解：A、平行四边形的对角线不一定相等，本选项说法是假命题，不符合题意； B、相似三角形对应周长的比等于相似比，本选项说法是假命题，不符合题意； C、圆内接四边形的对角互补，本选项说法是真命题，符合题意； D、三角形的外心是三边的垂直平分线的交点，内心是三条角
13、平分线的交点，本选项说法是假命题，不 符合题意； 故选：C 6 （3 分）对于一组统计数据 3，3，6，5，8，下列说法错误的是（ ） A众数是 3 B平均数是 5 C中位数是 5 D方差是 1.6 【解答】解：A、众数是 3，说法正确，故本选项不符合题意； B、平均数5，说法正确，故本选项不符合题意； C、中位数是 5，说法正确，故本选项不符合题意； D、方差（35）2+（35）2+（65）2+（55）2+（85）23.6，说法错误，故本选项符合 题意； 故选：D 7 （3 分）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当237时，1 的度数为（ ） A37 B43 C53 D54 【解
14、答】解：ABCD，237， 2337， 1+390， 153， 故选：C 8 （3 分）若定义一种新运算：ab，例如：31312；545+463则函 数 y（x+2）（x1）的图象大致是（ ） A B C D 【解答】解：当 x+22（x1）时，x4， 当 x4 时， （x+2）（x1）（x+2）（x1）x+2x+13， 即：y3， 当 x4 时， （x+2）（x1）（x+2）+（x1）6x+2+x162x5， 即：y2x5， k20， 当 x4 时，y2x5，函数图象从左向右逐渐上升，y 随 x 的增大而增大， 综上所述，A 选项符合题意 故选：A 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4
15、分，满分分，满分 32 分，只要求填写最后结果）分，只要求填写最后结果） 9 （4 分）六边形的内角和是 720 【解答】解： （62） 180720 故答案为：720 10 （4 分）因式分解：x32x2+x x（x1）2 【解答】解；x32x2+xx（x22x+1）x（x1）2， 故答案为：x（x1）2 11 （4 分）来自国务院联防联控机制的最新消息显示，截至 2021 年 3 月 22 日 24 时，我国接种新冠疫苗 8050 万剂次，接种人数稳步增长那么数据 8050 万用科学记数法可以表示为 8.05107 【解答】解：8050 万805000008.05107 故答案是：8.05
16、107 12 （4 分） a3 【解答】解： 故答案为 a3 13 （4 分）方程（x+1）24 的根是 x11，x23 【解答】解：由原方程，得 x+12 解得 故答案是： 14 （4 分）数学文化我国南宋著名数学家秦九韶的著作数书九章里记载有这样一道题目： “问有沙田一 块，有三斜，其中小斜五丈，中斜十二丈，大斜十三丈，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角 形沙田，三条边长分别为 5 丈，12 丈，13 丈，问这块沙田面积有多大？（题中的“丈”是我国市制长度 单位，1 丈10 尺 ）则该沙田的面积为 30 平方丈 【解答】解：52+122132， 该三角形沙田是直角三角形沙田， 该沙田
17、的面积为：30（平方丈） ， 故答案为：30 15 （4 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB3，点 E 在边 BC 上，将ABC 沿直线 AE 折叠，点 B 恰好落在 对角线 AC 上的点 F 处，若EACECA，则 AC 的长为 6 【解答】解：将ABE 沿直线 AE 折叠，点 B 恰好落在对角线 AC 上的点 F 处， AFAB，AFEB90， EFAC， EACECA， AECE， AFCF， AC2AB6， 故答案为：6 16 （4 分）如图，已知点 C 是以 AB 为直径的O 上一点，CHAB 于点 H，过点 B 作O 的切线交直线 AC 于点 D，点 E 为 CH 的中点，连接
18、AE 并延长交 BD 于点 F，连接 CF给出下列结论：FDFB； CF 是O 的切线；若 FBFE2，则O 的半径为 2；若DAF22.5，O 的半径为 3， 则弧 BC 的长3其中正确的有 （写出所有正确结论的序号） 【解答】解：BD 是O 的切线， BDAB， CHBD， ， CEEH， DFBF， 正确； 连接 OC、BC、OF， ACB90， CFBDBF， OCOB，OFOF， OCFOBF（SSS） ， OCFOBF90， CF 是O 的切线， 故正确； 如图 2，过点 F 作 FGCH 于点 G， 若 CFEF2， CGEGCEEH， FGCH，CHAB， FGAH， ， 设
19、FGa，则 AH2a， 而四边形 BFGH 是矩形， ABAH+BH3a， OCa，OHa， OCH+FCGOCF90OCH+COH， FCGCOH， FCGCOH， ，即：CGOCOHCF， 则， CG，故 CH4CG， OC2OH2+CH2， （a）2（）2+（）2， 解得：a， 从而半径 OC， 故正确； 由 BC 的长度3， 得：BOC180， 此时点 C 与点 A 重合，这与题意不符， 故不正确， 综上所述，正确的结论是 故答案为： 三、解答题（共三、解答题（共 8 个小题，满分个小题，满分 64 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出必要的文字说明、证明过
20、程或演算步骤） 17 （6 分）计算：|1|+2cos45+（） 1 【解答】解： |1|+2cos45+（） 1 1+22+2 1+2+2 1 18 （6 分）如图，在ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，AD 上，且 DFBE 求证：四边形 AECF 是平行四边形 【解答】证明：四边形 ABCD 平行四边形 ADBC 又BEDF， AFEC 又AFEC， 四边形 AECF 是平行四边形 19 （8 分）如图，直线 ymx+n 与双曲线 y相交于 A（1，3） 、B（3，b）两点，与 y 轴相交于点 C （1）求直线 AB 与双曲线的解析式； （2）若点 D 与点 C 关于 x 轴对称，求
21、ABD 的面积 【解答】解：(1）将 A（1，3）和 B（3，b）分别代入 中， 得 k3，b1, 双曲线解析式为 y, 将 A（1，3）和 B（3，1）分别代入 ymx+n 中， 得 解得： 直线 AB 的解析式为：yx+2； （2）将 x0 代入 yx+2 中， 得 y2， C（0，2） ， 点 D（0，2， SABDSACD+SBCD438 20 （8 分）岳阳市区某中学为了创建“书香校园” ，今年春季购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的 价格比文学类图书平均每本的价格多 5 元，已知学校用 20000 元购买的科普类图书的本数与用 15000 元 购买的文学类图书的本数相等 （1）
22、求学校购买的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元？ （2）学校计划在五月份再添置 600 本这两类图书，且费用不超过 10000 元，问最多可以购买科普类图书 多少本？ 【解答】解： （1）设科普类书的单价为 x 元/本，则文学类书的单价为（x5）元/本， 依题意：， 解之得：x20 经检验，x20 是所列分程的根，且合实际， x515 答：科普类书单价为 20 元/本，文学类书单价为 15 元/本； （2）设科普类书购 a 本，则文学类书购（600a）本， 依题意：20a+15（600a）10000， 解之得：a200 答：最多可购科普类图书 200 本 21 （8 分）随着经济的
23、快速发展，环境问题越来越受到人们的关注某校学生会为了了解垃圾分类知识的 普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解” “了解” “了解较少” “不了解”四类，并将 调查结果绘制成两幅统计图 （1）本次被调查的学生有多少名？补全条形统计图 （2）估计该校 4000 名学生中“非常了解”与“了解”的人数和是多少 （3）被调查的“非常了解”的学生中有 2 名男生，其余为女生，从中随机抽取 2 人在全校做垃圾分类知 识交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率 【解答】解： （1）本次被调查的学生有：1224%50（人） ， 则“非常了解”的人数为 5010%5（人） ， “
24、了解很少”的人数为 5036%18（人） ， “不了解”的人数为 50（5+12+18）15（人） ， 补全图形如下： （2）估计该校 4000 名学生中“非常了解”与“了解”的人数和是： 4000（10%+24%）1360（人） ； （3）根据题意画树状图如下： 共有 20 种等可能的结果数，其中恰好抽到一男一女的有 12 种结果， 所以恰好抽到一男一女的概率为 22 （8 分）如图是某户外看台的截面图，长 15m 的看台 AB 与水平地面 AP 的夹角为 35，与 AP 平行的平 台 BC 长为 2m，点 F 是遮阳棚 DE 上端 E 正下方在地面上的一点，测得 AF2.3m，在挡风墙 C
25、D 的点 D 处测得点 E 的仰角为 26，求遮阳棚 DE 的长（计算结果精确到十分位） （参考数据：sin350.57， cos350.82，sin260.44，cos260.90） 【解答】解：过点 B 作 BHAP 于 H，过 D 作 DGEF 于 G 则BHADGE90， 由题意得：AB15m，A35，EDG26， 在 RtBAH 中，AHABcos35150.8212.3（m） ， FHAHAF12.32.310（m） ， GDFH+BC10+212（m） ， 在 RtEGD 中，cosEDGcos260.90， DE13.3（m） ， 答：遮阳棚 DE 的长约为 13.3m 23
26、（10 分）已知四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 边上的点，DE 与 CF 交于点 G （1）如图 1，若四边形 ABCD 是矩形，且 DECF求证：； （2）如图 2，若四边形 ABCD 是平行四边形试探究：当B 与EGC 满足什么关系时，使得 成立？并证明你的结论； （3）如图 3，若 BABC6，DADC8，BAD90，DECF请直接写出的值 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形， AFDC90， CFDE， DGF90， ADE+CFD90，ADE+AED90， CFDAED， ACDF， AEDDFC， ； （2）当B+EGC180时，成立 证明：四边形 A
27、BCD 是平行四边形， BADC，ADBC， B+A180， B+EGC180， AEGCFGD， FDGEDA， DFGDEA， ， BADC，B+EGC180，EGC+DGC180， CGDCDF， GCDDCF， CGDCDF， ， ， ， 即当B+EGC180时，成立 （3）解： 理由是：过 C 作 CNAD 于 N，CMAB 交 AB 延长线于 M，连接 BD，设 CNx， BAD90，即 ABAD， AMCNA90， 四边形 AMCN 是矩形， AMCN，ANCM， 在BAD 和BCD 中 BADBCD（SSS） ， BCDA90， ABC+ADC180， ABC+CBM180，
28、MBCADC， CNDM90， BCMDCN， ， ， CMx， 在 RtCMB 中，CMx，BMAMABx6，由勾股定理得：BM2+CM2BC2， （x6）2+（x）262， x0（舍去） ，x， CN， AFGD90， AED+AFG180， AFG+NFC180， AEDCFN， ACNF90， AEDNFC， 24 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0） ，B（4，0）两点， 与 y 轴交于点 C（0，2） （1）求抛物线的函数表达式； （2） 如图 1， 点 D 为第四象限抛物线上一点， 连接 AD， BC 交于点 E，
29、 连接 BD， 记BDE 的面积为 S1， ABE 的面积为 S2，求的最大值； （3）如图 2，连接 AC，BC，过点 O 作直线 lBC，点 P，Q 分别为直线 l 和抛物线上的点试探究： 在第一象限是否存在这样的点 P，Q，使PQBCAB？若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）设抛物线的解析式为 ya（x+1） （x4） 将 C（0，2）代入得：4a2，解得 a， 抛物线的解析式为 y（x+1） （x4） ，即 yx2x2 （2）过点 D 作 DGx 轴于点 G，交 BC 于点 F，过点 A 作 AKx 轴交 BC 的延长线于点 K， A
30、KDG， AKEDFE， ， ， 设直线 BC 的解析式为 ykx+b1， ，解得， 直线 BC 的解析式为 yx2， A（1，0） ， y2， AK， 设 D（m，m2） ，则 F（m，m2） ， DFm+2+2m m 当 m2 时，有最大值，最大值是 （3）存在符合条件的点 P 的坐标为（）或（） lBC， 直线 l 的解析式为 yx， 设 P（a1，） ， 当点 P 在直线 BQ 右侧时，如图 2，过点 P 作 PNx 轴于点 N，过点 Q 作 QM直线 PN 于点 M， A（1，0） ，C（0，2） ，B（4，0） ， AC，AB5，BC2， AC2+BC2AB2， ACB90， PQBCAB， ， QMPBNP90， MQP+MPQ90，MPQ+BPN90， MQPBPN， QPMPBN， ， QM，PM（a14）a12， MNa12，BNQMa14a14， Q（a1，a12） ， 将点 Q 的坐标代入抛物线的解析式得2a12， 解得 a10（舍去）或 a1 P（） 当点 P 在直线 BQ 左侧时， 由的方法同理可得点 Q 的坐标为（a1，2） 此时点 P 的坐标为（）
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