1、5.3.2 函数的极值与最大函数的极值与最大(小小)值值 第第 1 课时课时 函数的极值函数的极值 1下列函数中存在极值的是( ) Ay1 x Byxex Cy2 Dyx3 答案 B 解析 对于 yxex，y1ex，令 y0，得 x0. 在区间(，0)上，y0； 在区间(0，)上，y0. 故当 x0 时，函数 yxex取得极大值 2设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f(x)，且函数 yf(x)的图象如图所示，则下列结 论中一定成立的是( ) A函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) C函数 f(x)有极大值 f(2)和
2、极小值 f(2) D函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2) 答案 D 解析 由题图可知，当 x0； 当2x1 时，f(x)0； 当 1x2 时，f(x)2 时，f(x)0. 由此可以得到函数 f(x)在 x2 处取得极大值， 在 x2 处取得极小值 3函数 f(x)ln xx 在区间(0，e)上的极大值为( ) Ae B1 C1e D0 答案 B 解析 函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)1 x1. 令 f(x)0，得 x1. 当 x(0,1)时，f(x)0， 当 x(1，e)时，f(x)0， 解得 a6 或 a3. 6f(x)2x1 x22的极小值为_ 答案 1 2 解析
3、f(x)2x 222x2x1 x222 2x2x1 x222 . 令 f(x)0，得 x1； 令 f(x)0，得2x1. 所以 f(x)在(，2)，(1，)上单调递减， 在(2,1)上单调递增， 所以 f(x)极小值 f(2)1 2. 7设 x1 与 x2 是函数 f(x)aln xbx2x 的两个极值点，则常数 a_. 答案 2 3 解析 因为 f(x)a x2bx1， 由题意得 a2b10， a 24b10. 所以 a2 3. 8已知关于 x 的函数 f(x)1 3x 3bx2cxbc，如果函数 f(x)在 x1 处取得极值4 3，则 b _，c_. 答案 1 3 解析 f(x)x22bx
4、c，由 f112bc0， f11 3bcbc 4 3， 解得 b1， c1 或 b1， c3. 若 b1，c1，则 f(x)x22x1(x1)20， 此时 f(x)没有极值； 若 b1，c3，则 f(x)x22x3(x3)(x1)， 当3x0，当 x1 时，f(x)0) 由题意知，曲线在 x1 处的切线斜率为 0，即 f(1)0， 从而 a1 2 3 20，解得 a1. (2)由(1)知 f(x)ln x 1 2x 3 2x1(x0)， f(x)1 x 1 2x2 3 2 3x 22x1 2x2 3x1x1 2x2 . 令 f(x)0，解得 x11，x21 3(舍去) 当 x(0,1)时，f(
5、x)0，故 f(x)在(1， )上单调递增 故 f(x)在 x1 处取得极小值，极小值为 f(1)3，无极大值 10设 a 为实数，函数 f(x)x3x2xa. (1)求 f(x)的极值； (2)当 a 在什么范围内取值时，曲线 yf(x)与 x 轴仅有一个交点？ 解 (1)f(x)3x22x1. 令 f(x)0，得 x1 3或 x1. 当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x ，1 3 1 3 1 3，1 1 (1，) f(x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 f(x)的极大值是 f 1 3 5 27a， 极小值是 f(1)a1. (2)函数 f(x)x3x2xa (x1)
6、2(x1)a1， 由此可知，x 取足够大的正数时，有 f(x)0， x 取足够小的负数时，有 f(x)0， 曲线 yf(x)与 x 轴至少有一个交点 由(1)知 f(x)极大值f 1 3 5 27a， f(x)极小值f(1)a1. 曲线 yf(x)与 x 轴仅有一个交点， f(x)极大值0， 即 5 27a0，a1， 当 a ， 5 27 (1，)时，曲线 yf(x)与 x 轴仅有一个交点 11设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f(x)，且函数 f(x)在 x2 处取得极小值，则函 数 yxf(x)的图象可能是( ) 答案 C 解析 因为 f(x)在 x2 处取得极小值， 所以当 x
7、2 时， f(x)单调递减， 即 f(x)0； 当 x2 时，f(x)单调递增，即 f(x)0. 所以当 x2 时，yxf(x)0； 当 x2 时，yxf(x)0； 当2x0 时，yxf(x)0； 当 x0 时，yxf(x)0； 当 x0 时，yxf(x)0. 结合选项中的图象知选 C. 12函数 yxex在其极值点处的切线方程为_ 答案 y1 e 解析 由题意知 yexxex，令 y0，解得 x1， 代入函数解析式可得极值点的坐标为 1，1 e ， 又极值点处的切线为平行于 x 轴的直线， 故方程为 y1 e. 13若函数 f(x)x3x2ax4 在区间(1,1)上恰有一个极值点，则实数 a
8、 的取值范围为 _ 答案 1,5) 解析 f(x)3x22xa， 函数 f(x)在区间(1,1)上恰有一个极值点， 即 f(x)0 在(1,1)内恰有一个根 又函数 f(x)3x22xa 的对称轴为 x1 3. 应满足 f10， f10， 32a0， 32a0， 1a0 时，令 f(x)0， 解得 x a或 x a. 令 f(x)0，解得 ax a. 若 f(x)在(0,1)内有极小值，则 0 a1. 解得 0a1. 15 已知函数 f(x)ax3bx2cx 的图象如图所示， 且 f(x)在 xx0与 x2 处取得极值， 则 f(1) f(1)的值一定( ) A等于 0 B大于 0 C小于 0
9、 D小于或等于 0 答案 B 解析 f(x)3ax22bxc. 令 f(x)0，则 x0和 2 是该方程的根 x022b 3a0. 由题图知，f(x)0，则 b0， f(1)f(1)2b，f(1)f(1)0. 16设函数 f(x)x 3 3(a1)x 24axb，其中 a，bR. (1)若函数 f(x)在 x3 处取得极小值1 2，求 a，b 的值； (2)求函数 f(x)的单调递增区间； (3)若函数 f(x)在(1,1)上只有一个极值点，求实数 a 的取值范围 解 (1)因为 f(x)x22(a1)x4a， 所以 f(3)96(a1)4a0，得 a3 2. 由 f(3)1 327 5 294 3 23b 1 2， 解得 b4. (2)因为 f(x)x22(a1)x4a(x2a)(x2)， 令 f(x)0，得 x2a 或 x2. 当 a1 时，f(x)的单调递增区间为(，2)，(2a，)； 当 a1 时，f(x)的单调递增区间为(，)； 当 a1 时，f(x)的单调递增区间为(，2a)，(2，) (3)由题意可得 a1， f1 f10， 即 a1， 312a 112a0， 化简得 a1， 2a12a10， 解得1 2a 1 2， 所以实数 a 的取值范围是 1 2， 1 2 .
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