1、第第 2 2 课时课时 函数的最大函数的最大( (小小) )值值 学习目标 1.理解函数最值的概念， 了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数 的最值 知识点一 函数最值的定义 1一般地，如果在区间a，b上函数 yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大 值和最小值 2对于函数 f(x)，给定区间 I，若对任意 xI，存在 x0I，使得 f(x)f(x0)，则称 f(x0)为函数 f(x)在区间 I 上的最小值；若对任意 xI，存在 x0I，使得 f(x)f(x0)，则称 f(x0)为函数 f(x) 在区间 I 上的最大值 思考 如图所示，观察区间a，b上函数 yf(x)
2、的图象，找出函数 f(x)在区间a，b上的最大 值、最小值若将区间改为(a，b)，f(x)在(a，b)上还有最值吗？ 答案 函数 yf(x)在区间a，b上的最大值是 f(a)，最小值是 f(x3) 若区间改为(a，b)，则 f(x)有最小值 f(x3)，无最大值 知识点二 求函数的最大值与最小值的步骤 函数 f(x)在区间a，b上连续，在区间(a，b)内可导，求 f(x)在a，b上的最大值与最小值的步 骤如下： (1)求函数 f(x)在区间(a，b)上的极值； (2)将函数 f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的 一个是最小值 1函数的最大值不
3、一定是函数的极大值( ) 2函数 f(x)在区间a，b上的最大值与最小值一定在区间端点处取得( ) 3有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值( ) 4 函数 f(x)在区间a， b上连续， 则 f(x)在区间a， b上一定有最值， 但不一定有极值 ( ) 一、不含参函数的最值问题 例 1 求下列函数的最值： (1)f(x)2x312x，x2,3； (2)f(x)1 2xsin x，x0,2 解 (1)因为 f(x)2x312x，x2,3， 所以 f(x)6x212 6(x 2)(x 2)， 令 f(x)0， 解得 x 2 或 x 2. 当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表
4、所示 x 2 (2， 2) 2 ( 2， 2) 2 ( 2，3) 3 f(x) 0 0 f(x) 8 8 2 8 2 18 因为 f(2)8，f(3)18， f( 2)8 2，f( 2)8 2， 所以当 x 2时， f(x)取得最小值8 2； 当 x3 时， f(x)取得最大值 18. (2)f(x)1 2cos x，令 f(x)0， 又 x0,2， 解得 x2 3 或 x4 3 . 当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表所示 x 0 0，2 3 2 3 2 3 ，4 3 4 3 (4 3 ，2) 2 f(x) 0 0 f(x) 0 3 3 2 2 3 3 2 因为 f(0)0，f(
5、2)，f 2 3 3 3 2 ， f 4 3 2 3 3 2 . 所以当 x0 时，f(x)有最小值 f(0)0； 当 x2 时，f(x)有最大值 f(2). 反思感悟 求函数最值的步骤 (1)求函数的定义域 (2)求 f(x)，解方程 f(x)0. (3)列出关于 x，f(x)，f(x)的变化表 (4)求极值、端点处的函数值，确定最值 注意：不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较 跟踪训练 1 求下列函数的最值： (1)f(x)x1 ex ； (2)f(x)x2xln x，x1,3 解 (1)函数 f(x)x1 ex 的定义域为 R. f(x)1 e xexx1 ex2 2x ex ，
6、 当 f(x)0 时，x2， 当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表所示. x (，2) 2 (2，) f(x) 0 f(x) 1 e2 f(x)在(，2)上单调递增， 在(2，)上单调递减， f(x)无最小值，且当 x2 时，f(x)maxf(2) 1 e2. (2)f(x)2x11 x 2x2x1 x 2x1x1 x ， x1,3， f(x)0 在1,3上恒成立 f(x)在1,3上单调递增， 当 x1 时，f(x)minf(1)0， 当 x3 时，f(x)maxf(3)6ln 3. 二、含参函数的最值问题 例 2 已知函数 f(x)x3ax2a2x.求函数 f(x)在0，)上的最
7、小值 解 f(x)3x22axa2(3xa)(xa)， 令 f(x)0，得 x1a 3，x2a. 当 a0 时，f(x)在0，a)上单调递减，在a，)上单调递增所以 f(x)minf(a)a3. 当 a0 时，f(x)3x20，f(x)在0，)上单调递增，所以 f(x)minf(0)0. 当 a0 时，f(x)的最小值为a3； 当 a0 时，f(x)的最小值为 0； 当 a0 时，求函数 f(x)x3ax2a2x 在a,2a上的最值 解 f(x)(3xa)(xa)(a0)， 令 f(x)0，得 x1a 3x2a. 所以 f(x)在 a，a 3 上单调递增，在 a 3，a 上单调递减，在a,2a
8、上单调递增 因为 f(a)a3，f a 3 5 27a 3，f(a)a3， f(2a)2a3. 所以 f(x)maxf(2a)2a3. f(x)minf(a)f(a)a3. 反思感悟 含参数的函数最值问题的两类情况 (1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题 (2)对于不能求出参数值的问题， 则要对参数进行讨论， 其实质是讨论导函数大于 0、 等于 0、 小于 0 三种情况若导函数恒不等于 0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取 得；若导函数可能等于 0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值 跟踪训练 2 已知 aR，函数 f(x)x2 1 3xa ，求 f
9、(x)在区间0,2上的最大值 解 f(x)x22ax. 令 f(x)0，解得 x10，x22a. 令 g(a)f(x)max， 当 2a 0，即 a0 时， f(x)在0,2上单调递增， 从而 g(a)f(x)maxf(2)8 34a. 当 2a2，即 a1 时， f(x)在0,2上单调递减， 从而 g(a)f(x)maxf(0)0. 当 02a2，即 0a1 时， f(x)在 0,2a上单调递减，在2a,2上单调递增， 从而 g(a) 8 34a，0a 2 3， 0，2 3a2 3. 三、由函数的最值求参数问题 例 3 已知函数 f(x)ax36ax2b，x1,2的最大值为 3，最小值为29
10、，求 a，b 的值 解 由题设知 a0，否则 f(x)b 为常数函数，与题设矛盾 求导得 f(x)3ax212ax3ax(x4)， 令 f(x)0，得 x10，x24(舍去) 当 a0，且当 x 变化时， f(x)，f(x)的变化情况如下表： x 1 (1,0) 0 (0,2) 2 f(x) 0 f(x) 7ab b 16ab 由表可知，当 x0 时，f(x)取得极大值 b，也就是函数在1,2上的最大值，f(0)b3. 又 f(1)7a3，f(2)16a3f(1)， f(2)16a329，解得 a2. 当 af(1)， f(2)16a293，解得 a2. 综上可得，a2，b3 或 a2，b29
11、. 反思感悟 已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般 先求导数， 利用导数研究函数的单调性及极值点， 探索最值点， 根据已知最值列方程(不等式) 解决问题 跟踪训练 3 已知函数 h(x)x33x29x1 在区间k,2上的最大值是 28，求 k 的取值范围 解 h(x)x33x29x1， h(x)3x26x9. 令 h(x)0，得 x13，x21， 当 x 变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表： x (，3) 3 (3,1) 1 (1，) h(x) 0 0 h(x) 28 4 当 x3 时，h(x)取极大值 28； 当 x1 时，h(x)取极小值4. 而
12、 h(2)3h(3)28， 如果 h(x)在区间k,2上的最大值为 28，则 k3. 所以 k 的取值范围为(，3 四、导数在解决实际问题中的应用 例 4 请你设计一个包装盒，如图所示，四边形 ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，切 去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A，B，C，D 四个点重 合于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒点 E，F 在边 AB 上，是被切去的一 个等腰直角三角形的斜边的两个端点设 AEFBx(cm) 某厂商要求包装盒的容积 V(cm3)最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长 的比值 解 V(x)(
13、2x)2(602x) 2 2 2x2(602x)2 2x360 2x2(0x30) V(x)6 2x2120 2x6 2x(x20) 令 V(x)0，得 x0(舍去)或 x20. 当 0x0； 当 20x30 时，V(x)0. V(x)在 x20 时取极大值也是唯一的极值，故为最大值 底面边长为 2x20 2(cm)， 高为 2(30 x)10 2(cm)， 即高与底面边长的比值为1 2. 反思感悟 解决最优问题应从以下几个方面入手 (1)设出变量，找出函数关系式，确定定义域 (2)在实际应用问题中，若函数 f(x)在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点 跟踪训练 4 为了在夏季降温和冬季供
14、暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热 层某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑 物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系：C(x) k 3x5 (0 x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年 的能源消耗费用之和 (1)求 k 的值及 f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值 解 (1)由题设可知，隔热层厚度为 x cm， 每年能源消耗费用为 C(x) k 3x5，再由 C(0)8， 得 k40，因此 C(x) 4
15、0 3x5. 而建造费用为 C1(x)6x. 最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f(x)20C(x)C1(x)20 40 3x56x 800 3x56x (0 x10) (2)f(x)6 2 400 3x52，令 f(x)0， 即 2 400 3x526.解得 x15，x2 25 3 (舍去) 当 0x5 时，f(x)0，当 5x0， 故 x5 是 f(x)的最小值点，对应的最小值为 f(5)65 800 15570. 即当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用 f(x)达到最小，且最小值为 70 万元 1下列结论正确的是( ) A若 f(x)在a，b上有极大值，则极大值一定是
16、a，b上的最大值 B若 f(x)在a，b上有极小值，则极小值一定是a，b上的最小值 C若 f(x)在a，b上有极大值，则极小值一定是在 xa 和 xb 处取得 D若 f(x)在a，b上连续，则 f(x)在a，b上存在最大值和最小值 答案 D 解析 函数 f(x)在a，b上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点 处取得，而在a，b上一定存在最大值和最小值 2函数 yxsin x，x 2， 的最大值是( ) A1 B. 21 C D1 答案 C 解析 y1cos x，当 x 2， 时，y0， 则函数在区间 2， 上单调递增， 所以 y 的最大值为 ymaxsin . 3函数 f
17、(x)x33x(|x|1)( ) A有最值，但无极值 B有最值，也有极值 C既无最值，也无极值 D无最值，但有极值 答案 C 解析 f(x)3x233(x1)(x1)， 当 x(1,1)时，f(x)0， 所以 f(x)在(1,1)上单调递减， 无最大值和最小值，也无极值 4要做一个圆锥形漏斗，其母线长为 20 cm，要使其体积最大，则高应为( ) A.10 3 3 cm B.20 3 3 cm C.16 3 3 cm D. 3 3 cm 答案 B 解析 设圆锥的高为 h cm,0h0，当 h 20 3 3 ，20 时，V0， 故当 h20 3 3 时，体积最大 5已知函数 f(x)2x36x2a 在2,2上有最小值37，则 a 的值为_， f(x)在2,2 上的最大值为_ 答案 3 3 解析 f(x)6x212x6x(x2) 由 f(x)0，得 x0 或 x2. 当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x 2 (2,0) 0 (0,2) 2 f(x) 0 0 f(x) 40a 极大值 a 8a 所以当 x2 时，f(x)min40a37，所以 a3. 所以当 x0 时，f(x)取得最大值 3. 1知识清单： (1)函数最值的定义 (2)求函数最值的步骤 (3)函数最值的应用 2方法归纳：方程思想、分类讨论 3常见误区：忽视函数的最值与极值的区别与联系
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