1、第第 2 课时课时 数列的递推公式数列的递推公式 1已知数列an满足 an4an13(n2，nN*)，且 a10，则此数列的第 5 项是( ) A15 B255 C16 D63 答案 B 解析 由递推公式，得 a23，a315，a463，a5255. 2数列1 2， 1 4， 1 8， 1 16，的第 n 项 an与第 n1 项 an1 的关系是( ) Aan12an Ban12an Can11 2an Dan11 2an 答案 D 3(多选)数列 2,4,6,8,10，的递推公式是( ) Aanan12(n2，nN*) Ban2an1(n2，nN*) Ca12，anan12(n2，nN*)
2、Da12，an1an2(nN*) 答案 CD 解析 A，B 中没有说明某一项，无法递推 4已知数列an满足 a12，an1an10(nN*)，则此数列的通项公式 an等于( ) An21 Bn1 C1n D3n 答案 D 解析 an1an1. 当 n2 时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1) 1 =2111 n 共个 2(1)(n1)3n. 当 n1 时，a12 也符合上式 故数列的通项公式 an3n(nN*) 5(多选)已知数列an的前 n 项和满足 Sn2n 11，下列说法正确的是( ) Aa13 Ban2n(n2) Can2n Dan2n(n2) 答案 AD 解析 Sn2n
3、11，当 n1 时，a 1S12 1113； 当 n2 时，anSnSn1(2n 11)(2n1)2n. 当 n1 时，不符合上式， 故 an 3，n1， 2n，n2. 6已知在数列an中，a12，an 1 an1(n2，nN *)，则 a 2 020_. 答案 1 2 解析 a2 1 a1 1 2，a3 1 a22a1，a4 1 2a2， an的周期为 2，a2 020a21 2. 7已知数列an的前 n 项和为 Snn2，nN*，则 an_. 答案 2n1，nN* 解析 由 anSnSn1(n2)得 an12n， 当 n1 时，a1S11 也符合上式 an2n1(nN*) 8已知在数列an
4、中，a1a2ann2(nN*)，则 a9_. 答案 81 64 解析 a1a2a882， a1a2a992， 得，a99 2 82 81 64. 9已知数列an满足 an1ann2(nN*)，且 a11. (1)求 a2，a3，a4的值； (2)令 bn4an68n，求数列bn的前 4 项 解 (1)因为 an1ann2，且 a11， 所以 a24，a38，a413. (2)b14a16814168164， b24a268244682120， b34a368348683172， b44a4684413684220. 10已知数列an满足 a11，an1an 1 nn1，nN *，求通项公式 a
5、 n. 解 因为 an1an 1 nn1， 所以 a2a1 1 12， a3a2 1 23， a4a3 1 34， ， anan1 1 n1n(n2)， 以上各式累加得， ana1 1 12 1 23 1 n1n 11 2 1 2 1 3 1 n1 1 n 11 n. 所以 an111 n， 所以 an1 n(n2)， 因为 a11 也符合上式， 所以 an1 n(nN *) 11已知数列an满足 a10，an1 an 3 3an1(nN *)，则 a 2 020等于( ) A3 B0 C. 3 D3 答案 B 解析 由题意知 a10，a2 3 1 3，a3 2 3 31 3，a4 3 3 3
6、1 0，a5 3 1 3，由此可知，an3an.所以数列an的周期为 3， 又 2 02036731，所以 a2 020a10. 12下图是某省从 1 月 21 日至 2 月 24 日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图 若该省从 1 月 21 日至 2 月 24 日的新冠肺炎每日新增确诊人数按日期顺序排列构成数列an， an的前 n 项和为 Sn，则下列说法中正确的是( ) A数列an是递增数列 B数列Sn是递增数列 C数列an的最大项是 a11 D数列Sn的最大项是 S11 答案 C 解析 因为 1 月 28 日新增确诊人数小于 1 月 27 日新增确诊人数， 即 a7a8， 所以an不是
7、递增数列，所以选项 A 错误； 因为 2 月 23 日新增确诊病例数为 0， 所以 S33S34， 所以数列Sn不是递增数列， 所以选项 B 错误； 因为 1 月 31 日新增病例数最多，从 1 月 21 日算起，1 月 31 日是第 11 天， 所以数列an的最大项是 a11，所以选项 C 正确； 数列Sn的最大项是最后项，所以选项 D 错误 13已知数列an满足 a10，且 an1 n n1an，则数列an的最大项是( ) Aa1 Ba9 Ca10 D不存在 答案 A 解析 因为 a10，且 an1 n n1an， 所以 an0， 所以an 1 an n n11， 所以 an10，an1a
8、n0， (n1)an1nan0， an 1 an n n1， a2 a1 a3 a2 a4 a3 an an1 1 2 2 3 3 4 n1 n 1 n(n2)， an a1 1 n. 又a11，an1 na1 1 n. 又 a11 也适合上式，an1 n，nN *. 方法二 (迭代法) 同方法一，得an 1 an n n1， an1 n n1an， ann1 n an1n1 n n2 n1 an 2 n1 n n2 n1 n3 n2 an 3 n1 n n2 n1 n3 n2 1 2a1 1 na1. 又a11，an1 n. 方法三 (构造特殊数列法) 同方法一，得an 1 an n n1，
9、 (n1)an1nan， 数列nan是常数列， nan1 a11，an1 n(nN *) 15在一个数列中，如果对任意 nN*，都有 anan1an2k(k 为常数)，那么这个数列叫做等 积数列，k 叫做这个数列的公积已知数列an是等积数列，且 a11，a22，公积为 8，则 a1a2a3a12_. 答案 28 解析 依题意得数列an是周期为 3 的数列，且 a11，a22，a34，因此 a1a2a3 a124(a1a2a3)4(124)28. 16已知数列an满足：a1m(m 为正整数)，an1 an 2 ，an为偶数， 3an1，an为奇数. 若 a44，求 m 所 有可能的取值 解 若 a3为奇数，则 3a314，a31，若 a2为奇数，则 3a211，a20(舍去)，若 a2为 偶数，则a2 2 1，a22. 若 a1为奇数，则 3a112，a11 3(舍去)， 若 a1为偶数，a1 2 2，a14； 若 a3为偶数，则a3 2 4，a38， 若 a2为奇数，则 3a218，a27 3(舍去) 若 a2为偶数，则a2 2 8，a216. 若 a1为奇数，则 3a1116，a15. 若 a1为偶数，则a1 2 16，a132. 故 m 所有可能的取值为 4,5,32.
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