1、第第 2 2 课时课时 等比数列的应用等比数列的应用及性质及性质 学习目标 1.理解复利计算方法， 能解决存款利息的有关计算方法.2.通过建立数列模型并应 用数列模型解决生活中的实际问题. 3.理解等比数列的常用性质.4.掌握等比数列的判断及证 明方法 知识点一 实际应用题常见的数列模型 1储蓄的复利公式：本金为 a 元，每期利率为 r，存期为 n 期，则本利和 y a(1r)n. 2总产值模型：基数为 N，平均增长率为 p，期数为 n， 则总产值 y N (1 p)n. 知识点二 等比数列的常用性质 设数列an为等比数列，则： (1)若 klmn(k，l，m，nN*)，则 ak alam a
2、n. (2)若 m，p，n 成等差数列，则 am，ap，an成等比数列 (3)在等比数列an中，连续取相邻 k 项的和(或积)构成公比为 qk(或 2 k q)的等比数列 (4)若an是等比数列，公比为 q，则数列an(0)， 1 an ，a2n都是等比数列，且公比分别 是 q，1 q，q 2. (5)若an，bn是项数相同的等比数列，公比分别是 p 和 q，那么anbn与 an bn 也都是等比数 列，公比分别为 pq 和p q. 1某细菌培养过程中，每 15 分钟分裂 1 次，经过 2 小时，这种细菌由 1 个繁殖成( ) A64 B128 C256 D255 答案 C 解析 某细菌培养过
3、程中， 每 15 分钟分裂 1 次， 经过 2 小时， 共分裂 8 次， 所以经过 2 小时， 这种细菌由 1 个繁殖成 28256. 2已知an，bn都是等比数列，那么( ) Aanbn，anbn都一定是等比数列 Banbn一定是等比数列，但anbn不一定是等比数列 Canbn不一定是等比数列，但anbn一定是等比数列 Danbn，anbn都不一定是等比数列 答案 C 解析 当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是 互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列两个等比数列的积一定是等比数列 3某储蓄所计划从 2018 年底起，力争做到每年的吸蓄量比前一年增加 8
4、%，则到 2021 年底 该储蓄所的吸蓄量比 2018 年的吸蓄量增加( ) A24% B32% C1.0831 D1.0841 答案 C 解析 设 2018 年储蓄量为 a ，根据等比数列通项公式得 2019 年储蓄量为 a(10.08)1.08a， 2020 年储蓄量为 a(10.08)(10.08)1.082a， 2021 年储蓄量为 a(10.08)(10.08)(10.08)1.083a， 所以 2021 年底该储蓄所的吸蓄量比 2018 年的吸蓄量增加了 1.083aa a 1.0831. 4已知等比数列an共有 10 项，其中奇数项之积为 2，偶数项之积为 64，则其公比是( )
5、 A.3 2 B. 2 C2 D2 2 答案 C 解析 奇数项之积为 2， 偶数项之积为 64， 得 a1a3a5a7a92， a2a4a6a8a1064， 则a2a4a6a8a10 a1a3a5a7a9 q532，则 q2. 一、数列的实际应用 例 1 某人买了一辆价值 13.5 万元的新车，专家预测这种车每年按 10%的速度贬值 (1)用一个式子表示 n(nN*)年后这辆车的价值； (2)如果他打算用满 4 年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ 解 (1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，an， 由题意，得 a113.5，a213.5(110%)， a313.5(
6、110%)2，. 由等比数列的定义，知数列an是等比数列， 首项 a113.5，公比 q110%0.9， ana1 qn 113.50.9n1. n 年后车的价值为 an1(13.50.9n)万元 (2)由(1)得 a5a1 q413.50.948.9(万元)， 用满 4 年时卖掉这辆车，大概能得到 8.9 万元 反思感悟 等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的 问题，解数学模型即解等比数列问题 跟踪训练 1 有纯酒精 a(a1)升，从中取出 1 升，再用水加满，然后再取出 1 升，再用水加 满，如此反复进行，则第九次和第十次共取出纯酒精_升 答案 11 a 8
7、 21 a 解析 由题意可知，取出的纯酒精数量是一个以 1 为首项，11 a为公比的等比数列， 即： 第一次取出的纯酒精为 1 升， 第二次取出的为 11 a(升)， 第三次取出的为 11 a 2升， ， 第 n 次取出的纯酒精为 11 a n1升， 则第九次和第十次共取出纯酒精数量为 a9a10 11 a 8 11 a 9 11 a 8 21 a (升) 二、等比数列的性质及其应用 例 2 已知an为等比数列 (1)等比数列an满足 a2a41 2，求 a1a 2 3a5； (2)若 an0，a5a72a6a8a6a1049，求 a6a8； (3)若 an0，a5a69，求 log3a1lo
8、g3a2log3a10的值 解 (1)在等比数列an中， a2a41 2， a23a1a5a2a41 2， a1a23a51 4. (2)由等比中项，化简条件得 a262a6a8a2849， 即(a6a8)249， an0， a6a87. (3)由等比数列的性质知 a5a6a1a10a2a9a3a8a4a79， log3a1log3a2log3a10log3(a1a2 a10) log3(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6) log39510. 反思感悟 利用等比数列的性质解题 (1)基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰 当的性
9、质解题 (2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量 跟踪训练 2 (1)公比为32的等比数列an的各项都是正数， 且 a3a1116， 则 log2a16等于( ) A4 B5 C6 D7 答案 B 解析 因为 a3a1116， 所以 a2716. 又因为 an0， 所以 a74， 所以 a16a7q932， 即 log2a165. (2)已知在各项均为正数的等比数列an中，a1a2a35，a7a8a910，则 a4a5a6_. 答案 5 2 解析 方法一 因为an是等比数列， 所以 a1a7a24，a2a8a25，a3a9a26. 所以 a24 a25 a26(a1a7) (a2
10、a8) (a3a9) (a1a2a3) (a7a8a9)51050. 因为 an0， 所以 a4a5a65 2. 方法二 因为 a1a2a3(a1a3)a2a22 a2a325， 所以 a2 1 3 5 因为 a7a8a9(a7a9)a8a3810， 所以 a8 1 3 10 同理 a4a5a6a35 3 1113 32 2 3322 2 528 =510=50 =5 2aa a 三、等比数列的判定与证明 例 3 已知 Sn是数列an的前 n 项和，且 Sn2ann4. (1)求 a1的值； (2)若 bnan1，试证明数列bn为等比数列 (1)解 因为 Sn2ann4， 所以当 n1 时，S
11、12a114， 解得 a13. (2)证明 因为 Sn2ann4， 所以当 n2 时，Sn12an1n14， SnSn1(2ann4)(2an1n5)， 即 an2an11， 所以 an12(an11)， 又 bnan1， 所以 bn2bn1， 且 b1a1120， 所以数列bn是以 2 为首项，2 为公比的等比数列 反思感悟 判断一个数列是等比数列的常用方法 (1)定义法：若数列an满足an 1 an q(nN*，q 为常数且不为零)或 an an1q(n2，且 nN *，q 为常数且不为零)，则数列an是等比数列 (2)通项公式法：若数列an的通项公式为 ana1qn 1(a 10，q0)
12、，则数列an是等比数列 (3)等比中项法：若 a2n1anan2(nN*且 an0)，则数列an为等比数列 (4)构造法：在条件中出现 an1kanb 关系时，往往构造数列，方法是把 an1xk(anx) 与 an1kanb 对照，求出 x 即可 跟踪训练 3 (1)已知各项均不为 0 的数列an中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比 数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，证明：a1，a3，a5成等比数列 证明 由已知，有 2a2a1a3， a23a2 a4， 2 a4 1 a3 1 a5. 由得 2 a4 a3a5 a3 a5 ， a42a3 a5 a3a5. 由得 a2a
13、1a3 2 . 将代入，得 a23a1a3 2 2a3 a5 a3a5. a3a1a3a5 a3a5 ， 即 a3(a3a5)a5(a1a3) 化简，得 a23a1 a5. 又 a1，a3，a5均不为 0， a1，a3，a5成等比数列 (2)已知数列an是首项为 2，公差为1 的等差数列，令 bn 1 , 2 n a 求证数列bn是等比数 列，并求其通项公式 解 依题意 an2(n1)(1)3n， 于是 bn 1 2 3n. 而bn 1 bn 1 2 2n 1 2 3n 1 2 12. 数列bn是首项为1 4，公比为 2 的等比数列，通项公式为 bn 1 4 2 n12n3. 1在等比数列an
14、中，若 a10，a218，a48，则公比 q 等于( ) A.3 2 B. 2 3 C 2 3 D. 2 3或 2 3 答案 C 解析 因为 a4a2 q2， 所以 q2a4 a2 8 18 4 9. 又因为 a10， 所以 q0. 所以 q2 3. 2在等比数列an中，若 a2a3a6a9a1032，则 a29 a12的值为( ) A4 B2 C2 D4 答案 B 解析 由 a2a3a6a9a10(a2a10) (a3a9) a6a563225，得 a62， 则 a29 a12 a6a12 a12 a62. 3已知各项均为正数的等比数列an中，lg(a3a8a13)6，则 a1 a15的值为
15、( ) A100 B100 C10 000 D10 000 答案 C 解析 lg(a3a8a13)lg a386， a38106，a8102100.a1a15a2810 000. 4(多选)在等比数列an中，3a1，1 2a3,2a2 成等差数列，则a2 020a2 021 a2 018a2 019等于( ) A3 B1 C1 D9 答案 CD 解析 由 3a1，1 2a3,2a2 成等差数列可得 a33a12a2， 即 a1q23a12a1q，a10，q22q30. 解得 q3 或 q1. a2 020a2 021 a2 018a2 019 a2 0201q a2 0181q a2 020
16、a2 018q 29 或 1. 5某工厂 2020 年 1 月的生产总值为 a 万元，计划从 2020 年 2 月起，每月生产总值比上一个 月增长 m%，那么到 2021 年 8 月底该厂的生产总值为_万元 答案 a(1m%)19 解析 设从 2020 年 1 月开始， 第 n 个月该厂的生产总值是 an万元， 则 an1ananm%， an 1 an 1m%. 数列an是首项 a1a， 公比 q1m%的等比数列 ana(1m%)n 1. 2021 年 8 月底该厂的生产总值为 a20a(1m%)20 1a(1m%)19(万元) 1知识清单： (1)等比数列的实际应用 (2)等比数列的常用性质 (3)等比数列的判定和证明 2方法归纳：方程和函数思想 3常见误区：不注重运用性质，使解题过程烦琐或者性质运用不正确而出错
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