1、2021 年内蒙古乌兰察布市中考数学试卷年内蒙古乌兰察布市中考数学试卷 一、选择题：本大题共有一、选择题：本大题共有 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分分.每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题 目的答案标号涂黑。目的答案标号涂黑。 1据交通运输部报道，截至 2020 年底，全国共有城市新能源公交车 46.61 万辆，位居全球第一，将 46.61 万用科学记数法表示为 4.66110n，则 n 等于（ ） A6 B5 C4 D3 2下列运算结果中，绝对值最大的是（ ） A1+（4） B （1）4 C （5） 1 D 3 已知
2、线段 AB4， 在直线 AB 上作线段 BC， 使得 BC2， 若 D 是线段 AC 的中点， 则线段 AD 的长为 （ ） A1 B3 C1 或 3 D2 或 3 4柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出 2 只，那么取出的鞋是同一双的概率为（ ） A B C D 5如图，在 RtABC 中，ACB90，AB，BC2，以点 A 为圆心，AC 的长为半径画弧，交 AB 于点 D，交 AC 于点 C，以点 B 为圆心，AC 的长为半径画弧，交 AB 于点 E，交 BC 于点 F，则图中阴影 部分的面积为（ ） A8 B4 C2 D1 6若 x+1，则代数式 x22x+2 的值为（ ） A7 B
3、4 C3 D32 7 定义新运算 “” ， 规定： aba2b 若关于 x 的不等式 xm3 的解集为 x1， 则 m 的值是 （ ） A1 B2 C1 D2 8如图，直线 l1l2，直线 l3交 l1于点 A，交 l2于点 B，过点 B 的直线 l4交 l1于点 C若350，1+ 2+3240，则4 等于（ ） A80 B70 C60 D50 9下列命题正确的是（ ） A在函数 y中，当 x0 时，y 随 x 的增大而减小 B若 a0，则 1+a1a C垂直于半径的直线是圆的切线 D各边相等的圆内接四边形是正方形 10已知二次函数 yax2bx+c（a0）的图象经过第一象限的点（1，b） ，
4、则一次函数 ybxac 的图 象不经过（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 11如图，在ABC 中，ABAC，DBC 和ABC 关于直线 BC 对称，连接 AD，与 BC 相交于点 O，过 点 C 作 CECD，垂足为 C，AD 相交于点 E，若 AD8，BC6，则的值为（ ） A B C D 12如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的 OA 边在 x 轴的正半轴上，OC 边在 y 轴的正半轴上，点 B 的坐标为（4，2） ，反比例函数 y（x0）的图象与 BC 交于点 D，与对角线 OB 交于点 E，与 AB 交 于点 F，连接 OD，DE，EF，DF下列结论： si
5、nDOCcosBOC；OEBE；SDOESBEF；OD：DF2：3 其中正确的结论有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 二、填空题：本大题共有二、填空题：本大题共有 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分分.请把答案填在答题卡上对应的横线上。请把答案填在答题卡上对应的横线上。 13因式分解：+ax+a 14化简： 15一个正数 a 的两个平方根是 2b1 和 b+4，则 a+b 的立方根为 16 某人 5 次射击命中的环数分别为 5， 10， 7， x， 10 若这组数据的中位数为 8， 则这组数据的方差为 17如图，在 RtABC 中，ACB90，过点 B 作
6、BDCB，垂足为 B，且 BD3，连接 CD，与 AB 相 交于点 M，过点 M 作 MNCB，垂足为 N若 AC2，则 MN 的长为 18 如图， 在ABCD 中， AD12， 以 AD 为直径的O 与 BC 相切于点 E， 连接 OC 若 OCAB， 则ABCD 的周长为 19 如图， BD 是正方形 ABCD 的一条对角线， E 是 BD 上一点， F 是 CB 延长线上一点， 连接 CE， EF， AF 若 DEDC，EFEC，则BAF 的度数为 20已知抛物线 yx22x3 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧）与 y 轴交于点 C，点 D（4，y） 在抛物线上，E
7、 是该抛物线对称轴上一动点，当 BE+DE 的值最小时，ACE 的面积为 三、解答题：本大题共有三、解答题：本大题共有 6 小题，共小题，共 60 分。请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应分。请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应 位置。位置。 21 （8 分）为了庆祝中国共产党建党 100 周年，某校开展了学党史知识竞赛参加知识竞赛的学生分为甲 乙两组，每组学生均为 20 名，赛后根据竞赛成绩得到尚不完整的统计图表（如图） ，已知竞赛成绩满分 为 100 分，统计表中 a，b 满足 b2a请根据所给信息，解答下列问题： 甲组 20 名学生竞赛成绩统计表 成绩
8、（分） 70 80 90 100 人数 3 a b 5 （1）求统计表中 a，b 的值； （2）小明按以下方法计算甲组 20 名学生竞赛成绩的平均分是： （70+80+90+100）485（分） 根据 所学统计知识判断小明的计算是否正确，若不正确，请写出正确的算式并计算出结果； （3）如果依据平均成绩确定竞赛结果，那么竞赛成绩较好的是哪个组？请说明理由 22 （8 分）某工程队准备从 A 到 B 修建一条隧道，测量员在直线 AB 的同一侧选定 C，D 两个观测点，如 图测得 AC 长为km，CD 长为（+）km，BD 长为km，ACD60，CDB135 （A、B、C、D 在同一水平面内） （1
9、）求 A、D 两点之间的距离； （2）求隧道 AB 的长度 23 （10 分）小刚家到学校的距离是 1800 米某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离上课 还有 20 分钟，于是他立即按原路跑步回家，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校已知小刚骑自行车 时间比跑步时间少用了 4.5 分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的 1.6 倍 （1）求小刚跑步的平均速度； （2）如果小刚在家取作业本和取自行车共用了 3 分钟，他能否在上课前赶回学校？请说明理由 24 （10 分）如图，在锐角三角形 ABC 中，AD 是 BC 边上的高，以 AD 为直径的O 交 AB 于点 E，交 AC 于
10、点 F，过点 F 作 FGAB，垂足为 H，交于点 G，交 AD 于点 M，连接 AG，DE，DF （1）求证：GAD+EDF180； （2）若ACB45，AD4，tanABC2，求 HF 的长 25 （12 分）如图，已知ABC 是等边三角形，P 是ABC 内部的一点，连接 BP，CP （1）如图 1，以 BC 为直径的半圆 O 交 AB 于点 Q，交 AC 于点 R，当点 P 在上时，连接 AP，在 BC 边的下方作BCDBAP，CDAP，连接 DP，求CPD 的度数； （2）如图 2，E 是 BC 边上一点，且 EC3BE，当 BPCP 时，连接 EP 并延长，交 AC 于点 F，若AB
11、 4BP，求证：4EF3AB； （3）如图 3，M 是 AC 边上一点，当 AM2MC 时，连接 MP若CMP150，AB6a，MPa， ABC 的面积为 S1，BCP 的面积为 S2，求 S1S2的值（用含 a 的代数式表示） 26 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+4x 经过坐标原点，与 x 轴正半轴交于点 A，点 M （m，n）是抛物线上一动点 （1）如图 1，当 m0，n0，且 n3m 时， 求点 M 的坐标； 若点 B（，y）在该抛物线上，连接 OM，BM，C 是线段 BM 上一动点（点 C 与点 M，B 不重合） ， 过点 C 作 CDMO，交 x 轴于点 D，
12、线段 OD 与 MC 是否相等？请说明理由； （2）如图 2，该抛物线的对称轴交 x 轴于点 K，点 E（x，）在对称轴上，当 m2，n0，且直线 EM 交 x 轴的负半轴于点 F 时，过点 A 作 x 轴的垂线，交直线 EM 于点 N，G 为 y 轴上一点，点 G 的坐标为 （0，） ，连接 GF若 EF+NF2MF，求证：射线 FE 平分AFG 2021 年内蒙古乌兰察布市中考数学试卷年内蒙古乌兰察布市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共有一、选择题：本大题共有 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分分.每小题只有一个正确选项，请将答
13、题卡上对应题每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题 目的答案标号涂黑。目的答案标号涂黑。 1据交通运输部报道，截至 2020 年底，全国共有城市新能源公交车 46.61 万辆，位居全球第一，将 46.61 万用科学记数法表示为 4.66110n，则 n 等于（ ） A6 B5 C4 D3 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正整数 【解答】解：因为 46.61 万4661004.661105， 所以将 46.61 万用科学记
14、数法表示为 4.66110n，则 n 等于 5 故选：B 2下列运算结果中，绝对值最大的是（ ） A1+（4） B （1）4 C （5） 1 D 【分析】先计算各个选项，再求计算结果绝对值，最后比较大小得出答案 【解答】解：因为|1+（4）|3|3，|（1）4|1|1，|（5） 1| |，|2|2， 且123， 所以绝对值最大的是选项 A 故选：A 3 已知线段 AB4， 在直线 AB 上作线段 BC， 使得 BC2， 若 D 是线段 AC 的中点， 则线段 AD 的长为 （ ） A1 B3 C1 或 3 D2 或 3 【分析】根据题意可分为两种情况，点 C 在线段 AB 上，可计算出 AC
15、的长，再由 D 是线段 AC 的中 点，即可得出答案；BC 在线段 AB 的延长线上，可计算出 AC 的长，再由 D 是线段 AC 的中点，即可 得出答案 【解答】解：根据题意分两种情况， 如图 1， AB4，BC2， ACABBC2， D 是线段 AC 的中点， AD； 如图 2， AB4，BC2， ACAB+BC6， D 是线段 AC 的中点， AD63 线段 AD 的长为 1 或 3 故选：C 4柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出 2 只，那么取出的鞋是同一双的概率为（ ） A B C D 【分析】两双不同的鞋用 A、a、B、b 表示，其中 A、a 表示同一双鞋，B、b 表示同一双
16、鞋，画树状图 展示所有 12 种等可能的结果，找出取出的鞋是同一双的结果数，然后根据概率公式求解 【解答】解：两双不同的鞋用 A、a、B、b 表示，其中 A、a 表示同一双鞋，B、b 表示同一双鞋， 画树状图为： 共有 12 种等可能的结果，其中取出的鞋是同一双的结果数为 4， 所以取出的鞋是同一双的概率 故选：A 5如图，在 RtABC 中，ACB90，AB，BC2，以点 A 为圆心，AC 的长为半径画弧，交 AB 于点 D，交 AC 于点 C，以点 B 为圆心，AC 的长为半径画弧，交 AB 于点 E，交 BC 于点 F，则图中阴影 部分的面积为（ ） A8 B4 C2 D1 【分析】先根
17、据直角三角形中的勾股定理求得 AC1，再将求不规则的阴影部分面积转化为求规则图形 的面积：S阴影部分SABC（S扇形EBF+S扇形DAC） ，将相关量代入求解即可 【解答】解：根据题意可知 AC1，则 BEBEADAC1， 设Bn，Am， ACB90， B+A90，即 n+m90， S阴影部分SABC（S扇形EBF+S扇形DAC）（）11 ， 故选：D 6若 x+1，则代数式 x22x+2 的值为（ ） A7 B4 C3 D32 【分析】利用条件得到 x1，两边平方得 x22x1，然后利用整体代入的方法计算 【解答】解：x+1， x1， （x1）22，即 x22x+12， x22x1， x22
18、x+21+23 故选：C 7 定义新运算 “” ， 规定： aba2b 若关于 x 的不等式 xm3 的解集为 x1， 则 m 的值是 （ ） A1 B2 C1 D2 【分析】根据定义新运算的法则得出不等式，解不等式；根据解集列方程即可 【解答】解aba2b， xmx2m xm3， x2m3， x2m+3 关于 x 的不等式 xm3 的解集为 x1， 2m+31， m2 故选：B 8如图，直线 l1l2，直线 l3交 l1于点 A，交 l2于点 B，过点 B 的直线 l4交 l1于点 C若350，1+ 2+3240，则4 等于（ ） A80 B70 C60 D50 【分析】由题意得，260，由
19、平角的定义可得570，再根据平行线的性质即可求解 【解答】解：如图， l1l2， 1+3180， 1+2+3240， 2240（1+3）60， 3+2+5180，350， 51802370， l1l2， 4570， 故选：B 9下列命题正确的是（ ） A在函数 y中，当 x0 时，y 随 x 的增大而减小 B若 a0，则 1+a1a C垂直于半径的直线是圆的切线 D各边相等的圆内接四边形是正方形 【分析】 利用反比例函数的性质、 不等式的性质、 圆的切线的判定定理及正方形的判定方法分别判断后， 即可确定正确的选项 【解答】解：A、在函数 y中 k0，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，故原
20、命题错误，不 符合题意； B、若 a0，则 1+a1a，故原命题错误，不符合题意； C、垂直于半径且经过半径的外端的直线是圆的切线，故原命题错误，不符合题意； D、各边相等的圆内接四边形是正方形，正确，是真命题，符合题意， 故选：D 10已知二次函数 yax2bx+c（a0）的图象经过第一象限的点（1，b） ，则一次函数 ybxac 的图 象不经过（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】根据二次函数 yax2bx+c（a0）的图象经过第一象限的点（1，b） ，可以判断 b0 和 ac 异号再根据一次函数的性质即可求解 【解答】解：点（1，b）在第一象限 b0 b0 二次
21、函数 yax2bx+c（a0）的图象经过第一象限的点（1，b） bab+c a+c0 a0 ac0 一次函数 ybxac 的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限 故选：C 11如图，在ABC 中，ABAC，DBC 和ABC 关于直线 BC 对称，连接 AD，与 BC 相交于点 O，过 点 C 作 CECD，垂足为 C，AD 相交于点 E，若 AD8，BC6，则的值为（ ） A B C D 【分析】由轴对称的性质可得 ACCD，ABBD，可证四边形 ABDC 是菱形，由菱形的性质可得 AD BC，AODO4，BOCO3，ACODCO，在 RtBOD 中，利用勾股定理可求 BD 的长，由锐 角三
22、角函数可求 EO，AE 的长，即可求解 【解答】解：DBC 和ABC 关于直线 BC 对称， ACCD，ABBD， ABAC， ACCDABBD， 四边形 ABDC 是菱形， ADBC，AODO4，BOCO3，ACODCO， BD5， CECD， DCO+ECO90CAO+ACO， CAOECO， tanECO， ， EO， AE， ， 故选：D 12如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的 OA 边在 x 轴的正半轴上，OC 边在 y 轴的正半轴上，点 B 的坐标为（4，2） ，反比例函数 y（x0）的图象与 BC 交于点 D，与对角线 OB 交于点 E，与 AB 交 于点 F，连接 O
23、D，DE，EF，DF下列结论： sinDOCcosBOC；OEBE；SDOESBEF；OD：DF2：3 其中正确的结论有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【分析】根据矩形的性质计算 CD，OD 和 BC 的长，利用三角函数定义可作判断； 利用待定系数法可得 OB 的解析式，列方程组可得交点 E 的坐标，根据中点坐标的性质可知：E 是 OB 的中点，可作判断； 根据三角形面积公式计算BEF 和DOE 的面积，可作判断； 根据勾股定理计算 OD 和 DF 的长，相比可作判断 【解答】解：矩形 OABC 中， B（4，2） ， OA4，OC2， 由勾股定理得：OB2， 当 y2 时，2
24、， x1， D（1，2） ， CD1， 由勾股定理得：OD， sinDOC， cosBOC， sinDOCcosBOC， 故正确； 设 OB 的解析式为：ykx（k0） ， 把（4，2）代入得：4k2， k， yx， 当x时，x2， E（2，1） ， E 是 OB 的中点， OEBE， 故正确； 当 x4 时，y， F（4，） ， BF2， SBEF（42）， SDOE 41 ， SDOESBEF， 故正确； 由勾股定理得：DF， OD， ， 即 OD：DF2：3 故正确； 其中正确的结论有，共 4 个 故选：A 二、填空题：本大题共有二、填空题：本大题共有 8 小题，每小题小题，每小题 3
25、分，共分，共 24 分分.请把答案填在答题卡上对应的横线上。请把答案填在答题卡上对应的横线上。 13因式分解：+ax+a a（x+2）2 【分析】先提公因式a，再利用完全平方公式进行因式分解即可 【解答】解：原式a（x2+4x+4）a（x+2）2， 故答案为：a（x+2）2 14化简： 1 【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可 【解答】解：原式 （m+2） 1 故答案为 1 15一个正数 a 的两个平方根是 2b1 和 b+4，则 a+b 的立方根为 2 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程，求解即可得出 b 的值，再求得两个平方根中 的一个，然后平方可
26、得 a 的值；将 a、b 的值代入计算得出 a+b 的值，再求其立方根即可 【解答】解：一个正数 a 的两个平方根是 2b1 和 b+4， 2b1+b+40， b1 b+41+43， a9 a+b9+（1）8， 8 的立方根为 2， a+b 的立方根为 2 故答案为：2 16 某人5次射击命中的环数分别为5， 10， 7， x， 10 若这组数据的中位数为8， 则这组数据的方差为 3.6 【分析】根据题意，由中位数的定义可得 x 的值，计算出这组数据的平均数，再根据方差计算公式列式 计算即可 【解答】解：根据题意，数据 5，10，7，x，10 的中位数为 8， 则有 x8， 这组数据的平均数为
27、（5+10+7+8+10）8， 则这组数据的方差 S258）2+（108）2+（78）2+（88）2+（108）23.6， 故答案为：3.6 17如图，在 RtABC 中，ACB90，过点 B 作 BDCB，垂足为 B，且 BD3，连接 CD，与 AB 相 交于点 M，过点 M 作 MNCB，垂足为 N若 AC2，则 MN 的长为 【分析】 由ACB90， BDCD， MNCB 得 ACMNBD， 从而得MACMBD， CMNCDB， 由相似比，得到 MN 的长度 【解答】解：ACB90，BDCD，MNCB， ACMNBD，CNMCBD， MACMBD，MCAMDBCMN， MACMBD，CM
28、NCDB， ， ， ， MN 故答案为： 18 如图， 在ABCD 中， AD12， 以 AD 为直径的O 与 BC 相切于点 E， 连接 OC 若 OCAB， 则ABCD 的周长为 24+6 【分析】连接 OE，过点 C 作 CFAD 交 AD 于点 F，利用平行四边形的性质和切线的性质证明四边形 OECF 为矩形，利用勾股定理求得 OC，进而求得平行四边形的周长 【解答】解：连接 OE，过点 C 作 CFAD 交 AD 于点 F， 四边形 ABCD 为平行四边形， ABCD，ADBC，ADBC， EOD+OEC180， O 与 BC 相切于点 E， OEBC， OEC90 EOD90， C
29、FAD， CFO90， 四边形 OECF 为矩形， FCOE， AD 为直径，AD12， FCOEODAD6， OCAB，CFAD， OFOD3， 在 RtOFC 中，由勾股定理得， OC2OF2+FC232+6245， ABOC3， ABCD 的周长为 12+12+3+324+6， 故答案为：24+6 19 如图， BD 是正方形 ABCD 的一条对角线， E 是 BD 上一点， F 是 CB 延长线上一点， 连接 CE， EF， AF 若 DEDC，EFEC，则BAF 的度数为 22.5 【分析】连接 AE，根据 SAS 证ADECDE，得出 AECEEF，再证AEF 为等腰直角三角形，得
30、 出AFB67.5，即可求出BAF 的度数 【解答】解：如右图，连接 AE， BD 为正方形 ABCD 的对角线， BDC45， DEDCAD， DECDCE67.5， DCB90， BCE90DCE9067.522.5， EFEC， EFC180EFCECF18022.522.5135， BEC180DEC18067.5112.5， BEF135112.522.5， ADDE，ADE45， AED67.5， BEF+AED22.5+67.590， AEF1809090， 在ADE 和EDC 中， ， ADEEDC（SAS） ， AEEC， AEEF， 即AEF 为等腰直角三角形， AFE45
31、， AFBAFE+BFE45+22.567.5， ABF90， BAF90AFB9067.522.5， 故答案为：22.5 20已知抛物线 yx22x3 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧）与 y 轴交于点 C，点 D（4，y） 在抛物线上，E 是该抛物线对称轴上一动点，当 BE+DE 的值最小时，ACE 的面积为 4 【分析】解方程 x22x30 得 A（1，0） ，B（3，0） ，则抛物线的对称轴为直线 x1，再确定 C（0， 3） ，D（4，5） ，连接 AD 交直线 x1 于 E，交 y 轴于 F 点，如图，利用两点之间线段最短可判断此时 BE+DE 的值最小，接着
32、利用待定系数法求出直线 AD 的解析式为 yx+1，则 F（0，1） ，然后根据三角 形面积公式计算 【解答】解：当 y0 时，x22x30，解得 x11，x23，则 A（1，0） ，B（3，0） ， 抛物线的对称轴为直线 x1， 当 x0 时，yx22x33，则 C（0，3） ， 当 x4 时，yx22x35，则 D（4，5） ， 连接 AD 交直线 x1 于 E，交 y 轴于 F 点，如图， BE+DEEA+DEAD， 此时 BE+DE 的值最小， 设直线 AD 的解析式为 ykx+b， 把 A（1，0） ，D（4，5）代入得，解得， 直线 AD 的解析式为 yx+1， 当 x1 时，yx
33、+12，则 E（1，2） ， 当 x0 时，yx+11，则 F（0，1） ， SACESACF+SECF41+414 故答案为 4 三、解答题：本大题共有三、解答题：本大题共有 6 小题，共小题，共 60 分。请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应分。请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应 位置。位置。 21 （8 分）为了庆祝中国共产党建党 100 周年，某校开展了学党史知识竞赛参加知识竞赛的学生分为甲 乙两组，每组学生均为 20 名，赛后根据竞赛成绩得到尚不完整的统计图表（如图） ，已知竞赛成绩满分 为 100 分，统计表中 a，b 满足 b2a请根据所给信
34、息，解答下列问题： 甲组 20 名学生竞赛成绩统计表 成绩（分） 70 80 90 100 人数 3 a b 5 （1）求统计表中 a，b 的值； （2）小明按以下方法计算甲组 20 名学生竞赛成绩的平均分是： （70+80+90+100）485（分） 根据 所学统计知识判断小明的计算是否正确，若不正确，请写出正确的算式并计算出结果； （3）如果依据平均成绩确定竞赛结果，那么竞赛成绩较好的是哪个组？请说明理由 【分析】 （1）根据每组学生均为 20 名求出 a，b 的和，由 b2a 即可求解； （2）小明的计算不正确，根据加权平均数的计算方法可以解答本题； （3）计算乙组 20 名学生竞赛成绩
35、的平均分，比较即可得出答案 【解答】解： （1）每组学生均为 20 名， a+b203512（名） ， b2a， a4，b8； （2）小明的计算不正确， 正确的计算为：87.5（分） ； （3）竞赛成绩较好的是甲组， 理由：乙组 20 名学生竞赛成绩的平均分：100+90+80+70 10+22.5+20+2880.5（分） ， 80.587.5， 竞赛成绩较好的是甲组 22 （8 分）某工程队准备从 A 到 B 修建一条隧道，测量员在直线 AB 的同一侧选定 C，D 两个观测点，如 图测得 AC 长为km，CD 长为（+）km，BD 长为km，ACD60，CDB135 （A、B、C、D 在同
36、一水平面内） （1）求 A、D 两点之间的距离； （2）求隧道 AB 的长度 【分析】 （1）过 A 作 AECD 于 E，由含 30角的直角三角形的性质得 CEAC（km） ，AE CE（km） ，再证 AEDE，即可求解； （2）由（1）得 ADAE（km） ，ADE45，再证ADB90，然后由勾股定理求解即 可 【解答】解： （1）过 A 作 AECD 于 E，如图所示： 则AECAED90， ACD60， CAE906030， CEAC（km） ，AECE（km） ， DECDCE（+）（km） ， AEDE， ADE 是等腰直角三角形， ADAE（km） ； （2）由（1）得：ADE
37、 是等腰直角三角形， ADAE（km） ，ADE45， CDB135， ADB1354590， AB3（km） ， 即隧道 AB 的长度为 3km 23 （10 分）小刚家到学校的距离是 1800 米某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离上课 还有 20 分钟，于是他立即按原路跑步回家，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校已知小刚骑自行车 时间比跑步时间少用了 4.5 分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的 1.6 倍 （1）求小刚跑步的平均速度； （2）如果小刚在家取作业本和取自行车共用了 3 分钟，他能否在上课前赶回学校？请说明理由 【分析】 （1）根据题意，列出分式方程即可
38、求得小刚的跑步平均速度； （2）先求出小刚跑步和骑自行车的时间，加上取作业本和取自行车的时间，与上课时间 20 分钟作比较 即可 【解答】解： （1）设小刚跑步的平均速度为 x 米/分，则小刚骑自行车的平均速度为 1.6x 米/分， 根据题意，得， 解得：x150， 经检验，x150 是所列方程的根， 所以小刚跑步的平均速度为 150 米/分 （2）由（1）得小刚跑步的平均速度为 150 米/分， 则小刚跑步所用时间为 180015012（分） ， 骑自行车所用时间为 124.57.5（分） ， 在家取作业本和取自行车共用了 3 分， 小刚从开始跑步回家到赶回学校需要 12+7.5+322.5
39、（分） 又22.520， 所以小刚不能在上课前赶回学校 24 （10 分）如图，在锐角三角形 ABC 中，AD 是 BC 边上的高，以 AD 为直径的O 交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，过点 F 作 FGAB，垂足为 H，交于点 G，交 AD 于点 M，连接 AG，DE，DF （1）求证：GAD+EDF180； （2）若ACB45，AD4，tanABC2，求 HF 的长 【分析】 （1）根据圆周角定理得出AGFADF，再根据角之间的互余关系及等量代换推出GAD EAF，最后利用圆内接四边形的性质即可得证； （2）作出辅助线 OF，可得：AHMFOM，AHMADB，根据相似三角形的性质得
40、到三角形边 之间的关系，最后根据勾股定理求解即可 【解答】 （1）证明：由题可知AGFADF（同弧所对的圆周角相等） ， GFAB，AD 为圆的直径， AGF+GAE90，ADF+FAD90， GAEFAD， GAE+DAEFAD+DAE，即GADEAF， 四边形 AEDF 是圆的内接四边形， EAF+EDF180， GAD+EDF180 （2）解：如图， 连接 OF， AD 是圆的直径，且 AD 是ABC 的高，GFAB， AEDADBAHMAFD90， AHMADB， ， tanABC2， 2， ACB45， DACADFAFO45， AOF90， 在 RtAHM 与 RtFOM 中：AM
41、HFMO（对顶角） ， AHMFOM， 2， AD4， OFOA2， 2，解得 OM1，AMOAOM1， 设 HMx，则 AH2x， 在AHM 中有：AH2+HM2AM2， 即（2x）2+x21，解得 x1，x2（舍去） ， AH， OFOA2， AF2， 在 RtAHF 中，有：AH2+HF2AF2， 即（）2+HF2（2）2， 解得 HF，或 HF（舍去） ， 故 HF 的长为 25 （12 分）如图，已知ABC 是等边三角形，P 是ABC 内部的一点，连接 BP，CP （1）如图 1，以 BC 为直径的半圆 O 交 AB 于点 Q，交 AC 于点 R，当点 P 在上时，连接 AP，在 B
42、C 边的下方作BCDBAP，CDAP，连接 DP，求CPD 的度数； （2）如图 2，E 是 BC 边上一点，且 EC3BE，当 BPCP 时，连接 EP 并延长，交 AC 于点 F，若AB 4BP，求证：4EF3AB； （3）如图 3，M 是 AC 边上一点，当 AM2MC 时，连接 MP若CMP150，AB6a，MPa， ABC 的面积为 S1，BCP 的面积为 S2，求 S1S2的值（用含 a 的代数式表示） 【分析】 （1）如图 1，连接 BD，先证明BAPBCD（SAS） ，进而可证明BDP 是等边三角形，由 BC 是O 的直径，可得BPC90，即可求出答案； （2）如图 2，连接
43、AP 交 BC 于 D，运用等边三角形性质可得 BDAB，ADAB，由AB4BP， 可得 BPAB， 运用勾股定理可得 PDAB， 得出点 P 是 AD 的中点， 由 EC3BE， 得出点 E 是 BD 的中点，进而得出 EFAB，CEFCBA，运用相似三角形性质即可证得结论； （3） 如图 3， 过点 A 作 ADBC 于点 D， 过点 P 作 PEBC 于点 E， 交 AC 于点 F， 作 PHAC 于点 H， 运用三角函数和勾股定理可求得AD3a， PEa， 再利用S1S2SABCSBCP即可求出答案 【解答】解： （1）如图 1，连接 BD， ABC 是等边三角形， ABBC，ABC6
44、0， 在BAP 和BCD 中， ， BAPBCD（SAS） ， BPBD，ABPCBD， ABP+PBC60， CBD+PBC60， 即PBD60， BDP 是等边三角形， BPD60， BC 是O 的直径， BPC90， CPDBPCBPD906030； （2）如图 2，连接 AP 交 BC 于 D， ABC 是等边三角形， ABACBC，ABCACB60， BPCP， ADBC，BDCDBCAB， ADABsinABCABsin60AB， AB4BP， BPAB， PDAB， PDAD，即点 P 是 AD 的中点， EC3BE， BEBC，BC4BE， BDBC， BEBD，即点 E 是
45、BD 的中点， EP 是ABD 的中位线， EFAB， CEFCBA， ， 4EF3AB； （3） 如图 3， 过点 A 作 ADBC 于点 D， 过点 P 作 PEBC 于点 E， 交 AC 于点 F， 作 PHAC 于点 H， 由（2）得：ADAB3a，ACB60，BCACAB6a， CMP150， PMF180CMP18015030， CHP90， PHPMsinPMFasin30a， MHPMcosPMFacos30a， EFBC， CEF90， CFE90ACB906030， CFEPMF， PFPMa， FHPFcosPFHacos30a， AM2MC， CMAC6a2a， CFC
46、M+MH+HF5a， EFCFsinACB5asin60a， PEEFPFaaa， S1S2SABCSBCPBCADBCPEBC （ADPE） 6a （3aa） a2 26 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+4x 经过坐标原点，与 x 轴正半轴交于点 A，点 M （m，n）是抛物线上一动点 （1）如图 1，当 m0，n0，且 n3m 时， 求点 M 的坐标； 若点 B（，y）在该抛物线上，连接 OM，BM，C 是线段 BM 上一动点（点 C 与点 M，B 不重合） ， 过点 C 作 CDMO，交 x 轴于点 D，线段 OD 与 MC 是否相等？请说明理由； （2）如图 2，
47、该抛物线的对称轴交 x 轴于点 K，点 E（x，）在对称轴上，当 m2，n0，且直线 EM 交 x 轴的负半轴于点 F 时，过点 A 作 x 轴的垂线，交直线 EM 于点 N，G 为 y 轴上一点，点 G 的坐标为 （0，） ，连接 GF若 EF+NF2MF，求证：射线 FE 平分AFG 【分析】 （1）将点 M 坐标代入抛物线中得出 nm2+4m，再联立 n3m，求解即可得出结论； 先求出点 B 的坐标，进而求出直线 BM 的解析式，求出直线 BM 与 x 轴的交点 P 的坐标，判断出 PO PM，再判断出 PDPC，即可得出结论； （2）先判断出点 M 是 EN 的中点，进而求出点 M 的坐标，进而求出直线 EF 的解析式，进而求出 OL， OF，再用勾股定理求出 FG，最后用面积法求出 LQ，进而判断出 LQLO，即可得出结论 【解答】解（1）点 M（m，n）在抛物线 yx2+4x 上， nm2+4m（） ， n3m（） ， 联立（） （）解得，（舍去）或， M（1，3） ； ODMC，理由： 如图 1，点 B（，y）在该抛物线 yx2+4x 上， y（）2+4， B（，） ， 由知，M（1，3） ， 直线 BM 的解析式为 yx+， 令 y0，则x+0
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