1、2021 年湖北省黄石市中考数学试卷年湖北省黄石市中考数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3分，共分，共 30 分在每个小题给出的四个选项中，只有分在每个小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1. 1 2 的倒数是（ ） A. 2 B. 1 2 C. 1 2 D. 1 2 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用倒数的定义得出答案 【详解】解： 1 2 的倒数是：-2 故选：A 【点睛】本题主要考查了倒数，正确掌握相关定义是解题关键 2. 下列几何图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. 梯形 B.
2、 等边三角形 C. 平行四边形 D. 矩形 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义以及性质对各项进行分析即可 【详解】A、梯形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项说法错误； B、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项说法正确； C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项说法错误； D、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项说法错误 故选：B 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的判断，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义以及性质 是解题的关键 3. 如图是由 6个小正方体拼成的几何体，该几何体的左视图是（ ） A. B. C
3、. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找到从几何体的左边看所得到的图形即可 【详解】解：左视图有 2列，每列小正方形数目分别为 2，1 故选：D 【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握所看的位置 4. 计算 32 ( 5)x y的结果是（ ） A. 25x5y2 B. 25x6y2 C. 5x3y2 D. -10 x6y2 【答案】B 【解析】 【详解】解： 2 3 5x y= 62 25x y故选 B 5. 函数 01 2 1 yx x 的自变量x的取值范围是（ ） A. 1x B. 2x C. 1x 且2x D. 1x且2x 【答案】C 【解析】 【分析】根据被开方数大于等
4、于 0，分母不为 0以及零次幂的底数不为 0，列式计算即可得解 【详解】解：函数 01 2 1 yx x 的自变量x的取值范围是： 10 x 且20 x， 解得：1x 且2x， 故选：C 【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负 6. 为庆祝中国共产党建党 100周年，某校开展主题为党在我心中的绘画、书法、摄影等艺术作品征集 活动，从八年级 5个班收集到的作品数量（单位：件）分别为 50、45、42、46、50，则这组数据的众数
5、是 （ ） A. 46 B. 45 C. 50 D. 42 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数的定义，找到该组数据中出现次数最多的数即为众数 【详解】解：这组数据中出现次数最多的是 50， 所以众数为 50， 故选：C 【点睛】本题主要考查了众数，解题的关键是掌握众数的定义 7. 如图，ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是 1,0，现将ABC绕A点按逆 时针方向旋转90，则旋转后点C的坐标是（ ） A. 2, 3 B. 2,3 C. 2,2 D. 3,2 【答案】B 【解析】 【分析】在网格中绘制出 CA 旋转后的图形，得到点 C 旋转后对应点 【详解】如图，绘制出 CA
6、绕点 A逆时针旋转 90的图形， 由图可得：点 C对应点 C 的坐标为(-2，3) 故选 B 【点睛】本题考查旋转，需要注意题干中要求顺时针旋转还逆时针旋转 8. 如图，A、B是O上的两点，60AOB，OF AB交O于点F，则BAF等于（ ） A. 20 B. 22.5 C. 15 D. 12.5 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得AOB是等边三角形，结合OFAB可得30BAF，再根据“同弧所对的圆周角等 于它所对圆心角的一半”即可得出BAF 【详解】解：OA=OB，AOB=60 AOB是等边三角形， OFAB 1 30 2 BOFAOB 11 3015 22 BAFBOF 故选：C 【点
7、睛】 此题主要考查了等边三角形的判定与性质以及同弧或等弧所对的圆周角和圆心角的关系， 掌握“同 弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半”是解题的关键 9. 如图， 在Rt ABC中，90ACB， 按以下步骤作图： 以B为圆心， 任意长为半径作弧， 分别交BA、 BC于M、N两点；分别以M、N为圆心，以大于 1 2 MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；作 射线BP，交边AC于D点若10AB，6BC ，则线段CD的长为（ ） A. 3 B. 10 3 C. 8 3 D. 16 5 【答案】A 【解析】 【分析】由尺规作图痕迹可知，BD 是ABC 的角平分线，过 D 点作 DHAB 于 H 点，设 D
8、C=DH=x 则 AD=AC-DC=8-x，BC=BH=6，AH=AB-BH=4，在 Rt ADH 中，由勾股定理得到 222 (8)4xx，由此 即可求出 x 的值 【详解】解：由尺规作图痕迹可知，BD是ABC的角平分线， 过 D 点作 DHAB 于 H点， C=DHB=90 ， DC=DH， 2222 ACABBC1068 ， 设 DC=DH=x，则 AD=AC-DC=8-x，BC=BH=6，AH=AB-BH=4， 在 Rt ADH中，由勾股定理： 222 ADAHDH ， 代入数据： 222 (8)4xx，解得3x ，故3CD， 故选：A 【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图，在角的内部
9、角平分线上的点到角两边的距离相等，勾股定理等 相关知识点，熟练掌握角平分线的尺规作图是解决本题的关键 10. 二次函数 2 yaxbxc（a、b、c是常数，且0a）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x 1 0 1 2 y m 2 2 n 且当 3 2 x 时，对应的函数值0y 有以下结论：0abc； 20 3 mn ；关于x的方程 2 0axbxc的负实数根在 1 2 和 0之间； 11 1,P ty和 22 1,P ty在该二次函数的图象上，则当 实数 1 3 t 时， 12 yy其中正确的结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将点（0，2）与点（1，2
10、）代入解析式可得到 a、b互为相反数，c=2，即可判断； 将 x=-1 与 x=2 代入解析式得到 m 和 n的表达式，再结合当 3 2 x 时，对应的函数值0y ，即可表示出 m+n的取值范围； 根据点（1，2）与当 3 2 x 时，对应的函数值0y 可知方程 2 0axbxc的正实数根在 1 和 2 之间， 结合抛物线的对称性即可求出方程 2 0axbxc的负实数根的取值范围； 分类讨论，当 1 P在抛物线的右侧时， 1 P的横坐标恒大于等于对称轴对应的x的值时必有 12 yy，求出 对应的 t即可；当 1 P与 2 P在抛物线的异侧时，根据抛物线的性质当 1 P的横坐标到对称轴的距离小于
11、 2 P到 对称轴的距离时满足 12 yy，求出对应的 t即可. 【详解】将点（0，2）与点（1，2）代入解析式得： 2 2 c abc ，则 a、b 互为相反数， 0abc， 故错误； a、b互为相反数， 将 x=-1 与 x=2 代入解析式得：22mna， 则：44mna， 当 3 2 x 时，对应的函数值0y ， 得：38 0a ，即： 8 a- 3 ， 20 44- 3 mna . 故正确； 函数过点（1，2）且当 3 2 x 时，对应的函数值0y ， 方程 2 0axbxc的正实数根在 1和 3 2 之间， 抛物线过点（0，2）与点（1，2） ， 结合抛物线的对称性可得抛物线的对称轴
12、为直线 1 2 x ， 结合抛物线的对称性可得关于x的方程 2 0axbxc的负实数根在 1 2 和 0 之间. 故正确； 函数过点（1，2）且当 3 2 x 时，对应的函数值0y ， 可以判断抛物线开口向下， 1 P在抛物线的右侧时， 2 P恒在抛物线的右侧，此时 12 yy恒成立， 1 P的横坐标大于等于对称轴对应的 x，即 1 -1 2 t，解得 3 2 t 时 12 yy； 当 1 P与 2 P在抛物线的异侧时，根据抛物线的性质当 1 P的横坐标到对称轴的距离小于 2 P到对称轴的距离 时满足 12 yy，即当 1 1 2 1 1 2 t t 时， 11 -11- 22 tt 满足 1
13、2 yy， 当 12 - 23 t 时，解得 1 2 t，即 1 P与 2 P在抛物线的异侧时满足 12 yy， 13 22 t ， 综上当 1 2 t时， 12 yy. 故错误. 故选：B. 【点睛】本题主要考查二次函数的相关性质，解题的关键是能通过图表所给的点以及题目的信息来判断抛 物线的开口方向以及对称轴，结合二次函数的图象的性质来解决对应的问题. 二、填空题（二、填空题（1114 小题，每小题小题，每小题 3 分，分，1518 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 28 分）分） 11. 计算： 1 1 32 2 _ 【答案】 3 【解析】 【分析】先分别化简负整数指数幂和绝对值
14、，然后再计算 【详解】 1 1 322( 32)2323 2 ， 故填： 3 【点睛】本题考查负整数指数幂及实数的混合运算，掌握运算法则准确计算是解题关键 12. 分解因式： 32 2aaa_ 【答案】 2 1a a 【解析】 【分析】观察所给多项式有公因式 a，先提出公因式，剩余的三项可利用完全平方公式继续分解 【详解】解：原式 2 21a aa ， 2 1a a， 故答案为： 2 1a a 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一 般来说，有公因式要先提公因式，再考虑运用公式法分解，注意一定要分解到无法分解为止 13. 2021年 5 月
15、 21日，国新办举行新闻发布会，介绍第七次全国人口普查情况，全国人口总数约为 14.12 亿人用科学记数法表示 14.12 亿人，可以表示为_人 【答案】1.412 109 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变 成 a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同 【详解】解：14.12 亿人=1412000000 人用科学记数法表示，可以表示成为 1.412 109， 故答案为：1.412 109 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1|a|10，n 为
16、整 数，表示时关键要正确确定 a的值以及 n的值 14. 分式方程 11 3 22 x xx 的解是_ 【答案】3x 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x的值，经检验即可得到分式方程的解 【详解】解： 11 3 22 x xx 去分母得：1132xx， 去括号化简得：26x， 解得：3x ， 经检验3x 是分式方程的根， 故填：3x 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验 15. 如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得 5BC 米，4CD米，150BCD，在D处测得电线杆顶端A的
17、仰角为45，则电线杆AB的高度约 为_米 （参考数据：21.414，31.732，结果按四舍五入保留一位小数） 【答案】10.5 【解析】 【分析】延长 AD 交 BC 的延长线于 E，作 DFBE于 F，根据直角三角形的性质和勾股定理求出 DF、CF 的长，根据正切的定义求出 EF，得到 BE 的长，根据正切的定义解答即可 【详解】解：延长 AD 交 BC的延长线于 E，作 DFBE 于 F， BCD=150 ， DCF=30 ，又 CD=4， DF=2，CF= 22 CDDF 2 3， 由题意得E=45 ， EF=DF=2， BE=BC+CF+EF=5+2+2 3=7+23， AB=BE
18、tanE=（7+2 3）110.5米， 故答案为：10.5 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定 义是解题的关键 16. 将直线 1yx 向左平移m（ 0m）个单位后，经过点(1，3)，则m的值为_ 【答案】3 【解析】 【分析】根据平移的规律得到平移后的解析式为1yxm，然后把点(1，3)的坐标代入求值即可 【详解】解：将一次函数 y=-x+1的图象沿 x 轴向左平移 m（m0）个单位后得到1yxm， 把(1，3)代入，得到：311m ， 解得 m=3 故答案为：3 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，
19、上加下减”直接代入函数解 析式求得平移后的函数解析式是解题的关键 17. 如图，A、B两点在反比例函数 3 y x （0 x） 的图象上，AB的延长线交x轴于点C， 且2A BB C， 则AOC的面积是_ 【答案】6 【解析】 【分析】 过A、 B两点作x轴的垂线， 交x轴分别于E、 F两点， 得到 CBF CAE， 设 3 (,) ,(0 )Aaa a -其中， 进而得到 11 = 3 BFAE a =-，4OCa即可求出 AOC的面积 【详解】解：过 A、B 两点作 x轴的垂线，交 x 轴分别于 E、F两点，如下图所示： 2ABBC， 1 3 CB CA ， EFBF， CBF CAE，
20、1 3 CBCFBF CACEAE =， 设 3 ,(0)A aa a 其中，则 3 AE a =-， 11 = 3 BFAE a =- ， 1 (3 ,)Ba a -， 1 324 2 OFaOEaEFaCFEFaOCa=-=-=-=-=-， 113 =( 4 )()6 22 ACO SOCAEa a D 创-?=， 故答案为：6 【点睛】本题考查了反比例函数的图形及性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握各图形的性质及判定 方法是解决本题的关键 18. 如图， 在正方形ABCD中， 点E、F分别在边BC、CD上， 且 45EAF，AE交BD于M点，AF 交BD于N点 （1）若正方形的边长为
21、2，则CEF的周长是_ （2） 下列结论： 222 BMDNMN； 若F是CD的中点， 则tan2AEF； 连接MF， 则A M F 为等腰直角三角形其中正确结论的序号是_（把你认为所有正确的都填上） 【答案】 . 4 . 【解析】 【分析】(1)将 AF 绕点 A 顺时针旋转 90，F 点落在 G 点处，证明()EAFEAG SASDD， ()FADGAB SASDD，进而得到EF DFBE，即可求出CEF的周长； (2)对于：将 AM 绕点 A逆时针旋转 90，M 点落在 H 点处，证明()BAMDAH SASDD， ()MANHAN SASDD即可判断； 对于：设正方形边长为 2，BE=
22、x，则 EF=x+1，CE=2-x，在 Rt EFC中使用勾股定理求出 x，在利用 AEF=AEB即可求解； 对于：证明 A、M、F、D四点共圆，得到AFM=ADM=45 进而求解 【详解】解：(1)将 AF绕点 A 顺时针旋转 90，F点落在 G 点处，如下图所示： 45EAF，且90FAG? 45EAG， 在EAF和EAG中：=45 = AFAG EAFEAG AE AE ， ()EAFEAG SASDD， EFGE=， 又1+2=45 ，3+2=45 ， 1=3， ABCD为正方形， AD=AB， 在FAD和GAB中：13 = ADAB AF AG ， ()FADGAB SASDD， =
23、90ABGADF? +=90 +90 =180ABGABE行， G、B、E三点共线， EFGEGBBEDFBE=+=+， ()() ()4 CEF CEFECCFDFBEECCFDFCFBEECCDBC D =+=+=+=+=， 故答案为：4； (2)对于：将 AM 绕点 A逆时针旋转 90，M 点落在 H 点处，如下图所示： 1+2=45 ，1+4=EAH-EAF=45 ， 2=4， 在BAM和DAH中：24 BADA AMAH , ()BAMDAH SASDD， 45ADHABM?，BMDH， 454590NDHADHADN?+=， 在Rt HNDD中，由勾股定理得： 22222 NHDH
24、DNBMDN=+=+ ， 在MAN和HAND中：45 ANAN MANHAN AMAH , ()MANHAN SASDD， MNNH， 2222 MNNHBMDN=+ ，故正确； 对于：由(1)中可知：EF=BE+DF，设正方形边长为 2，当 F为 CD中点时， GB=DF=1，CF=1，设 BE=x，则 EF=x+1，CE=2-x， 在 Rt EFC 中，由勾股定理： 222 EFCFCE ， 222 (1)1(2)xx+=+-，解得 2 3 x ，即 2 3 BE ， 3 tantan23 2 AB AEFAEB BE ?= ?,故错误； 对于：如下图所示： EAF=BDC=45 ， A、
25、M、F、D四点共圆， AFM=ADM=45 ， AMF 为等腰直角三角形，故正确； 故答案为： 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形全等的证明，四点共圆的判定方法等，属于综合 题，具有一定难度，熟练掌握各图形的性质是解决本题的关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 62 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤）分解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤） 19. 先化简，再求值： 2 1 1 1 aa a ，其中 3 1a =- 【答案】 1 1a ， 3 3 【解析】 【分析】先算括号内的减法，再把除法化为乘法，然后因式分解，约分化简，
26、代入求值，再将结果化为最 简二次根式即可 【详解】解：原式= 1(1)(1) () aaa aaa +- -? 1 (1)(1) aa aaa - = +- g 1 = 1a ， 将3 1a =-代入，原式 113 33 1 13 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握因式分解，分式的通分，约分，二次根式的化简是解题的关 键 20. 如图，D是ABC的边AB上一点，/CF AB ， DF交AC于E点，DE EF （1）求证：ADECFE； （2）若5AB，4CF ，求BD的长 【答案】 （1）证明见详解； （2）1 【解析】 【分析】 （1）根据ASA证明即可； （2）根据（1）可得ADEC
27、FE，即由ADCF，根据BDABADABCF=-=-求解即可 【详解】 （1）证明：/ /ABFC， ADEF， 在ADE和CFE中， ADEF DEEF AEDCEF ? ? = ? ()ADECFE ASA DD； （2）由（1）得ADECFE ADCF 541BDABADABCF=-=-=-= 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，熟练掌握基本知识是解题的关键 21. 已知关于x的一元二次方程 22 20 xmxmm 有实数根 （1）求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为 1 x、 2 x，且 22 12 12xx，求m的值 【答案】 （1）0m； （2
28、）2m 【解析】 【分析】 （1）根据方程有实数根的条件，即0 求解即可； （2）由韦达定理把 12 xx和 12 x x分别用含 m的式子表示出来，然后根据完全平方公式将 22 12 12xx变形 为 2 1212 212xxx x，再代入计算即可解出答案 【详解】 （1）由题意可得： 2 2 240mmm 解得：0m 即实数 m 的取值范围是0m （2）由 22 12 12xx可得： 2 1212 212xxx x 12 2xxm ； 2 12 x xmm 2 2 2212mmm 解得：3m或2m 0m 2m 即m的值为-2 【点睛】本题主要考查的是根的判别式、根与系数的关系，要牢记： （
29、1）当0 时，方程有实数根； （2） 掌握根与系数的关系，即韦达定理； （3）熟记完全平方公式等是解题的关键 22. 黄石是国家历史文化名城，素有“青铜故里、矿冶之都”的盛名区域内矿冶文化旅游点有：A铜绿 山古铜矿遗址，B黄石国家矿山公园，C湖北水泥遗址博物馆，D黄石园博园、矿博园我市八年级 某班计划暑假期间到以上四个地方开展研学旅游，学生分成四个小组，根据报名情况绘制了两幅不完整的 统计图 请根据图中信息，解答下列问题： （1） 全班报名参加研学旅游活动的学生共有_人， 扇形统计图中A部分所对应的扇形圆心角是_； （2）补全条形统计图； （3）该班语文、数学两位学科老师也报名参加了本次研学旅
30、游活动，他们随机加入 A、B 两个小组中，求 两位老师在同一个小组的概率 【答案】 （1）50，108； （2）见解析； （3） 1 2 【解析】 【分析】 （1）根据 B 的人数和所占的百分比可以求得本次活动的总人数，根据扇形统计图中 A 组所占的百 分比可以求得 A部分的扇形的圆心角的度数； （2）根据（1）中的结果可以求得 C的人数，从而可以将条形统计图补充完整； （3）根据题意画树状图，求出所有等可能的结果，再用两位老师在同一个小组的结果数除以总的结果数即 可 【详解】解： （1）全班报名参加研学旅游活动的学生共有：20 40%=50， 扇形统计图中，表示 A 部分的扇形的圆心角是：3
31、60 15 50 =108 ， 故答案为：50，108； （2）C组人数：50-15-20-5=10， 补全的条形统计图，如图所示； （3）根据题意画树状图如下： 共有 4 种等可能的结果，其中两位老师在同一个小组的结果有 2种， 两人恰好选中同一个的概率为 21 42 【点睛】本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，解决本题关键是掌握概率公式用 到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 23. 我国传统数学名著 九章算术 记载： “今有鸡兔同笼， 上有三十五头， 下有九十四足， 问鸡兔各几何？” 译文： 有若干只鸡与兔在同一个笼子里， 从上面数有 35 个头， 从下面数有 9
32、4只脚， 问笼中各有几只鸡和兔？ 根据以上译文，回答以下问题： （1）笼中鸡、兔各有多少只？ （2）若还是 94 只脚，但不知道头多少个，笼中鸡兔至少 30 只且不超过 40只鸡每只值 80元，兔每只值 60 元，问这笼鸡兔最多值多少元？最少值多少元？ 【答案】 （1）鸡有 23只，兔有 12只； （2）这笼鸡兔最多值 3060元，最少值 2060元 【解析】 【分析】 （1）设笼中有 x只鸡，y 只兔，根据上有 35 个头、下有 94 只脚，即可得出关于 x、y的二元一次方 程组，解之即可得出结论； （2）设笼中有 m只鸡，n只兔，总价值为 w，根据“笼中鸡兔至少 30 只且不超过 40只”
33、列出不等式，再 根据“鸡每只值 80 元，兔每只值 60 元”得到一元一次函数，利用函数的性质解答即可 【详解】 （1）解：设笼中有 x只鸡，y只兔， 根据题意得： 35 2494 xy xy ， 解得： 23 12 x y 答：鸡有 23只，兔有 12只； （2）设笼中有 m只鸡，n只兔，总价值为 w 元， 根据题意得：2494mn，即472mn， 3040mn，即3047 240nn ， 解得：717n， 806080 47260wmnnn， 整理得：1003760wn， 1000， w随n的增大而减少， 当7n时，w有最大值，最大值为 3060， 当17n时，w有最小值，最小值为 206
34、0， 答：这笼鸡兔最多值 3060元，最少值 2060元 【点睛】本题考查了二元一次方程组应用，一次函数的应用，不等式的应用，理清题中的数量关系并掌 握一次函数的性质是解题的关键 24. 如图，PA、PB是O的切线，A、B是切点，AC是 O的直径，连接OP，交O于点D，交AB 于点E （1）求证：/BC OP； （2）若E恰好是OD的中点，且四边形OAPB的面积是16 3，求阴影部分的面积； （3）若 1 sin 3 BAC，且 2 3AD ，求切线PA的长 【答案】 （1）见解析； （2） 16 4 3 3 ； （3）6 2 【解析】 【分析】 （1）证明POB=CBO，根据“内错角相等，两
35、直线平行”即可证明结论； （2）证明AOD是等边三角形得AOD=60 ，设 OA=R，求出 AE= 3 2 R，AB=3R，PO=2R，根据四边 形OAPB的面积是16 3求出 R，再利用 AOBAOB SSS 阴影扇形 求解即可； （3）利用 1 sin 3 BAC设出 BC=m，则 AC=3m，分别求出 2AEm ，DE=m，在 RtAED中运用勾股 定理列方程，求出 m值，再证明APO=BAC，利用 1 sin 3 BAC求出 PA的长 【详解】解： （1）证明：PA PB，是O的切线 POAB，即90OEB 90EOBOBE AC是O的直径 ABC=90 90EBOCBO EOBCBO
36、 /BCOP （2）E 是 OD的中点，且 ABOD， AO=AD， 又 AO=OD AOD是等边三角形 AOD=60 PA是O的切线，OA 是O的半径， OAP=90 APO=30 PO=2AO 在Rt AOE中，AOE=60 OAE=30 设 OA=R，则 2 R OE 3 2 AER 23 ,22ABAER POAOR 四边形OAPB的面积是16 3， 1 16 3 2 AB PO ，即 1 2 3216 3RR 解得，=?4R（负值舍去） 4 3,2ABOE 60AOD 120AOB 2 1204116 =4 324 3 36023 AOBAOB SSS 阴影扇形 （3）90ABC 1
37、 sin 3 BAC BC AC 故设 BC=m，则 AC=3m， 3 2 AOm OE/BC 11 22 OEBCm 31 22 DEODOEmmm 在 RtAEO 中， 22 2AEAOOEm 在 RtAED 中， 222 AEDEAD 222 ( 2 )(2 3)mm 2m (负值舍去) 2 2AE 90 ,90OAEAOEAPOAOE OAEAPO 1 sinsin 3 APOBAC 1 3 AE PA 36 2PAAE 【点睛】本题考查的是切线的判定和性质、扇形面积的计算、勾股定理以及解直角三角形等知识，灵活运 用切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径和切线的判定是解题的关键 25.
38、 抛物线 2 2yaxbxb（0a）与y轴相交于点0, 3C，且抛物线的对称轴为3x ，D为对称 轴与x轴的交点 （1）求抛物线的解析式； （2）在x轴上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于E、F两点，若DEF是等腰直角三角 形，求DEF的面积； （3）若3,Pt是对称轴上一定点，Q是抛物线上的动点，求PQ的最小值（用含t的代数式表示） 【答案】 （1） 2 63yxx ； （2）4； （3） 6(6) 11 6(6) 2 23411 () 22 tt PQtt t t 【解析】 【分析】 （1）与y轴相交于点0, 3C，得到3b，再根据抛物线对称轴，求得1a，代入即可 （2）在x轴上
39、方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于E、F两点，可知E、F两点关于对称 轴对称，DEF是等腰直角三角形得到45FED，设( , )(0)E m n n ，根据等腰直角三角形的性质求 得 E 点坐标，从而求得DEF的面积 （3）( , )(6)Q p q q ，根据距离公式求得 222 (21)6PQqtqt，注意到q的范围，利用二次函数 的性质，对t进行分类讨论，从而求得PQ的最小值 【详解】解： （1）由抛物线 2 2yaxbxb（0a）与y轴相交于点0, 3C得到3b 抛物线的对称轴为3x ，即 2 3 2 b a ，解得1a 抛物线的方程为 2 63yxx （2）过点 E作EMA
40、B交 AB 于点 M，过点 F 作FNAB，交 AB 于点 N，如下图： DEF是等腰直角三角形 DEDF，45FED 又EFx轴 45EDM EMD为等腰直角三角形 EMDM 设( , )(0)E m n n ，则( ,0)M m，3,DMm EMn 3nm 又 2 63nmm 2 363mmm 2 760mm 解得1m或6m 当1m时，2n，符合题意，2,4DMEMMN 1 4 2 DEF SMNEM 当6m 时，30n ，不符合题意 综上所述：4 DEF S （3）设( , )(6)Q p q q ，Q在抛物线上，则 2 63qpp 222222 (3)()692PQpqtppqtqt
41、将 2 63qpp 代入上式，得 222 (21)6PQqtqt 当 11 2 t 时， 21 6 2 t ，6q 时， 2 PQ最小，即PQ最小 2222 36 12661236(6)PQttttt PQ= 6 (6) 6 11 6(6) 2 tt t tt 当 11 2 t 时， 21 6 2 t ， 21 2 t q 时， 2 PQ最小，即PQ最小 2 234 4 t PQ ， 234 2 t PQ 综上所述 6(6) 11 6(6) 2 23411 () 22 tt PQtt t t 【点睛】此题考查了二次函数的对称轴、二次函数与三角形面积、等腰直角三角形的性质以及距离公式等 知识，熟练掌握距离公式和对代数式的计算是解决本题的关键
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