1、2021 年湖南省永州市中考数学试卷年湖南省永州市中考数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分，每个小题只有一个正确选项请将正确的选项填分，每个小题只有一个正确选项请将正确的选项填 涂到答题卡上）涂到答题卡上） 1|2021|的相反数为（ ） A2021 B2021 C D 2如图，在平面内将五角星绕其中心旋转 180后所得到的图案是（ ） A B C D 3据永州市 2020 年国民经济和社会发展统计公报，永州市全年全体居民人均可支配收入约为 24000 元， 比上年增长 6.5%，将“人均可支配收入”用科学记数法表示
2、为（ ） A24103 B2.4104 C2.4105 D0.24105 4已知一列数据：27，12，12，5，7，12，5该列数据的众数是（ ） A27 B12 C7 D5 5下列计算正确的是（ ） A （3）01 Btan30 C2 Da2a3a6 6在一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是（ ） A4 B5 C6 D7 7如图，在ABC 中，ABAC，分别以点 A，B 为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧相交于点 M 和 点 N，作直线 MN 分别交 BC、AB 于点 D 和点 E，若B50，则CAD 的度数是（ ） A30 B40 C50 D60 8中国传统数学重要著作九章算术中记
3、载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、 物价各几何？据此设计一类似问题：今有人组团购一物，如果每人出 9 元，则多了 4 元；如果每人出 6 元，则少了 5 元，问组团人数和物价各是多少？若设 x 人参与组团，物价为 y 元，则以下列出的方程组 正确的是（ ） A B C D 9小明计划到永州市体验民俗文化，想从“零陵渔鼓、瑶族长鼓舞、东安武术、舜帝祭典”四种民俗文化 中任意选择两项，则小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的概率为（ ） A B C D 10定义：若 10 xN，则 xlog10N，x 称为以 10 为底的 N 的对数，简记为 lgN，其满足运算法则：lgM+l
4、gN lg（MN） （M0，N0） 例如：因为 102100，所以 2lg100，亦即 lg1002；lg4+lg3lg12根 据上述定义和运算法则，计算（lg2）2+lg2lg5+lg5 的结果为（ ） A5 B2 C1 D0 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 32 分，请将答案填在答题卡的答案栏内）分，请将答案填在答题卡的答案栏内） 11在 0，0.101001，中无理数的个数是 个 12已知二次根式有意义，则 x 的取值范围是 13请写出一个图象在第二、四象限的反比例函数的表达式： 14某初级中学坚持开展阳光体育活动，七年级至九
5、年级每学期均进行体育技能测试其中 A 班甲、乙两 位同学 6 个学期的投篮技能测试成绩（投篮命中个数）折线图如图所示为参加学校举行的毕业篮球友 谊赛，A 班需从甲、乙两位同学中选 1 人进入班球队，从两人成绩的稳定性考虑，请你决策 A 班应该选 择的同学是 15某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为 60，底面半径为 6 的圆锥模型（如图所示） ，则此圆 锥的母线长为 16如图，A，B 两点的坐标分别为 A（4，3） ，B（0，3） ，在 x 轴上找一点 P，使线段 PA+PB 的值最小， 则点 P 的坐标是 17已知函数 y，若 y2，则 x 18若 x，y 均为实数，43x2021，4
6、7y2021，则： （1）43xy47xy（ ）x+y； （2）+ 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，满分小题，满分 78 分）分） 19 （8 分）先化简，再求值： （x+1）2+（2+x） （2x） ，其中 x1 20 （8 分）若 x1，x2是关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0 的两个根，则 x1+x2，x1x2现已知 一元二次方程 px2+2x+q0 的两根分别为 m，n （1）若 m2，n4，求 p，q 的值； （2）若 p3，q1，求 m+mn+n 的值 21 （8 分）为庆祝中国共产党成立 100 周年，某校组织全校学生进行了一场党史知识竞赛活动根据竞赛结 果，抽
7、取了 200 名学生的成绩（得分均为正整数，满分为 100 分，大于 80 分的为优秀）进行统计，绘制 了如图所示尚不完整的统计图表 200 名学生党史知识竞赛成绩的频数表 组别 频数 频率 A 组（60.570.5） a 0.3 B 组（70.580.5） 30 0.15 C 组（80.590.5） 50 b D 组（90.5100.5） 60 0.3 请结合图表解决下列问题： （1）频数表中，a ，b ； （2）请将频数分布直方图补充完整； （3）抽取的 200 名学生中竞赛成绩的中位数落在的组别是 组； （4）若该校共有 1000 名学生，请估计本次党史知识竞赛成绩为“优秀”的学生人数
8、22 （10 分）如图，已知点 A，D，C，B 在同一条直线上，ADBC，AEBF，AEBF （1）求证：AECBFD （2）判断四边形 DECF 的形状，并证明 23 （10 分）永州市某村经济合作社在乡村振兴工作队的指导下，根据市场需求，计划在 2022 年将 30 亩土 地全部用于种植 A、B 两种经济作物预计 B 种经济作物亩产值比 A 种经济作物亩产值多 2 万元，为实 现 2022 年 A 种经济作物年总产值 20 万元，B 种经济作物年总产值 30 万元的目标，问：2022 年 A、B 两 种经济作物应各种植多少亩？ 24 （10 分）已知锐角ABC 中，角 A、B、C 的对边分
9、别为 a、b、c，边角总满足关系式： （1）如图 1，若 a6，B45，C75，求 b 的值； （2） 某公园准备在园内一个锐角三角形水池 ABC 中建一座小型景观桥 CD （如图 2 所示） ， 若 CDAB， AC14 米，AB10 米，sinACB，求景观桥 CD 的长度 25 （12 分）如图 1，AB 是O 的直径，点 E 是O 上一动点，且不与 A，B 两点重合，EAB 的平分线交 O 于点 C，过点 C 作 CDAE，交 AE 的延长线于点 D （1）求证：CD 是O 的切线； （2）求证：AC22ADAO； （3）如图 2，原有条件不变，连接 BE，BC，延长 AB 至点 M，
10、EBM 的平分线交 AC 的延长线于点 P， CAB 的平分线交CBM 的平分线于点 Q求证：无论点 E 如何运动，总有PQ 26 （12 分）已知关于 x 的二次函数 y1x2+bx+c（实数 b，c 为常数） （1）若二次函数的图象经过点（0，4） ，对称轴为 x1，求此二次函数的表达式； （2）若 b2c0，当 b3xb 时，二次函数的最小值为 21，求 b 的值； （3）记关于 x 的二次函数 y22x2+x+m，若在（1）的条件下，当 0 x1 时，总有 y2y1，求实数 m 的最小值 2021 年湖南省永州市中考数学试卷年湖南省永州市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解
11、析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分，每个小题只有一个正确选项请将正确的选项填分，每个小题只有一个正确选项请将正确的选项填 涂到答题卡上）涂到答题卡上） 1|2021|的相反数为（ ） A2021 B2021 C D 【分析】根据绝对值的定义、相反数的定义解题即可 【解答】解：|2021|2021， 2021 的相反数为 2021 故选：B 2如图，在平面内将五角星绕其中心旋转 180后所得到的图案是（ ） A B C D 【分析】根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，找到关键点，分析选项 可得答案
12、 【解答】解：根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，五角星图案绕中心 旋转 180后，阴影部分的等腰三角形的顶点向下，得到的图案是 C 故选：C 3据永州市 2020 年国民经济和社会发展统计公报，永州市全年全体居民人均可支配收入约为 24000 元， 比上年增长 6.5%，将“人均可支配收入”用科学记数法表示为（ ） A24103 B2.4104 C2.4105 D0.24105 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1
13、0 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：240002.4104 故选：B 4已知一列数据：27，12，12，5，7，12，5该列数据的众数是（ ） A27 B12 C7 D5 【分析】根据众数的意义求解即可 【解答】解：这组数据中出现次数最多的是 12，共出现 3 次，因此众数是 12， 故选：B 5下列计算正确的是（ ） A （3）01 Btan30 C2 Da2a3a6 【分析】根据零次幂，特殊锐角三角函数值，平方根以及同底数幂乘法逐项进行计算即可 【解答】解：A因为 30，所以（3）01，因此选项 A 符合题意； Btan30，因此选项 B 不符合题意； C.2
14、，因此选项 C 不符合题意； Da2a3a2+3a5，因此选项 D 不符合题意； 故选：A 6在一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是（ ） A4 B5 C6 D7 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，求出不等式组的整数解，即可得出答案 【解答】解： 解不等式得：x0.5， 解不等式得：x5， 不等式组的解集为0.5x5， 不等式组的整数解为 0，1，2，3，4，5，共 6 个， 故选：C 7如图，在ABC 中，ABAC，分别以点 A，B 为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧相交于点 M 和 点 N，作直线 MN 分别交 BC、AB 于点 D 和点 E，若B50，则CAD
15、 的度数是（ ） A30 B40 C50 D60 【分析】利用基本作图可判断 MN 垂直平分 AB，则 DADB，所以DABB50，再利用等腰三 角形的性质和三角形内角和计算出BAC，然后计算BACDAB 即可 【解答】解：由作法得 MN 垂直平分 AB， DADB， DABB50， ABAC， CB50， BAC180BC180505080， CADBACDAB805030 故选：A 8中国传统数学重要著作九章算术中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、 物价各几何？据此设计一类似问题：今有人组团购一物，如果每人出 9 元，则多了 4 元；如果每人出 6 元，则少了 5 元
16、，问组团人数和物价各是多少？若设 x 人参与组团，物价为 y 元，则以下列出的方程组 正确的是（ ） A B C D 【分析】根据如果每人出 9 元，则多了 4 元；如果每人出 6 元，则少了 5 元，可以列出相应的方程组， 从而可以解答本题 【解答】解：由题意可得， ， 故选：A 9小明计划到永州市体验民俗文化，想从“零陵渔鼓、瑶族长鼓舞、东安武术、舜帝祭典”四种民俗文化 中任意选择两项，则小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的概率为（ ） A B C D 【分析】画树状图，共有 12 种等可能的结果，小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的结果有 2 种， 再由概率公式求解即可 【解答】解：
17、把“零陵渔鼓、瑶族长鼓舞、东安武术、舜帝祭典”四种民俗文化分别记为：A、B、C、 D， 画树状图如图： 共有 12 种等可能的结果，小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的结果有 2 种， 小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的概率为， 故选：D 10定义：若 10 xN，则 xlog10N，x 称为以 10 为底的 N 的对数，简记为 lgN，其满足运算法则：lgM+lgN lg（MN） （M0，N0） 例如：因为 102100，所以 2lg100，亦即 lg1002；lg4+lg3lg12根 据上述定义和运算法则，计算（lg2）2+lg2lg5+lg5 的结果为（ ） A5 B2 C1 D0
18、 【分析】根据题意，按照题目的运算法则计算即可 【解答】解： （lg2）2+lg2lg5+lg5 lg2（lg2+lg5）+lg5 lg2+lg5 1g10 1 故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 32 分，请将答案填在答题卡的答案栏内）分，请将答案填在答题卡的答案栏内） 11在 0，0.101001，中无理数的个数是 1 个 【分析】无理数就是无限不循环小数理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整 数与分数的统称即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数 【解答】解：0，是整数，属于有理数；
19、是分数，属于有理数； 0.101001 是有限小数，属于有理数； 无理数有 ，共 1 个 故答案为：1 12已知二次根式有意义，则 x 的取值范围是 x3 【分析】二次根式有意义，被开方数为非负数，列不等式求解 【解答】解：根据二次根式的意义，得 x+30， 解得 x3 故答案为：x3 13请写出一个图象在第二、四象限的反比例函数的表达式： y 【分析】根据反比例函数的性质可得 k0，写一个 k0 的反比例函数即可 【解答】解：图象在第二、四象限， y， 故答案为：y 14某初级中学坚持开展阳光体育活动，七年级至九年级每学期均进行体育技能测试其中 A 班甲、乙两 位同学 6 个学期的投篮技能测
20、试成绩（投篮命中个数）折线图如图所示为参加学校举行的毕业篮球友 谊赛，A 班需从甲、乙两位同学中选 1 人进入班球队，从两人成绩的稳定性考虑，请你决策 A 班应该选 择的同学是 甲 【分析】根据折线统计图中甲、乙成绩的起伏情况判断即可得解 【解答】解：根据折线统计图可得， 甲的投篮技能测试成绩起伏小，比较平稳，乙的投篮技能测试成绩起伏大，不稳定， 因此 A 班应该选择的同学是甲 故答案为：甲 15某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为 60，底面半径为 6 的圆锥模型（如图所示） ，则此圆 锥的母线长为 10 【分析】设此圆锥的母线长为 l，利用扇形的面积公式得到26l60，然后解方程即可
21、 【解答】解：设此圆锥的母线长为 l， 根据题意得26l60，解得 l10， 所以此圆锥的母线长为 10 故答案为 10 16如图，A，B 两点的坐标分别为 A（4，3） ，B（0，3） ，在 x 轴上找一点 P，使线段 PA+PB 的值最小， 则点 P 的坐标是 （2，0） 【分析】连接 AB 交 x 轴于点 P，求出直线 AB 的解析式与 x 轴交点坐标即可 【解答】解：如图，连接 AB 交 x 轴于点 P， 根据两点之间，线段最短可知：P即为所求， 设直线 AB 的关系式为：ykx+b， ， 解得， y， 当 y0 时，x2， P（2，0） ， 故答案为： （2，0） 17已知函数 y，
22、若 y2，则 x 2 【分析】根据题意，进行分类解答，即可求值 【解答】解：y2 当 x22 时，x 0 x1 x（舍去） 当 2x22 时，x2 故答案为：2 18若 x，y 均为实数，43x2021，47y2021，则： （1）43xy47xy（ 2021 ）x+y； （2）+ 1 【分析】 （1）将 43xy47xy化成（43x）y （47y）x代入数值即可计算； （2）由（1）知 43xy47xy2021 （x+y） ，43xy47xy（4347）xy2021xy，得出 xyx+y 即可求 【解答】解： （1）43xy47xy（43x）y （47y）x2021y2021x2021x+y
23、， 故答案为：2021； （2）由（1）知，43xy47xy2021 （x+y） ， 43xy47xy（4347）xy2021xy， xyx+y， +1， 故答案为：1 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，满分小题，满分 78 分）分） 19 （8 分）先化简，再求值： （x+1）2+（2+x） （2x） ，其中 x1 【分析】先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可 【解答】解： （x+1）2+（2+x） （2x） x2+2x+1+4x2 2x+5， 当 x1 时，原式2+57 20 （8 分）若 x1，x2是关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0
24、 的两个根，则 x1+x2，x1x2现已知 一元二次方程 px2+2x+q0 的两根分别为 m，n （1）若 m2，n4，求 p，q 的值； （2）若 p3，q1，求 m+mn+n 的值 【分析】 （1）利用根与系数的关系得到 24，2（4），然后分别解方程求出 p 与 q 的值； （2）利用根与系数的关系得到 m+n，mn，然后利用整体代入的方法计算 【解答】解： （1）根据题意得 24，2（4）， 所以 p1，q8； （2）根据 m+n，mn， 所以 m+mn+nm+n+mn1 21 （8 分）为庆祝中国共产党成立 100 周年，某校组织全校学生进行了一场党史知识竞赛活动根据竞赛结 果，抽
25、取了 200 名学生的成绩（得分均为正整数，满分为 100 分，大于 80 分的为优秀）进行统计，绘制 了如图所示尚不完整的统计图表 200 名学生党史知识竞赛成绩的频数表 组别 频数 频率 A 组（60.570.5） a 0.3 B 组（70.580.5） 30 0.15 C 组（80.590.5） 50 b D 组（90.5100.5） 60 0.3 请结合图表解决下列问题： （1）频数表中，a 60 ，b 0.25 ； （2）请将频数分布直方图补充完整； （3）抽取的 200 名学生中竞赛成绩的中位数落在的组别是 C 组； （4）若该校共有 1000 名学生，请估计本次党史知识竞赛成绩为
26、“优秀”的学生人数 【分析】 （1）根据频数分布表中的数据，可以计算出 a、b、c 的值； （2）根据（1）中 a、b 的值，可以将频数分布直方图补充完整； （3）根据频数分布表中的数据，可以计算出本次党史知识竞赛成绩超过 80 分的学生人数 【解答】解： （1）300.15200， a2000.360， b502000.25， 故答案为：60，0.25； （2）由（1）知，a60， 如图，即为补全的频数分布直方图； （3）抽取的 200 名学生中竞赛成绩的中位数落在的组别是 C 组； 故答案为：C； （4）1000（0.25+0.3）10000.55550（人） ， 即本次党史知识竞赛成绩为
27、“优秀”的学生人数有 550 人 22 （10 分）如图，已知点 A，D，C，B 在同一条直线上，ADBC，AEBF，AEBF （1）求证：AECBFD （2）判断四边形 DECF 的形状，并证明 【分析】 （1）根据已知条件得到 ACBD，根据平行线的判定定理得到AB，由全等三角形的判定 定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到ACEBDF，CEDF， 由平行线的判定定理得到 CEDF，根据 平行四边形的判定定理即可得到结论 【解答】 （1）证明：ADBC， AD+DCBC+DC， ACBD， AEBF， AB， 在AEC 和BFD 中， ， AECBFD（SAS） （2）四边形
28、DECF 是平行四边形， 证明：AECBFD， ACEBDF，CEDF， CEDF， 四边形 DECF 是平行四边形 23 （10 分）永州市某村经济合作社在乡村振兴工作队的指导下，根据市场需求，计划在 2022 年将 30 亩土 地全部用于种植 A、B 两种经济作物预计 B 种经济作物亩产值比 A 种经济作物亩产值多 2 万元，为实 现 2022 年 A 种经济作物年总产值 20 万元，B 种经济作物年总产值 30 万元的目标，问：2022 年 A、B 两 种经济作物应各种植多少亩？ 【分析】设 2022 年 A 种经济作物应种植 x 亩，则 B 种经济作物应种植（30 x）亩，根据“预计
29、B 种经 济作物亩产值比 A 种经济作物亩产值多 2 万元”列出方程并解答 【解答】解：设 2022 年 A 种经济作物应种植 x 亩，则 B 种经济作物应种植（30 x）亩， 根据题意，得+2 解得 x20 或 x15（舍去） 经检验 x20 是原方程的解，且符合题意 所以 30 x10 答：2022 年 A 种经济作物应种植 20 亩，则 B 种经济作物应种植 10 亩 24 （10 分）已知锐角ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，边角总满足关系式： （1）如图 1，若 a6，B45，C75，求 b 的值； （2） 某公园准备在园内一个锐角三角形水池 ABC 中建一座小型
30、景观桥 CD （如图 2 所示） ， 若 CDAB， AC14 米，AB10 米，sinACB，求景观桥 CD 的长度 【分析】 （1）由边角关系式可求解； （2）由边角关系式可求B60，在 RtACD 中，利用勾股定理可求 CD 的长 【解答】解：B45，C75， A60， ， ， b2； （2）， ， sinB， B60， tanB， BDCD， AC2CD2+AD2， 196CD2+（10CD）2， CD8，CD3（舍去） ， CD 的长度为 8米 25 （12 分）如图 1，AB 是O 的直径，点 E 是O 上一动点，且不与 A，B 两点重合，EAB 的平分线交 O 于点 C，过点 C
31、 作 CDAE，交 AE 的延长线于点 D （1）求证：CD 是O 的切线； （2）求证：AC22ADAO； （3）如图 2，原有条件不变，连接 BE，BC，延长 AB 至点 M，EBM 的平分线交 AC 的延长线于点 P， CAB 的平分线交CBM 的平分线于点 Q求证：无论点 E 如何运动，总有PQ 【分析】 （1）连接 OC，由角平分线的定义、等腰三角形性质、三角形外角性质和切线的定义证明； （2）由CDABCA，得证 AC22ADAO； （3）由外角性质、直径所对的圆周角是直角和角平分线定义证明 【解答】证明： （1）连接 OC， OAOC， OACOCA， BOC2OAC， AC 平
32、分BAE， BAE2OAC， BAEBOC， COAD， D90， DCO90， OCCD， CD 是O 的切线 （2）AC 平分BAE， BACCAD， AB 是O 的直径， BCA90， D90， DBCA， BACCAD， ， AC2ABAD， AB2AO， AC22ADAO （3）CAB、CBM 的角平分线交于点 Q， QAMCAB，QBMCBM， Q 是QAB 的一个外角，CBM 是ABC 的一个外角， QQBMQAM（CBMCAM） ，ACBCBMCAM， QACB， ACB90， Q45， 同理可证：P45， PQ 26 （12 分）已知关于 x 的二次函数 y1x2+bx+c（
33、实数 b，c 为常数） （1）若二次函数的图象经过点（0，4） ，对称轴为 x1，求此二次函数的表达式； （2）若 b2c0，当 b3xb 时，二次函数的最小值为 21，求 b 的值； （3）记关于 x 的二次函数 y22x2+x+m，若在（1）的条件下，当 0 x1 时，总有 y2y1，求实数 m 的最小值 【分析】 （1）由待定系数法，及对称轴为直线 x，可求出二次函数的表达式； （2）需要分三种情况：b；b3；b3b 分别进行讨论； （3）根据二次函数图象的增减性可得结论 【解答】解： （1）二次函数的图象经过点（0，4） ， c4； 对称轴为直线：x1， b2， 此二次函数的表达式为：
34、y1x22x+4 （2）当 b2c0 时，b2c，此时函数的表达式为：y1x2+bx+b2， 根据题意可知，需要分三种情况： 当 b，即 b0 时，二次函数的最小值在 xb 处取到； b2+b2+b221，解得 b，b舍去； b3，即 b2 时，二次函数的最小值在 xb3 处取到； （b3）2+b（b3）+b221，解得 b4，b1（舍去） ； b3b，即 0b2 时，二次函数的最小值在 x处取到； （）2+b （）+b221，解得 b2（舍去） 综上，b 的取值为或 4 （3）由（1）知，二次函数的表达式为：y1x22x+4， 对称轴为直线：x1， 10， 当 0 x1 时，y 随 x 的增大而减小，且最大值为 4； 二次函数 y22x2+x+m 的对称轴为直线：x，且 20， 当 0 x1 时，y 随 x 的增大而增大，且最小值为 m， 当 0 x1 时，总有 y2y1， m4，即 m 的最小值为 4
浙公网安备33030202001339号