1、第第 2 2 课时课时 等差数列前等差数列前 n n 项和的性质及应用项和的性质及应用 学习目标 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式，了解等差数列前 n 项和 的一些性质.2.掌握等差数列前 n 项和的最值问题 知识点一 等差数列前 n 项和的性质 1若数列an是公差为 d 的等差数列，则数列 Sn n 也是等差数列，且公差为d 2. 2设等差数列an的公差为 d，Sn为其前 n 项和，则 Sm，S2mSm，S3mS2m，仍构成等差 数列，且公差为 m2d. 3若等差数列an的项数为 2n，则 S2nn(anan1)，S偶S奇nd，S 偶 S奇 an1 an . 4若等差数
2、列an的项数为 2n1，则 S2n1(2n1) an1，S偶S奇an1，S 偶 S奇 n n1. 思考 在性质 3 中，an和 an1分别是哪两项？在性质 4 中，an1是哪一项？ 答案 中间两项，中间项 知识点二 等差数列an的前 n 项和公式的函数特征 1公式 Snna1nn1d 2 可化成关于 n 的表达式：Snd 2n 2 a1d 2 n.当 d0 时，Sn关于 n 的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n，Sn)在其相应的二次函数的图象上，这就 是说等差数列的前 n 项和公式是关于 n 的二次函数，它的图象是抛物线 yd 2x 2 a1d 2 x 上 横坐标为正整数的一系列孤立
3、的点 2等差数列前 n 项和的最值 (1)在等差数列an中， 当 a10，d0 时，Sn有最大值，使 Sn取得最值的 n 可由不等式组 an0， an10 确定； 当 a10 时，Sn有最小值，使 Sn取到最值的 n 可由不等式组 an0， an10 确定 (2)Snd 2n 2 a1d 2 n，若 d0，则从二次函数的角度看：当 d0 时，Sn有最小值；当 d0， 由 an2n270， an12n1270 得 n131 2， n121 2. 又因为 nN*， 所以当 n13 时，Sn有最大值为 169. 方法三 因为 S8S18， 所以 a9a10a180. 由等差数列的性质得 a13a14
4、0. 因为 a10， 所以 d0，a140，d0，则 Sn存在最大值，即所有非负项之和 若 a10，则 Sn存在最小值，即所有非正项之和 (2)求等差数列前 n 项和 Sn最值的方法 寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用 an0， an10 或 an0， an10 来寻找 运用二次函数求最值 跟踪训练 2 在等差数列an中，a1018，前 5 项的和 S515. (1)求数列an的通项公式； (2)求数列an的前 n 项和的最小值，并指出何时取最小值 解 (1)设等差数列的公差为 d， 因为在等差数列an中，a1018，S515， 所以 a19d18， 5a15 24d15， 解得
5、a19，d3， 所以 an3n12，nN*. (2)因为 a19，d3，an3n12， 所以 Snna1an 2 1 2(3n 221n) 3 2 n7 2 2147 8 ， 所以当 n3 或 4 时， 前 n 项的和 Sn取得最小值 S3S418. 三、求数列|an|的前 n 项和 例 3 数列an的前 n 项和 Sn100nn2(nN*) (1)判断an是不是等差数列，若是，求其首项、公差； (2)设 bn|an|，求数列bn的前 n 项和 解 (1)当 n2 时，anSnSn1 (100nn2)100(n1)(n1)21012n. a1S110011299，适合上式， an1012n(n
6、N*) 又 an1an2 为常数， 数列an是首项为 99，公差为2 的等差数列 (2)令 an1012n0，得 n50.5， nN*，n50(nN*) 当 1n50 时，an0，此时 bn|an|an， 数列bn的前 n 项和 Sn100nn2. 当 n51 时，an0，得 n0； 当 n18，nN*时，an0， 数列an的前 17 项和最大 (2)当 n17，nN*时， |a1|a2|an|a1a2anna1nn1 2 d3 2n 2103 2 n. 当 n18，nN*时， |a1|a2|an| a1a2a17a18a19an 2(a1a2a17)(a1a2an) 2 3 217 2103
7、 2 17 3 2n 2103 2 n 3 2n 2103 2 n884. Sn 3 2n 2103 2 n，n17，nN*， 3 2n 2103 2 n884，n18，nN*. 等差数列前 n 项和公式的实际应用 典例 某单位用分期付款的方式为职工购买 40 套住房，共需 1 150 万元，购买当天先付 150 万元，按约定以后每月的这一天都交付 50 万元，并加付所有欠款利息，月利率为 1%，若交 付 150 万元后的一个月开始算分期付款的第一个月， 问分期付款的第 10 个月应付多少钱？全 部付清后，买这 40 套住房实际花了多少钱？ 解 因购房时付 150 万元，则欠款 1 000 万
8、元，依题意分 20 次付款，则每次付款的数额依次 构成数列an，则 a1501 0001%60， a250(1 00050)1%59.5， a350(1 000502)1%59， a450(1 000503)1%58.5， 所以 an501 00050(n1)1% 601 2(n1)(1n20，nN *) 所以an是以 60 为首项，1 2为公差的等差数列 所以 a106091 255.5， a2060191 250.5. 所以 S201 2(a1a20)20 10(6050.5)1 105. 所以实际共付 1 1051501 255(万元) 素养提升 (1)本题属于与等差数列前 n 项和有关
9、的应用题，其关键在于构造合适的等差数 列 (2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关 知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体观 1已知数列an满足 an262n，则使其前 n 项和 Sn取最大值的 n 的值为( ) A11 或 12 B12 C13 D12 或 13 答案 D 解析 an262n，anan12(n2，nN*)， 数列an为等差数列又 a124，d2， Sn24nnn1 2 (2)n225n n25 2 2625 4 . nN*，当 n12 或 13 时，Sn最大 2一个等差数列共有 10 项，其偶数项之和是 15，奇数项之和是 1
10、2.5，则它的首项与公差分 别是( ) A0.5,0.5 B0.5,1 C0.5,2 D1,0.5 答案 A 解析 由于项数为 10，故 S偶S奇1512.55d， d0.5，由 1512.510a1109 2 0.5， 得 a10.5. 3(多选)设an是等差数列，Sn为其前 n 项和，且 S5S8，则下列结论正确的是( ) AdS5 DS6与 S7均为 Sn的最大值 答案 ABD 解析 S5S8，a60，a70，a80.d0. S6与 S7均为 Sn的最大值 S9S5a6a7a8a92(a7a8)0.S90，则使得其前 n 项和 Sn取得最小值的正整数 n 的值是_ 答案 6 或 7 解析
11、 公差 d0，|a5|a9|，a5a9，即 a5a90.由等差数列的性质，得 2a7a5a9 0，解得 a70. 故数列的前 6 项均为负数，第 7 项为 0，从第 8 项开始为正 Sn取得最小值时的 n 为 6 或 7. 5已知等差数列的前 12 项和为 354，前 12 项中偶数项和与奇数项和之比为 3227，则公差 d_. 答案 5 解析 由题意得 S偶S奇354， S偶 S奇 32 27. 故 S偶192，S奇162，所以 6dS偶S奇30，故 d5. 1知识清单： (1)等差数列前 n 项和的一般性质 (2)等差数列前 n 项和的函数性质 2方法归纳：整体思想、函数思想、分类讨论思想 3常见误区：求数列|an|的前 n 项和时不讨论，最后不用分段函数表示
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