1、 2021 年辽宁省鞍山市台安县中考数学质量监测试卷（年辽宁省鞍山市台安县中考数学质量监测试卷（5 月份）月份） 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 8 道小题，每小题道小题，每小题 3 分，共分，共 24 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求 的）的） 1 （3 分）2021 的相反数是（ ） A2021 B2021 C D 2 （3 分）下列图是由 4 个大小相同的小立方块搭成的几何体，其中主视图和左视图相同的是（ ） A B C D 3 （3 分）下列各式中，计算正确的是（ ） A8a3b5ab Ba2aa3 C （a2）3a
2、5 Da8a4a2 4 （3 分）某校男子篮球队 10 名队员进行定点投篮练习，每人投篮 10 次，他们投中的次数统计如表： 投中次数 3 5 6 7 8 人数 1 3 2 2 2 则这些队员投中次数的众数、中位数和平均数分别为（ ） A2，6，6 B5，6，5 C5，5，6 D5，6，6 5 （3 分）不等式 4x80 的解集在数轴上表示为（ ） A B C D 6 （3 分）如右图，ABC 内接于O，A60，BC2，则的长为（ ） A B2 C D 7 （3 分）某中学为了创建“最美校园图书屋”新购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格是文学 类图书平均每本书价格的 1.2 倍，已知学
3、校用 12000 元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图 书的本数多 100 本，那么学校购买文学类图书平均每本书的价格是（ ） A20 元 B18 元 C15 元 D10 元 8 （3 分）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 a，E 为 CD 边上一点（不与端点重合） ，将ADE 沿 AE 翻折 至AFE，延长 EF 交边 BC 于点 G，连接 AG，CF则下列给出的判断：EAG45；若 DE a， 则 tanGFC2； 若 E 为 CD 的中点， 则GFC 的面积为a2； 若 CFFG， 则 DE （1） a，其中正确的是（ ） A B C D 二、填空题（本题共二、填空题（本题共
4、 8 道小题，每小题道小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 9 （3 分）清代袁枚的一首诗苔中的诗句： “白日不到处，青春恰自来苔花如米小，也学牡丹开 ” 若苔花的花粉直径约为 0.0000084 米，则数据 0.0000084 科学记数法表示为 10 （3 分）在实数范围内分解因式：ab35ab 11 （3 分）如图所示的转盘中，红、黄、蓝三色扇形的圆心角度数分别为 60，90，210，自由转动 转盘，当转盘停止后，指针落在黄色区域的概率是 12 （3 分）如图，直线 MNPQ，直线 AB 分别与 MN，PQ 相交于点 A，B小宇同学利用以下步骤作图： 以点 A 为圆心，适当长为半
5、径作弧交射线 AN 于点 C，交线段 AB 于点 D； 以点 C 为圆心，适当长为半径画弧；然后再以点 D 为圆心，同样长为半径画弧前后两弧在NAB 内 交于点 E； 作射线 AE，交 PQ 于点 F， 若 AF2，FAN30，则线段 BF 的长为 13（3 分） 关于 x 的一元二次方程 kx2+2x10 有两个不相等的实数根， 则 k 的取值范围是 14 （3 分）如图，在ABC 中，D 为 AB 上一点，ADDCBC，且A30，AD5，则 AB 15 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 yx+m 分别交 x 轴，y 轴于 A，B 两点，已知点 C 坐标为 （2，0） 当直线 AB
6、经过点 C 时，点 O 到直线 AB 的距离是 16 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB2，BC，两顶点 A、B 分别在平面直角坐标系的 y 轴、x 轴 的正半轴上滑动， 点C在第一象限， 连接OC， 则当OC为最大值时， 点C的坐标是 三、 （每小题三、 （每小题 8 分，共分，共 16 分）分） 17 （8 分）先化简，然后从2x2 中选择一个合适的整数作为 x 的值代入求 值 18 （8 分）如图，在ABCD 中，BD 是它的一条对角线，过 A，C 两点分别作 AEBD，CFBD，E、F 为垂足 （1）求证：四边形 AFCE 是平行四边形； （2）若 AD13cm，AE12cm，
7、AB20cm，过点 C 作 CHAB，垂足为 H，求 CH 的长 四、 （每小题四、 （每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 19 （10 分）现如今，通过手机微信运动程序可以了解自己微信好友每天行走的步数， “健身达人”小张为 了解他的微信好友的运动情况，随机抽取了部分好友进行调查，把他们 5 月 1 日这天行走的情况分为四 个类别：A（05000 步） （说明： “05000”表示大于等于 0，小于等于 5000，下同） ，B（500110000 步） ，C（1000115000 步） ，D（15000 步以上） ，统计结果如图所示，请依据统计结果回答下列问题： （1）本次调查中，一
8、共调查了 位好友 （2）已知 A 类好友人数是 D 类好友人数的 5 倍 扇形统计图中“D”对应的圆心角为 度； 请补全条形图 若小张开启微信运动的好友共有 300 人，请根据调查数据估计有多少位微信好友 5 月 1 日这天行走的 步数不超过 10000 步？ 20 （10 分）小李和小王两位同学做游戏，在一个不透明的口袋中放入 1 个红球、2 个白球、1 个黑球，这 些球除颜色外都相同，将球摇匀 （1）从中任意摸出 1 个球，恰好摸到白球的概率是 （2）两人约定：从袋中一次摸出两个球，若摸出的两个球是一红一黑，则小李获胜；若摸出的两个球都 是白色，则小王获胜，请用列举法（画树状图或列表）分析
9、游戏规则是否公平 21 （10 分）如图，一艘轮船原计划从 A 地沿正东方向直接航行到 B 地，AB 两地间的距离为 200km后来 了解到在两地之间的某一海域有暗礁， 为了避开暗礁， 轮船从A地出发后就沿北偏东60角的方向航行， 到达 C 地后再沿南偏东 45角的方向继续航行到 B 地 请问轮船这样航行的路程比原计划的路程远了多 少？（结果精确到 1km；参考数据：1.41，1.73） 22 （10 分） 如图， 在平面直角坐标系中， 菱形 OABC 与菱形 ADEF 在第一象限， 且边 OA， AD 在 x 轴上 反 比例函数 y（x0）的图象经过边 OC 的中点 M 与边 AF 的中点
10、N，已知菱形 OABC 的边长为 4，且 AOC60 （1）求反比例函数的解析式； （2）求菱形 ADEF 的周长 六、 （每小题六、 （每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 23 （10 分）已知：BD 为O 的直径，点 A 为圆上一点，直线 BF 交 DA 的延长线于点 F，点 C 为O 上 一点，ABAC，连接 BC 交 AD 于点 E，连接 AC，且ABFABC （1）如图 1，求证：BF 是O 的切线 （2）如图 2，过点 C 作 CQAC，垂足为点 C，交O 于点 Q，过点 O 作 OHCQ，垂足为点 H，若 OH6，O 的半径为 10求 BE 的长 24 （10 分）某商店
11、购进了一种新款小电器，为了制定合适的销售价格，进行了为期 4 周的试营销，试营销 的情况如下表所示： 第 1 周 第 2 周 第 3 周 第 4 周 售价/（元/台） 50 45 60 55 销售/台 360 390 300 330 已知该款小电器的进价每台 40 元，设该款小电器每台的售价为 x 元，每周的销售量为 y 台 （1）观察表中的数据，推断 y 与 x 满足什么函数关系，并求出这个函数关系式； （2）若想每周的销售利润为 6000 元，则其售价应定为多少元？ （3）若每台小电器的售价不低于 45 元，但又不能高于进价的 1.5 倍，则如何定价才能使每周的销售利 润最大？ 七、 （七
12、、 （12 分）分） 25 （12 分） （1）如图 1 所示，在等腰三角形 ABC 中，ABAC，分别以 AB 和 AC 为斜边，向ABC 的外 侧作等腰直角三角形， M 是 BC 的中点， 连接 MD 和 ME 则线段 MD， ME 之间的数量关系是 （2）如图 2 所示，在任意三角形 ABC 中，分别以 AB 和 AC 为斜边向ABC 的外侧作等腰直角三角形， M 是 BC 的中点，连接 MD 和 ME，探究 MD 与 ME 具有怎样的数量关系和位置关系？并说明理由 （3） 如图 3 所示， 在任意三角形 ABC 中， 分别以 AB 和 AC 为斜边， 向ABC 的内侧作等腰直角三角形，
13、 M 是 BC 的中点，连接 MD、ME、DE，若 MD2，请直接写出线段 DE 的长 八、 （八、 （14 分）分） 26 （14 分）如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+3 交 x 轴于 A（1，0）和 B（5，0）两点， 交 y 轴于点 C，点 D 是线段 OB 上一动点，连接 CD，将线段 CD 绕点 D 顺时针旋转 90得到线段 DE， 过点 E 作直线 lx 轴于 H，交抛物线于点 M，过点 C 作 CFl 于 F （1）求抛物线解析式 （2）如图 2，当点 F 恰好在抛物线上时（与点 M 重合） ， 求线段 EH 的长； 连接 DF，求 tanFDE 的值； 试
14、探究在直线 l 上，是否存在点 G，使EDG45？若存在，请直接写出点 G 的坐标；若不存在， 请说明理由 2021 年辽宁省鞍山市台安县中考数学质量监测试卷（年辽宁省鞍山市台安县中考数学质量监测试卷（5 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 8 道小题，每小题道小题，每小题 3 分，共分，共 24 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求 的）的） 1 （3 分）2021 的相反数是（ ） A2021 B2021 C D 【解答】解：2021 的相反数是 2021 故选：A 2 （3
15、分）下列图是由 4 个大小相同的小立方块搭成的几何体，其中主视图和左视图相同的是（ ） A B C D 【解答】解：主视图和左视图都相同的是选项 B 故选：B 3 （3 分）下列各式中，计算正确的是（ ） A8a3b5ab Ba2aa3 C （a2）3a5 Da8a4a2 【解答】解：A、8a 与3b 不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； B、a2aa3，故本选项符合题意； C、 （a2）3a6，故本选项不合题意； D、a8a4a4，故本选项不合题意； 故选：B 4 （3 分）某校男子篮球队 10 名队员进行定点投篮练习，每人投篮 10 次，他们投中的次数统计如表： 投中次数 3 5
16、6 7 8 人数 1 3 2 2 2 则这些队员投中次数的众数、中位数和平均数分别为（ ） A2，6，6 B5，6，5 C5，5，6 D5，6，6 【 解 答 】 解 ： 这 些 队 员 投 中 次 数 的 众 数 为 5 次 ， 中 位 数 为 6 （ 次 ） ， 平 均 数 为 6（次） ， 故选：D 5 （3 分）不等式 4x80 的解集在数轴上表示为（ ） A B C D 【解答】解：4x80， 4x8， x2， 故选：D 6 （3 分）如右图，ABC 内接于O，A60，BC2，则的长为（ ） A B2 C D 【解答】解：连接 OB、OC，过点 O 作 ODBC 于 D， 则 BDD
17、CBC， 由圆周角定理得，BOC2A120， OBOC， OBCOCB30， OB2， 的长， 故选：C 7 （3 分）某中学为了创建“最美校园图书屋”新购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格是文学 类图书平均每本书价格的 1.2 倍，已知学校用 12000 元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图 书的本数多 100 本，那么学校购买文学类图书平均每本书的价格是（ ） A20 元 B18 元 C15 元 D10 元 【解答】解：设文学类图书平均价格为 x 元/本，则科普类图书平均价格为 1.2x 元/本， 依题意得：100， 解得：x20， 经检验，x20 是原方程的解，且符合题意
18、 故选：A 8 （3 分）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 a，E 为 CD 边上一点（不与端点重合） ，将ADE 沿 AE 翻折 至AFE，延长 EF 交边 BC 于点 G，连接 AG，CF则下列给出的判断：EAG45；若 DE a， 则 tanGFC2； 若 E 为 CD 的中点， 则GFC 的面积为a2； 若 CFFG， 则 DE （1） a，其中正确的是（ ） A B C D 【解答】解：将ADE 沿 AE 翻折至AFE， DAEEAF，ADAF， RtABGRtAFG（HL） ， BAGGAF， BADDAE+EAF+DAE+EAF90， EAGEAF+GAFBAD45， 故正确
19、； 令 a3，则 DEEF1， 设 BGGFx， 在 RtGCE 中有，GE2CG2+CE2， 即（1+x）2（3x）2+（31）2， 解得 x1.5， BGGCGF， BGA+AGFGCF+GFC（外角） ， BGAAGFGCFGFC， tanGFCtanAGB31.52， 故正确； 令 a2，同理可得 BGGFx， GC， E 为 CD 的中点， CEDE1， GE， 过 F 作GFC 的高线 FH， FHEC， GHFGCE， ， 即， 解得 FH， S， 故错误； GFFC，FGC+GECFCG+FCE， GFGCEFDEBG， F 为 GE 的中点（斜边中线为斜边一半逆定理，用互余关
20、系可证） ， ECGC，即GCE 为等腰直角三角形， GEEC， 设 BGx，则有 2x（ax） ， 解得 x（）a， 故正确； 故选：A 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 8 道小题，每小题道小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 9 （3 分）清代袁枚的一首诗苔中的诗句： “白日不到处，青春恰自来苔花如米小，也学牡丹开 ” 若苔花的花粉直径约为 0.0000084 米，则数据 0.0000084 科学记数法表示为 8.410 6 【解答】解：0.00000848.410 6， 故答案为：8.410 6 10 （3 分）在实数范围内分解因式：ab35ab ab（b+） （b） 【
21、解答】解：原式ab（b25）ab（b+） （b） ， 故答案为：ab（b+） （b） 11 （3 分）如图所示的转盘中，红、黄、蓝三色扇形的圆心角度数分别为 60，90，210，自由转动 转盘，当转盘停止后，指针落在黄色区域的概率是 【解答】解：指针落在黄色区域的概率 故答案为： 12 （3 分）如图，直线 MNPQ，直线 AB 分别与 MN，PQ 相交于点 A，B小宇同学利用以下步骤作图： 以点 A 为圆心，适当长为半径作弧交射线 AN 于点 C，交线段 AB 于点 D； 以点 C 为圆心，适当长为半径画弧；然后再以点 D 为圆心，同样长为半径画弧前后两弧在NAB 内 交于点 E； 作射线
22、AE，交 PQ 于点 F， 若 AF2，FAN30，则线段 BF 的长为 2 【解答】解：如图，过 B 作 BGAF 于 G， MNPQ， FAN330， 由题意得：AF 平分NAB， 1230， 1330， ABBF， 又BGAF， AGGFAF， RtBFG 中，BF2， 故答案为：2 13 （3 分）关于 x 的一元二次方程 kx2+2x10 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 k1 且 k 0 【解答】解：由已知得：， 即， 解得：k1 且 k0 故答案为：k1 且 k0 14 （3 分）如图，在ABC 中，D 为 AB 上一点，ADDCBC，且A30，AD5，则 AB 10
23、【解答】解：ADDC， ACDA30， BDCA+ACD60， CDCB， BCD 是等边三角形， BDCD， BDAD5， ABAD+BD10， 故答案为：10 15 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 yx+m 分别交 x 轴，y 轴于 A，B 两点，已知点 C 坐标为 （2，0） 当直线 AB 经过点 C 时，点 O 到直线 AB 的距离是 【解答】解：当直线 AB 经过点 C 时，即 C（2，0）在直线 yx+m 上，将 C 点代入得：02+m， 解得：m2， 此时直线解析式为：yx+2， 令 x0，则 y2；令 y0，则 x2； 故直线与 x 轴交于点 C（2，0） ，与 y
24、轴交于点 D（0，2） ，如图所示，过点 O 作 OE直线 CD 与点 E， OCOD2， OCD 为等腰直角三角形， CD2， OECD， OED 也为等腰直角三角形， OEDE， 故点 O 到直线 AB 的距离是， 故答案为： 16 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB2，BC，两顶点 A、B 分别在平面直角坐标系的 y 轴、x 轴 的正半轴上滑动， 点 C 在第一象限， 连接 OC， 则当 OC 为最大值时， 点 C 的坐标是 （， ） 【解答】解： E 为 AB 的中点， 当 O， E 及 C 共线时， OC 最大， 过 C 作 CFx 轴于 F， 则CFO90， 此时 OEBE
25、AB1，由勾股定理得：CE2， OC1+23， 即 BECE， CBE90， ECB30，BEC60， AEO60， 在 RtAOB 中，E 为斜边 AB 中点， AEOE， AOE 等边三角形， AOE60， COB906030， CFOC， 由勾股定理得：OF， 所以点 C 的坐标是（，） 故答案为： （，） 三、 （每小题三、 （每小题 8 分，共分，共 16 分）分） 17 （8 分）先化简，然后从2x2 中选择一个合适的整数作为 x 的值代入求 值 【解答】解： ， 2x2，x 为整数，x+10， （2+x） （2x）0， x0 或 1， 当 x0 时，原式1 18 （8 分）如图，
26、在ABCD 中，BD 是它的一条对角线，过 A，C 两点分别作 AEBD，CFBD，E、F 为垂足 （1）求证：四边形 AFCE 是平行四边形； （2）若 AD13cm，AE12cm，AB20cm，过点 C 作 CHAB，垂足为 H，求 CH 的长 【解答】证明： （1）如图，连接 AC 交 BD 于点 O 四边形 ABCD 是平行四边形 ADBC，AOCO，且AEOCFO90，AOECOF AOECOF（AAS） EOFO，且 AOCO 四边形 AECF 是平行四边形 （2）四边形 AECF 是平行四边形 AECF12cm， BF5cm BE16cm EFBEBF11cm， BODO，EOF
27、O DEBF5cm BD21cm， SABDSABCDSABC， BDAEABCH 211220CH CH12.6cm 四、 （每小题四、 （每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 19 （10 分）现如今，通过手机微信运动程序可以了解自己微信好友每天行走的步数， “健身达人”小张为 了解他的微信好友的运动情况，随机抽取了部分好友进行调查，把他们 5 月 1 日这天行走的情况分为四 个类别：A（05000 步） （说明： “05000”表示大于等于 0，小于等于 5000，下同） ，B（500110000 步） ，C（1000115000 步） ，D（15000 步以上） ，统计结果如图所
28、示，请依据统计结果回答下列问题： （1）本次调查中，一共调查了 30 位好友 （2）已知 A 类好友人数是 D 类好友人数的 5 倍 扇形统计图中“D”对应的圆心角为 24 度； 请补全条形图 若小张开启微信运动的好友共有 300 人，请根据调查数据估计有多少位微信好友 5 月 1 日这天行走的 步数不超过 10000 步？ 【解答】解： （1）本次调查中，一共调查了 620%30 位好友， 故答案为：30； （2）A 类和 D 类好友一共有：30（140%20%）12（人） ，A 类好友人数是 D 类好友人数的 5 倍， A 类好友有 126510（人） ，D 类好友有 12102（人） ，
29、 故扇形统计图中“D”对应的圆心角为 36024， 故答案为：24； 由知，A 类好友 10 人，D 类好友 2 人， 补全的条形统计图如右图所示； 由题意可得， 300160（位） ， 答：估计有 160 位微信好友 5 月 1 日这天行走的步数不超过 10000 步 20 （10 分）小李和小王两位同学做游戏，在一个不透明的口袋中放入 1 个红球、2 个白球、1 个黑球，这 些球除颜色外都相同，将球摇匀 （1）从中任意摸出 1 个球，恰好摸到白球的概率是 （2）两人约定：从袋中一次摸出两个球，若摸出的两个球是一红一黑，则小李获胜；若摸出的两个球都 是白色，则小王获胜，请用列举法（画树状图或
30、列表）分析游戏规则是否公平 【解答】解： （1）共有 4 个球，其中有 1 个红球、2 个白球、1 个黑球， 摸到白球的概率是 故答案为：； （2）根据题意画树状图如下： 共有 12 种等可能的情况数，其中两个球是一红一黑有 2 种，两个球都是白色的有 2 种， 则小李获胜的概率是，小王获胜的概率是， 所以游戏规则是公平的 21 （10 分）如图，一艘轮船原计划从 A 地沿正东方向直接航行到 B 地，AB 两地间的距离为 200km后来 了解到在两地之间的某一海域有暗礁， 为了避开暗礁， 轮船从A地出发后就沿北偏东60角的方向航行， 到达 C 地后再沿南偏东 45角的方向继续航行到 B 地 请
31、问轮船这样航行的路程比原计划的路程远了多 少？（结果精确到 1km；参考数据：1.41，1.73） 【解答】解：过点 C 作 CDAB 于点 D，如图所示： 则CAD906030，CBD45，ADCD，BDCD， AD+BDAB， （+1）CD200km， CD100（1）km， 在 RtACD 中，AC200（1）km， 在 RtBCD 中，BC100（1） ， AC+BC200（1）+100（1）249（km） ， 24920049（km） ， 答：飞机的飞行路程比原来的路程远了约 49km 22 （10 分） 如图， 在平面直角坐标系中， 菱形 OABC 与菱形 ADEF 在第一象限，
32、且边 OA， AD 在 x 轴上 反 比例函数 y（x0）的图象经过边 OC 的中点 M 与边 AF 的中点 N，已知菱形 OABC 的边长为 4，且 AOC60 （1）求反比例函数的解析式； （2）求菱形 ADEF 的周长 【解答】解： （1）分别过点 M、N 作 x 轴的垂线，垂足分别为 H、G， 在 RtOMH 中，OM2，AOC60，则 OH1，MH， 故点 M 的坐标为（1，） ， 点 M 在反比例函数 y上， k1， 故反比例函数的表达式为 y； （2）设菱形 ADEF 的边长为 4a，则 ANAF2a， 四边形 OABC 为菱形， OCAB，则AOCNAG60， 在 RtNAG
33、中，AN2a，NAG60，则 AGa，NGa， 则点 N 的坐标为（4+a，a） ， 点 N 在反比例函数上，故 k（4+a） a， 解得 a2（负值已舍去） ， 则菱形 ADEF 的周长为 16a1632 六、 （每小题六、 （每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 23 （10 分）已知：BD 为O 的直径，点 A 为圆上一点，直线 BF 交 DA 的延长线于点 F，点 C 为O 上 一点，ABAC，连接 BC 交 AD 于点 E，连接 AC，且ABFABC （1）如图 1，求证：BF 是O 的切线 （2）如图 2，过点 C 作 CQAC，垂足为点 C，交O 于点 Q，过点 O 作 O
34、HCQ，垂足为点 H，若 OH6，O 的半径为 10求 BE 的长 【解答】解： （1）BD 是O 的直径， BAD90， ABD+ADB90， ABAC，ABFABC， ABFABCACB， 又ACBADB， ABFADB， ABF+ABD90，即FBD90， BF 是O 的切线； （2）连接 OC， OHCHCA90， ACOH， ACOCOH， OBOC， OBCOCB， ABC+CBOACB+OCB， 即ABDACO， ABDCOH， HBAD90， ABDHOC， 2， OH6，O 的半径为 10， AB2OH12，BD20， AD16， 在ABF 与ABE 中， ， ABFABE（
35、ASA） ， BFBE，AFAE， FBDBAD90， AB2AFAD， AF9， AEAF9， DE7，BE15 24 （10 分）某商店购进了一种新款小电器，为了制定合适的销售价格，进行了为期 4 周的试营销，试营销 的情况如下表所示： 第 1 周 第 2 周 第 3 周 第 4 周 售价/（元/台） 50 45 60 55 销售/台 360 390 300 330 已知该款小电器的进价每台 40 元，设该款小电器每台的售价为 x 元，每周的销售量为 y 台 （1）观察表中的数据，推断 y 与 x 满足什么函数关系，并求出这个函数关系式； （2）若想每周的销售利润为 6000 元，则其售价
36、应定为多少元？ （3）若每台小电器的售价不低于 45 元，但又不能高于进价的 1.5 倍，则如何定价才能使每周的销售利 润最大？ 【解答】解： （1）y 与 x 满足一次函数关系， 设 y 与 x 的函数关系式为 ykx+b， ， 解得：， 即这个函数关系式是 y6x+660； （2）由题意可得， （x40） （6x+660）6000， 解得，x160，x290， 答：若想每周的利润为 6000 元，则其售价应定为每台 60 元或每台 90 元； （3）设每周的销售利润为 w 元，定价为 x 元，由题意可得， w（x40） （6x+660）6（x75）2+7350， 45x401.5， 即 4
37、5x60， y6x+660， 60，对称轴为直线 x75， x75 时，y 随 x 的增大而增大， 当 x60 时，w 取得最大值， 答：定价为 60 元/台时，才能使每周的销售利润最大 七、 （七、 （12 分）分） 25 （12 分） （1）如图 1 所示，在等腰三角形 ABC 中，ABAC，分别以 AB 和 AC 为斜边，向ABC 的外 侧作等腰直角三角形，M 是 BC 的中点，连接 MD 和 ME则线段 MD，ME 之间的数量关系是 MD ME （2）如图 2 所示，在任意三角形 ABC 中，分别以 AB 和 AC 为斜边向ABC 的外侧作等腰直角三角形， M 是 BC 的中点，连接
38、MD 和 ME，探究 MD 与 ME 具有怎样的数量关系和位置关系？并说明理由 （3） 如图 3 所示， 在任意三角形 ABC 中， 分别以 AB 和 AC 为斜边， 向ABC 的内侧作等腰直角三角形， M 是 BC 的中点，连接 MD、ME、DE，若 MD2，请直接写出线段 DE 的长 【解答】解： （1）MDME ADB 和AEC 是等腰直角三角形， ABDDABACEEAC45，ADBAEC90 在ADB 和AEC 中， ， ADBAEC（AAS） ， BDCE，ADAE， M 是 BC 的中点， BMCM ABAC， ABCACB， ABC+ABDACB+ACE， 即DBMECM 在D
39、BM 和ECM 中， ， DBMECM（SAS） ， MDME 故答案为 MDME； （2）MDME，MDME 理由如下： 取 AB，AC 的中点 F，G，连接 DF，FM，MG，EG，设 AB 与 DM 交于点 H，如图 2， ADB 和AEC 都是等腰直角三角形， DFAEGA90，DFAFAB，EGAGAC 点 M 是 BC 的中点， FM 和 MG 都是ABC 的中位线， AFMG，AFDFMG， 四边形 AFMG 是平行四边形， FMAGGE，AFMAGM， DFMMGE 在DFM 和MGE 中， FMGE，DFMMGE，DFMG， DFMMGE（SAS） ， MDME，FDMGME
40、 BHM90+FDM90+GME，BHMHMGDME+GME， DME90，即 MDME； （3）线段 DE 的长为 2，理由如下： 分别取 AB，AC 的中点 F，G，连接 MF，DF，MG，EG，设 DF 和 MG 交于点 H，如图 3， ADB 和AEC 都是等腰直角三角形， DFAEGA90，DFAFAB，EGAGAC 点 M 是 BC 的中点， FM 和 MG 都是ABC 的中位线， AFMG，AFDFMG， 四边形 AFMG 是平行四边形， FMAGGE，AFMAGM， DFMMGE 在DFM 和MGE 中， FMGE，DFMMGE，DFMG， DFMMGE（SAS） MDME，F
41、DMGME DFAB 即FHM90 又FHMHMD+FDM， FHMHMD+GMEDME90， DME 是等腰直角三角形， 在 RtDME 中，MDME2， 由勾股定理，得 DE2 八、 （八、 （14 分）分） 26 （14 分）如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+3 交 x 轴于 A（1，0）和 B（5，0）两点， 交 y 轴于点 C，点 D 是线段 OB 上一动点，连接 CD，将线段 CD 绕点 D 顺时针旋转 90得到线段 DE， 过点 E 作直线 lx 轴于 H，交抛物线于点 M，过点 C 作 CFl 于 F （1）求抛物线解析式 （2）如图 2，当点 F 恰好在抛
42、物线上时（与点 M 重合） ， 求线段 EH 的长； 连接 DF，求 tanFDE 的值； 试探究在直线 l 上，是否存在点 G，使EDG45？若存在，请直接写出点 G 的坐标；若不存在， 请说明理由 【解答】解： （1）如图 1， 抛物线 yax2+bx+3 交 x 轴于 A（1，0）和 B（5，0）两点， ，解得， 抛物线解析式为 yx2+x+3； （2）如图 2， 点 F 恰好在抛物线上，C（0，3） ， F 的纵坐标为 3， 把 y3 代入 yx2+x+3 得，3x2+x+3； 解得 x0 或 x4， F（4，3） OH4， CDE90， ODC+EDH90， OCDEDH， 在OCD
43、 和HDE 中， ， OCDHDE（AAS） ， DHOC3，ODEH， OD431EH， 即 EH1； 如图 3，连接 CE，DF， OCDHDE， HEOD1， BFOC3， EF312， CDECFE90， C、D、E、F 四点共圆， ECFEDF， 在 RtCEF 中，CFOH4， tanECF， tanFDE； 存在，理由： 如图 4，连接 CE， CDDE，CDE90， CED45， 过 D 点作 DG1CE，交直线 l 于 G1，过 D 点作 DG2CE，交直线 l 于 G2，则EDG145，EDG2 45 EH1，OH4， E（4，1） ， C（0，3） ， 直线 CE 的解析式为 yx+3， 设直线 DG1的解析式为 yx+m， D（1，0） ， 01+m，解得 m， 直线 DG1的解析式为 yx+， 当 x4 时，yx+， G1（4，） ； 设直线 DG2的解析式为 y2x+n， D（1，0） ， 021+n，解得 n2， 直线 DG2的解析式为 y2x2， 当 x4 时，y2426， G2（4，6） ；
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