1、2021 年江苏省南京市秦淮区中考数学一模试卷年江苏省南京市秦淮区中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 12 分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题 目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1 （2 分）4 的算术平方根是（ ） A4 B4 C2 D2 2 （2 分）已知 ab，下列式子不成立的是（ ） Aa+2021b+2021 Ba2021b2021 C2021a2021b D 3 （2 分
2、）下列各数中，与1 最接近的是（ ） A0.4 B0.6 C0.8 D1 4 （2 分）2020 年是新中国历史上极不平凡的一年，我国经济运行逐季改善，在全球主要经济体中唯一实 现经济正增长根据国家统计局发布的数据，20162020 年国内生产总值及其增长速度如图所示 根据图中提供的信息，下列说法错误的是（ ） A2020 年末，中国的国内生产总值迈上百万亿元新的大台阶 B2016 年至 2020 年，国内生产总值呈递增趋势 C2017 年至 2020 年，相比较上一年，国内生产总值增加最多的是 2017 年 D2017 年至 2020 年，相比较上一年，国内生产总值增长速度最快的是 2017
3、 年 5 （2 分）关于一次函数 ykx+b，有下列命题： 甲：图象过点（3，4） ；乙：b0；丙：k2；丁：图象过点（1，2） 若上述四个命题中只有一个假命题，则该命题是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 6 （2 分）将如图所示的纸片折叠、粘合成正方体形状下列结论： 粘合时，线段 AB 与线段 FG 重合； 在正方体中，DE 所在的面与 GH 所在的面相对； 在正方体中，ACDE； 在正方体中，DE 与 EF 的夹角是 60 其中所有正确结论的序号是（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 20 分请把答案填写在答题卷相
4、应位置上）分请把答案填写在答题卷相应位置上） 7 （2 分）2 的相反数是 ，2 的倒数是 8 （2 分） “沉睡数千年，一醒惊天下” 三星堆遗址在 5 号坑提取出仅 1.4cm 的牙雕制品，最细微处间隔不 足 50m（1m10 6m） ，用科学记数法表示 50m 是 m 9 （2 分）分解因式 a21 的结果是 10 （2 分）计算： （ab）2（a+b）2 11（2 分） 如图， 在矩形 ABCD 中， AD6， AB4， BAD 的平分线交BC 于点E， 则DE 12（2 分） 如图， 在ABC 中， D 是 AB 上一点， ACDB， AC5， AD3， 则 DB 13 （2 分）如图
5、，AB 是半圆的直径，C、D 是半圆上的两点，且BAC46，则 DAB 14 （2 分）已知 、 是方程 x22x10 的两个根，则 2+2 15 （2 分）如图，在正方形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 DA、AB、BC、CD 上靠近 A、B、C、D 的四 等分点，I、J、K、L 分别是 EF、FG、GH、HE 上靠近 E、F、G、H 的四等分点，则 16 （2 分）如图，在四边形 ABCD 中，AB2，BCBD，ADC150，DCB60，则 AC 的最大 值是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 11 小题，共小题，共 88 分请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证
6、明过分请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤）程或演算步骤） 17 （7 分）计算（m+2） 18 （7 分）解不等式组，并写出它的整数解 19 （8 分）如图，在菱形 ABCD 中，E、F 是 AC 上两点，AECF求证：四边形 BFDE 是菱形 20 （8 分）某初中学校每天对全校学生的午休情况进行检查，初一，初二，初三 3 个年级都要被检查到某 天由甲，乙，丙 3 名同学检查，他们来自 3 个不同的年级，每人只能检查 1 个年级 （1）甲检查初一年级的概率为 ； （2）求他们都不检查自己所在年级的概率 21 （7 分） 某初中学校共有 2000 名学生 为增
7、强学生安全防护意识， 该校提出 “预防千万条， 口罩第一条” 的倡议提倡在上学和放学途中佩戴口罩学校数学兴趣小组采取简单随机抽样的方法，抽取了部分 学生，了解其在上学和放学途中佩戴口罩的情况 收集数据 （1）数学兴趣小组设计了以下三种调查方案： 方案一：从初一年级随机抽取 8 个班级共 300 名学生进行调查； 方案二：分别从三个年级随机抽取各 100 名学生进行调查； 方案三：随机抽取 300 名女生进行调查 其中抽取的样本具有代表性的方案是 整理数据 数学兴趣小组采取 （1） 中的具有代表性的方案进行了一周的调查， 根据调查， 将数据绘制成条形统计图： （2）估计全校周五上学途中佩戴口罩的
8、学生人数是多少？ 分析数据 （3）比较这一周抽样学生上学、放学途中佩戴口罩的情况，写出一条正确的结论 22 （8 分） “精准扶贫，暖心助力” 驻村书记通过某平台直播带货，帮助当地百姓脱贫致富苹果成本价 为每千克 5 元，销售价为每千克 8 元；蜜桔成本价为每千克 6 元，销售价为每千克 10 元通过直播，两 种水果共销售 5000kg，苹果的销售量不少于 2000kg （1）若销售的苹果和蜜桔的总成本为 27400 元，则销售苹果 kg，销售蜜桔 kg （2）当苹果的销量为多少时，两种水果的总利润最大？最大利润是多少？ 23 （7 分）如图，学校有一旗杆 AB为了测量旗杆高度，小明采用如下方
9、案：在点 C 处测得旗杆顶 B 的 仰角为 45，从与点 C 相距 6m 的 E 处测得旗杆顶 B 的仰角为 60若 CDEF1.9m，求旗杆 AB 的 高度（精确到 0.1m） （参考数据：1.41，1.73 ） 24 （9 分）已知二次函数 yx2+2mx+m21（m 为常数） （1）求证：不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有两个公共点； （2）若函数的图象与 x 轴的两个公共点分别在原点的两侧，求 m 的取值范围 25 （8 分）如图，在 RtABC 中，BAC90，AB6，AC8分别延长 BA、AB、CA、AC 至点 D、 E、F、G，使得 ADAFBC，BE8，CG6 （1）
10、经过 D、E、G 三点作O； （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：点 F 在O 上； （3）O 的半径长为 26 （9 分） 【概念认识】 已知 m 是实数，若某个函数图象上存在点 M（m，m） ，则称点 M 是该函数图象上的“固定点” 【数学理解】 （1）一次函数 y2x+3 的图象上的“固定点”的坐标是 ； （2）求证：反比例函数 y（k0）的图象上存在 2 个“固定点” ； （3）将二次函数 yx2+bx+1（b2）的图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方，图象的其余部 分保持不变，翻折后的图象与原图象在 x 轴上方的部分组成一个类似“W”形状的新图象若新图象
11、上 恰好存在 3 个“固定点” ，求 b 的值 27 （10 分） 如图， 已知MAN60， 点 B 在 AM 上， AB6， P 是 AN 上一动点 （点 P 不与点 A 重合） ， 以 AB、AP 为相邻两边作平行四边形 APCB，再以 BP 为直径作O （1）当APCB 的某一边所在直线与O 相切时，AP 的长为 （2）当APCB 的四条边所在直线与O 都相交时，设O 分别与 AN、AM 交于点 E、G，与直线 CP、 BC 交于点 H、F 如图，在六边形 BGEPHF 中，易得 BFPE，BGPH，GBFHPE120，请再写出关于这 个六边形的三个结论，并选择其中一个结论给出证明； （
12、要求：写出的三个结论类型不相同） 设 APx，直接写出以 B、G、E、P、H、F 为顶点的六边形的面积（用含 x 的代数式表示） 2021 年江苏省南京市秦淮区中考数学一模试卷年江苏省南京市秦淮区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 12 分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题 目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1 （2 分）4 的算术平方根是（ ）
13、A4 B4 C2 D2 【解答】解：224， 4 的算术平方根是 2， 故选：D 2 （2 分）已知 ab，下列式子不成立的是（ ） Aa+2021b+2021 Ba2021b2021 C2021a2021b D 【解答】解：A、不等式两边同时加上 2021，不等号方向不变，故本选项正确，不符合题意； B、不等式两边同时减去 2021，不等号方向不变，故本选项正确，不符合题意； C、不等式两边同时乘以2021，不等号方向改变，故本选项错误，符合题意； D、不等式两边同时除以 2021，不等号方向不变，故本选项正确，不符合题意 故选：C 3 （2 分）下列各数中，与1 最接近的是（ ） A0.4
14、 B0.6 C0.8 D1 【解答】解：1.732， 10.732， 0.7320.40.332，0.7320.60.132，0.80.7320.068，10.7320.268， 与1 最接近的是 0.8， 故选：C 4 （2 分）2020 年是新中国历史上极不平凡的一年，我国经济运行逐季改善，在全球主要经济体中唯一实 现经济正增长根据国家统计局发布的数据，20162020 年国内生产总值及其增长速度如图所示 根据图中提供的信息，下列说法错误的是（ ） A2020 年末，中国的国内生产总值迈上百万亿元新的大台阶 B2016 年至 2020 年，国内生产总值呈递增趋势 C2017 年至 2020
15、 年，相比较上一年，国内生产总值增加最多的是 2017 年 D2017 年至 2020 年，相比较上一年，国内生产总值增长速度最快的是 2017 年 【解答】解：A2020 年末，中国的国内生产总值迈上百万亿元新的大台阶，此选项正确，不符合题意； B2016 年至 2020 年，国内生产总值呈递增趋势，此选项正确，不符合题意； C2017 年相比较上一年增加：83203674639585641， 2018 年相比较上一年增加，91928183203687245， 2019 年相比较上一年增加，98651591928167234， 2020 年相比较上一年增加，10159869865152947
16、1， 2017 年至 2020 年，相比较上一年，国内生产总值增加最多的是 2018 年，此选项错误，符合题意； D2017 年至 2020 年，相比较上一年，国内生产总值增长速度最快的是 2017 年，此选项正确，不符合 题意； 故选：C 5 （2 分）关于一次函数 ykx+b，有下列命题： 甲：图象过点（3，4） ；乙：b0；丙：k2；丁：图象过点（1，2） 若上述四个命题中只有一个假命题，则该命题是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 【解答】解：若一次函数同时经过（3，4） ， （1，2） ，则 3k+b4，k+b2，解得 k1，b1，此时乙、 丙都是假命题， 所以一次函数不经过（3，4）
17、， （1，2） ， 若一次函数经过（3，4） ，则 3k+b4，当 k2 时，b20，此时甲、乙、丙为真命题，丁为假命题 故选：D 6 （2 分）将如图所示的纸片折叠、粘合成正方体形状下列结论： 粘合时，线段 AB 与线段 FG 重合； 在正方体中，DE 所在的面与 GH 所在的面相对； 在正方体中，ACDE； 在正方体中，DE 与 EF 的夹角是 60 其中所有正确结论的序号是（ ） A B C D 【解答】解：如图： 粘合时，线段 AB 与线段 FG 重合，正确； 在正方体中，DE 所在的面与 GH 所在的面相对，正确； 在正方体中，AC、DE 不在同一平面内，不平行，故不正确； 在正方体
18、中，DE 与 EF、DF 分别为三个面的对角线，DEEFDF，DEF 是等边三角形，所以 DE 与 EF 的夹角是 60，正确 其中所有正确结论的序号是 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 20 分请把答案填写在答题卷相应位置上）分请把答案填写在答题卷相应位置上） 7 （2 分）2 的相反数是 2 ，2 的倒数是 【解答】解：2 的相反数是 2； 2 的倒数是； 故答案为：2， 8 （2 分） “沉睡数千年，一醒惊天下” 三星堆遗址在 5 号坑提取出仅 1.4cm 的牙雕制品，最细微处间隔不 足 50m（1m10 6m） ，用科
19、学记数法表示 50m 是 5105 m 【解答】解：50m5010 6m5105m， 故答案为：510 5 9 （2 分）分解因式 a21 的结果是 （a1） （a+1） 【解答】解：原式（a1） （a+1） 故答案为： （a1） （a+1） 10 （2 分）计算： （ab）2（a+b）2 4ab 【解答】解： （ab）2（a+b）2， a22ab+b2a22abb2， 4ab 11 （2 分）如图，在矩形 ABCD 中，AD6，AB4，BAD 的平分线交 BC 于点 E，则 DE 2 【解答】解：如图，过点 E 作 EFAD 于点 F， 在矩形 ABCD 中，BBAD90， EA 是BAD
20、的平分线， DABEAF45， AEB45， ABBE， 矩形 ABEF 是正方形， ABBEEFAF4， DFADAF642， DE2 故答案为：2 12 （2 分）如图，在ABC 中，D 是 AB 上一点，ACDB，AC5，AD3，则 DB 【解答】解：ACDB，AA， ACDABC， ， AC2ADAB， AC5，AD3， AB， DBABAD3， 故答案为： 13 （2 分）如图，AB 是半圆的直径，C、D 是半圆上的两点，且BAC46，则 DAB 68 【解答】解：AB 是半圆 O 的直径， ACB90， BAC46， B44 ADC18044136 ， ADDC DACDCA22，
21、 BADDAC+BAC22+4668 故答案是：68 14 （2 分）已知 、 是方程 x22x10 的两个根，则 2+2 5 【解答】解：， 是方程 x22x10 的两个根， 221，+2，1， 2+2（+）22（22）222（1）15 故答案为：5 15 （2 分）如图，在正方形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 DA、AB、BC、CD 上靠近 A、B、C、D 的四 等分点， I、 J、 K、 L 分别是 EF、 FG、 GH、 HE 上靠近 E、 F、 G、 H 的四等分点， 则 【解答】解：设 AEDHCGBFa，DECHBGAF3a， 则 EFEHHGFGa， EIFJKGKLa
22、，ELHKGJFIa， LIIJJKKLa， （）2， 故答案为： 16 （2 分）如图，在四边形 ABCD 中，AB2，BCBD，ADC150，DCB60，则 AC 的最大 值是 +1 【解答】解：如图，以 AB 为边作等边ABE，连结 EC， ABBEAE，ABEEABAEB60， BCBD，DCB60， DCB 为等边三角形， BDBCCD，DCBCDBDCB60， ADC150， ADBADCCDB1506090， 在ABD 和EBC 中， ， ABDEBC（SAS） ， ADBECB90， 在EBC 中，EBAB2，ECB90， 以 BE 为直径作O，则半径为BE1， 动点 C 在以
23、 BE 为直径的O 上，连结 AO 并延长交O 于点 C， ACACAO+OCAO+1， 在等边ABE 中，AB2，O 为 BE 的中点， AO， AC+1， 即 AC 的最大值为+1， 故答案为：+1 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 11 小题，共小题，共 88 分请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过分请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤）程或演算步骤） 17 （7 分）计算（m+2） 【解答】解：原式（） 2（m+3） 2m+6 18 （7 分）解不等式组，并写出它的整数解 【解答】解：解不等式 x3（x2）4，得：x1， 解不等
24、式，得：x1， 则不等式组的解集为1x1， 所以不等式组的整数解为 0、1 19 （8 分）如图，在菱形 ABCD 中，E、F 是 AC 上两点，AECF求证：四边形 BFDE 是菱形 【解答】证明：连接 BD 交 AC 于点 O， 四边形 ABCD 为菱形， OBOD，OAOC，ACBD， AECF， OAAEOCCF，即 OEOF， 四边形 BEDF 为平行四边形， ACBD， 四边形 BEDF 为菱形 20 （8 分）某初中学校每天对全校学生的午休情况进行检查，初一，初二，初三 3 个年级都要被检查到某 天由甲，乙，丙 3 名同学检查，他们来自 3 个不同的年级，每人只能检查 1 个年级
25、 （1）甲检查初一年级的概率为 ； （2）求他们都不检查自己所在年级的概率 【解答】解： （1）共有 3 个年级，分别是初一，初二，初三， 甲检查初一年级的概率为 故答案为： （2）设甲，乙，丙分别来自于初一，初二，初三 3 个年级甲，乙，丙 3 名同学各自检查一个年级，所 有可能出现的结果共有 6 种， 即（初一，初二，初三） 、 （初一，初三，初二） 、 （初二，初一，初三） 、 （初二，初三，初一） 、 （初三， 初一，初二） 、 （初三，初二，初一） ， 这些结果出现的可能性相等所有的结果中，满足他们都不检查自己所在年级（记为事件 A）的结果有 2 种，即（初二，初三，初一） 、 （初
26、三，初一，初二） ， 所以 P（A） 21 （7 分） 某初中学校共有 2000 名学生 为增强学生安全防护意识， 该校提出 “预防千万条， 口罩第一条” 的倡议提倡在上学和放学途中佩戴口罩学校数学兴趣小组采取简单随机抽样的方法，抽取了部分 学生，了解其在上学和放学途中佩戴口罩的情况 收集数据 （1）数学兴趣小组设计了以下三种调查方案： 方案一：从初一年级随机抽取 8 个班级共 300 名学生进行调查； 方案二：分别从三个年级随机抽取各 100 名学生进行调查； 方案三：随机抽取 300 名女生进行调查 其中抽取的样本具有代表性的方案是 方案二 整理数据 数学兴趣小组采取 （1） 中的具有代表
27、性的方案进行了一周的调查， 根据调查， 将数据绘制成条形统计图： （2）估计全校周五上学途中佩戴口罩的学生人数是多少？ 分析数据 （3）比较这一周抽样学生上学、放学途中佩戴口罩的情况，写出一条正确的结论 【解答】解： （1）由题意可得， 其中抽取的样本具有代表性的方案是方案二， 故答案为：方案二； （2）20001480（名） ， 即估计全校周五上学途中佩戴口罩的学生有 1480 名； （3）答案不唯一，例如， 结论 1：这一周上学途中佩戴口罩的人数（单位：名）分别是 240、210、201、213、222，由多变少再变 多，说明上学途中学生在周初和周末安全防护意识较强，在周中时安全防护意识较
28、弱 结论 2：这一周放学途中佩戴口罩的人数（单位：名）分别是 125、130、146、180、202，逐渐增加，说 明在放学途中，越接近周末学生的安全防护意识越强 结论 3：这一周上学途中平均每天佩戴口罩的人数约为 217 名，放学途中平均每天佩戴口罩的人数约为 157 名，217157 说明学生在上学途中安全防护意识较好，同时需要加强放学途中的安全防护措施 结论 4：这一周上学途中佩戴口罩人数与放学途中佩戴口罩人数之差分别是 115、80、55、33、20，说明 学生在上学途中安全防护意识较好，同时需要加强放学途中的安全防护措施 22 （8 分） “精准扶贫，暖心助力” 驻村书记通过某平台直
29、播带货，帮助当地百姓脱贫致富苹果成本价 为每千克 5 元，销售价为每千克 8 元；蜜桔成本价为每千克 6 元，销售价为每千克 10 元通过直播，两 种水果共销售 5000kg，苹果的销售量不少于 2000kg （1）若销售的苹果和蜜桔的总成本为 27400 元，则销售苹果 2600 kg，销售蜜桔 2400 kg （2）当苹果的销量为多少时，两种水果的总利润最大？最大利润是多少？ 【解答】解： （1）设销售苹果 x 千克，销售蜜桔（5000 x）千克， 则列方程：5x+6（5000 x）27400， 解得：x2600（千克） ， 500026002400（千克） ， 销售苹果 2600 千克，
30、销售蜜桔 2400 千克， 故答案为：2600，2400； （2）设销售苹果 a 千克，销售蜜桔（5000a）千克， 则利润为：w（85）a+（106） （5000a）a+20000， 10， w 随 a 的增大而减小， 又a2000， 当 a2000 时，利润最大， 最大利润为：w2000+2000018000（元） ， 答：当苹果的销量为 2000 千克时，两种水果的总利润最大，最大利润是 18000 元 23 （7 分）如图，学校有一旗杆 AB为了测量旗杆高度，小明采用如下方案：在点 C 处测得旗杆顶 B 的 仰角为 45，从与点 C 相距 6m 的 E 处测得旗杆顶 B 的仰角为 60
31、若 CDEF1.9m，求旗杆 AB 的 高度（精确到 0.1m） （参考数据：1.41，1.73 ） 【解答】解：延长 CE，交 AB 于点 G如图所示： 则BGC90AGCDEF1.9m， 设 BGxm 在 RtBGC 中，BCG45， BCG 是等腰直角三角形， CGBGxm， CE6m， GE（x6）m 在 RtBGE 中，BEG60，tanBEGtan60， ， 解得：x9+3， ABBG+GA9+3+1.916.1（m） ， 答：旗杆 AB 的高度约为 16.1m 24 （9 分）已知二次函数 yx2+2mx+m21（m 为常数） （1）求证：不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴
32、总有两个公共点； （2）若函数的图象与 x 轴的两个公共点分别在原点的两侧，求 m 的取值范围 【解答】解： （1）因为 b24ac4m24（m21）40， 所以方程 x2+2mx+m210 有两个不相等的实数根， 所以该函数图像与 x 轴总有两个公共点； （2）当 y0 时，x2+2mx+m210解这个方程，得 x1m+1，x2m1 函数图像与 x 轴的交点的坐标为（m+1，0） ， （m1，0） ， 因为函数图像与 x 轴的两个公共点分别在原点的两侧，且m+1m1， 所以m+10 且m10， 解得1m1 25 （8 分）如图，在 RtABC 中，BAC90，AB6，AC8分别延长 BA、A
33、B、CA、AC 至点 D、 E、F、G，使得 ADAFBC，BE8，CG6 （1）经过 D、E、G 三点作O； （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：点 F 在O 上； （3）O 的半径长为 2 【解答】 （1）解：如图，O 即为所求作 （2）连接 FD、OD、OE、OF、OGLM 是 EG 的垂直平分线， ADAF，ABCG，ACBE， AB+BECG+AC，即 AGAE LM 是 EG 的垂直平分线， 点 A 在 LM 上， EAPGAP， FAMDAM， LM 是 FD 的垂直平分线， 点 O 在 LM 上， OFOD 点 F 在O 上 （3）如图，连接 EF AEAG，EA
34、G90， AGEAEG45， EOF2EGF90， EF2， OEOF2 故答案为：2 26 （9 分） 【概念认识】 已知 m 是实数，若某个函数图象上存在点 M（m，m） ，则称点 M 是该函数图象上的“固定点” 【数学理解】 （1）一次函数 y2x+3 的图象上的“固定点”的坐标是 （1，1） ； （2）求证：反比例函数 y（k0）的图象上存在 2 个“固定点” ； （3）将二次函数 yx2+bx+1（b2）的图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方，图象的其余部 分保持不变，翻折后的图象与原图象在 x 轴上方的部分组成一个类似“W”形状的新图象若新图象上 恰好存在 3 个“
35、固定点” ，求 b 的值 【解答】 （1）解：设固定点为（m，m）把（m，m）代入一次函数 y2x+3 中， 得 m2m+3， 解得 m1， 固定点为（1，1） ； （2）证明：在 y（k0）中，令 yx，可得 x2k 解得 x1，x2 将 x1代入 y中，得 y1 将 x2代入 y中，得 y2 因此反比例函数 y（k0）的图像上存在 2 个“固定点” ，分别为（，）和（，） （3）图象大致如下： 设固定点为（m，m） ，将（m，m）代入 yx2+bx+1， 得 m2+bm+1m， 即 m2+（b1）m+10， （b1）240， 即原图象（翻折前）有两个“固定点” ， 翻折后图形为：y（x2+
36、bx+1） ， 将（m，m）代入：m（m2+bm+1） ， 即m2（b+1）m10， 依题意，只需该方程有一个根即可（对应一个“固定点” ，与前两个合成三个） ， （b+1）240， 即（b+1）24， b+12， 当 b+12 时，b1（不合题意，b2 舍去） ， 当 b+12 时，b3， 综上，b3 27 （10 分） 如图， 已知MAN60， 点 B 在 AM 上， AB6， P 是 AN 上一动点 （点 P 不与点 A 重合） ， 以 AB、AP 为相邻两边作平行四边形 APCB，再以 BP 为直径作O （1）当APCB 的某一边所在直线与O 相切时，AP 的长为 3 或 12 （2）
37、当APCB 的四条边所在直线与O 都相交时，设O 分别与 AN、AM 交于点 E、G，与直线 CP、 BC 交于点 H、F 如图，在六边形 BGEPHF 中，易得 BFPE，BGPH，GBFHPE120，请再写出关于这 个六边形的三个结论，并选择其中一个结论给出证明； （要求：写出的三个结论类型不相同） 设 APx，直接写出以 B、G、E、P、H、F 为顶点的六边形的面积（用含 x 的代数式表示） 【解答】解： （1）当 BPAN 时，直线 AN 与O 相切，如图： A60，AB6， APABcos603； 当 BPAM 时，直线 AM 与O 相切，如图： A60，AB6， AP12； 综上所
38、述，AP3 或 12； 故答案为：3 或 12； （2）答案不唯一，例如： 从整体视角有六边形 BGEPHF 是中心对称图形，O 是它的对称中心； 从角的角度有BFHPEG，BGEPHF，FHE90，FEH30等； 从边的角度有 FHEG，FHEG 等； 从对角线的角度有 BPFE，FGEH，HEFE 等； 从边与对角线的关系的角度有 2FHBP，EHFH 等； 证明 FHEG，过程如下： 连接 BE、PF，如图： BP 为O 直径， BEPBFP90， 四边形 ABCP 是平行四边形， BCAP，BCAP，AC， 四边形 BEPF 是矩形， BFPE， BCBFAPPE，即 AECF， 四边
39、形 GEPB、四边形 FHPB 是O 的内接四边形， AGEBPE，CHFFBP， BCAP， BPEFBP， AGECHF， 在AGE 和CHF 中， ， AGECHF（ASA） ， FHEG； （一）当 0 x3 时，如图： RtABE 中，AB6，A60， AE3，BE3， SABE， RtAPG 中，APx，A60， AGx，PGx， SAPGx2， S四边形BGPESABESAPGx2， 六边形 GPEHBF 是中心对称， BFG 绕对称中心 O 旋转 180得PEB， SBFGSPEB， 同理 SBGPSEHB， S六边形GPEHBF2（SPEB+SBGP）2S四边形BGPE， S
40、六边形FGPEHB9x； （二）当 3x12 时， AEGABP，AA， AEGABP， （）2（cos60）2， SABPAPBEx， SAEGx， S四边形BGEPSABPSAEGx， 由对称性可得：S六边形BGEPHF2S四边形BGEPx； （三）当 x12 时，过 F 作 FQAM 于 Q，如图： RtBFQ 中，QBFA60，BFBCCFAPAEx3， BQBFcos60（x3） ，FQBFsin60（x3） ， QGFFPB，GQFBFP90， QGFFPB， ，即， GQ， BGBQGQx6， SBFGBGFQ（x6） （x3）x2x+， 而 SBFPBFFPx， S四边形GBPFSBFG+SBFPx2x， 由对称性可得：S六边形FGBEHP2S四边形GBPFx2x
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